第1章 有理数 分节训练提升课件2024-2025学年湘教版（2024）数学七年级上册

第1章 有理数 1.1 认识负数 湘教 七年级上册 1. 为了表示某一问题中具有相反意义的两种量,我们把其中 一种意义的量,用小学学过的大于0的数表示,这样的数 叫作 ;而把与它意义相反的量,用在正数前面添 上“-”(称作“负号”)的数表示,这样的数叫作负数. 2. 既不是正数,也不是负数. 3. 和 统称为非负数. 正数 0 正数 0 核心必知 4. 正整数、 、零统称为整数;正分数、负分数统 称为分数. 5. 正有理数、负有理数、 统称为有理数. 负整数 零 具有相反意义的量 1. [2023 长沙岳麓区期中]下列不是具有相反意义的量的是 ( C ) A. 前进5 m和后退5 m B. 收入30元和支出10元 C. 身高增加2 cm和体重减少2 kg D. 超过5 g和不足2 g C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 1星题 基础练 2. 在下列横线上填上恰当的词,使前后构成意义相反的量. (1)收入2 000元, 1 800元; (2) 180 m,下降80 m; (3)向北走1 000 m, 走500 m; (4)增产5 t粮食, 5 t粮食. 支出 上升 向南 减产 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 正数、负数和0 3. 下列数中,属于负数的是( B ) A. 2 023 B. -2 023 C. D. 0 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 4. [2024 湖南中考]在日常生活中,若收入300元记作+300 元,则支出180元应记作( C ) A. +180元 B. +300元 C. -180元 D. -480元 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 5. [2024 襄阳月考]某蓄水池的标准水位记为0 m,如果用正数表示水面高于标准水位的高度,那么-0.2 m表示( B ) A. 水面低于标准水位-0.2 m B. 水面低于标准水位0.2 m C. 水面高于标准水位0.2 m D. 水深为0.2 m B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 6. 在+2 025,-5,6.6,0, ,-3.14,- ,0.25,-4 中, 是正数, 3.14,-4 是负数, +2 025,6.6,0, , 是非负数. +2 025,6.6, ,0.25 -5,-3.14, - ,-4 +2 025,6.6,0, ,0.25 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 7. 【易错题:对0的含义理解不清致错】下列说法正确的 是 .(填序号) ①0既不是正数也不是负数;②0只表示“什么也没有”; ③0可以表示特定的意义,如0 . ①③ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 有理数的分类 8. [2024年1月无锡期末]在0, ,1.333 3…, ,3.14中, 有理数的个数是( D ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 9. 【中考趋势题】分别写出一个符合要求的有理数. (1)既是负数又是整数: ; (2)是分数但不是负数: .(答案不唯一) -5 (答案不唯一) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 10. [2024 益阳月考]请把下列各数填入相应的大括号里. 1,0.070 8,-700,-3.88,0,3.14,- ,0. . 正有理数: ; 负整数: ; 正分数: ; 非负整数: . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 11. 在-3,-5,-1,0这四个数中,与其余三个数不同的 是( D ) A. -3 B. -5 C. -1 D. 0 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2星题 中档练 12. 【易错题 因对正数、0、负数的认识不透彻而出错】下 列说法正确的是( C ) A. 正数都带“+”号 B. 不带“+”号的数都是负数 C. 负数一定带“-”号 D. 带“-”号的数都是负数 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 13. 【跨学科生物】[2023 南阳期中]某校七年级社团课开课 啦,生物社团的同学们在社团课上制作了精美的植物细 胞模型,质量要求是“60 0.25 g”,则下列模型质量 合格的是( D ) A. 59.70 g B. 60.30 g C. 60.51 g D. 59.80 g D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 14. [2024年1月邵阳期末]在- , ,0,-2 024,0.4, ,2,-3,-6这些数中,有理数有m个,自然数有n 个,分数有k个,则m-n-k的值为( A ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 4 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 15. 数学小测验的试卷共有五道题,在甲同学的试卷上,老师在三道题的旁边打了“√”,在一道题的旁边写了 “-3”,在另一道题的旁边写了“-1”. (1)老师写的“-3”和“-1”表示什么? 解:(1)“-3”表示扣3分,“-1”表示扣1分. (2)这次小测验的满分是20分,老师要求每名同学自己计算自己的成绩,那么甲同学这次小测验得了多少分? 解:(2)20-3-1=16(分),即甲同学这次小测验得了16分. