第16讲 二元一次方程组的应用-2024-2025学年八年级数学上册（北师大版）

二元一次方程组的应用 教学目标： 1. 能根据具体问题中的数量关系，列出二元一次方程组解决实际问题； 2. 培养分析问题和解决问题的能力。 教学重点： 培养列方程组解决实际问题的能力，掌握列方程组解决实际问题的步骤。 教学难点： 将实际问题转化为二元一次方程组的数学模型。 考点一：鸡兔同笼 相关知识点内容 列方程(组)解应用题的一般步骤： ①审：审题（有什么，求什么，干什么）；  ②设：设未知数，找等量关系； ③列：用数学语言表达出来； ④解：解方程(组)．  ⑤验：检验方程(组)的解是否符合实际题意． ⑥答：完整写出答案(包括单位)．  例1：根据题意设未知数，并列出方程组 （1）某校七年级二班组织全班同学共40人去参加义务植树活动，男生每人植树4棵，女生每人植树3棵，全组共植树123棵，求男生和女生各有多少人？ 解：设 根据题意列方程得： （2）某人从学校出发骑自行车去县城，中途因为道路施工步行一段路，1.5小时后到达县城。他骑车的平均速度是15千米/时，步行的平均速度是5千米/时，路程全长20千米，他骑车与步行各用多少时间？ 解：设 根据题意列方程得： （3）加工某种产品需要两道工序，第一道工序每人每天可完成900件，第二道工序每人每天可完成1200件，现有7位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一、第二道工序所完成的件数相等？ 解：设 根据题意列方程得： 变式练习：根据题意列二元一次方程组 （1）两批货物，第一批360吨，用5节火车皮和12辆汽车正好装完；第二批500吨，用7节火车皮和16辆汽车正好装完。每节火车皮和每辆汽车平均各装货物多少吨？ （2）某校课外小组的学生准备外出活动，若每组7人，则余下3人；若每组8人，则有一组只有3人；求这个课外小组分成几组？共有多少人？ 例2：灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资，每生产一个合格品记4分，每生产一个不合格品不记分，还要扣除15分．某工人生产了1000只灯泡，共得3525分，问其中有 个灯泡不合格． 变式练习：某项球类比赛，每场比赛必须分出胜负，其中胜1场得2分，负一场得1分，某队在全部16场比赛中得到25分，求这个队胜场数、负场数分别是多少？ 例3：从甲地到乙地的路有一段上坡，一段下坡，如果上坡平均每分钟走50米，下坡平均每分钟走100米，那么从甲地走到乙地需要25分钟，从乙地走到甲地需要20分钟，甲地与乙地上坡与下坡的路程各是多少？ 变式练习：某寄宿制学校有大、小两种类型的学生宿舍共50间，大宿舍每间可住8人，小宿舍每间可住6人，该校360名住宿生恰好住满这50间宿舍．求大、小宿舍各有多少间？ 例4：小明在拼图时，8个一样大小的长方形如图1那样，恰好可以拼成一个大的长方形．小红看见了，说“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如图2那样的正方形．咳，怎么中间还留下了一个洞，恰好是边长为3cm的小正方形！ 请问：他们使用的小长方形的长和宽分别是多少cm？ 变式练习：某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板做成如图乙所示的A，B两种长方体形状的无盖纸盒．现有正方形纸板140张，长方形纸板360张，刚好全部用完，问能做成多少个A型盒子？多少个B型盒子？ （1）根据题意，甲和乙两同学分别列出的方程组如下： 甲：； 乙： 根据两位同学所列的方程组，请你分别指出未知数x，y表示的意义： 甲：x表示 ，y表示 ； 乙：x表示 ，y表示 ． （2）求出做成的A型盒子和B型盒子分别有多少个（写出完整的解答过程）？ 专题二、增收节支 相关知识点内容 ①利润＝总产值－总支出； ②； ③售价＝进价＋成本＝进价＋进价×利润率＝进价×（1＋利润率）＝标价×打折率 例1：有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46元。价格调整后，甲商品的利润率为4%，乙商品的利润率为5%，共可获利44元，则两件商品的进价分别是多少元？  变式练习1：（1）某服装店6000元购进A，B两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润3800元（毛利润=售价-进价），这两种服装的进价、标价如下表所示： 价格 类型 A型 B型 进价（元/件） 60 100 售价（元/件） 100 160 ①求这两种服饰各购进的件数； ②如果A中服装按标价的8折出售，B中服装按标价的7折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价售出少收入多少元？ （2）为了拉动内需，广东启动“家电下乡”活动．