第12讲 一次函数几何综合-2024-2025学年八年级数学上册（北师大版）

一次函数几何综合 教学目标： 1、能根据信息写出一次函数表达式，并使学生深入理解一次函数图象和性质，并能进一步提升自己应用的能力； 2、熟悉用两个条件确定一次函数表达式的方法； 3、利用函数图像和其他知识解决一些常见的几何图形问题。通过典型习题的分析，使学生进一步体会函数中涉及的“函数的方法”、“数形结合”、“方程思想”、“分类思想”以及“待定系数法”求解析式的方法。 教学重点：一次函数的综合应用 教学难点：在理解的基础上结合本章渗透的数学思想和学到的数学方法分析、解决问题。 考点一：一次函数中交点、面积问题 相关知识内容 1、求两直线的交点坐标 求两条直线、的交点坐标的方法是解方程组，求得的的值即分别为两条直线的交点的横坐标、纵坐标. 解题方法： 2、已知解析式求面积 （1）如果三角形有一边在坐标轴上（或平行于坐标轴），直接用面积公式求面积． （2）如果三角形任何一边都不在坐标轴上，也不平行于坐标轴，则需分割为几个有边在坐标轴上的三角形面积之和（或差）． （3）不规则四边形面积常转化为若干个三角形面积或特殊四边形面积之和（或差）． 3、已知面积求点坐标或解析式：注意分类讨论点坐标的个数或解析式的个数，做到不重不漏。 一、一次函数中交点、面积问题 例1:如图，在直角坐标系中，O是坐标原点，直线CD分别与轴和轴交于D、C两点，D、C两点的位置如图所示，直线AB分别与轴和轴交于A、B两点，且与直线CD交于点E． （1）求直线CD的解析式； （2）若点A、D关于轴对称，OC=3BC，求四边形AOCE的面积． 变式练习1:如图，点A（1，3）、点B（m，1）是一次函数y=﹣x+b的图象上的两点，一次函数y=﹣x+b图象与x轴交于点D． （1）b=　 　，m=　 　； （2）过点B作直线l垂直于x轴，点E是点D关于直线l的对称点，点C是点A关于原点的对称点．试判断点B、E、C是否在同一条直线上，并说明理由． （3）连结AO、BO，求△AOB的面积． 例2:如图，已知直线与轴、轴分别交于点A和点B，另已知直线经过点C（1，0），且把△AOB分成两部分． （1）若△AOB被分成的两部分面积相等，求和的值； （2）若△AOB被分成的两部分面积比为1：5，求和的值． 变式练习2:在如图所示的直角坐标系中，O为原点，直线与轴、轴分别交于A、B两点，且点B的坐标为（0，8）． （1）求的值； （2）设直线OP与线段AB相交于P点，且，试求点P的坐标． 例3:如图，直线的解析表达式为：，且与轴交于点D，直线经过点A，B，直线，交于点C． （1）求点D的坐标； （2）求直线的解析表达式； （3）求△ADC的面积； （4）在直线上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，请直接写出点P的坐标． 变式练习3:如图，直线与轴、轴分别交于E，F，点E坐标为（-8，0），点A的坐标为（-6，0），P（x，y）是直线上的一个动点． （1）求的值； （2）当点P在第二象限内运动过程中，试写出三角形OPA的面积与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）探究：当P运动到什么位置时，三角形OPA的面积为，并说明理由． 例4:如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与直线OA相交于点A（4，2），动点M在线段OA和射线AC上运动． （1）求直线AB的解析式． （2）求△OAC的面积． （3）是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的？若存在求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由． 变式练习4: 1、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． （1）求AB的长和点C的坐标； （2）求直线CD的解析式； （3）y轴上是否存在一点P，使得S△PAB=，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2、如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点C在y轴上，点B在x轴上，点A在第一象限，AC⊥AB，且AC=AB，设OB=a，OC=b，且a+b=10． （1）如图1，求直线OA的解析式； （2）如图2，连接BC交OA于点D，当a=2时，求△ABD的面积； （3）如图2，如果△ACB的顶点C、B在y轴、x轴上自由滑动（点B、C不与点O重合），当△BOC面积最大时，求线段AC的长及△BOC的最大面积． 考点二:一次函数中动点问题 相关知识内容 解答此类问题的策略可以归纳为三步：“看”、“写”、“选”。 (1)“看”就是认真观察几何图形，彻底弄清楚动点从何点开始出发，运动到何点停止，整个运动过程分为不同的几段，何点(时刻)是特殊点(时刻)，这是准确解答的前提和关键。 (2)“写”就是计算、写出动点在不同路段的函数解析式，注意一定要注明自变量的取值范围，求出在特殊点的函数数值和自变量的值。 (3)“选”就是根据解析式选择准确的函数图像或答案，多用排除法。