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 16. [2024 永州月考]如图,一名跳水运动员参加10 m跳台的 跳水比赛(10 m跳台是指跳台离水面的高度为10 m),这 名运动员举高手臂时身长为2 m,跳水池池深为5.4 m(规 定向上为正). (1)若以水面为基准,则这名运动员指尖的高度 及池底的深度分别如何表示? 解:(1)10+2=12(m),所以以水面为基准,这名运动员指尖的高度为+12 m,池底的深度为-5.4 m. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 16. [2024 永州月考]如图,一名跳水运动员参加10 m跳台的 跳水比赛(10 m跳台是指跳台离水面的高度为10 m),这 名运动员举高手臂时身长为2 m,跳水池池深为5.4 m(规 定向上为正). (2)若以跳台为基准,则池底的深度与水面的高 度分别如何表示? 解:(2)10+5.4=15.4(m),所以以跳台为基准,池底的深度为-15.4 m,水面的高度为-10 m. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 17. [推理能力]如图,将一串数按下列规律排列. (1)在A位置的数是正数还是负数? 解:(1)在A位置的数是正数. (2)负数排在A,B,C,D中的什么位置? 解:(2)负数排在B和D的位置. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 3星题 提升练 (3)第100个数是正数还是负数?排在A,B,C,D中的哪个位置上? 解:(3)观察可知奇数为负,偶数为正,故第100个数是正数.每4个数看成一组,100 4=25(组),故第100个数排在A的位置. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 $$第1章　有理数 1.2　数轴、相反数与绝对值 1.2.1　数　轴 湘教 七年级上册 1. 规定了原点、 和 ⁠的直线叫作 数轴. 2. 数轴上的点与有理数的关系：(1)每个有理数都对应数轴 上的一个点.(2)表示正有理数的点都在原点 侧，表 示负有理数的点都在原点 侧，表示 ⁠的点就是 原点. 正方向　 单位长度　 右　 左　 0　 核心必知 数轴的概念 1. 下列关于数轴的说法正确的是(　B　) A. 规定了原点与单位长度的一条直线 B. 规定了原点、正方向和单位长度的直线 C. 规定了原点、方向和单位长度的直线 D. 规定了原点和正方向的一条射线 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1星题　基础练 2. 判断下列数轴是否正确，在括号里打“√”或“×”. (　×　) (　×　) (　×　) (　√　) × × × √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 数轴上的点与有理数的关系 3. [2024·长沙月考]如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为 (　C　) A. －1 B. －1.5 C. －3 D. －4.2 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 4. [2023·北京月考]在数轴上表示数a，b，c的点的位置如 图所示，下列说法正确的是(　B　) A. a，b，c都是正数 B. a，b是正数，c是负数 C. a，b，c都是负数 D. a，b是负数，c是正数 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 5. 画一条数轴，并分别标出表示下列各数的点. －3 ，0，4，－2，2.5. 解：如答图. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 数轴上两点间的距离 6. [2024年1月岳阳期末]在数轴上位于原点左侧且到原点的 距离为5个单位长度的点表示的数是 ⁠. －5　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 7. [2024·绍兴月考]如图，在数轴上与点A的距离为2个单位 长度的点表示的数是(　D　) A. －3 B. 1 C. －2或2 D. －3或1 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 8. 【易错题·忽略移动方向不确定】一只蚂蚁位于数轴的原 点，现在沿数轴爬了4个单位长度到了点A，则点A所表 示的数是(　C　) A. 4 B. －4 C. ±4 D. ±8 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2星题　中档练 9. [2023·永州月考]在数轴上点A表示－4，如果把原点O向 负方向移动1.5个单位长度，那么在新数轴上点A表示的 数是 ⁠. －2 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 10. 七(4)班在一次联欢活动中，将全班同学分成5个队做游戏.游戏结束后，5个队的得分如下： A队：－50分；B队：150分；C队：－300分； D队：0分；E队：100分. (1)把每个队的得分标在单位长度为50分的数轴上，并标上代表该队的字母； 解：(1)如答图. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 (2)从数轴上看，A队与B队相差多少分？C队与E队呢？ 解：(2)A队与B队相差200分，C队与E队相差400分. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 $$第1章　有理数 1.2　数轴、相反数与绝对值 1.2.2　相反数 湘教 七年级上册 1. 如果两个数只有 不同，那么其中一个数叫作另一 个数的相反数，也称这两个数互为相反数. 2.0的相反数是 ⁠. 