2.3 确定圆的条件（六大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

2.3　确定圆的条件（六大题型提分练） 题型一 确定圆的条件 1．（24-25九年级上·江苏·课后作业）给定下列条件可以确定唯一的一个圆的是（    ） A．已知圆心 B．已知半径 C．已知直径 D．不在同一直线上的三个点 【答案】D 【解析】A. 已知圆心，但半径不确定，不可以确定唯一的一个圆，不符合题意， B. 已知半径，但圆心位置不确定，不可以确定唯一的一个圆，不符合题意， C. 已知直径，但圆心位置不确定，不可以确定唯一的一个圆，不符合题意， D. 不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，符合题意． 故选D． 2．（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，1为半径作圆，这样的圆可以作（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】A 【解析】解：∵点为圆心，1为半径作圆， ∴可以唯一确定圆，即：这样的圆只有1个， 故选：A． 3．（24-25九年级上·北京大兴·期末）在同一平面内，过已知，，三个点可以作的圆的个数为(     ) A．0 B．1 C．2 D．0或1 【答案】D 【解析】解：当A、B、C三个点共线，过A、B、C三个点不能作圆； 当A、B、C不在同一条直线上，过A、B、C三个点的圆有且只有一个，即三角形的外接圆， 故选：D． 4．（2023·江西·中考真题）如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【解析】解：依题意，；；；；，加上点可以画出一个圆， ∴共有6个， 故选：D． 5．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）平面直角坐标系内的三个点，，，____ 确定一个圆，（填“能”或“不能”）． 【答案】不能 【解析】解：∵，，，在这条直线上，， ∴三个点，，不能确定一个圆． 故答案为：不能． 6．（2023九年级上·全国·专题练习）平面直角坐标系内的三个点，， 确定一个圆（填“能”或“不能”）． 【答案】能 【解析】解：∵，，， ∴点A、B、C不共线， ∴三个点，，能确定一个圆． 故答案为：能． 7．（2024·江西上饶·一模）平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的圆个，则可能的值为_____________. 【答案】1、3、4 【解析】解：分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，如图1，此时， ②当三点在一直线上时，如图2， 分别过或或作圆，共3个圆，即， ③当四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时， 分别过或或或作圆，共4个圆，即此时， 即可能的值为1、3、4， 故答案为：1、3、4． 8．（24-25九年级下·全国·课后作业）已知点A，B和直线l，作一个圆，使它经过点A和点B，并且圆心在直线l上． （1）当直线l与直线不垂直时，可作几个圆？ （2）当直线l与直线垂直但不经过的中点时，可作几个圆？ （3）当直线l是线段的垂直平分线时，可作几个圆？ 【解析】解：（1）如图1，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l只有1个交点， ∴当直线l与直线AB不垂直时，只能作1个圆； （2）如图2，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l没有个交点， ∴当直线l与直线AB垂直但不经过AB的中点时，不能作圆；   （3）如图3，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l重合，即直线l上所有点均可作为经过A，B的圆的圆心， ∴当直线l是线段AB的垂直平分线时，能作无数个圆． 题型二 确定圆心的位置 1．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在8×8正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（    ） A．点E B．点F C．点G D．点H 【答案】D 【解析】如图，连接AB，BC，分别作弦AB，BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点H即为圆心． 故选D. 2．（23-24九年级上·北京朝阳·期末）如图，A、B、C是正方形网格中的三个格点，则是（    ） A．优弧 B．劣弧 C．半圆 D．无法判断 【答案】B 【解析】解；如图，分别连接AB、AC、BC，取任意两条线段的中垂线相交，交点就是圆心． 故选：B． 3．（2023·广东汕尾·二模）如图，在的正方形网格中（小正方形的连长为1），有6个点A、B、C、D、E、F，若过A、B、C三点作圆O，则点D、E、F三点中在圆O外的有（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】解：如图， ∵， ∴过A、B、C三点作圆O，直径为，圆心在的中点， ∴， ， ， ∴点F在圆O外，点D、E在圆O上， 故选：B． 4. （23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，在围成新月形的两条劣弧（和）中，哪条弧所在圆的圆心到线段的距离更小？_________. 【解析】如图所示，点P为所在圆的圆心，点Q为所在圆的圆心， ∵点P到线段的距离小于点Q到线段的距离 ∴所在圆的圆心到线段的距离更小． 故答案为：. 5．（2024·浙江绍兴·二模）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系． (1)过，，三点的圆的圆心坐标为______； (2)请通过计算判断点与的位置关系． 【解析】（1）解：如图，连接，，分别作，的垂直平分线，两直线交于点， 是过，，三点的圆的圆心，     ． （2），，， ，， ， 点在的外部． 6．（2023·浙江金华·一模）如图，点A、B、C在上且，，请你利用直尺和圆规，用三种不同的方法，找到圆心O．（保留作图痕迹） 【解析】解：如图，点O即为所求． 题型三 三角形外接圆的概念和作法 1．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）下列说法中，真命题的个数是（    ） ①任何三角形有且只有一个外接圆；②任何圆有且只有一个内接三角形；③三角形的外心不一定在三角形内；④三角形的外心到三角形三边的距离相等. