第13讲 一次函数实际应用-2024-2025学年八年级数学上册（北师大版）

一次函数的实际应用 教学目标： 1、能通过函数图象获取信息，发展形象思维，培养学生的数形结合意识； 2、根据函数图象解决简单的实际问题，发展学生的数学应用能力； 3、初步体会方程与函数的关系。 教学重点： 1、建立函数模型； 2、灵活运用数学模型解决实际问题. 教学难点：灵活应用数学模型解决实际问题 考点一：行程问题 行程问题的数量关系：速度=路程÷时间，路程=速度×时间 时间=路程÷速度 例1.小兰和小琳约好在公共汽车站一起乘车去博物馆，小兰从家出发步行到车站，等小琳到了以后两人一起乘公共汽车到博物馆．图中的折线表示小兰距离博物馆的路程与所用时间之间的函数关系，下列说法错误的是（　　） A．小兰从家到公共汽车站步行了1km B．小兰在公共汽车站等汽车用了15min C．公共汽车的平均速度为30kmh D．小兰和小琳乘公共汽车用了55min 解题方法：此类问题主要考察利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一． 变式练习1：甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，设甲、乙两人之间的距离为s（单位：千米），甲行驶的时间为t（单位：小时），s与t之间的函数关系如图所示，有下列结论： 出发1小时时，甲、乙在途中相遇； 出发1.5小时时，乙比甲多行驶60千米； 出发3小时时，甲、乙同时到达终点； ④甲的速度是乙速度的一半， 其中正确结论的个数是 （ ） A.4 B.3 C.2 D.1 例2.快、慢两车分别从相距480千米路程的甲、乙两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，途中慢车因故停留1小时，然后以原速继续向甲地行驶，到达甲地后停止行驶；快车到达乙地后；立即按原路返回甲地（快车掉头的时间忽略不计），快、慢两车距乙地的路程y（千米）与所用时间x(小时)之间的函数图像如图，请结合图像信息解答下列问题： （1）直接写出慢车的行驶速度和a的值； （2）快车与慢车第一次相遇时，距离甲地的路程是多少千米？ （3）两车出发后几小时相距的路程为200千米？ 变式练习2：（1）小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前进，小明后出发。加到公园的距离为2500m，如图是小明和爸爸所走的路程s（m）与步行时间t（min）的函数图像。 直接写出小明所走的路程s与时间t的函数关系式 小明出发多少时间与爸爸第三次相遇？ 在速度不变的情况下，小明希望比爸爸早20min到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需作怎样的调整？ （2）A、B两城间的公路长为450千米，甲、乙两车同时从A城出发沿这一公路驶向B城，甲车到达B城1小时后沿原路返回．如图是它们离A城的路程y（千米）与行驶时间 x（小时）之间的函数图象． 求甲车返回过程中y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域； 乙车行驶6小时与返回的甲车相遇，求乙车的行驶速度． （3）小丽驾车从甲地到乙地．设她出发第时的速度为，图中的折线表示她在整个驾车过程中与之间的函数关系． 小丽驾车的最高速度是多少； 当20≤x≤30时，求与之间的函数关系式，并求出小丽出发第22时的速度； 如果汽车每行驶100km耗油10L，那么小丽驾车从甲地到乙地共耗油多少升？ 考点二：销售与最大利润问题 售价=定价，利润=售价-成本，利润率= 例3. 某加油站五月份营销一种油品的销售利润y（万元）与销售量x（万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元（销售利润＝（售价－成本价）×销售量）．请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题： （1）求销售量x为多少时，销售利润为4万元； （2）分别求出线段AB与BC所对应的函数关系式； （3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在OA、AB、BC三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案） 变式训练3：（1）某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元． 1、求每台A型电脑和B型电脑的销售利润； 2、该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． ①求y关于x的函数关系式； ②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ 3、实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（0＜m＜100）元，且限定商店最多购进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及2中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案． （2）某商场计划采购甲、乙、丙三种型号的“格力”牌空调共25台．三种型号的空调进价和售价如下表： 种类 价格 甲 乙 丙 进价（元/台） 1600 1800 2400 售价（元/台） 1800 2050 2600 商场计划投入总资金5万元，所购进的甲、丙型号空调数量相同，乙型号数量不超过甲型号数量的一半．若设购买甲型号空调x台，所有型号空调全部售出后获得的总利润为W元． 1、求W与x之间的函数关系式． 2、商场如何采购空调才能获得最大利润？ 3、由于原材料上涨，商场决定将丙型号空调的售价提高a元（a≥100），其余型号售价不变，则商场又该如何采购才能获得最大利润？ （3）某酒厂每天生产A、B两种品牌的白酒共600瓶，A、B两种品牌的白酒每瓶的成本和利润如下表： A B 成本（元/瓶） 50 35 利润（元/瓶） 20 15 设每天生产A种品牌白酒x瓶，每天获利y元。 1、 请写出y关于x的函数关系式 2、 如果该酒厂每天至少投入成本26400元，那么每天至少获利多少元？ 考点三：分段函数问题 例4、下列四种说法： ①加油前油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）的函数关系是； ②途中加油21升；③汽车加油后还可以行驶4小时；④汽车到达乙地时油箱中还余油6升。