3. 互为相反数的两个数(0除外)在数轴上对应的两个点，分 别位于原点的 ，并且到原点的距离 ⁠. 符号　 0　 两侧　 相等　 核心必知 相反数 1. 【知识初练】如图，表示1的点是点 ，表示－1的点 是点 ，它们到原点的距离 (填“相等”或 “不相等”)，所以1与－1互为 ⁠. B　 A　 相等　 相反数　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1星题　基础练 2. [2023·株洲中考]2的相反数是(　B　) A. 2 B. －2 C. D. － B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 3. 下列各组数中，互为相反数的一组是(　C　) A. 7与－ B. 2与－3 C. －3与3 D. 5与 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 4. 已知a的相反数是0，则a＝ ⁠. 0　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 在数轴上表示相反数 5. [2024·岳阳月考]如图，数轴上的点A，B，C，D中，表 示互为相反数的两个点是(　B　) A. 点B和点C B. 点A和点C C. 点B和点D D. 点A和点D B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 6. 在如图的数轴上画出表示下列各数以及它们的相反数的 点：－4，0.5，3. 解：－4的相反数是4，0.5的相反数是－0.5，3的相反数是－3.在数轴上表示如图. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 利用相反数化简符号 7. [2023·广州中考]－(－2 023)＝(　B　) A. －2 023 B. 2 023 C. － D. B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 8. 下列各组数：－1与＋(－1)，＋(＋5)与－5，－ 与 ＋ ，－(－12)与＋(＋12)，－(＋1)与－(－1)，其中 互为相反数的有(　D　) A. 0组 B. 1组 C. 2组 D. 3组 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 9. 【教材改编题】填空： (1)－(＋3)＝ ⁠； (2)－(－2.5)＝ ⁠； (3)－  　 　； (4)－  　－5 　. －3　 2.5　 　 －5 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 10. [2024·长沙模拟]若－(＋3)表示一个数的相反数，则这个 数是(　C　) A. B. － C. 3 D. －3 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2星题　中档练 11. [2024·南京月考]如图所示的数轴每格的长度为1.请回答 下列问题： (1)如果点A，B表示的数互为相反数，那么点C表示的 数是多少？ 解：(1)点C表示的数是－1. (2)如果点D，B表示的数互为相反数，那么点C，D表 示的数是多少？ 解：(2)点C表示的数是0.5，点D表示的数是－4.5. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 $$第1章　有理数 1.2　数轴、相反数与绝对值 1.2.3　绝对值 湘教 七年级上册 目 录 CONTENTS 01 核心必知 02 1星题　基础练 03 2星题　中档练 04 3星题　提升练 1. 正数的绝对值是 ；负数的绝对值是它的 ⁠ ；0的绝对值是 ⁠. 2. 一个数的绝对值一定是一个 数. 3. 一个数的绝对值表示这个数在数轴上的对应点与 ⁠ 之间的距离. 4. 互为相反数的两个数的绝对值 ⁠. 它本身　 相反 数　 0　 非负　 原点　 相等　 核心必知 绝对值的概念 1. －2 024的绝对值是(　A　) A. 2 024 B. －2 024 C. D. － A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 1星题　基础练 2. [2023·淄博中考]－｜－3｜的运算结果等于(　B　) A. 3 B. －3 C. D. － B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 3. 【教材改编题】化简： (1)｜＋3｜＝ ⁠； (2)－｜－7｜＝ ⁠； (3)  　 　. 3　 －7　 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 4. 计算： (1)｜－8｜－｜＋6｜； (2)｜－6｜×｜－8｜； 解：｜－8｜－｜＋6｜ ＝8－6 ＝2. 解：｜－6｜×｜－8｜ ＝6×8 ＝48. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 (3)｜－25｜＋｜＋(－24)｜×｜－ ｜. 解：｜－25｜＋｜＋(－24)｜× ＝25＋24× ＝25＋12＝37. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 绝对值的性质 5. [2024·长沙月考]已知有理数x满足 x，则x不可能是 (　A　) A. －1 B. 0 C. 4 D. 3 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 6. [2024·南京江北新区月考]若 －a，则a是(　D　) A. 非负数 B. 负数 C. 正数 D. 非正数 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 绝对值与数轴的关系 7. [2023·荆州洪湖期末]如图，数轴上点A表示数a，则｜a｜是(　A　) A. 2 B. 1 C. －1 D. －2 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 8. [2023·株洲三模]如图，数轴上有A，B，C，D四个点， 其中表示绝对值相等的两个数的点是(　C　) A. 