第15讲 二元一次方程组解的拓展-2024-2025学年八年级数学上册（北师大版）

二元一次方程组解的拓展 教学目标：1、理解二元一次方程组的解，会求含参数的二元一次方程组； 2、理解二元一次方程组与一次函数之间的联系。 教学重点：求解含参数的二元一次方程组，二元一次方程组与一次函数的联系。 教学难点：二元一次方程组解的拓展应用。 考点一、二元一次方程组解得应用 相关知识： 项目 二元一次方程 二元一次方程组 条件 （1）含有两个未知数； （2）含有未知数的项的次数都是1； （3）整式方程 （1）含有两个未知数； （2）含有未知数的项的次数都是1； （3）整式方程组（可以含有两个以上的方程） 一般形式 (都是常数，且） 解的情况 无数组解 当时，有唯一一组解； 当时，无解； 当时，有无数组解 解的定义 适合二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解 二元一次方程组中各个方程的公共解叫做这个二元一次方程组的解 典例分析： 例1：小亮求得方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回这两个数，“●”“★”表示的数分别为（　　） A．5，2 B．8，﹣2 C．8，2 D．5，4 变式练习1：（1）如果方程组的解为，那么被“★”“■”遮住的两个数分别是（　　） A．10，4 B．4，10 C．3，10 D．10，3 （2）已知关于x，y的方程组，则下列结论中正确的是（　　） ①当a=5时，方程组的解是；②当x，y的值互为相反数时，a=20；③不存在一个实数使得；④若，则a=2． A．①②④ B．②③ C．②③④ D．③④ （3）两位同学在解同一个方程组时，甲同学由正确的解出，乙同学因看错了c而解得，那么a、b、c的正确的值为（　　） A．a=3，b=﹣2，c=2 B．a=1，b=，c=2 C．a=3，b=﹣2，c=﹣2 D．a=1，b=，c=﹣2 例2：若方程组的解互为相反数，求的值. 变式练习2：（1）方程组的解中x与y的值相等，则k等于（　　） A．2 B．1 C．3 D．4 （2）已知是二元一次方程组的解，则4n﹣2m的算术平方根为（　　） A．2 B． C．±2 D． （3）．若方程组的解是二元一次方程的一个解，则的值是（　　） A．3 B．2 C．6 D．7 （4）已知满足方程组，则无论取何值，恒有关系式是（　　） A． B． C． D． （5）已知关于x、y的方程组，给出下列结论： ①是方程组的解；②无论a取何值，x，y的值都不可能互为相反数； ③当a=1时，方程组的解也是方程x+y=4﹣a的解；④x，y的都为自然数的解有4对． 其中正确的个数为（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 例3.已知关于的方程组和方程组有相同的解，那么的值为（ ） A、 -2014 B、-1 C、1 D、2014 变式练习3：（1）已知关于的方程组和的解相同，求的值． （2）甲、乙两人同解方程时，甲正确解得乙因为抄错c而解得，请回答下列问题： （1）求的值； （2）求的值（结果保留幂的形式）． 例4.方程组的解为，则方程组的解为（　　） A． B． C． D． 变式练习4：方程组的解是，则方程组的解为（　　） A． B． C． D． 例5.已知关于x、y的方程组（m为常数）． （1）若x+y=1，求m的值； （2）若﹣1≤x﹣y≤5，求m的取值范围． 变式练习5：已知关于x、y的方程组的解为正数，且x的值小于y的值． （1）解这个方程组 （2）求a的取值范围． 　 例6.关于的方程组有无数组解，则的值为（ ） A、 B、 C、 D、 变式练习6：二元一次方程组，若有无数组解，则分别为（ ） A、 B、 C、 D、不能确定 例7.