第14讲 二元一次方程（组）及解法-2024-2025学年八年级数学上册（北师大版）

二元一次方程（组）及解法 教学目标：掌握二元一次方程（组）的定义及解得概念；掌握含参数的二元一次方程（组）的求解；掌握“代入消元”与“加减消元”解二元一次方程组。 教学重点：含参数的二元一次方程（组）；“代入消元”与“加减消元”解二元一次方程组。 教学难点：含参数的二元一次方程（组）；“代入消元”与“加减消元”灵活应用解二元一次方程组。 专题一：二元一次方程 知识点一：二元一次方程的定义 相关知识点内容 含有两个未知数，并且两个未知数项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．关于、的二元一次方程的一般形式：（且）．例如：，，，……都是二元一次方程。 判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件： ①方程两边的代数式都是整式——分母中不能含有字母。 例如：方程不是二元一次方程，因为它的左边不是整式。 ②有两个未知数——“二元”。 ③含有未知数的项的最高次数为1——“一次”。 例如：方程中含有两个未知数，且两个未知数的次数都是1，但是未知项“”的次数是2，所以它不是二元一次方程。 例1：下列方程①，②，③，④，⑤，⑥，⑦ ，⑧中，二元一次方程有 个。 变式练习1：下列方程为二元一次方程的有 . ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨ 例2：若是关于、的二元一次方程，且，，则的值是 . 变式练习2：（1）若是关于x，y的二元一次方程，其中，则 ． （2）若关于，的方程是二元一次方程，则的和为 . （3）方程是二元一次方程，则的取值范围为 . 方法总结：满足的四个条件：1、都是整式方程；2、只含有两个未知数；3、未知数的项最高次数都是一次；4、含有未知数的项的系数不为0. 知识点二：二元一次方程的解 相关知识点内容 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的一组取值叫做二元一次方程的解．在写二元一次方程解的时候我们用大括号联立表示． 如：方程的一组解为，表明只有当和同时成立时，才能满足方程． 一般的，二元一次方程都有无数组解，但如果确定了一个未知数的值，那么另一个未知数的值也就随之确定了． 例3：（1）下面几个数组中，哪个是方程+=19的一个解（ ）。 　A、 　　　　 B、 　　　　 C、 　　　　 D、 （2）求二元一次方程的所有非负整数解． 变式练习3：（1）二元一次方程有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是（ ）。 A． B． C． D． （2）当，满足方程，则_________. （3）若是方程的解，则 . （4）已知是关于、的二元一次方程的一组解，求的值． 方法总结：1)二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值；2）二元一次方程的解使方程左右两边相等；3）一般情况下，一个二元一次方程有无数多组解，但并不是说任意一对数值都是它的解，当对解有限制条件时，二元一次方程的解的个数为有限个。 专题二：二元一次方程组 知识点三：二元一次方程组的定义 相关知识点内容 由几个一次方程组成并且一共含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 说明：①由两个或两个以上的整式方程组成，常用“”把这些方程联合在一起； ②整个方程组中含有两个不同的未知数，且方程组中同一未知数代表同一数量； ③方程组中每个方程经过整理后都是一次方程。 如：和等都是二元一次方程组。特别地，和也是二元一次方程组． 例4：（1）下列方程组中，二元一次方程组的是 . ①；②；③；④；⑤；⑥； ⑦；⑧；⑨ （2）若方程组是关于、的二元一次方程组，则代数式的值是 . 变式练习4：（1）下列6个方程组中，是二元一次方程组的有（ ） ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 （2）方程组是关于x，y的二元一次方程组，则ab的值是　 　． （3）下列方程（组）中，①x+2=0 ②3x﹣2y=1 ③xy+1=0 ④2x﹣=1 ⑤⑥是一元一次方程的是　 　，是二元一次方程的是　 　，是二元一次方程组的是　 　． （4）已知方程组是二元一次方程组，则m=　 　． 例5：（1）夏季来临，某超市试销A、B两种型号的风扇，两周内共销售30台，销售收入5300元，A型风扇每台200元，B型风扇每台150元，问A、B两种型号的风扇分别销售了多少台？若设A型风扇销售了x台，B型风扇销售了y台，则根据题意列出方程组为（　　） A． B．C．D． （2）《九章算术》是中国传统数学名著，其中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛，2只羊，值金10两；2头牛，5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两？”若设每头牛、每只羊分别值金x两、y两，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． （3）现用190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，而一个盒身与两个盒底配成一个盒子，设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 变式练习5：（1）为了迎接体育中考，体育委员到体育用品商店购买排球和实心球，若购买2个排球和3个实心球共需95元，若购买5个排球和7个实心球共需230元，若设每个排球x元，每个实心球y元，则根据题意列二元一次方程组得（　　） A． B． C． D． （2）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（　　） A． B． C． D． （3）某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓50个或螺母20个，已知一个螺栓与两个螺母配成一套，设每天安排x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套．则所列的方程组是（　　） A． B． C． D． 方法总结：1）满足的三个条件：1、每个方程都是一次方程；2、方程组具有两个未知数；3、每个方程均为整式方程。2）方程组的各个方程中，相同字母必须代表同一数量，否则不能将两个方程合在一起，组成方程组。 知识点四：二元一次方程组的解 相关知识点内容 二元一次方程组中所有方程（一般为两个）的公共解叫做二元一次方程组的解． 注意：（1）二元一次方程组的解一定要写成联立的形式，如：方程组的解是． （2） 二元一次方程组的解必须同时满足所有方程，即将解代入方程组的每一个方程时，等号两边的值都相等． 如：因为能同时满足方程、，所以是方程组的解． 例6：（1）下列各组数中，_________是方程的解；_________是方程的解；________是方程组的解． ①．； ②．； ③．； ④． （2）方程组的解是（ ） A． B． C． D． 