点A与点D B. 点B与点D C. 点B与点C D. 点C与点D C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 9. [2024·苏州中考]用数轴上的点表示下列各数，其中与原点 距离最近的是(　B　) A. －3 B. 1 C. 2 D. 3 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 10. 【教材改编题】画一条数轴，并分别标出表示绝对值等 于0，4，1.5的数的点. 解：如答图所示. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 已知一个数的绝对值求这个数 11. 若 8，则a＝ ⁠. 8或－8　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 12. 【创新题新考法】[2024年1月岳阳君山区期末]一个数具 有以下两个特点：①它的绝对值等于5；②它是负数.这 个数是 ⁠. －5　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 13. 下列各式不成立的是(　D　) A. ｜－5｜＝5 B. ｜＋6｜＝｜－6｜ C. －｜－4｜＝－4 D. －｜－1｜＝｜－1｜ D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2星题　中档练 14. 下列结论中，错误的是(　C　) A. 若a为有理数，则｜a｜≥0 B. 若a＝b，则｜a｜＝｜b｜ C. 若｜a｜＝｜b｜，则a＝b D. 若a≠0，则｜a｜＞0 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 15. [2024年1月杭州西湖区期末]已知有理数a，b，c满足 ＞ ＞ ，则表示这三个数的点在数轴上的位置可 能是(　A　) 　　　　 A B 　　　　 C D A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 16. 【教材改编题】国际乒联对于正式比赛用球的直径有严 格的规定.现有6个乒乓球，测量它们的直径，超过标准 直径的毫米数用正数表示，不足的毫米数用负数表示， 检验结果如下： A. －0.1 mm； B. －0.2 mm； C. ＋0.3 mm； D. －0.05 mm； E. ＋0.1 mm； F. －0.01 mm. 你认为应选哪一个乒乓球用于比赛？ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 解：因为｜－0.1｜＝0.1，｜－0.2｜＝0.2， ｜＋0.3｜＝0.3，｜－0.05｜＝0.05， ｜＋0.1｜＝0.1，｜－0.01｜＝0.01， 且0.01＜0.05＜0.1＜0.2＜0.3， 所以F球误差最小，所以应选F球用于比赛. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 17. [2024·株洲月考] 若有理数a、b、c满足｜a－5｜＋｜b－1｜＋｜c－2｜＝0，求a＋b＋c的值. 解：因为｜a－5｜＋｜b－1｜＋｜c－2｜＝0， 所以a－5＝0，b－1＝0，c－2＝0， 所以a＝5，b＝1，c＝2， 所以a＋b＋c＝5＋1＋2＝8. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 18. [运算能力]阅读材料： 任何有理数a的绝对值都是非负数，即｜a｜≥0，所以当a＝0时，｜a｜取最小值0. 根据上面的材料解决下列问题： (1)当a＝ 时，式子｜a－2｜有最小值，其最小值是 ⁠； 2　 0　 (2)当a为何值时，式子｜a－3｜＋6有最小值？最小值是多少？ 解：(2)当｜a－3｜＝0，即a＝3时， 式子｜a－3｜＋6有最小值，最小值是6. (3)当m为何值时，式子8－｜m｜有最大值？最大值是多少？ 解：(3)当｜m｜＝0，即m＝0时， 式子8－｜m｜有最大值，最大值是8. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 3星题　提升练 $$第1章　有理数 1.3　有理数大小的比较 湘教 七年级上册 1. 正数 负数，0 负数. 2. 两个负数，绝对值大的 ⁠. 3. 在以向右为正方向的数轴上，右边的点表示的数比左边的 点表示的数 ⁠. 大于　 大于　 反而小　 大　 核心必知 利用法则比较有理数的大小 1. [2024·长沙月考]下列各数中，小于0的是(　C　) A. 8 B. 5.6 C. － D. C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 1星题　基础练 2. [2023·成都中考]在3，－7，0， 四个数中，最大的数是 (　A　) A. 3 B. －7 C. 0 D. A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 3. 下列结论错误的是(　D　) A. 0大于任何负数 B. 0小于任何正数 C. 负数小于任何正数 D. 非负数都大于0 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 4. 下列各数的相反数中，最小的是(　A　) A. 2 B. 1 C. － D. －2 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 5. 下列各组数的大小比较，正确的是(　D　) A. －100＞－0.01 B. －6＞－5 C. － ＞－ D. － ＞－ D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 6. [2024年1月株洲渌口区期末]在－｜－3｜、0、－2、－(－1)中，最大的数是 ⁠. －(－1)　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 7. 