关于的方程组无解，则的值为（ ） A、-6 B、6 C、9 D、30 变式练习7：已知方程组，则当、为何值时，此方程组无解． 考点二、二元一次方程组与一次函数 相关知识： 1．一次函数：一般地，形如(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数。 2. 二元一次方程组与一次函数的关系： 一条直线(k,b是常数，k≠0)就是一个关于x，y的二元一次方程；求两直线和的交点，就是解关于x，y的方程组 3.关于的二元一次方程组，①有唯一解、②无解、③有无数个解的情况，其实质就是直线与直线①相交、②平行、③重合的情况．所以，①有唯一解（相交），即；②无解（平行），即，且；③有无数个解（重合），即即，且． 4.充分理解中的几何意义，将有利于画直线草图． ：表示直线倾斜方向与倾斜程度，越大，直线越陡； ：表示直线与轴的交点坐标是；，直线交轴于正半轴，，直线交轴于负半轴． 典例分析 例1：一般地，二元一次方程的解可以转化为点的坐标，其中x的值对应为点的横坐标，y的值对应为点的纵坐标，如二元一次方程x﹣2y=0的解和可以转化为点的坐标A（0，0）和B（2，1）．以方程x﹣2y=0的解为坐标的点的全体叫做方程x﹣2y=0的图象． （1）写出二元一次方程x﹣2y=0的任意一组解　 　，并把它转化为点C的坐标　 　； （2）在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，如方程x﹣2y=0的图象是由该方程所有的解转化成的点组成，在图中描出点A、点B和点C，观察它们是否在同一直线上； （3）取满足二元一次方程x+y=3的两个解，并把它们转化成点的坐标，画出二元一次方程x+y=3的图象； （4）根据图象，写出二元一次方程x﹣2y=0的图象和二元一次方程x+y=3的图象的交点坐标　 　，由此可得二元一次方程组的解是　 　． 变式练习1：（1）请在如图的直角坐标系中作出y=2x+1，y=3x的图象； 利用你所画的图象，直接写出方程组的解． （2）已知，如图，方程组的解是（　　） A、 B、 C、 D （3）已知点P（x，y），现将它向左平移5个单位，再向下平移4个单位，得到点P′（﹣2y，﹣2x）． （1）为了求得点P和点P′的坐标，根据题意可列方程组为　 　； （2）请用图象法解这个方程组； （3）请写出点P和点P′的坐标． （4）在直角坐标系中，若一点的纵横坐标都是整数，则称该点为整点．设k为整数，当直线y=x-2与y=kx+k的交点为整点时，k的值可以取（　　） A、4个 B、5个 C、6个 D、7个 （5） 在直角坐标系中，直线与直线的交点坐标为（4，3）则方程组的解为 。 例2：如图，已知直线l1：y=3x+1与y轴交于点A，且和直线l2：y=mx+n交于点P（﹣2，a），根据以上信息解答下列问题： （1）求a的值； （2）不解关于x，y的方程组，请你直接写出它的解； （3）若直线l1，l2表示的两个一次函数都大于0，此时恰好x＞3，求直线l2的函数解析式． 变式练习2：（1）若方程组的解中，x是正数，y是非正数． 求k的正整数解； 在（1）的条件下求一次函数y=与坐标轴围成的面积． （2）在平面直角坐标系xOy中，对于点A（a，b）和B（a，b′），若b′=，则称点B′（a，b′）是点A（a，b）的“相伴点”．请你解决下列问题： （1）点（3，﹣2）的“相伴点”是　 　，点（，﹣1）的“相伴点”是　 　． （2）已知点C在函数y=﹣x+2的图象上， ①已知点C在函数y=﹣x+2（x≤﹣1）的图象上，则点C的“相伴点”C′在函数y=　 　的图象上； ②已知点C在函数y=﹣x+2（﹣2≤x≤m，m＞﹣2）的图象上，则点C的“相伴点”C′的纵坐标c′满足﹣4≤c′≤﹣1，求m的取值范围． 