某家电公司销售给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱在启动活动前一个月共售出960台，启动活动后的第一个月销售给农户的Ⅰ型和Ⅱ型冰箱的销量分别比启动活动前一个月增长30%、25%，这两种型号的冰箱共售出1228台． ①在启动活动前的一个月，销售给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱分别为多少台？ ②若Ⅰ型冰箱每台价格是2298元，Ⅱ型冰箱每台价格是1999元，政府按每台冰箱价格的13%给购买冰箱的农户补贴，问：启动活动后的第一个月销售给农户的1228台Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱，政府共补贴了多少元（结果保留2个有效数字）？ 例2：（倍数问题）点子商务的快速发展逐步改变了人们的生活方式，网购已悄然进入千家万户，章女士在某网店花220元买了1只茶壶和10只茶杯，已知茶壶的单价比茶杯的单价的4倍还多10元。 （1）求茶壶和茶杯的单价分别是多少？ （2）中秋将至，该网点决定退出优惠酬宾活动：买一只茶壶送一只茶杯，茶杯单价打八折，请你计算此时买1只茶壶和10只茶杯工需多少元？ 变式练习2：“地球一小时”是世界自然基金会在2007年提出的一项倡议．号召个人、社区、企业和政府在每年3月最后一个星期六20时30分—21时30分熄灯一小时，旨在通过一个人人可为的活动，让全球民众共同携手关注气候变化，倡导低碳生活．中国内地去年和今年共有119个城市参加了此项活动，且今年参加活动的城市个数比去年的3倍少13个，问中国内地去年、今年分别有多少个城市参加了此项活动． 例3：为了鼓励居民节约用电，我市自2012年以来对家庭用电收费实行阶梯电价，即每月对客户居民的用电量分为三个档级收费，第一档为用电量在180千瓦时（含180千瓦时）以内的部分，执行基本价格；第二档为用电量在180千瓦时到450千瓦时（含450千瓦时）的部分，实行提高电价；第三档为用电量超出450千瓦的部分，执行市场调节价格。我市一位同学家今年2月份用电330千瓦时，电费为213元，3月份用电240千瓦时，电费为150元，已知我市一位居民今年4，5月份的家庭用电量分别为160和410千瓦时，请你依据该同学家的缴费情况，计算这个居民4，5月份的电费分别为多少元？ 变式练习3：西北某地区为改造沙漠，决定从2012年起进行“治沙种草”，把沙漠地变为草地，并出台了一项激励措施：在“治沙种草”的过程中，每一年新增草地面积达到10亩的农户，当年都可得到生活补贴费1500元，且每超出一亩，政府还给予每亩a元的奖励．另外，经治沙种草后的土地从下一年起，平均每亩每年可有b元的种草收入． 下表是某农户在头两年通过“治沙种草”每年获得的总收入情况： 年份 新增草地的亩数 年总收入 2012年 20亩 2600元 2013年 26亩 5060元 （注：年总收入=生活补贴费+政府奖励费+种草收入） （1）试根据以上提供的资料确定a、b的值； （2）从2013年起，如果该农户每年新增草地的亩数均能比前一年按相同的增长率增长，那么2015年该农户通过“治沙种草”获得的年总收入将达到多少元？ 例4：某旅行社组织一批游客外出旅游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满，已知45座客车租金为每辆220，60座客车租金为每辆300元，问： （1）这批游客的人数是多少？原计划租用多少量45座客车？ （2）若租用同一种车，要使每位游客都有座位，应该怎样租用才合算？ 变式练习4：小武新家装修，在装修客厅时，购进彩色地砖和单色地砖共100块，共花费5600元，已知彩色地砖的单价是80元/块，单色地砖的单价是40元/块。 （1）两种型号的地砖各采购多少块？ （2）如果厨房也要铺设这两种型号的地砖共60块，且采购地砖的费用不超过3200元，那么彩色地砖最多能采购多少块？ 专题三、里程碑上的数 相关知识点内容 用字母表示十进制整数的表示法：两位数等于十位数字10+个位数字；三位数等于百位数字100+十位数字10+个位数字；...... 例1：（里程碑上的数）小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 12：00 13：00 14：30 碑上的数 是一个两位数，数字之和为6 十位与个位数字与12：00时所看到的正好颠倒了 比12：00时看到的两位数中间多了个0 则12：00时看到的两位数是多少？ 变式练习1：（1）某三位数，中间数字为0，其余两个数位上数字之和是9，如果百位数字减1，个位数字加1，则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列，求原三位数。 （2）有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，则比原来的数小45；又已知百位数字的9倍比由十位和个位数字组成的两位数小3，试求原来的三位数？ 