首先，排除不符合函数类形的图像选项，其次，对于相同函数类型的函数图像选项，再用自变量的取值范围或函数数值的最大和最小值进行排除，选出准确答案。 例5:如图，直线OC、BC的函数关系式分别为和，动点P（，0）在OB上移动（），过点P作直线与轴垂直． （1）求点C的坐标； （2）设△OBC中位于直线左侧部分的面积为，写出与之间的函数关系式； （3）当为何值时，直线平分△OBC的面积？ 变式练习5:已知如图，直线与x轴相交于点A，与直线相交于点P． （1）求点P的坐标； （2）求的值； （3）动点E从原点O出发，沿着O→P→A的路线向点A匀速运动（E不与点O、A重合），过点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B．设运动t秒时，F的坐标为（a，0），矩形EBOF与 △OPA重叠部分的面积为S．求：S与a之间的函数关系式 例6:如图①，在长方形ABCD中，AB=30cm，BC=60cm．点P从点A出发，沿A→B→C→D路线向点D匀速运动，到达点D后停止；点Q从点D出发，沿D→C→B→A路线向点A匀速运动，到达点A后停止．若点P、Q同时出发，在运动过程中，Q点停留了1s，图②是P、Q两点在折线AB-BC-CD上相距的路程S（cm）与时间t（s）之间的函数关系图象． （1）请解释图中点H的实际意义？ （2）求P、Q两点的运动速度； （3）将图②补充完整； （4）当时间t为何值时，△PCQ为等腰三角形？请直接写出t的值． 变式练习6:如图①，在长方形ABCD中，AB=10，BC=8，点P从A出发，沿A→B→C→D路线运动，到D停止；点Q从D出发，沿D→C→B→A路线运动，到A停止．若点P、点Q同时出发，点P的速度为每秒1，点Q的速度为每秒2，秒时点P、点Q同时改变速度，点P的速度变为每秒，点Q的速度变为每秒．图②是点P出发秒后△APD的面积（）与（秒）的函数关系图象；图③是点Q出发秒后△AQD的面积（）与（秒）的函数关系图象． （1）参照图②，求、及图②中的值； （2）求的值； （3）设点P离开点A的路程为（），点Q到点A还需走的路程为（），请分别写出动点P、Q改变速度后、与出发后的运动时间（秒）的函数关系式，并求出P、Q相遇时的值； （4）当Q出发 秒时，点P、点Q在运动路线上相距的路程为25． 考点三:一次函数中存在性问题 相关知识内容 这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。 由于“存在性”问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验 例7:（构造全等三角形）如图：直线y=kx+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，，点 C（x，y）是直线y=kx+3上与A、B不重合的动点． （1）求直线y=kx+3的解析式； （2）过点C的另一直线CD与y轴相交于D点，是否存在点C使△BCD与△AOB全等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 变式练习7: 1、如图，直线L：与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点C（0，4），动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．当t为何值时△COM≌△AOB，并求此时M点的坐标． 2、如图，直线l1：y=kx+与x轴、y轴分别相交于A、B两点，直线l2：y=﹣2x+b与x轴、y轴、直线l1分别相交于点C、D、P．已知点A的坐标为（6，0），点D的坐标为（0，6），点M是x轴上的动点，是否存在以点M、O、D为顶点的三角形与△AOB全等？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 例8:（构造等腰三角形）如图，直线与坐标轴分别交于点A、B，与直线交于点C，线段OA上的点Q以每秒1个长度单位的速度从点O出发向点A作匀速运动，运动时间为t秒，连结CQ． （1）求出点C的坐标； （2）若△OQC是等腰三角形，求t的值； 变式练习8： 1、如图，将边长为4的正方形纸片，置于平面直角坐标系内，顶点A在坐标原点，AB在x轴正方向上，E、F分别是AD、BC的中点，M在DC上，将△ADM沿折痕AM折叠，使点D折叠后恰好落在EF上的P点处． （1）求点M、P的坐标； （2）求折痕AM所在直线的解析式； （3）设点H为直线AM上的点，是否存在这样的点H，使得以H、A、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 2、如图，已知在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=kx与一次函数y=﹣x+b的图象相交于点A（4，3）．过点P（2，0）作x轴的垂线，分别交正比例函数的图象于点B，交一次函数的图象于点C，连接OC． （1）求这两个函数解析式； （2）在坐标轴上是否存在点M，使△AOM是以OA为腰的等腰三角形？若有，直接写出M点的坐标；若没有，请说明理由． 