其中正确的个数是（ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 变式练习4、（1）为了响应国家节能减排的号召，鼓励市民节约用电，我市从2012年7月1日起，居民用电实行“一户一表”的“阶梯电价”，分三个档次收费，第一档是用电量不超过180千瓦时实行“基本电价”，第二、三档实行“提高电价”，具体收费情况如折线图，请根据图象回答下列问题： 1、 当用电量是180千瓦时时，电费是__________元； 2、 第二档的用电量范围是___________ ； 3、“基本电价”是__________元/千瓦时； 4、小明家8月份的电费是328.5元，这个月他家用电多少千瓦时？ （2）随着地球上的水资源日益枯竭，各级政府越来越重视倡导节约用水，某市民生活用水按“阶梯水价”方式进行收费，人均生活用水收费标准如图所示，图中x表示人均生活用水的吨数，y表示收取的人均月生活用水费（元），请根据图像信息，回答下列问题： 1、该市人均月生活用水的收费标准是：不超过5吨，每吨按元收取；超过5吨的部分，每吨按元收取； 2、请写出y与x的函数关系是； 3、若某个家庭有5人，五月份的生活用水费共76元，则该家庭这个月用了多少吨生活用水。 考点四：方案择优问题 例5、某通讯公司提供了两种移动电话收费方式：方式1，收月基本费20元，再以每分钟0.1元的价格按通话时间计费；方式2，收月基本费20元，送80分钟通话时间，超过80分钟部分，以每分钟0.15元的价格计费。下列结论： ①如图描述的是方式1的收费方法；②若月通话时间少于240分钟，选择方式2省钱；③若月通讯费为50元，则方式1比方式2的通话时间多；④若方式1比方式2的通讯费多10元，则方式1比方式2的通话时间多100分钟；其中正确的是（ ） A、 只有①② B、只有③④ C、只有①②③ D、①②③④ 变式练习5：（1）手机的月收费两种方案如表所示（通话计费以分钟为计时单位；若通话费用不超过基本话费，则按基本话费缴费）． 方案 每月固定费用 通话费用计算方法 月租费 基本话费 在基本话费内 超出基本话费部分 A 50元 78元 0.4元/分钟 0.2元/分钟 B 无 39.6元 0.6元/分钟 0.4元/分钟 1、写出方案A中每月的总费用y（元）关于通话时间x（分钟）的函数关系式； 2、若某人在一个月内的通话时间总计为a分钟，应选择哪种方案总费用较低？ （2）某超市计划购进一批甲、乙两种玩具，已知5件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为231元，2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为141元。 1、求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？ 2、如果购进甲种玩具具有优惠，优惠方法是：购进甲种玩具超过20件，超出部分享受7折优惠，若购进x（）件甲种玩具需要花费y元，请你求出y与x的函数关系是； 3、在2的条件下，超市决定在甲、乙两种玩具中选购其中一种，且数量超过20件，请你帮助超市判断购进那种玩具省钱。 （3）某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有甲、乙两家印刷社，制作此种宣传单的收费标准如下： 甲印刷社收费y（元）与印制数x（张）的函数关系如下表： 印制x（张） ... 100 200 300 ... 收费y（元） ... 15 30 45 ... 乙印刷社收费方式：500张以内（含500张），按每张0.20元收费；超过500张部分，按每张0.10元收费。 1、根据表中规律，写出甲印刷社收费y（元）与印数x（张）的函数关系式； 2、若该小组在甲、乙两家印刷社共印制400张宣传单，用去65元，问甲、乙两家印刷社各印多少张？ 3、活动结束后，市民反映良好，兴趣小组决定再加印800张宣传单，若在甲、乙两家印刷社中选一家，兴趣小组应选择哪家印刷社比较划算。 考点六：动点问题 例6.已知在平面直角坐标系中，一次函数（k、b都是常数，且）的图像经过点（1,0）、（0,2）。 （1）当时，求y得取值范围； （2）当点P（m,n）在该函数的图像上，且，求点P的坐标。 变式练习6：（1）已知直线与轴、轴分别交于点A、B，以直线AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，∠ABC=90°，且点P（1，a）为直角坐标系中的一个动点。 1.求△ABC的面积； 2.请说明无论a取任何实数，三角形BOP的面积是一个常数； 3.要使得△ABC和△ABP的面积相等，求实数a的值。 （2）如图，矩形AOBC，点A、B分别在x轴、y轴上，对角线AB、OC交于点D，点C（，1），点M是射线OC上一动点。 1.求证：△ACD是等边三角形 2.若△OAM是等腰三角形，求点M的坐标。 3.若点N是OA上的动点，求MA+MN是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由。 课后练习 1、某气象研究中心观测一场沙尘暴从发生到结束全过程，开始时风暴平均每小时增加2千米/时，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米/时，一段时间，风暴保持不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，其风速平均每小时减小1千米/时，最终停止．结合风速与时间的图象，回答下列问题： （1）在y轴（ ）内填入相应的数值； （2）沙尘暴从发生到结束，共经过多少小时？ （3）求出当x≥25时，风速y（千米/时）与时间x（小时）之间的函数关系式； （4）若风速达到或超过20千米/时，称为强沙尘暴，则强沙尘暴持续多长时间？ 2、某家店生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家店产品每台所需工时和每台产值如表： 家店名称 空调器 彩电 冰箱 工时 产值（千元） 4 3 2 问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台才能使产值最高？最高产值多少（以千元为单位） 3、如图是某出租车单程收费y（元）与行驶路程x（千米）之间的函数关系图象，根据图象回答下列问题： （1）当行驶8千米时，收费应为_______________元； （2）从图象上你能获得哪些信息（请写出2条）； ①___________________________________________________________； ②___________________________________________________________； （3）求出收费y（元）与行使x（千米）（x≥3）之间的函数关系式． 4.如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A（a，0），B（m，n），C（p，n），其中m＞p＞0，n＞0，点A，C在直线y=﹣2x+10上，AC=2，OB平分∠AOC． （1）求△OAC的面积； （2）求证：四边形OABC是菱形； （3）射线OB上是否存在点P，使得△PAC为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$