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】解：①任何三角形有且只有一个外接圆，是真命题； ②任何圆有无数个内接三角形，原说法错误，是假命题； ③三角形的外心不一定在三角形内，是真命题； ④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，原说法错误，是假命题； 综上，真命题的个数为2个； 故选B． 2．（23-24九年级上·湖北随州·期末）如图，，是的直径，弦与交于点F，连接，，，，下列三角形中，外心是点O的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：只有的三个顶点都在圆上，故外心是点O的是． 故选：C． 3．（2022·山东聊城·二模）用尺规作图作三角形的外接圆时，用到了哪些基本作图（    ） A．作一条线段等于已知线段 B．作一个角等于已知角 C．作一个角的平分线 D．作一条线段的垂直平分线 【答案】D 【解析】解：∵由三角形的外心的定义可知，三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等， ∴三角形的外心在三边的垂直平分线上， 所以用到了基本作图：作一条线段的垂直平分线． 故选D． 4．（2023·内蒙古通辽·中考真题）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程： 已知：如图1，在中，． 求作：的外接圆． 作法：如图2． （1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； （2）作直线，交于点O； （3）以O为圆心，为半径作，即为所求作的圆．    下列不属于该尺规作图依据的是（    ） A．两点确定一条直线 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【答案】D 【解析】解：作直线（两点确定一条直线）， 连接，    ∵由作图，， ∴且（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）． ∵， ∴（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）， ∴， ∴A，B，C三点在以O为圆心，为直径的圆上． ∴为的外接圆． 故选：D． 5．（2023·福建·模拟预测）如图，已知． (1)求作一点O，使得绕点O不论旋转多少度，得到的也内接于的外接圆（尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，求证：关于点O的中心对称图形也内接于的外接圆． 【解析】（1）解：如图所示，作的垂直平分线交于点，点即为所求， （2）解：如图所示，是关于点O的中心对称图形， 证明：∵是关于点O的中心对称图形， 设的半径为， ∴， ∴关于点O的中心对称图形也内接于的外接圆． 6．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，．    (1)尺规作图：作的外接圆（保留作图痕迹）； (2)求（1）中所作外接圆的半径． 【解析】（1）解：如图所示：    即为所求； （2）解：如图所示：    于，且，， ， 在中，，则， 在中，，则， 设，则，即，解得， （1）中所作外接圆的半径． 7．（2024·河南商丘·二模）如图，在中，． (1)尺规作图：作出经过，，三点的．(不写作法，保留作图痕迹) (2)连接并延长，交于点，连接，．求证： 【解析】（1）解：如图，作的垂直平分线交于点，以为圆心，以为半径作，就是所求作的圆； （2）证明：如图， ，， 四边形为平行四边形， ，， 在和中， ， 题型四 求三角形外接圆的半径 1．（23-24九年级上·广西崇左·阶段练习）在中，若两条直角边的长分别为6和8，则这个三角形的外接圆半径为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】解：如图， 在中，若两条直角边的长分别为6和8，即，， ， ， 是外接圆直径， 这个三角形的外接圆半径为， 故选：C． 2．（23-24九年级上·浙江湖州·阶段练习）《九章算术》中“今有勾八步，股有十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步．问该直角三角形的容圆（外接圆）直径是多少？”（    ） A．14步 B．15步 C．16步 D．17步 【答案】D 【解析】解：设三角形为，，，， ， ， 该直角三角形的容圆（外接圆）直径即斜边， 外接圆的直径是17步， 故选：D． 3．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）小颖同学在手工制作中，把一个边长为6cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（    ） A．cm B．cm C．cm D．cm 【答案】A 【解析】解：由题意画图如下，则为等边三角形，且内接于，    ，． 过点作于点，则， 连接，，则， ， ． ， ， ∴， 在中，，， ∴， ． 故选：A． 4．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知一个三角形的三条边的长分别为10，8，6，则这个三角形的外接圆半径是 ． 【答案】5 【解析】解：∵， ∴三边长为6，8，10的三角形是直角三角形， ∴该三角形的斜边即为其外接圆的直径， ∴这个三角形的外接圆半径是5， 故答案为：5． 5．（2023·湖北襄阳·二模）在中，，，则这个三角形的外接圆的半径是 ． 【答案】4或5 【解析】当为斜边时， 是直角， 三角形外接圆直径， 半径是4； 当为斜边时， 为直角， ， ， 三角形外接圆直径为 半径是5； 综上所述：半径为4或5． 6．（23-24九年级下·北京·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，则外接圆的半径为 ． 【答案】 【解析】解：假设的外接圆的圆心为点，则点必在线段的垂直平分线上，即点的纵坐标为， 设点， 由图可得：，， 由三角形外接圆的性质得， ， ， 解得：， ， ， 外接圆的半径为， 故答案为：． 7．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 ． 【答案】 【解析】解：根据正方形的性质得到的中垂线，再找到的中垂线，交于点O，点O为圆心为半径即为覆盖的最小圆面，如图， 则最小圆面的半径． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在中，是它的外心，，到的距离是，求的外接圆的半径． 【解析】解：为外心，， ，又， 由勾股定理，得 ， 的外接圆的半径是． 9．（22-23九年级上·广东东莞·期末）如图，为圆的内接三角形，，连接并延长交于点．    (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【解析】（1）证明：∵为圆的内接三角形， ∴点O在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点A在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线， ∴； （2）解：如图所示，连接， ， ， ， ， 设，则， ， ， 解得， ∴的半径为．    题型五 三角形外心的性质 1．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）三角形的外心具有的性质是（    ） A．外心在三角形外 B．外心在三角形内 C．外心到三角形三边距离相等 D．外心到三角形三个顶点距离相等 【答案】D 【解析】解：A．外心不一定在三角形外，错误； B．外心不一定在三角形内，错误； C．外心到三角形三角距离相等，错误； D．外心到三角形三个顶点距离相等，正确； 故选D． 2．（2022·河北邯郸·一模）如图，已知，用尺规按照下面步骤操作： 作线段的垂直平分线； 作线段的垂直平分线，交于点； 以为圆心，长为半径作． 结论：点是的外心；结论： 则对于结论和结论Ⅱ，下列判断正确的是（  ） A．和Ⅱ都对 B．和Ⅱ都不对 C．不对，对 D．对，Ⅱ不对 【答案】D 【解析】解：点是和的垂直平分线的交点， 点是的外心，故结论Ⅰ正确； 点，的位置不确定， 和的长度不确定，故结论Ⅱ不正确． 故选：． 3．（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、在小正方形的顶点上，则的外心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【解析】由图可知，， ∴， ∴F点在三边的垂直平分线上， ∴点F是外心， 故选：C． 4．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，在正方形方格中，A，B，C，D，E，P均在格点处，则点P是下列哪个三角形的外心（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：如图，由勾股定理得：，    ∴P到B、C、E的距离相等， ∴P是的外心， 故选：D． 5．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在的外部，判断下列叙述不正确的是（    ） A． O是的外心 B．O是的外心 B． O是的外心 D．O是的外心 【答案】D 【解析】解：连接， ∵O为锐角三角形的外心， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴，即O是的外心，故A不符合题意； ，即O是的外心，故B不符合题意； ，即O是的外心，故C不符合题意； ，即O不是的外心，故D符合题意； 故选：D． 6．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）的外心在三角形的一边上，则是_______三角形. 【答案】直角 【解析】解：当的外心在的内部时，则是锐角三角形； 当的外心在的外部时，则是钝角三角形； 当的外心在的一边时，则是直角三角形，且这边是斜边． 故答案为：直角． 7．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如果三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是______. 【答案】钝角三角形 【解析】解：三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，外心的性质是到三角形三个顶点的距离相等，如果一个三角形的外心在三角形的外部，说明有一个圆周角大于，那么这个三角形一定是钝角三角形， 故答案为：钝角三角形 8．（2024·江苏镇江·一模）如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为的外心，则的长度是_________.    【答案】 【解析】解：如图所示，    ∵点O为的外心， ∴，点B和点C的位置如图所示， ∴， 故答案为：． 9．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，点是的外心，且，则 ． 【答案】 【解析】解：∵点为的外心， ∴点、、均在以点为圆心，长为半径的圆上， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为： 10．（2023·内蒙古·中考真题）如图，是锐角三角形的外接圆，，垂足分别为，连接．若的周长为21，则的长为________.    【答案】4 【解析】解：∵是锐角三角形的外接圆，， ∴点D、E、F分别是的中点， ∴， ∵的周长为21， ∴即， ∴， 故答案为：4． 题型六 三角形外接圆的实际应用 1．（22-23九年级上·江苏淮安·阶段练习）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（    ） A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块 【答案】B 【解析】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．只要有一段弧，即可确定圆心和半径． 所以小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是第②块． 故选：B． 2．（23-24九年级上·广西防城港·期末）如图是一位考古学家发现的一块古代车轮的碎片． (1)请你帮他找出这个车轮所在圆环的圆心并还原画出这个车轮的圆环图（尺规作图，保留作图痕迹，不用写作法）． (2)在（1）的条件下，若测量出车轮所在的圆环外径（外圆的直径）是，求车轮滚动一圈直走的路程（结果保留）． 【解析】（1）解：如图为所求作的图形． （2）圆的周长， ∴车轮滚动一圈直走的路程是． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知一块破损圆形塑胶板，弧上有三点，，； (1)用尺规作图作出该破损的圆板的圆心，记为点； (2)若为等腰三角形，且，，求该圆板的半径． 【解析】（1）解：如图所示， （2）解：如图，设交于点， ∵为等腰三角形，且，， 又， ∴垂直平分， ∴ ， 在中，， 设圆板的半径为，在中，， ∴ ∴ 解得：． ∴圆板的半径为． 4．（22-23九年级上·山东济南·期末）如图所示的拱桥，用弧表示桥拱．    (1)若弧所在圆的圆心为，是弦的垂直平分线，请你利用尺规作图，找出圆心．（不写作法，但要保留作图痕迹） (2)若拱桥的跨度（弦的长）为，拱高（弧的中点到弦的距离）为，求拱桥的半径． 【解析】（1）解：如图所示，作的垂直平分线，交于点，    （2）解：如图，    设为的中点，交于点， ∵， ∴，， 设拱桥的半径为，在中，，， ∵， ∴ 解得： ∴拱桥的半径为米． 