比较下列各组数的大小： (1)－10与10； (2)－25与0； 解：－10＜10. 解：－25＜0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 (3)－ 与－ ； 解：因为 ， ， ＜ ， 所以－ ＞－ . (4)－2 与－3 . 解：因为 2 ， 3 ， 2 ＜3 ， 所以－2 ＞－3 . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 利用数轴比较有理数的大小 8. 【教材改编题】表示有理数0、a、b、c的点在数轴上的 位置如图所示，下列结论正确的是(　B　) A. b＞c＞0 B. b＜a＜0 C. b＞a＞0 D. 0＜a＜c B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 【变式题】[2023·成都成华区期末]如图，数轴上点A，B， C，D分别对应有理数a，b，c，d，则下列各式中值最小 的是(　C　) C A. ｜a｜ B. ｜b｜ C. ｜c｜ D. ｜d｜ 点拨：由题图可得点A离原点距离最远，其次是点D，再次 是点B，点C离原点距离最近，则｜a｜＞｜d｜＞｜b｜ ＞｜c｜，所以其中值最小的是｜c｜. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 9. [2023·武汉期末]大于－4.2而小于2.3的整数共有 个. 7　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 10. 【教材改编题】在数轴上标出表示下列各数的点：1， －1 ，0，－3，2.5，并按从小到大的顺序用“＜”把这 些数连接起来. 解：如答图所示. －3＜－1 ＜0＜1＜2.5. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 11. [2024·河北中考]如图显示了某地连续5天的日最低气温， 则能表示这5天日最低气温变化情况的是(　A　) 　　　　 A B 　　　　 C D A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2星题　中档练 12. [2024·苏州模拟]已知有理数a、b在数轴上的对应点的 位置如图所示，则下列式子成立的是(　D　) A. a＞b B. a＜－b C. ＞ D. －a＞－b D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 13. 【新情境题】小琼和小凤都十分喜欢唱歌，她们两个一 起参加了社区的文艺汇演，在汇演前，主持人让她们自 己确定一个出场顺序，可她们俩争着先出场，最后，主 持人想了一个主意，如图所示. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 解：－｜－5｜＝－5，－(－3)＝3， 的相反数是－ ，－ 的绝对值是 ，0的相反数是0. 将化简后的数在数轴上表示如答图. －5＜－ ＜0＜ ＜3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 14. 【创新题·新考法】有一名同学在比较两个数的大小时，不慎把右边的一个有理数小数点后面的一位数字弄上了墨水，－1 ＞－1.□，请你帮这名同学想一想“□”中这个数字可能是多少. 解：在向右为正方向的数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，因此，被墨水弄脏的有理数对应的点一定在表示－1 的点左边(数轴上的位置)，所以只能是 －1.6，－1.7，－1.8或－1.9，所以“□”中这个数字可能是6，7，8或9. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 15. [几何直观]如图，数轴上有3个点，它们所表示的数分别 是a，b，c. (1)在数轴上标出表示a，b，c的相反数－a，－b，－c的点； 解：(1)表示－a，－b，－c的点如图所示. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 3星题　提升练 (2)把a，b，c和它们的相反数用“＜”连接起来； 解：(2)由数轴得出－a＜b＜－c＜c＜－b＜a. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 (3)如果将表示数a的点向左移动3个单位长度，设此时该点表示的数为a'，同时将表示数b的点向右移动6个单位长度，设此时该点表示的数为b'，表示数c的点保持在原来的位置，则a'，b'，c三个数的大小关系如何？ 解：(3)根据题意标出表示数a'，b'的点，如图所示，根据数轴得出a'＜c＜b'. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 $$第1章　有理数 1.4　有理数的加法和减法 1.4.1　有理数的加法 第1课时　有理数的加法法则 湘教 七年级上册 1. 两个负数相加，结果是 数，并把它们的 ⁠ 相加. 2. 异号两数相加，当正数的绝对值较大时，得 数，并 用较大的绝对值减去较小的绝对值；当负数的绝对值较大 时，得 数，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 3. 互为相反数的两个数相加得 ；一个数与 相加， 仍得这个数. 负　 绝对值　 正　 负　 0　 0　 核心必知 有理数的加法法则 1. 