第8讲 平面直角坐标系-2024-2025学年八年级数学上册（北师大版）

平面直角坐标系 教学目标：体会数学有序数对能够表示点的位置。 理解平面直角坐标系的有关概念，能够在坐标系中确定点的位置。 综合考查平面直角坐标系中的综合应用 教学重点：平面直角坐标系中点的确定 教学难点：特殊位置点的坐标关系 考点一：平面直角坐标系的相关概念 知识点再现及解析 （一）有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对。 1、记作（a ，b）； 2、注意a、b的先后顺序对位置的影响。 （二）平面直角坐标系 1、平面直角坐标系 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；x轴和y轴统称坐标轴。它们的公共原点O称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。 2、为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意：x轴和y轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。 3、点的坐标的概念 对于平面内任意一点P,过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在上x轴、y轴对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点P的坐标。 点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。 平面内的点与有序实数对是一一对应的。 例1：如图，某市区有三个加油站，若加油站1的位置表示为（B，1），则加油站2的位置可表示为_________，加油站3的位置可表示为_______。 解题方法：此类问题主要考察学生对平面直角坐标系的建立及确定点的坐标。 变式练习1：（1）某市有A，B，C，D四个大型超市，分别位于一条东西走向的平安大路两侧，如图所示（图中每个小正方形的边长为1个单位长度），请建立适当的直角坐标系，并写出四个超市相应的坐标。 （2）广安市旅游事业蓬勃发展，被评为“全国优秀旅游城市”，下图是该市部分旅游景点的示意图（图中每个小正方形的边长为1个单位长度），请以图中某个景点为坐标原点建立适当的直角坐标系，并在图中用坐标表示这些景点的位置。 （3）如图，方格纸上有M，N两点，以N为原点，建立平面直角坐标系，则M点的坐标为（3,4），若以M点为坐标原点建立平面直角坐标系，则N点的坐标为 。 考点二:不同位置点的坐标的特征 知识点再现及解析 （1）各象限内点的坐标有如下特征： 点P（x, y）在第一象限x ______0，y______0； 点P（x, y）在第二象限x_______0，y______0； 点P（x, y）在第三象限x_______0，y______0； 点P（x, y）在第四象限x_______0，y______0。 （2）坐标轴上的点有如下特征： 点P（x, y）在x轴上y为_____，x为任意实数。 点P（x，y）在y轴上x为_____，y为任意实数。 特殊位置点的特殊坐标小结： 坐标轴上点P（x，y） 连线平行于坐标轴的点 点P（x，y）在各象限的坐标特点 象限角平分线上 的点 轴 轴 原点 平行轴 平行轴 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 第一、三象限 第二、四象限 (x,0) (0,y) (0,0) 纵坐标相同横坐标不同 横坐标相同纵坐标不同 x＞0 y＞0 x＜0 y＞0 x＜0 y＜0 x＞0 y＜0 (m,m) (m,-m) （3）点P（x, y）坐标的几何意义： ①点P（x, y）到x轴的距离是|y|；②点P（x, y）到y袖的距离是|x|； ③点P（x, y）到原点的距离是。 例2:已知P点坐标为。 ①若点P在轴上，则= ； ②点P在轴上，则= ； ③点P在第三象限内，则的取值范围是 ； ④点P在第四象限内，则的取值范围是 。 变式练习2：（1）已知点P为轴和轴的交点，则= ，= ； （2）点P是平面直角坐标系内一点，若，则点P的位置在 ；若，则点P的位置在 ；若，则点P的位置在 ；若，则点P的位置在 。 例3:如图的坐标平面上有P、Q两点，其坐标分别为（5，a）、（b，7）．根据图中P、Q两点的位置，判断点（6-b，a-10）落在第__________象限. 变式练习3：如果是任意实数，则点P不可能在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例4:（直接求点的坐标）若点A位于轴上方，距轴2个单位长度，且位于轴左方，距轴3个单位长度，则A点坐标为 。 