5．（2024·上海奉贤·二模）上海之鱼是奉贤区的核心景观湖，湖面成鱼型．如图，鱼身外围有一条圆弧形水道，在圆弧形水道外侧有一条圆弧形道路，它们的圆心相同．某学习小组想要借助所学的数学知识探索上海之鱼的大小． (1)利用圆规和直尺，在图上作出圆弧形水道的圆心O．（保留作图痕迹） (2)如图，学习小组来到了圆弧形道路内侧A处，将所携带的200米绳子拉直至圆弧道路内侧另一点B处，并测得绳子中点C与圆弧形道路内侧中点D的距离为10米，圆弧形水道外侧到道路内侧的距离为22米（点D、C、E在同一直线上），请计算圆弧形水道外侧的半径． 【解析】（1）解：如图所示，分别在圆弧形水道，圆弧形道路上取一条弦，分别作两条弦的垂直平分线，二者的交点即为点O； （2）解：如图所示，连接， ∵C为的中点，点D为圆弧形道路内侧中点， ∴，米， ∴四点共线， 设米，则米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴米． 答：圆弧形水道外侧的半径为483米． 6．（22-23九年级上·山西大同·期末）工人师傅后在一个上表面是直角三角形的器具上面安装一块圆板，要求这个圆板刚好覆盖住三角形，该直角三角形的形状如图所示．    (1)请用尺规作图在图上作出该图； (2)测量直角三角形的两直角边，，如果这个圆是一个正方形板所截，请你帮助师傅计算出所需要正方形板的最小面积是多少? 【解析】（1）即为所作    （2）∵，， ∴ ∴所需要正方形板的最小面积是 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列说法：①三点确定一个圆；②三角形有且只有一个外接圆；③三角形的外心是各边垂直平分线的交点；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤等腰三角形的外心一定在这个三角形内，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】解：②③正确；不在同一直线上的三点确定一个圆，所以①错误；三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，所以④错误；当等腰三角形是钝角三角形时，它的外心在这个三角形外；当等腰三角形是直角三角形时，它的外心在这个三角形的斜边上，所以⑤错误， ∴正确的有②③， 故选：B． 2．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，直角坐标系中，，，经过，，三点的圆，圆心为，若线段，则点与的位置关系为（　　） A．点在上 B．点在外 C．点在内 D．无法确定 【答案】C 【解析】解：如图： 连接，作和的垂直平分线，交点为， 圆心的坐标为， ， ， 线段， 半径， 点在内， 故选：C． 3．（22-23九年级上·河北邢台·期末）如图，在由小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E，F，O均在格点上．下列三角形中，外心不是点O的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：设小正方形边长为1， 则：， ， 根据三角形外心到各顶点距离相等可以判断： 点O是三个三角形的外心； 不是的外心， 故选：C． 4．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）九个相同的等边三角形如图所示，已知点O是一个三角形的外心，则这个三角形是（   ） A．ABC B．ABE C．ABD D．ACE 【答案】C 【解析】∵外心为三角形三边中垂线的交点，且钝角三角形的外心在三角形的外部，∴点是的外心． 故答案选C． 5．（2021·河北石家庄·一模）如图，在中，．小丽按照下列方法作图： ①作的角平分线，交于点D； ②作的垂直平分线，交于点E． 根据小丽画出的图形，判断下列说法中正确的是（    ） A．点E是的外心 B．点E是的内心 C．点E在的平分线上 D．点E到边的距离相等 【答案】A 【解析】∵在中，， ∴的角平分线也是底边BC的垂直平分线， ∵的垂直平分线，交于点E， ∴点E是的外心， 故选A． 6．（2024·河北保定·二模）如图，在中，，嘉嘉和淇淇通过尺规作图的方法找到的外心，作法如下： 嘉嘉： 作的垂直平分线，交于点O，点O即为的外心 淇淇： 作和的平分线，两条角平分线交于点O，点O即为的外心 对于两人的作图方法，下列说法正确的是（    ） A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都错误 【答案】A 【解析】解：三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，直角三角形的外心是斜边的中点． 嘉嘉正确，淇淇错误． 故选：A． 7．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，锐角三角形中，点O为中点．甲、乙二人想在上找一点P，使得的外心为点O，其作法分别如下．对于甲、乙二人的作法，下列判断正确的是（    ） 甲的作法                            乙的作法                          过点B作与AC垂直的直线，            以O为圆心，OA长为半径画弧， 交AC于点P，则P即为所求            交AC于点P，则P即为所求 A．两人都正确 B．两人都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 【答案】A 【解析】解：甲的作法， ， ， ∵O是中点， ， ， ∴O是的外心， ∴甲的作法正确． 乙的作法， 由作法知：， ∴O是的外心， ∴乙的作法正确． 故选：A． 8．（2022·山西运城·二模）如图，点O是△ABC的外心（三角形三边垂直平分线的交点），若∠BOC=96°，则∠A的度数为（    ） A．49° B．47.5° C．48° D．不能确定 【答案】C 【解析】解：如图，连接AO， ∵点O是△ABC三边垂直平分线的交点， ∴AO=BO=CO， ∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB， ∴∠AOB=180°-2∠OAB，∠AOC=180°-2∠OAC， ∴∠BOC=360°-（∠AOB+∠AOC） =360°-（180°-2∠OAB+180°-2∠OAC） =2∠OAB+2∠OAC =2∠BAC； ∵∠BOC=96°， ∴∠BAC=48°， 故选：C． 9．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知是的外心，分别是、的中点，连接、交于点，若，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】连接，，如图， ∵是的外心，、分别是、的中点， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∵， ∴， 故选：． 