3、如图，直线l1：y1=﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P（m，3）为直线l1上一点，另一直线l2：y2=x+b过点P． （1）求点P坐标和b的值； （2）若点C是直线l2与x轴的交点，动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动．设点Q的运动时间为t秒,是否存在t的值，使△APQ为等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 例9:（构造直角三角形）：如图，在平面直角坐标系，直线与x轴、y轴分别相交于A、D两点，点B在y轴上，现将△AOB沿AB翻折180°，使点O刚好落在直线AD的点C处．在y轴上是否存在点M，使△MAC为直角三角形？若存在，请写出所有符合条件的点M的坐标，并选择一个写出其求解过程；若不存在，简述理由． 变式练习9: 1、如图所示平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点B的坐标为（4，8），若一次函数的图象平分长方形OABC的面积． （1）求一次函数的解析式； （2）求（1）中一次函数与长方形的交点坐标； （3）设点D（-1，0），在一次函数图象上求一点P，使△ADP为直角三角形，求点P坐标． 2、如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与直线OA相交于点A（4，2），动点M在y轴上运动． （1）求直线AB的函数解析式； （2）动点M在y轴上运动，使MA+MB的值最小，求点M的坐标； （3）在y轴的负半轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由． 例10:（构造等腰直角三角形）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点A，另有一直线平行于轴，分别交线段OA、BA于M、N两点，则在轴上是否存在一点R，使得△RMN为等腰直角三角形？若存在，求出R点的坐标；若不能，请说明理由． 变式练习10: 1、如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（-4，0），点B的坐标是（0，b）（b＞0）．P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P′（点P′不在y轴上），连接PP′，P′A，P′C．设点P的横坐标为a． （1）当b=3时， ①求直线AB的解析式； ②若点P′的坐标是（-1，m），求m的值； （2）若点P在第一象限，记直线AB与P′C的交点为D．当PP′：AC=1：3时，求a的值； （3）是否同时存在a，b，使△P′CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a，b的值；若不存在，请说明理由． 2、在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，且点C的坐标为（4，﹣4）． （1）点A的坐标为　 　，点B的坐标为　 　；（用含b的式子表示） （2）当b=4时，如图所示．连接AC，BC，判断△ABC的形状，并证明你的结论； （3）过点C作平行于y轴的直线l2，点P在直线l2上．当﹣5＜b＜4时，在直线l1平移的过程中，若存在点P使得△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点P的纵坐标． 3、在平面直角坐标系xOy中，点C坐标为（6，0），以原点O为顶点的四边形OABC是平行四边形，将边OA沿x轴翻折得到线段OA′，连接A′B交线段OC于点D． （1）如图1，当点A在y轴上，且A（0，﹣2）时． ①求A′B所在直线的函数表达式； ②求证：点D为线段A′B的中点． （2）如图2，当∠AOC=45°时，OA′，BC的延长线相交于点M，试探究的值，并写出探究思路． 考点四：一次函数中的最值问题 例11：如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD，过点D作DE⊥x轴，垂足为E． （1） 求点A、B的坐标，并求边AB的长； （2）求点D的坐标； （2） 你能否在x轴上找一点M，使ΔMDB的周长最小？如果能，请求出M点的坐标，如果不能，请说明理由． 变式练习11：已知四边形OABC是边长为4的正方形，分别以OA、OC所在的直线为x轴、y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系，直线经过A、C两点． （1）求直线的函数表达式； （2）若P是直线上的一个动点，请直接写出当△OPA是等腰三角形时点P的坐标； （3）如图2，若点D是OC的中点，E是直线上的一个动点，求使OE+DE取得最小值时点E的坐标． 例12：如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣x+4的图象与x轴和y轴分别相交于A、B两点．动点P从点A出发，在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O停止运动，点A关于点P的对称点为点Q，以线段PQ为边向上作正方形PQMN．设运动时间为t秒． （1）当t=秒时，点Q的坐标是　 　； （2）在运动过程中，设正方形PQMN与△AOB重叠部分的面积为S，求S与t的函数表达式； （3）若正方形PQMN对角线的交点为T，请直接写出在运动过程中OT+PT的最小值． 