第10讲 函数基础及正比例函数-2024-2025学年八年级数学上册（北师大版）

函数基础及正比例函数 教学目标：理解函数的相关概念及图像；掌握函数自变量取值；正比例函数的性质与图像。 教学重点：自变量的取值；正比例函数的性质与图像。 教学难点：自变量取值与正比例函数的性质与图像 考点一：函数的相关概念 相关知识点内容 1、变量 变量：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量． 常量：在一个变化过程中，有些量的数值是始终不变的，我们称它们为常量． 2、函数 自变量：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量． 函数：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是的函数． 函数值：如果当时，那么叫做当自变量的值为时的函数值． 3、函数的表示方法：列表法、解析式法、图像法. 例1：在三角形面积公式，中，下列说法正确的是（ ）． A．，是变量，是常量 B．，是变量，是常量 C．，是变量，是常量 D．，，是变量，是常量 变式练习1：购买单价为每支元的铅笔，总金额（元）与铅笔数（支）的关系式可表示为_____，其中，_____是常量，_____是变量． 例2：下列各关系式中，不是的函数的是（ ） A. B． C． D． 变式练习2：（1）下列关于变量、的关系式：①；②；③，其中表示是的函数的个数是（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 （2）某人购进一批苹果，到市场零售，已知卖出苹果数量x与售价y的关系如下表，写出用x表示y的关系式 。 考点二：函数图象 相关知识点内容 在数学中，函数 的图象指的是所有有序对（）组成的集合。具体而言，如果为实数，则函数图形在平面直角坐标系上呈现为一条曲线。 例3：下列图象中，y是x的函数图象的是（ ） 变式练习3：下列曲线中，表示不是的函数是（ ） 例4：某校举行趣味运动会，甲、乙两名学生同时从地到地，甲先骑自行车到地后跑步回地，乙则是先跑步到地后骑自行车回地（骑自行车的速度快于跑步的速度），最后两人恰好同时回到地．已知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快．若学生离地的距离与所用时间的函数关系用图象表示如下（实线表示甲的图象，虚线表示乙的图象），则正确的是（ ）． 变式练习4：如图，是半圆的直径，点从点出发，沿的路径运动一周．设为，运动时间为，则下列图形能大致地刻画与之间关系的是（ ） ( A B C D ) 例5：如图所示，、表示某工厂甲、乙两车间生产的产量（）与所用时间（天）之间的函数图象，根据图象回答： （1）乙车间开始生产时，甲车间已生产了_____； （2）甲车间每天生产_____，乙车间每天生产_____； （3）从乙车间开始生产的第_____天结束时，两车间生产的总产量相同； （4）甲、乙两车间的产量（）与所用时间（天）的函数关系式分别为 =_____，=_____； （5）第天结束时，甲、乙两车间的总产量分别是_____和_____． 例5图 变式练习5图 变式练习5：（1）小李以每千克元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场去销售，在销售了部分西瓜之后，余下的每千克降价元，全部售完；销售金额与卖瓜千克数之间的关系如图所示，那么小李赚了_____元． （2）一个小球由静止开始在一个斜坡上从上向下滚动，其速度每秒增加2m/s，到达坡底时，小球的速度达到50m/s． ①写出小球的速度为v（m/s）与时间为t（s）之间的关系式． ②求5s时小球的速度． ③何时小球的速度为22m/s？ 考点三：函数自变量取值 相关知识点内容 1. 当函数解析是整式时，自变量的取值范围是一切实数。 2. 当函数解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的一切实数. 3. 当函数解析式是二次根式时，被开方数为一切非。 4. 当零次幂或负整数次幂的底数中含有自变量时，该底数不为零。 5. 函数解析式是由上述四种类型的复合，求自变量取值范围时要思考全面，不要“顾此失彼”。 6. 在实际问题中，自变量的取值范围应使该问题有实际意义。 例6：函数中自变量的取值范围是___________。 变式练习6：（1）函数中，自变量的取值范围是___________。 （2）函数中自变量的取值范围是_________。 考点四：正比例函数的相关概念 相关知识点内容 1、正比例函数：正比例函数(是常数，)的图象是过(0，0)，(1，)两点的一条直线，图像关于原点对称。 2、增减性：当﹥0时，值随的值的增大而增大；（图象经过一、三象限） 当﹤0时，值随的值的增大而减小。（图象经过二、四象限） 3、直线同坐标轴的位置关系：||越大直线越靠近y轴，||越小直线越靠近x轴。 4、正比例函数(是常数，)的图象： 例7：当m、n为何值时，，函数是正比例函数？ 变式练习7：已知函数y=(k－2)x+2k+1，当k=_______时，它是正比例函数。 例8：已知y+3与x成正比例，且当x=2时，y=7，则y与x的函数关系式为_______________． 变式练习8：（1）正比例函数的图象过点，则这个函数解析式是 . （2）已知：y与x+2成正比例，且x=1时，y=-6. ①求y与x之间的函数关系式； ②若点M（m，4）在这个函数的图像上，求点M的坐标. （3）如果y+3与x-3成正比例，且x=1时，y=1. ①写出y与x之间的函数关系式； ②求图像与x轴、y轴的交点A、B的坐标； ③求A、B两点间的距离； ④求△AOB的面积. 例9：正比例函数的图象如图所示，则k的取值范围是（ ） A.k＞0 B.k＜0 C.k＞1 D.k＜1 变式练习9：正比例函数的大致图象是（ ） 例10：设正比例函数的图象经过点A（m,4），设y的值随x值的增大而减小，则m等于（ ） A.2 B. C.4 D. 变式练习10：关于函数，下列判断正确的是（ ） A.图象经过第一、三象限 B.y随x的增大而增大 C.若是该函数图象上的两点，则当 D.不论x为何值，总有y＜0 例11：已知函数是正比例函数。 ①若函数关系式中y随x的增大而减小，求m的值； ②若函数的图象过第一、三象限，求m的值。 变式练习11：已知y与x成正比例，且当时，. ①求y与x的函数关系式； ②画出函数图象； ③点和点是否在此函数的图像上？ 课后作业 1、已知正比例函数的图象过第二、四象限，则( ) A．y随x的增大而减小 B．y随x的增大而增大 C．当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小 D．不论x如何变化，y不变 2、一段导线，在时的电阻为欧，温度每增加，电阻增加欧，那么电阻（欧）表示为温度（）的函数关系式为（ ）． A． B． C． D． 3、已知正比例函数的图像经过点(a,b)(a≠b),则它的图像也一定经过点（ ） A（ａ，－ｂ）　　Ｂ（ｂ，－ａ）　　Ｃ（－ａ，－ｂ）　　　Ｄ（－ａ，ｂ） 4、已知正比例函数的图象经过点（1，m），则m的值为（ ） A. B.3 C. D. 5、若正比例函数的图象经过点和点,当时,，则m的取值范围是________. 6、已知等腰三角形的顶角为度，底角为度，那么底角度数与顶角度数之间的关系式是 ， 其中自变量是 。 7、已知A、B两地相距30㎞，小明以6㎞/h的速度从A步行到B地的距离为y㎞，步行的时间为x h. （1） 求y与x之间的函数表达式，并指出y是x的什么函数； （2） 写出该函数自变量的取值范围. 8、如图所示，梯形的上底长是，下底长是．当梯形的高由大变小时，梯形的面积也随之发生变化． （1）在这个变化过程中，自变量是______，因变量是_____． （2）梯形的面积（）与高（）之间的关系式为_____． （3）当梯形的高由变化到时，梯形的面积由_____变化到_____． ( 6 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$