第11讲 一次函数的图像与性质-2024-2025学年八年级数学上册（北师大版）

一次函数的图像与性质 教学目标: 1、在认识一次函数图象的基础上，探索一次函数y=kx+b(k≠0)的性质。 2、观察图象，体会一次函数k、b的取值和图象的关系，提高数形结合的思想。  教学重点: 比较和观察一次函数的图象，总结出一次函数的性质，并会加以运用。逐步培养学生从特殊到一般、数形结合等数学思想。 教学难点: 一次函数性质的探索、语言的准确描述、归纳总结及应用 考点一:函数及函数图像 相关知识点内容 1、函数图象、由函数解析式画出图象的一般步骤 函数图象：把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。 由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线. 2、正比例函数、一次函数的图象 （1）正比例函数的图象是过原点和（1，___）两点的______线； （2）一次函数的图象是过点(0，____)、(____，0)的______线； （3）一次函数的的值对一次函数图象的影响. y y y y o x o x o x o x 1. 　　　　　　　②　　　　　　　③　　　　　　　④ 1. k﹥0,b﹥0, 的图象在____________象限； 1. k﹥0,b﹤0, 的图象在____________象限； 1. k﹤0,b﹥0, 的图象在____________象限； 1. k﹤0,b﹤0, 的图象在____________象限. 3、正比例函数、一次函数的性质 （1）正比例函数是特殊的一次函数，当k>0时，图象过______象限，y随x的增大而______；当k<0时，图象过_______象限；y随x的增大而______. 越大直线越靠近轴，越小直线越靠近轴. （2）一次函数的图象平行于直线，可由它向上或向下平移个单位得到（b为正向上平移，b为负向下平移）。 例1：如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①，②，③，将从小到大排列并用“＜”连接为 ． 例1图 变式练习图 解题套路归纳：越大直线越靠近轴，越小直线越靠近轴. 变式练习1：如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数、、、的图象分别为，则下列关系中正确的是（　　） A、 B、 C、 D、 例2：函数在直角坐标系中的图象可能是（　　） （A） （B） （C） （D） 解题套路归纳：理清楚值和值的正负对函数图像的影响。 变式练习2： （1）若实数满足，且，则函数的图象可能是（　　） （A） （B） （C） （D） （2）下列函数中，随的增大而减小的函数是（　　） A、 B、 C、 D、 例3：如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（2，m），B（n，3），那么一定有（　　） A、m>0,n>0 B、m>0,n<0 C、m<0,n>0 D、m<0,n<0 解题套路归纳：画出函数图像分类讨论。 变式练习3：，是正比例函数图象上的两点，则下列判断正确的是（　　） A、 B、 C、当时， D、当时， 例4：点（-3，y1）,（2，y2）是直线y=4x+2上的两点，则y1_____________y2(填“>”“=”或“<”) 变式练习4：点（-3，y1），（2，y2）是直线y=-x+1上的两点，则y1__________________y2(填“>”“=”或“<”) 例5：已知一次函数． （1）为何值时，函数图象经过原点？ （2）为何值时，函数图象过点A（0，3）？ （3）为何值时，函数图象平行于直线？ 变式练习5：已知一次函数． ①当取何值时，y随x的增大而增大？ ②当取何值时，函数图象经过坐标系原点？ ③当取何值时，函数图象不经过第四象限？ 考点二、函数的交点、平移问题 相关知识点内容 1、一次函数图象与x、y轴的交点坐标 一次函数y=kx+b（k≠0且k，b为常数）的图象是一条直线。它与x轴的交点坐标是 （，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）。直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b． 2、两直线的交点坐标 求两条直线、的交点坐标的方法是解方程组，求得的的值即分别为两条直线的交点的横坐标、纵坐标. 3、一次函数的平移 上下平移： 左右平移： 一次函数的平移规律可以简记为：“左加右减、上加下减”、“左右平移针对、上下平移针对” 4、补充 （1）直线（）和直线（） 当∥时，，且 当与有交点时， 当重合时，，且 当时， （2）的绝对值大小决定直线的倾斜程度：当时，直线与轴所夹锐角为45°；当时与轴所夹锐角小于45°；当时与轴所夹锐角大于45°；时与轴所夹锐角为30°，时，直线与轴所夹锐角为60°． （3）若直线与直线关于 1　 轴对称，则直线的解析式为； 2　 轴对称，则直线的解析式为； 3　 原点对称，则直线的解析式为； 4　 直线对称，则直线的解析式为：； 5　 直线对称，则直线的解析式为：． 例6：将直线向右平移3个单位，再向上平移1个单位，求平移后的直线的解析式． 解题套路归纳：一次函数的平移规律可以简记为：“左加右减、上加下减”、“左右平移针对、上下平移针对” 变式练习6： （1） 直线，分别由直线经过怎样的移动得到？ （2） 直线经过怎样的平移得到？ （3） 直线向右平移2个单位，再向下平移3个单位，求平移后的直线解析式． （4）如图，把直线L向上平移2个单位得到直线，则的表达式为（　　） A、 B、 C、 D、 变式练习6（4）图 例7图 例7：如图，点A的坐标为（-1，0），点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（　　） A、（0，0） B、 C、 D、 变式练习7：如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，4），直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点M是直线AB上的一个动点，则PM长的最小值为_________(提示：连接PA,用面积法获得P到直线AB的距离) 例8：若函数y=kx-b的图像如图所示，则关于x的不等式kx-b<0的解集为_______. 例8图 变式练习8图 变式练习8：函数y=kx+b的图像如图所示，则关于kx+b>0的解集是_________ 考点三、求一次函数解析式 相关知识点内容 求一次函数解析式常见方法： 1. 图形法。 求b值：直线与y轴的交点纵坐标，即为b的值； 求k值：①当b不为0，有，再判断k的正负。 ②当已知直线上两点A（）和B（），有，再判断k的正负。 2.待定系数法求函数表达式的一般步骤 （1）设出函数的一般形式； （2）把自变量与函数的对应值代入所设式中，得到关于待定系数的方程或方程组； （3）解方程或方程组，求出待定系数的值，并写出函数表达式. 例9：（已知两点坐标）如图，一次函数的图象经过A、B两点，与x轴交于点C，求此一次函数的解析式和△AOC的面积． 解题套路归纳：将函数上的点坐标带入函数，求出函数解析式 变式练习9：如图，过点Q（0，3.5）的一次函数与正比例函数的图象相交于点P，求这个一次函数的解析式． 例10：（已知值/值和一个点的坐标）已知一次函数的图象经过点（-1，-3），满足等式，且随的增大而减小，求这个一次函数解析式． 解题套路归纳：根据题意确定的正负，从而确定值。 变式练习10：已知一次函数的图象与轴的交点到原点的距离为3，且过A（2，1）点，求它的解析式． 例11：（与几何结合）一次函数的图象经过点A（0，2）且与x轴交于点B，△OAB的面积为2，求此直线的解析式． 解题套路归纳：画出图形，注意多种情况讨论。 变式练习11： （1）如图，已知一次函数y=2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，且BC∥AO，四边形AOBC的面积为10． （1）求点A、B、C的坐标； （2）求直线AC的表达式． （2）已知某一次函数与坐标轴围成的图形面积为10，且函数值随着的增大而增大，求此函数解析式. 例12：（已知自变量与相应函数值的取值范围）已知一个一次函数当自变量的取值范围为，相应的函数值的取值范围为，则这个一次函数解析式是____________ 解题套路归纳：注意多种情况的讨论 变式练习12：一次函数的自变量的取值范围是，相应函数值的范围是，求此函数的解析式． 例13：如图，直线y=2x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B. (1)求A，B两点的坐标； (2) 过B点作直线BP与x轴相交于P，且使OP=2OA， 求ΔABP的面积. 变式练习13：已知一条直线经过点A（0,4），点B（2,0）,将这条直线向左平移，与轴负半轴，轴负半轴分别交于点C、D，且使DB=DC，求直线CD的解析式. 例14：已知直线与轴、轴分别交于A、B两点，若把△AOB沿直线AB翻折，点O落在点C处。 （1）求点C坐标； （2）求直线BC的解析式； （3）直线BC与直线AC的斜率有怎样的数量关系？ 变式练习14：如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点,将绕点顺时针旋转90后得到. （1）求直线的解析式； （2）若直线与直线相交于点，求的面积. 课后作业 1.对于函数（是常数，）的图象，下列说法不正确的是（　　） A、其函数图象是一条直线 B、其函数图象过点 C、其函数图象过一、三象限 D、随的增大而减小 2.条直线，其中、，那么直线经过（ ） A、第一、二、三象限 B、第一、二、四象限 C、第一、三、四象限 D、第二、三、四象限 3.如图，一次函数y=（m-2）x-1的图象经过二、三、四象限，则m的取值范围是（　　） A、m>0 B、m<0 C、m>2 D、m<2 4.若一次函数的函数值y随x的增大而减小，且图象与y轴的负半轴相交，那么对k和b的符号判断正确的是（　　） A、 B、 C、 D、 5.如图所示的计算程序中，与之间的函数关系所对应的图象应为（　　） （A） （B） （C） （D） 6.下列函数的图象大致是如图的是（　　） A、 B、 C、 D、 7.一次函数的图像不经过（ ） （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 8．如图直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC，将点C向左平移，使其对应点C′恰好落在直线AB上，则点C′坐标为________. 9.将直线向左平移6个单位得到直线，求直线与坐标轴围成的三角形的面积． 10.已知直线与直线平行，且过点（-1，2），求此直线的解析式． 8 学科网（北京）股份有限公司 $$