变式练习12:如图，平面直角坐标系中，直线y=﹣x+与x轴、y轴分别相交于点B、C．点A在第一象限，且AC⊥y轴于点C，AC=3，连接OA交BC于点H，连接AB，点P从点C出发以每秒1个单位长度的速度沿射线CB匀速运动，设运动时间为t秒． （1）填空：OB=　 　，OP+AP的最小值是　 　． （2）当点P运动到BC中点时，求OP+AP的值； （3）当OP+AP=4时，直接写出t的值． 综合培优： 1、如图，已知直线与直线相交于点F，分别交x轴于点E、G，矩形ABCD顶点C、D分别在直线，顶点A、B都在x轴上，且点B与点G重合。 （1）求点F的坐标和∠GEF的度数； （2）求矩形ABCD的边DC与BC的长； （3）若矩形ABCD从原地出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t（0≤t≤6）秒，矩形ABCD与△GEF重叠部分的面积为s，求s关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围。 2、已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在x轴的负半轴上，直线y=﹣x+与x轴、y轴分别交于B、C两点，四边形ABCD为菱形． （1）如图1，求点A的坐标； （2）如图2，连接AC，点P为△ACD内一点，连接AP、BP，BP与AC交于点G，且∠APB=60°，点E在线段AP上，点F在线段BP上，且BF=AE，连接AF、EF，若∠AFE=30°，求AF2+EF2的值； （3）如图3，在（2）的条件下，当PE=AE时，求点P的坐标． 3、如图①所示，直线L：y=mx+5m与x轴负半轴，y轴正半轴分别交于A、B两点． （1）当OA=OB时，求点A坐标及直线L的解析式； （2）在（1）的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=，求BN的长； （3）当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，如图③． 问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由． 4、如图1，四边形ABCD是正方形，点A、B分别在两条直线y=﹣2x和y=kx上，点C、D是x轴上两点． （1）若正方形ABCD的边长为2，试求k的值； （2）若正方形ABCD的边长为m，则k的值是否会发生变化？若不会发生变化，请说明理由；若发生变化，试求出k的值； （3）如图2，在（1）的条件下直线y=kx沿y轴向下平移得到直线l：y=ax+b，使直线1经过点C，点P是直线l上的一个动点，当|PA﹣PB|的值最大时，求点P的坐标． 课后作业 1、如图，已知直线l：y=kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴交于A、B两点，A（﹣2，0），B（0，1）． （1）求直线l的函数表达式； （2）若P是x轴上的一个动点，请直接写出当△PAB是等腰三角形时P的坐标； （3）在y轴上有点C（0，3），点D在直线l上，若△ACD面积等于4，求点D的坐标． 2、如图，平面直角坐标系中，直线AB：y=﹣x+b交y轴于点A，交x轴于点B，S△AOB=8． （1）求点B的坐标和直线AB的函数表达式； （2）直线a垂直平分OB交AB于点D，交x轴于点E，点P是直线a上一动点，且在点D的上方，设点P的纵坐标为m． ①用含m的代数式表示△ABP的面积； ②当S△ABP=6时，求点P的坐标； ③在②的条件下，在坐标轴上，是否存在一点Q，使得△ABQ与△ABP面积相等？若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 3、如图：一次函数y=﹣x+3的图象与坐标轴交于A、B两点，点P是函数y=﹣x+3（0＜x＜4）图象上任意一点，过点P作PM⊥y轴于点M，连接OP． （1）当AP为何值时，△OPM的面积最大？并求出最大值； （2）当△BOP为等腰三角形时，试确定点P的坐标． 4、如图，直线L：y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点N（0，4），动点M从A点以每秒1个单位的速度匀速沿x轴向左移动． （1）点A的坐标：　 　；点B的坐标：　 　； （2）求△NOM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式； （3）在y轴右边，当t为何值时，△NOM≌△AOB，求出此时点M的坐标； （4）在（3）的条件下，若点G是线段ON上一点，连结MG，△MGN沿MG折叠，点N恰好落在x轴上的点H处，求点G的坐标． 5、如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10 OC=8．在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处 （1）求CE和OD的长； （2）求直线DE的表达式； （3）直线y=kx+b与DE平行，当它与矩形OABC有公共点时，直接写出b的取值范围． - 15 - 学科网（北京）股份有限公司 $$