变式练习6：（1）下列方程中，与方程所组成的方程组的解是的是（ ） A． B． C． D． （2）二元一次方程组的解是（ ） （A） （B） （C） （D） 例7：（1）已知是方程组的解，则的值为_________． （2）已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为 . （3）若满足方程组的、的值相等，则＝_______． 变式练习7：（1）已知是二元一次方程组的解，则的值为 . （2）若方程组的解互为相反数，则k 的值为 。 （3）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则的值是（ ） A．1 B．3 C．5 D．2 （4）已知方程组的解为，则方程组的解是 ． 方法总结：1）二元一次方程组的解满足方程中的每一个方程；2）二元一次方程组需用大括号“”表示，方程组的解也要用大括号“”表示；3）一般常见的二元一次方程组有唯一解，但有的方程组有无数多组解，如，有的方程组无解，如. 专题三：二元一次方程组的解法 知识点五：消元思想 相关知识点内容 二元一次方程组中有两个未知数，如果能“消去”一个未知数，那么就能把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程． 这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做“消元”．使用“消元法”减少未知数的个数，使多元方程组最终转化为一元方程，再逐步解出未知数的值． 例8：（1）把方程写成用含的式子表示的形式，下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． （2）若，则与之间的关系式为_________． 变式练习8：（1）由方程组可得出与的关系式是 . （2）把方程写成用含的代数式表示的形式 . 知识点六：代入消元法 相关知识点内容 1、代入消元法的概念 将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做代入消元法． 2、用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤： ①等量代换：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如），用另一个未知数（如）的代数式表示出来，即将方程写成的形式； ②代入消元：将代入另一个方程中，消去，得到一个关于的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出的值； ④回代：把求得的的值代入中求出的值，从而得出方程组的解； ⑤把这个方程组的解写成的形式． 例9：（1）解方程组 把①代入②可得 . （3） 用“代入消元法”解方程组时，可先将第 方程（填序号即可）变形为 ，然后再代入． 变式练习9：（1）用代入法解方程组 较为简便的方法是（ ）② ① A．先把①变形 B．先把②变形 C．可先把①变形，也可先把②变形 D．把①、②同时变形 （2）用代入消元法解二元一次方程组的集体步骤如下： （1）由①得 （2）将③代入①，得 （3）去括号，得 （4）即 由于取任何数时，④式均成立，所以原方程组有无数个解。其中，在解题过程中，开始出现错误的步骤是（ ） A、（1） B、（2） C、（3） D、（4） 例10：用代入消元法解下列二元一次方程组： （1） （2） 变式练习10：（1） （2） 例11：用代入消元法解下列二元一次方程组： （1） （2） 变式练习11：用代入消元法解下列二元一次方程组： （1） （2） 方法总结：①编号：将方程组进行编号； ②变形：从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； ③代入：将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； ④求（或）：解这个一元一次方程，求出（或）的值； ⑤求（或）：把（或）的值代入（或）中，求出（或）的值； ⑥联立：用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解。 知识点七：加减消元法 相关知识点内容 1、加减消元法的概念 当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法． 2、用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： ①变换系数：利用等式的基本性质，把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等； ②加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； ④回代：将求出的未知数的值代入原方程组的任何一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤把这个方程组的解写成的形式． 例12：（1）方程组中，n的系数的特点是 ，所以我们只要将两式 ，�就可以消去未知数，化成一个一元一次方程，达到消元的目的． （2）用加减法解时，将方程①两边乘以 ，�把方程②两边乘以 ，可以比较简便地消去未知数 ． 变式练习12：（1）用加减法解方程组时，要使方程中同一个未知数的系数相等或互为相反数，必须适当变形，以下四种变形正确的是（ ） A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（4）（1） （2）对于方程组而言，你能设法让两个方程中x的系数相等吗？你的方法是 ；若让两个方程中y的系数互为相反数，你的方法是 ． （3）解二元一次方程组正确的消元方法是（ ） A．，消去 B．，消去 C．，消去 D．，消去 （4）用加减法解下列方程时，你认为先消哪个未知数较简单，填写消元的过程． 1、 消元方法 ．2、 消元方法 ． 例13：用加减消元法解下列二元一次方程组： （1） （2） （3） （4） 变式练习13：用加减消元法解下列二元一次方程组： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 方法总结：①编号：将方程组进行编号； ②系数绝对值相等：根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ③相加（或相减）：根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ④求值：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ⑤求另值：把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑥联立：用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解。 课后作业 1、下列各式是二元一次方程的是（ ） A． B． C． D． 2、若是关于x、y的二元一次方程，那么、的值分别是（ ） A． B． C． D． 3、二元一次方程组的解是（ ） A． B． C． D． 4、由，可以得到用表示的式子为________________. 5、解下列方程： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$