第9讲 坐标变换-2024-2025学年八年级数学上册（北师大版）

坐标变换 教学目标：掌握平面直角坐标系中几种坐标的变换 教学重点：灵活应用平面直角坐标系中坐标的变换 教学难点：平面直角坐标系中的动点问题与最值问题 知识点一：平移变换 相关知识点内容 平移，是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。平移变换不改变图形的形状和大小。图形经过平移，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段相等。 例1：在平面直角坐标系中，已知直线AB的两个端点分别是A（4，-1），B（1,1）。将线段AB平移后得到线段，若点的坐标是（-2,2），则点的坐标为 。 变式练习1：（1）在平面直角坐标系中，已知点O（0,0），A（1,3），将直线OA向右平移3个单位，得到线段O1A1，则点O1的坐标是_______，A1的坐标是________。 （2）如图，A、B的坐标为A，B，若将线段平移到，则的值为________。 （3）如图，若将直角坐标系中“鱼”的每个“顶点”的横坐标保持不变，纵坐标分别变为原来的，则点A的对应点的坐标是 。 知识点二：对称变换 相关知识点内容 如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。注：斜放的图形只要能沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，就是轴对称图形。在轴对称图形中间画一条线，那条线叫对称轴。 点关于直线对称点画法：过点A作直线的垂线并延长至A'，使它们到直线的距离相等即可。 例2：若，则点关于第一、三象限角平分线的对称点的坐标为 ；点关于第二、四象限角平分线的对称点的坐标为 。 解题方法：点（x，y）关于一、三象限的角平分线对称的点的坐标为（y，x）; 点（x，y）关于二、四象限的角平分线对称的点的坐标为（-y.-x）. 变式练习2：如图在平面直角坐标系中，已知点A（-2,1），B（2，-1），C（1，-2）.若点Q与点A关于y轴对称，点P与点Q关于直线BC对称，则点P的坐标为 。 例3：如图在直角坐标系中，点P（-1,2）关于直线x=1的对称点的坐标为______ 变式练习3：在平面直角坐标系中，点A（3，-5）关于直线y=2的对称点的坐标为 。 例4:如图，在平面直角坐标系中，长方形纸片的AB边在y轴上，BC边在x轴上，B与坐标原点重合，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F处，折痕为AE，已知A点坐标为（0,8），C点坐标为（10,0），求点E的坐标。 变式练习4:（1）如图，在平面直角坐标系中，OABC是正方形，点A的坐标是（4，0），点P为边AB上一点，∠CPB=60°，沿CP折叠正方形，折叠后，点B落在平面内点B′处，则B′点的坐标为 。 （2）如图，长方形OABC的边OA、OC分别在x轴，y轴上，点B的坐标为（3,2）.点D,E分别在AB、BC边上，BD=BE=1.沿直线DE将△BDE翻着，点B落在点G处，则点G的坐标为 知识点三：旋转变换 相关知识点内容 1、在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化叫做旋转。这个定点叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角，如果一个图形上的点A经过旋转变为点A'，那么这两个点叫做旋转的对应点。 2、中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。 3、中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，那么我们就说，这个图形成中心对称图形。 性质：①关于中心对称的两个图形是全等形；②关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。 例5：如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将OA绕原点O按顺时针方向旋转180°得到OA′，则点A′的坐标为 。 变式练习5：如图，OA在第一象限，∠AOx=30°，OA绕原点O顺时针旋转75°至OB的位置，若OA=，则点B的坐标为_______。 例6：如图，点B在x轴上，∠ABD=90°，∠A=30°，OA=4，将△OAB绕点O顺时针方向旋转120°得到△OA1B1，则点A1的坐标为________ 变式练习6：（1）如图，将平面直角坐标系中的△AOB绕点O顺时针旋转90°得△A1OB1。已知∠AOB=60°，∠B=90°，AB=，则点B1的坐标为______ （2）如图，将△ABC绕点C（0，-1）旋转180°得到△A′B′C′，设点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为 。 知识点四：在平面直角坐标系中求面积 相关知识点内容 （1）如果在坐标系中，某个三角形有一条边在坐标轴上或平行于坐标轴，则根据这条边的两个顶点的坐标易求出这条边的长，再根据这条边所对的顶点的坐标尅取出该边上的高，从而求出三角形的面积。 （2） 若在平面直角坐标系中，三角形无边在坐标轴上或平行于坐标轴，则需将这个三角形补或割成若干个特殊图形（通常是几个三角形、直角梯形、长方形等）,再计算这些图形面积的和或差.技巧是：所选择的割线一般要与坐标轴平行或重合. 例7：如图，三角形△ABC的顶点坐标分别是，，，求△ABC的面积。 变式练习7：如图，、、，求△的面积。 例8：在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，0）、B（3，3）、C（4，1）。 （1）求△的面积； （2）画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的△。 变式练习8：如图所示，在直角坐标系中，四边形ABCD各个顶点的坐标分别是A（0,0），B（3,6），C（14,8），D（16,0），确定这个四边形的面积。 例9：在平面直角坐标系中，已知点B,线段BA⊥x轴于A点，线段BC⊥y轴于C点，且 （1） 求A、B、C三点的坐标； （2） 若点D是AB的中点，点E是OD的中点，求△AEC的面积； （3） 在（2）的条件下，若已知点P，且 变式练习9：如图，在平面直角坐标系中，已知A（0,2），B（3,0），C（3,4）三点。 （1） 求三角形ABC的面积； （2） 若在第二象限内有一点P,请用含m的式子来表示四边形ABOP的面积； （3） 在（2）的条件下们是否存在点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。 知识点五：最值问题 相关知识点内容 解决几何最值问题的通常思路： ①两点之间线段最短； ②直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短； ③三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值） 这3个是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段． 几何最值问题中的基本模型举例 轴对称最值 图形 原理 两点之间线段最短 两点之间线段最短 三角形三边关系 特征 A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求AP+BP的最小值 A，B为定点，l为定直线，MN为直线l上的一条动线段，求AM+BN的最小值 A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值 转化 作其中一个定点关于定直线l的对称点 先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一个定点关于定直线l的对称点 作其中一个定点关于定直线l的对称点 例10：在平面直角坐标系中，点A（6,0），点B（-3,4），点M是轴上一动点，①当MA+MB取最小值时，求这个最小值；②当MA－MB取最大值时，求这个最大值。 变式练习10:已知边长为a的正三角形ABC，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则OC的长的最大值是 。 例11:如图所示，四边形OABC为正方形，边长为6，点A、C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D在OA上，且D点的坐标为（2，0），P是OB上的一个动点，试求PD+PA和的最小值是 。 变式练习11:如图，在直角坐标系中有四个点A（-6,3），B（-2,5），C（0，m）,D（n，0），则四边形ABCD周长的最小值为_________ 知识点六：动点问题 相关知识点内容 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静. 数学思想：分类思想数形结合思想转化思想。 例12：已知直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A（10，0），点C（0，4），点D是OA的中点，点P是BC边上的一个动点，当△POD是等腰三角形时，求点P的坐标。 变式练习12: （1）已知在平面直角坐标系中有三点A（-2，1）、B（3，1）、C（2，3）．请回答如下问题： （1）在坐标系内描出点A、B、C的位置； （2）求出以A、B、C三点为顶点的三角形的面积； （3）P是y轴上一动点，当以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为10时，求点P的坐标。 （2）如图，已知A（-2,0），B（0，-4），C（1,1），点P为线段OB上一动点，（不包括点O），CD⊥CP交x轴于点D，当点P运动时： （1） 求证：∠CPO=∠CDO； （2） 求证：CP=CD； （3）下列两个结论：①AD-BP的值不变；②AD＋BP的值不变，选择正确的结论求其值。 课后作业 1.已知点A（x,y），若xy=0,则点A在_________；若xy>0,则点A 在__________；若xy<0,则点A 在__________ 2.已知A（1+2a,4a-5）,且点A到两坐标轴的距离相等，求点A的坐标 。 3.已知A（m-5,1）,B（4，m+1）且直线AB∥y轴，则m的值为_______。 4.已知：，,，求△的面积。 5. 2009年是执行法定节日的第一年，法定节日的确定为大家带来了很多便利．我们用坐标来表示这些节日：用A（1，1）表示元旦（即1月1日），清明节用B（4，4）表示（即4月4日），端午节用C（5，5）表示（即5月初5）。 （1）请写出中秋节D（ ），国庆节E（ ）； （2）依次连结A-B-C-D-E-A，在坐标系中画出来； （3）求出所连接图形的面积。 6.如图，在下面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（3，c）三点，其中a，b，c满足关系式，如果在第二象限内有一点，求使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等的点P的坐标。 7.如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2013次，点P依次落在点P1，P2，P3…P2018的位置，则点P2018的横坐标为 。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$