例3：如图，长方形OABC中，B（x，y）满足，点M在x轴的负半轴上，OM=2OA，P从A出发，沿射线AB方向以2单位/秒的速度运动，运动时间为t秒． （1）求点M的坐标； （2）设BP的长为y（y≠0），请用含有t的式子表示y； （3）连接MC，CP和MP，当t为何值时，三角形CMP的面积为9？ 变式练习3:在直角坐标系中，直线L1的解析式为y=2x-1，直线L2过原点且L2与直线L1交于点P（-2，a）． （1）试求a的值； （2）试问（-2，a）可以看作是怎样的二元一次方程组的解； （3）设直线L1与x轴交于点A，你能求出△APO的面积吗？试试看； （4）在直线L1上是否存在点M，使点M到x轴和y轴的距离相等？若存在，求出点M的坐标；不存在，说明理由． 例4:如图，已知：A、B分别是x轴上位于原点左、右两侧的点，点P（2，p）在第一象限，直线PA交y轴于点C（0，2），直线PB交y轴于点D，此时，S△AOP=6． （1）求P的值； （2）若S△BOP=S△DOP，求直线BD的函数解析式． 变式练习4:.在平面直角坐标系中，直线利用图像法解方程组与x轴交与点A，与y轴交与点B，点C（-2，0） （1）求； （2）过O作OD⊥BC交AB于D，求点D的坐标； （3）若直线与线段BD有交点，求k的取值范围。 课后作业 1、甲、乙两人解关于x，y的方程组，甲因看错a，解得，乙将其中一个方程的b写成了它的相反数，解得，求a、b的值． 2、已知关于x，y的方程组与同解，求的值． 3、已知关于x、y的方程组 （1）当x=y时，求a的值； （2）求代数式22x•4y的值； （3）若xy=1，求a的值． 4、如果方程组无解，则a为（　　） A．6 B．﹣6 C．9 D．﹣9 5、如图，直线y=﹣2x+6与直线y=mx+n相交于点M（p，4）． （1）求p的值； （2）直接写出关于x，y的二元一次方程组的解； （3）判断直线y=3nx+m﹣2n是否也过点M？并说明理由． 6、在直角坐标系中，直线l1经过（2，3）和（﹣1，﹣3），直线l2经过原点O，且与直线l1交于点P（﹣2，a）． （1）求a的值； （2）（﹣2，a）可看成怎样的二元一次方程组的解？ （3）设直线l1与y轴交于点A，你能求出△APO的面积吗？ 7、小亮家最近购买了一套住房，准备在装修时用木质地板铺设居室，用瓷砖铺设客厅，经市场调查得知，用这两种材料铺设地面的工钱不一样，小亮根据地面的面积，对铺设居室和客厅的费用（购买材料费和工钱）分别作了预算，通过列表，并用x（m2）表示铺设地面的面积，用y（元）表示铺设费用制成下图，请你根据图中所提供的信息，解答下列问题： （1）预算中铺设居室的费用为 元/m2；铺设客厅的费用为 元/m2； （2）表示铺设居室的费用y（元）与面积x（m2）之间的函数关系为 ； （3）已知在小亮的预算中，铺设1m2的瓷砖比铺设1m2的木质地板的工钱多5元，购买1m2的瓷砖是购买1m2木质地板费用的，那么铺设每平方米木质地板、瓷砖的工钱各是多少元？购买每平方米的木质地板、瓷砖的费用各是多少元？ 8、学校准备五一组织老师去隆中参加诸葛亮文化节，现有甲、乙两家旅行社表示对老师优惠，设参加文化节的老师有x人，甲、乙两家旅行社实际收费为y1、y2，且它们的函数图象如图所示，根据图象信息，请你回答下列问题： （1）当参加老师的人数为多少时，两家旅行社收费相同？ （2）当参加老师的人数为多少人时，选择甲旅行社合算？ （3）如果全共有50人参加时，选择哪家旅行社合算？ 9、如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC交于点C． （1）若直线AB解析式为y=-2x+12，直线OC解析式为y=x， ①求点C的坐标； ②求△OAC的面积． （2）如图2，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，△OAC的面积为6，且OA=4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$