第3讲 实数基础知识复习-2024-2025学年八年级数学上册（北师大版）

第3讲 实数基础知识复习 教学目标： 1、 理解实数的概念及按要求对实数进行分类。 2、 掌握平方根与算术平方根的概念及计算。 3、 掌握立方根的概念及与平方根的区别。 4、 理解估算并会应用估算的方法。 教学重点： 1、 实数的分类。 2、 平方根与算术平方根的计算、立方根与平方根的计算。 3、 估算的方法。 教学难点： 1、 平方根与算术平方根的区别。 考点一：平方根及算术平方根 1、 平方根的概念： 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做的a平方根,也称为二次方根。 数学语言：如果，那么就叫做的平方根。 平方根的性质： ①一个正数的平方根有2个，它们互为相反数； ②0只有1个平方根，它是0本身； ③负数没有平方根。 2、 算术平方根： ①正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作， ②0的算术平方根是0. 算术平方根的性质： ①；中被开方数。（双重非负性） ② 。 ③。 例1：因为（ ）＝144，所以144的平方根是 ；其中正数 的平方为144，所以144的算术平方根是 ，即= 。 变式练习1： 1、因为（ ）＝，所以的平方根是 ；其中正数 的平方为，所以的算术平方根是 ，即＝ 。 2、下列说法正确的是（ ） （1）只有正数才有平方根； （2）-2是4的平方根； （3）5的平方根是； （4）都是3的平方根； （5）4的平方根是-2； （6）一个数的平方根等于它本身的数是0和1 3、一个正数的两个平方根 ，即它们的和是 。 4、一个数x的平方根为，则x= . 例2：若x﹣3是4的平方根，则x的值为 。 变式练习2：1、如果，那么a等于 。 2、的平方根是__________；的算术平方根是__________。 例3： 已知一个数的平方根是3a+1和a+11，这个数是 。 变式练习3： 1、 已知一个正数的平方根3x-2和5x+6，求这个数的算术平方根。 例4：已知2m+2的平方根是，3m+n+1的平方根是，求5m+3n的值。 变式练习4： 1.已知2a﹣1的平方根是，3a﹣2b﹣1的平方根是±3．求：5a﹣3b的平方根． 2.若，正数b的两个平方根分别是2c﹣1和﹣c+2，求2a+b+c平方根． 考点二：算术平方根的双重非负性（） 例5：若有意义，则a的取值范围是 ；若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ； 变式练习5： 1、若有意义，则x的取值范围是 ； 2、 已知，那么 。 3、 若，则xy= 。 4、 已知，求实数a、b的值。 例6：若，求的值。 变式练习6： ①已知x，y是实数，且互为相反数，求实数的倒数． ②已知，求的值 考点三：化简求值（ ） 例7：已知实数，，在数轴上的位置如图所示，化简 变式练习7： 已知a，b两数在数轴上表示如下：化简：． 考点四：立方根 3、 立方根： 一般地，如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x叫做a的立方根，0的立方根是0，每个数a的都有立方根，记作，读作“三次根号a”。 立方根的性质： ①一个正数有一个正的立方根； ②一个负数有一个负的立方根； ③零的立方根是零。 注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 平方根与立方根： 平 方 根 立 方 根 定 义 如果一个数的平方等于，那么，这个数就叫做的平方根。即：若时，则称为的平方根，记作，其中是被开方数，根指数是2 如果一个数的立方等于，那么这个数就叫做的立方根（也称作的三次方根）。即：若，则称为的立方根，记作，其中是被开方数，根指数是3 性 质 1. 一个正数有两个平方根，它们互为相反数 1. 正数有一个正的立方根 2. 0的平方根是0 2. 0的立方根是0 3. 负数没有平方根 3. 负数有一个负的立方根 开平方与平方互为逆运算 开立方与立方互为逆运算 n 次 方 根 偶数次方根与平方根性质相同 奇数次方根与立方根性质相同 例1：若,则a= ；若，则x= ； 若，则（x+17）的立方根是 。 变式练习1：的立方根是 ；若，则= ；若，则= 。 例2：已知：是的算术数平方根，是立方根，求的平方根。 变式练习2：已知是M的立方根，是的相反数，且，请你求出的平方根 例3：解方程 (1) （2） (3) （4） 变式练习3：（1） （2） （3） (4） 考点五：实数的概念及分类 4、 实数的概念：有理数和无理数统称为实数，即实数可以分为有理数和无理数。 无理数：无限不循环小数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； 5、 实数的分类： ①实数按正负分可分为： ②另外从定义也可以进行分类： 例1：把下列各数分别填入相应的集合内： 有理数集合: （ ） 无理数集合: （ ） 非负实数集合：（ ） 变式练习1：把下列各数分别填入相应的集合内： 无理数集合： （ ） 非负整数集合：（ ） 负分数集合： （ ） 有理数集合： （ ） 考点五：实数的估算 常用的几个数：≈1.414 ≈1.732 ≈2.236 ≈2.646 常用的比较方法： ①估算法：用估算法比较两个数的大小，一般至少有一个是无理数，在比较大小时，一般先采用分析的方法，估算出无理数的大致范围，再作具体比较。 ②求差法：若-＞0，则＞；若-＜0，则＜。 ③平方法（或立方法）：当比较两个带根号的无理数的大小时可用如下结论：若a＞b≥0，则＞，则＞。 ④倒数法（若，则）； 例1：①比较的大小。 ②比较 与的大小。 ③比较与的大小。 ④ 6.23 ⑤比较与的大小。 ⑥比较与的大小 变式练习1： 1. 将，，三个数按从小到大的顺序排列为_______________________. 2.大于且小于的整数有____个。 3.大于-小于的所有整数是___________. 4.已知a为的整数部分,b-1是400的算术平方根,求. 课后作业 1．填空题 （1）0.16的平方根是__________，0.16的平方是_________. （2）若17是m的一个平方根，则m的另一个平方根是_____. （3）的平方根是_____，的算术平方根是_____. （4）若＝2，则a＝_____. （5）(－4)3的相反数的倒数的平方根是_____. （6）_____的算术平方根等于它的平方根. （7）下列各数：其中有平方根的有 个. （8）若有意义，则的值是_____. 2．求下列各式中的x: （1）； （2） 3．求下列各式的值： （1）； （2）； （3） ； 4. 比较大小： ①与 ②与 5、下列各数-3，3.14，2.1010010001，28，0，,2.1010010001……（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中， 有理数：{ } 无理数：{ } 非负数：{ } 6、若，求的值。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$