10．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【解析】解：如图， 以AH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、H、E）， 以BH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、H、D）， 以CH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（C、D、H、E）， 以AB为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、E、D、B）， 以BC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、E、C）， 以AC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、D、C）， 共6组． 故选D． 11．（22-23九年级上·浙江·单元测试）正方形的四个顶点和它的中心共5个点能确定 个不同的圆． 【答案】5 【解析】解：正方形的四个顶点和它的中心的点的距离相等，中心与一边的两个端点可以确定一个圆，正方形有四条边，因而有四个圆；而正方形的四个顶点都在以中心为圆心的圆上，因而能确定5个不同的圆． 故答案为5． 12．（2022·广西玉林·中考真题）如图，在网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是的外心，在不添加其他字母的情况下，则除外把你认为外心也是O的三角形都写出来 ． 【答案】△ADC、△BDC、△ABD 【解析】由网格图可知O点到A、B、C三点的距离均为：， 则外接圆半径， 图中D点到O点距离为：， 图中E点到O点距离为：， 则可知除△ABC外把你认为外心也是O的三角形有：△ADC、△ADB、△BDC， 故答案为：△ADC、△ADB、△BDC． 13．（2024·吉林长春·三模）将边长为2的小正方形ABCD 和边长为4的大正方形 EFGH如图摆放，使得C、E两点刚好重合，且B、C、H三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为 ． 【答案】 【解析】解：由题意可知，，， 取的中点，则，， 连接，，， 由勾股定理可得：，， ∴， 即：点为、、三点所作圆的圆心， 则该圆的半径为， 故答案为：． 14．（2024九年级·全国·竞赛）已知为的外接圆，且圆心O在的内部，分别过点O作，垂足分别为点，若，则 ． 【答案】16 【解析】解：如图， 是的外心，，， ，， 为的中位线， ． 故答案为：16 15．（2023·浙江杭州·二模）如图，O为等腰三角形的外心，，连接，记，，则满足的关系式为_______________.    【答案】 【解析】解：∵，， ∴， ∴， 连接，    ∵O为等腰三角形的外心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、P的坐标分别为 ，， ．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是的外心，则点C的坐标为 ． 【答案】或或 【解析】解：如图所示，以P为圆心，以的长为半径画圆， 在圆上的格点有，，， ∵P是的外心，即点C在圆P上，且点C在第一象限， ∴点C的坐标为或或， 故答案为：或或． 17．（2023九年级上·全国·专题练习）若点O是等腰的外心，且，底边，则的面积为 ． 【答案】或 【解析】解：①当圆心O在内部时，作于E． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ②当点O在外时，连接交于E． ， 故答案为：或 18．（2021·天津和平·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，点，点均在格点上，并且在同一个圆上，取格点，连接并延长交圆于点． （Ⅰ）四边形外接圆的半径为 ． （Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出线段，使平分，且点在圆上，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 取格点，连接，交于点．连接并延长交圆于点，连接即为所求． 【解析】解：（Ⅰ）四边形ABCD外接圆的圆心位于格点O的位置，连接OA，OB，OC，OD， 由题意可得OA=OB=OC=OD= 故答案为： （Ⅱ）取格点，连接，交于点，连接并延长交圆于点，连接， 由格点特征结合四边形外接圆的半径可得△EFK≌△ODG， ∴∠OGD=∠EKF=90°，即OP⊥CD ∴点P是的中点 ∴∠CAP=∠DAP ∴即为所求 19．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，平面直角坐标系中有4个点：，，，． (1)在正方形网格中画出的外接圆，圆心M的坐标是______； (2)若是的一条长为4的弦，点G为弦的中点，求的最大值； 【解析】（1）如图所示；； 故答案为． （2）连接，，，， 点为弦的中点，， ， ， ， ， 点在以为圆心，1为半径的圆上， 当点在线段延长线上时最大，此时， ， 的最大值为； 20．（23-24九年级上·山东烟台·期末）如图，已知弓形的弦长，弓高，（，并经过圆心）．    (1)请利用尺规作图的方法找到圆心；（保留作图痕迹，不必写作法） (2)求弓形所在的半径的长． 【解析】（1）解：如图所示，作线段的垂直平分线交直线于点O，点即是圆心；    （2）连接， ，并经过圆心，， ，在中，由勾股定理得：     解得，， 答：的半径的长为10． 21．（2023·黑龙江绥化·二模）如图，在中，，平分，    (1)在边上找一点O，以点O为圆心，且过A、D两点作（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，若，求的半径． 【解析】（1）解：如图：即为所求；   ； （2）解：连接，设的半径为x，即， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， 解得：， ∴的半径为2． 22．（23-24九年级上·山东德州·期中）我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆． （1）请分别作出下图中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论（不要求证明）． 【解析】解：（1）如图； （2）锐角三角形（和直角三角形）的最小覆盖圆是其外接圆；钝角三角形的最小覆盖圆是以其最长边为直径的圆； 23．