解题方法 此类问题主要考察点的坐标的确定，要注意点所在的象限. 变式练习4：（1）已知点P在第二象限，且，，则点P的坐标 为 ； （2）已知点P在第四象限，且，，则点P的坐标为 ； （3）对平面上任意一点（a，b），定义f，g两种变换：f（a，b）=（a，-b），如f（1，2）=（1，-2）；g（a，b）=（b，a），如g（1，2）=（2，1）。据此得g（f（5，-9））= 。 例5:（与几何图形结合求点的坐标）已知等边△ABC，点A在坐标原点，B点的坐标为（6，0），则点C的坐标为 。 解题方法 此类问题要结合几何图形的性质来确定点的坐标，要注意点所在的象限。 变式练习5：（1）正方形OABC的边长为4，若OA与轴的正方形成60°角，求A、B、C的坐标。 （2）如图，△ABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是 。 （3）如图，点A的左边为（2,2），若点P在x轴正半轴上，且△APO是等腰三角形，则点P的坐标是 . 例6：（1）已知M、N，则直线MN与轴、轴的位置关系分别是________、_______； （2）已知点P在第二、四象限的角平分线上，则= ； （3）已知过点A和点B的直线平行于轴，且AB=5，则、的值分别是 。 解题方法 此类问题主要考察一些特殊点的坐标，要结合这些特殊位置的点的坐标特征。 变式练习6：在坐标平面内，点P的坐标是，则点P在 象限的角平分线上；已知点A，点B在某象限的角平分线上且AB∥轴，则点B的坐标是 ；点P的坐标是，且在某象限的角平分线上，则点P在 象限的角平分线上。 考点三：两点之间的距离 两点间距离： 1.若A、B两点横坐标相同：A、B，则AB两点间距离为AB=； 2.若A、B两点纵坐标相同：A、B，则AB两点间距离为AB=； 3.两点间的距离公式 ( x y B A C A 1 A 2 B 2 B 1 O )如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 过A，B分别向x轴、y轴作垂线AA1，AA2和BB1，BB2，垂足分别为A1，A2，B1，B2，其中直线BB1和AA2相交于点C．两点的距离公式 _________________________。 4.中点坐标公式 ( x y B A A 1 A 2 B 2 B 1 O M 1 M 2 M )如图所示，若已知A(x1，y1)，B(x2，y2) 设M(x，y)是A，B的中点，即线段AB的中点．过A，B，M分别向x轴，y轴作垂线，AA1，AA2，BB1，BB2，MM1，MM2，垂足分别是A1，A2，B1，B2，M1，M2． 在平面直角坐标系内，两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点M(x，y)的坐标满足 x＝，y＝． 例7：如果、是任意实数，则点P到轴的距离是 ；到轴的距离是 ；到原点的距离是 .若A（1，-2）、B（-2,2）两点间的距离为 ；若P为线段AB的中点，则P的坐标为 ； 变式练习7： 已知点M在轴上，点，若线段的长为5，则点的坐标为 ；已知等边的两个顶点坐标为，则点C的坐标为 ，△ABC的面积为 。 课后练习 1、已知P点坐标为。 ①若点P在轴上，则= ； ②点P在轴上，则= ； ③点P在第三象限内，则的取值范围是 ； ④点P在第四象限内，则的取值范围是 。 2、已知点P为轴和轴的交点，则= ，= ； 3、点P是平面直角坐标系内一点，若，则点P的位置在 ；若，则点P的位置在 ；若，则点P的位置在 ；若，则点P的位置在 。 4、若为整数，且点M在第四象限，则的值为（ ） A．17　 　　B．16　 　　C．5　 　　D．4 5、如果，那么点P在第 象限，点Q在坐标平面内的 位置。 6、如果，且那么点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7、若点P在第四象限，则点M在第 象限。 8、如果是任意实数，则点P不可能在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9、点P（3，-4）到轴的距离是（ ） A．3 B．4 C．5 D．-4 10、 A（1，-2）、B（-2,2）两点间的距离为 ；若O为线段AB的中点，则O的坐标为 。 11、在平面直角坐标系中，O为原点。 （1）点A的坐标为（3，-4），求线段OA的长； （2）点B的坐标为（2，2），点C的坐标为（5，6），求线段BC的长；若P为线段BC的中点，求P的坐标。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$