专题四、行程问题 相关知识点内容 ①行程问题（包括追及问题和相遇问题）基本等量关系：路程＝速度×时间 ②水流问题：； 例1：（追及问题）甲、乙二人从同一地点出发，同向而行，甲骑车乙步行．若乙先行12km，那么甲1小时追上乙；如果乙先走1小时，甲只用小时就追上乙，则乙的速度是多少？ 变式练习1：从少先队夏令营到学校，先下山再走平路，一少先队员骑自行车以12km/h的速度下山，以9km/h的速度通过平路，到学校共用了55分钟，回来时，通过平路的速度不变，但以6km/h的速度上山，回到营地又花去了1小时10分，问夏令营到学校的距离是多少公里？ （2） 例2：（相遇问题）甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇。相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机。这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？ 变式练习2：①已知甲、乙两辆汽车同时、同方向从同一地点A出发行驶．若甲车的速度是乙车的2倍，甲车走了90千米后立即返回与乙车相遇，相遇时乙车走了1小时．则甲、乙的速度分别是多少？ ②甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？ 例3：（列车过桥问题）一列火车以同一速度驶过两个隧道，第一个隧道长420米，用了27秒钟；第二个隧道长480米，用了30秒钟．这列火车每秒钟行驶多少20米？火车长多少120米？ 变式练习3：一列快车长70米，慢车长90米，若两车同向而行，快车从追上到完全离开慢车所用的时间（即“会车”时间）为20秒，若两车相向而行，则两车从相遇到离开时间为4秒，求两车每小时各行多少千米？ 例4：（水流问题）某船顺流航行36km用3h，逆流航行24km用3h，则水流速度是多少？船在静水中的速度是多少？ 变式练习4：某人沿着向上移动的自动扶梯从顶朝下走到底用了90秒，而他沿同一扶梯从底朝上走到顶只用了10秒，那么此人不走动，乘该扶梯从底到顶所需的时间是多少秒？（该人上、下的速度不变，电梯向上移动的速度也不变） 课后练习 1、小明与小王分别要把两块边长都为60cm的正方形薄钢片要制作成两个无盖的长方体盒子（不计粘合部分）． （1）小明先在薄钢片四个角截去边长为10cm的四个相同的小正方形（图一），然后把四边折合粘在一起，便得到甲种盒子，请你帮忙求出该种盒子底面边长； （2）小王如图（二）截去两角后，沿虚线折合粘在一起，便得到乙种盒子，已知乙种盒子底面的长AB是宽BC的2倍，求乙种盒子底面的长与宽分别是多少？ （3）若把乙种盒子装满水后，倒入甲种盒子内，问是否可以装满甲种盒子，若能装满甲种盒子，那么乙种盒子里的水面有多高？若不能装满甲种盒子，求出此甲种盒子的水面的高度． 2、我省某地生产的一种绿色蔬菜，在市场上若直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元． 当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨．该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行．受季节等条件限制，公司必须用15天的时间将这批蔬菜全部销售或加工完毕．为此，公司研制了三种可行方案： 方案一：将蔬菜全部进行粗加工； 方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜，在市场上直接出售； 方案三：将一部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好用15天完成． 你认为选择哪种方案获利最多？为什么？ 3、某校积极开展“促进有效学习”课堂教学改革试验，班内各个学习小组共设四个评讲项目每月都要评讲：自主学习，课堂展示，互动点评，反馈检测，每个项目得分都按一定百分比折算后计入总分，下表为繁星、新月、初阳三个小组的得分情况（单位：分） 自主学习 课堂展示 互动点评 反馈检测 繁星 80 50 40 70 新月 40 80 90 35 初阳 40 95 85 35 （1）月底，繁星组组长猜测自主学习，课堂展示，互动点评，反馈检测这四项得分分别按10%，30%，20%，40%折算计入总分，根据猜测，求出繁星组的总分； （2）学校决定，总分为60分以上（包括60分）的学习小组获得优秀小组称号，先获悉新月、初阳两组的总分分别是64.5分，69.5分，繁星组的自主学习，反馈检测两项得分折算后的分数和是29分，问：繁星组能否获得优秀？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$