（2022·河北石家庄·三模）如图，在中，，点D从点B出发沿向点C运动，点E从点C出发沿向点B运动，点D和点E同时出发，速度相同，到达C点或B点后运动停止．    (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若的外心在其内部时，直接写出的取值范围． 【解析】（1）证明：∵点D和点E同时出发，速度相同， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时，，    当时，，    ∴． 24．（2023·河北保定·一模）如图1，在中，，点D和点E分别从点A、点B同时出发，在线段上以做等速运动，分别到达点B、点A后停止运动．设运动时间为t秒． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)当△ADC的外心在其外部时，请直接写出t的取值范围． 【解析】（1）∵点D和点E分别从点A、点B同时出发，在线段上以做等速运动， ∴， ∵， ∴ ∴△ADC≅△BEC（SAS）， （2）如图所示， ∵，， ∴， 由（1）知，，， ∴△ADC≅△BEC（SAS）， ∴， ∴， ∴, （3）要使△ADC的外心在其外部，则必须是钝角三角形， ①当∠ADC为钝角时，过点C作CF⊥AB，垂足为F， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ②当∠ACD为钝角时，过点C作CM⊥AC，交AB于点M， 在Rt△ACM中，， ∴， 由勾股定理可得：， 又， ∴， 解得：， ∴， 又D从A运动到B所需时间为， ∴， 综上所述，当△ADC的外心在其外部时， t的取值范围为：或． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3　确定圆的条件（六大题型提分练） 题型一 确定圆的条件 1．（24-25九年级上·江苏·课后作业）给定下列条件可以确定唯一的一个圆的是（    ） A．已知圆心 B．已知半径 C．已知直径 D．不在同一直线上的三个点 2．（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，1为半径作圆，这样的圆可以作（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 3．（24-25九年级上·北京大兴·期末）在同一平面内，过已知，，三个点可以作的圆的个数为(     ) A．0 B．1 C．2 D．0或1 4．（2023·江西·中考真题）如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 5．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）平面直角坐标系内的三个点，，，____ 确定一个圆，（填“能”或“不能”）． 6．（2023九年级上·全国·专题练习）平面直角坐标系内的三个点，， 确定一个圆（填“能”或“不能”）． 7．（2024·江西上饶·一模）平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的圆个，则可能的值为_____________. 8．（24-25九年级下·全国·课后作业）已知点A，B和直线l，作一个圆，使它经过点A和点B，并且圆心在直线l上． （1）当直线l与直线不垂直时，可作几个圆？ （2）当直线l与直线垂直但不经过的中点时，可作几个圆？ （3）当直线l是线段的垂直平分线时，可作几个圆？ 题型二 确定圆心的位置 1．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在8×8正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（    ） A．点E B．点F C．点G D．点H 2．（23-24九年级上·北京朝阳·期末）如图，A、B、C是正方形网格中的三个格点，则是（    ） A．优弧 B．劣弧 C．半圆 D．无法判断 3．（2023·广东汕尾·二模）如图，在的正方形网格中（小正方形的连长为1），有6个点A、B、C、D、E、F，若过A、B、C三点作圆O，则点D、E、F三点中在圆O外的有（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 4. （23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，在围成新月形的两条劣弧（和）中，哪条弧所在圆的圆心到线段的距离更小？_________. 5．（2024·浙江绍兴·二模）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系． (1)过，，三点的圆的圆心坐标为______； (2)请通过计算判断点与的位置关系． 6．（2023·浙江金华·一模）如图，点A、B、C在上且，，请你利用直尺和圆规，用三种不同的方法，找到圆心O．（保留作图痕迹） 题型三 三角形外接圆的概念和作法 1．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）下列说法中，真命题的个数是（    ） ①任何三角形有且只有一个外接圆；②任何圆有且只有一个内接三角形；③三角形的外心不一定在三角形内；④三角形的外心到三角形三边的距离相等. A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24九年级上·湖北随州·期末）如图，，是的直径，弦与交于点F，连接，，，，下列三角形中，外心是点O的是（    ） A． B． C． D． 3．（2022·山东聊城·二模）用尺规作图作三角形的外接圆时，用到了哪些基本作图（    ） A．作一条线段等于已知线段 B．作一个角等于已知角 C．作一个角的平分线 D．作一条线段的垂直平分线 4．（2023·内蒙古通辽·中考真题）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程： 已知：如图1，在中，． 求作：的外接圆． 作法：如图2． （1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； （2）作直线，交于点O； （3）以O为圆心，为半径作，即为所求作的圆．    下列不属于该尺规作图依据的是（    ） A．两点确定一条直线 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 5．（2023·福建·模拟预测）如图，已知． (1)求作一点O，使得绕点O不论旋转多少度，得到的也内接于的外接圆（尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，求证：关于点O的中心对称图形也内接于的外接圆． 6．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，．    (1)尺规作图：作的外接圆（保留作图痕迹）； (2)求（1）中所作外接圆的半径． 7．（2024·河南商丘·二模）如图，在中，． (1)尺规作图：作出经过，，三点的．(不写作法，保留作图痕迹) (2)连接并延长，交于点，连接，．求证： 题型四 求三角形外接圆的半径 1．（23-24九年级上·广西崇左·阶段练习）在中，若两条直角边的长分别为6和8，则这个三角形的外接圆半径为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（23-24九年级上·浙江湖州·阶段练习）《九章算术》中“今有勾八步，股有十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步．问该直角三角形的容圆（外接圆）直径是多少？”（    ） A．14步 B．15步 C．16步 D．17步 3．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）小颖同学在手工制作中，把一个边长为6cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（    ） A．cm B．cm C．cm D．cm 4．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知一个三角形的三条边的长分别为10，8，6，则这个三角形的外接圆半径是 ． 5．（2023·湖北襄阳·二模）在中，，，则这个三角形的外接圆的半径是 ． 6．（23-24九年级下·北京·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，则外接圆的半径为 ． 7．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 ． 8．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在中，是它的外心，，到的距离是，求的外接圆的半径． 9．（22-23九年级上·广东东莞·期末）如图，为圆的内接三角形，，连接并延长交于点．    (1)求证：； (2)若，，求的半径．    题型五 三角形外心的性质 1．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）三角形的外心具有的性质是（    ） A．外心在三角形外 B．外心在三角形内 C．外心到三角形三边距离相等 D．外心到三角形三个顶点距离相等 2．（2022·河北邯郸·一模）如图，已知，用尺规按照下面步骤操作： 作线段的垂直平分线； 作线段的垂直平分线，交于点； 以为圆心，长为半径作． 结论：点是的外心；结论： 则对于结论和结论Ⅱ，下列判断正确的是（  ） A． 和Ⅱ都对 B．和Ⅱ都不对 C．不对，对 D．对，Ⅱ不对 3．（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、在小正方形的顶点上，则的外心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 4．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，在正方形方格中，A，B，C，D，E，P均在格点处，则点P是下列哪个三角形的外心（　　）    A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在的外部，判断下列叙述不正确的是（    ） A． O是的外心 B．O是的外心 B． O是的外心 D．O是的外心 6．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）的外心在三角形的一边上，则是_______三角形. 7．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如果三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是______. 8．（2024·江苏镇江·一模）如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为的外心，则的长度是_________.    9．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，点是的外心，且，则 ． 10．（2023·内蒙古·中考真题）如图，是锐角三角形的外接圆，，垂足分别为，连接．若的周长为21，则的长为________.    题型六 三角形外接圆的实际应用 1．（22-23九年级上·江苏淮安·阶段练习）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（    ） A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块 2．（23-24九年级上·广西防城港·期末）如图是一位考古学家发现的一块古代车轮的碎片． (1)请你帮他找出这个车轮所在圆环的圆心并还原画出这个车轮的圆环图（尺规作图，保留作图痕迹，不用写作法）． (2)在（1）的条件下，若测量出车轮所在的圆环外径（外圆的直径）是，求车轮滚动一圈直走的路程（结果保留）． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知一块破损圆形塑胶板，弧上有三点，，； (1)用尺规作图作出该破损的圆板的圆心，记为点； (2)若为等腰三角形，且，，求该圆板的半径． 4．（22-23九年级上·山东济南·期末）如图所示的拱桥，用弧表示桥拱．    (1)若弧所在圆的圆心为，是弦的垂直平分线，请你利用尺规作图，找出圆心．（不写作法，但要保留作图痕迹） (2)若拱桥的跨度（弦的长）为，拱高（弧的中点到弦的距离）为，求拱桥的半径． 5．（2024·上海奉贤·二模）上海之鱼是奉贤区的核心景观湖，湖面成鱼型．如图，鱼身外围有一条圆弧形水道，在圆弧形水道外侧有一条圆弧形道路，它们的圆心相同．某学习小组想要借助所学的数学知识探索上海之鱼的大小． (1)利用圆规和直尺，在图上作出圆弧形水道的圆心O．（保留作图痕迹） (2)如图，学习小组来到了圆弧形道路内侧A处，将所携带的200米绳子拉直至圆弧道路内侧另一点B处，并测得绳子中点C与圆弧形道路内侧中点D的距离为10米，圆弧形水道外侧到道路内侧的距离为22米（点D、C、E在同一直线上），请计算圆弧形水道外侧的半径． 6．（22-23九年级上·山西大同·期末）工人师傅后在一个上表面是直角三角形的器具上面安装一块圆板，要求这个圆板刚好覆盖住三角形，该直角三角形的形状如图所示． (1)请用尺规作图在图上作出该图； (2)测量直角三角形的两直角边，，如果这个圆是一个正方形板所截，请你帮助师傅计算出所需要正方形板的最小面积是多少? 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列说法：①三点确定一个圆；②三角形有且只有一个外接圆；③三角形的外心是各边垂直平分线的交点；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤等腰三角形的外心一定在这个三角形内，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，直角坐标系中，，，经过，，三点的圆，圆心为，若线段，则点与的位置关系为（　　） A．点在上 B．点在外 C．点在内 D．无法确定 3．（22-23九年级上·河北邢台·期末）如图，在由小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E，F，O均在格点上．下列三角形中，外心不是点O的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）九个相同的等边三角形如图所示，已知点O是一个三角形的外心，则这个三角形是（   ） A．ABC B．ABE C．ABD D．ACE 5．（2021·河北石家庄·一模）如图，在中，．小丽按照下列方法作图： ①作的角平分线，交于点D； ②作的垂直平分线，交于点E． 根据小丽画出的图形，判断下列说法中正确的是（    ） A．点E是的外心 B．点E是的内心 C．点E在的平分线上 D．点E到边的距离相等 6．（2024·河北保定·二模）如图，在中，，嘉嘉和淇淇通过尺规作图的方法找到的外心，作法如下： 嘉嘉： 作的垂直平分线，交于点O，点O即为的外心 淇淇： 作和的平分线，两条角平分线交于点O，点O即为的外心 对于两人的作图方法，下列说法正确的是（    ） A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都错误 7．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，锐角三角形中，点O为中点．甲、乙二人想在上找一点P，使得的外心为点O，其作法分别如下．对于甲、乙二人的作法，下列判断正确的是（    ） 甲的作法                            乙的作法                          过点B作与AC垂直的直线，            以O为圆心，OA长为半径画弧， 交AC于点P，则P即为所求            交AC于点P，则P即为所求 A．两人都正确 B．两人都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 8．（2022·山西运城·二模）如图，点O是△ABC的外心（三角形三边垂直平分线的交点），若∠BOC=96°，则∠A的度数为（    ） A．49° B．47.5° C．48° D．不能确定 9．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知是的外心，分别是、的中点，连接、交于点，若，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 11．（22-23九年级上·浙江·单元测试）正方形的四个顶点和它的中心共5个点能确定 个不同的圆． 12．（2022·广西玉林·中考真题）如图，在网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是的外心，在不添加其他字母的情况下，则除外把你认为外心也是O的三角形都写出来 ． 13．（2024·吉林长春·三模）将边长为2的小正方形ABCD 和边长为4的大正方形 EFGH如图摆放，使得C、E两点刚好重合，且B、C、H三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为 ． 14．（2024九年级·全国·竞赛）已知为的外接圆，且圆心O在的内部，分别过点O作，垂足分别为点，若，则 ． 15．（2023·浙江杭州·二模）如图，O为等腰三角形的外心，，连接，记，，则满足的关系式为_______________.    16．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、P的坐标分别为 ，， ．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是的外心，则点C的坐标为 ． 17．（2023九年级上·全国·专题练习）若点O是等腰的外心，且，底边，则的面积为 ． 18．（2021·天津和平·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，点，点均在格点上，并且在同一个圆上，取格点，连接并延长交圆于点． （Ⅰ）四边形外接圆的半径为 ． （Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出线段，使平分，且点在圆上，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 19．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，平面直角坐标系中有4个点：，，，． (1)在正方形网格中画出的外接圆，圆心M的坐标是______； (2)若是的一条长为4的弦，点G为弦的中点，求的最大值； 20．（23-24九年级上·山东烟台·期末）如图，已知弓形的弦长，弓高，（，并经过圆心）．  (1)请利用尺规作图的方法找到圆心；（保留作图痕迹，不必写作法） (2)求弓形所在的半径的长． 21．（2023·黑龙江绥化·二模）如图，在中，，平分，  (1)在边上找一点O，以点O为圆心，且过A、D两点作（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，若，求的半径． 22．（23-24九年级上·山东德州·期中）我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆． （1）请分别作出下图中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论（不要求证明）． 23．（2022·河北石家庄·三模）如图，在中，，点D从点B出发沿向点C运动，点E从点C出发沿向点B运动，点D和点E同时出发，速度相同，到达C点或B点后运动停止．   (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若的外心在其内部时，直接写出的取值范围． 24．（2023·河北保定·一模）如图1，在中，，点D和点E分别从点A、点B同时出发，在线段上以做等速运动，分别到达点B、点A后停止运动．设运动时间为t秒． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)当△ADC的外心在其外部时，请直接写出t的取值范围． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$