【教材改编题】填表： 加数 加数 和的组成 和 正负号 绝对值 ＋5 ＋4 ＋ 5＋4 9 －5 －4 － 5＋4 －9 ＋5 －4 ＋ 5－4 1 －5 ＋4 － 5－4 －1 －5 ＋5 5－5 0 －5 0 － 5－0 －5 － 5＋4 －9 ＋ 5－4 1 － 5－4 －1 5－5 0 － 5－0 －5 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 1星题　基础练 3 2. [2023·长沙岳麓区期中]计算(－5)＋3的结果是(　C　) A. －8 B. 8 C. －2 D. 2 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 3. [2023·温州中考]如图，比数轴上点A表示的数大3的数是 (　D　) A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 4. 写出一个算式，满足两加数的和是－3，且这两加数异 号： ⁠. (－6)＋3＝－3(答案不唯一)　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 5. 计算： (1)(－5.8)＋(－4.3)； (2) (＋7)＋(－12)； 解：(－5.8)＋(－4.3) ＝－10.1. 解：(＋7)＋(－12) ＝－5. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 (3) ＋0； (4)(－6.25)＋6 ； 解： ＋0 ＝－8 . 解：(－6.25)＋6 ＝0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 (5) ； (6) . 解： ​ ＝－ . 解： ​ ＝－ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 有理数加法法则的应用 6. [2024年1月长沙浏阳期末]长沙市1月份某一天早晨的气温 是－3 ℃，中午上升了8 ℃，则中午的气温是(　B　) A. －5 ℃ B. 5 ℃ C. 3 ℃ D. －3 ℃ B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 7. 【创新题·新考法】中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用不同颜色的算筹(小棍形状的计数工具)分别表示正数和负数(红色为正，黑色为负).如图①表示的是(＋2)＋(－2)，根据这种表示法，可推算出图②所表示的算式是(　B　) B A. (＋3)＋(＋6) B. (＋3)＋(－6) C. (－3)＋(＋6) D. (－3)＋(－6) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 8. 电梯停在第五层，然后上升了三层，又下降了四层，那么 现在电梯停在第 层. 四　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 9. 【易错题·对绝对值化简忽略字母可能取负数致错】 若｜x｜＝6，｜y｜＝11，且x＞y，则x＋y的值为 (　C　) A. 5或－17 B. －5或17 C. －5或－17 D. 5或17 C x＝±6，y＝±11 x＝±6，y＝－11 x＋y的值为－5或－17 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2星题　中档练 【变式题】[2023·广州越秀区期中]若｜m｜＝5，｜n｜＝ 2，且m，n异号，则m＋n的值为(　D　) A. 7或－7 B. 3或－7 C. －3或7 D. 3或－3 D m＝±5，n＝±2 m＝5，n＝－2或m＝－5，n＝2 m＋n的值为3或－3 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 10. [2024年1月盐城期末] 的相反数与－ 的绝对值的和 是 ⁠. － 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 11. [2024·潍坊月考]小颖同学做这样一道题：计算｜－4＋ △｜，其中“△”是被墨水污染看不清的一个数，她翻 开后面的答案，得知该题的计算结果是3，那么“△”表 示的数是 ⁠. 点拨：由题意得｜－4＋△｜＝3，即－4＋△＝3或－3，故△＝7或1. 1或7　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 12. 计算： (1) ＋(－1.75)； 解：原式＝－ －3.5. (2)｜－1.25｜＋(－4.25)； 解：原式＝1.25＋(－4.25)＝－(4.25－1.25)＝－3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 (3)[－(－25)]＋(－13)； 解：原式＝25＋(－13)＝25－13＝12. (4) . 解：原式＝2 － ＝－1 . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 13. 【新情境题】[2024·西安月考]某学校为培养学生团结协 作的精神，举办主题为“一根绳一条心”的拔河比赛活 动.在七(1)班和七(2)班两个班级的比赛过程中，标志红 绳开始先向七(2)班方向移动了0.3 m，接着向七(1)班方 向移动了0.4 m，相持一会儿后，又向七(2)班方向移动 了0.5 m，随后又向七(1)班方向移动了0.9 m，僵持一段 时间后，标志红绳又向七(1)班方向移动了1.1 m.若规定 标志红绳从开始位置向某班级方向移动1.5 m后该班级即 可获胜，根据上述数据变化你判断哪个班级获胜了？请 通过计算说明你的判断. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 解：七(1)班获胜. 理由：设向七(1)班方向移动为正， 由题意得－0.3＋(＋0.4)＋(－0.5)＋(＋0.9)＋(＋1.1)＝ 1.6(m)， 因为1.6＞1.5，所以七(1)班获胜. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 14. [运算能力]探究思考题： (1)用“＜”“＝”或“＞”填空： ①｜5＋(－4)｜ ｜5｜＋｜－4｜； ②｜5＋4｜ ｜5｜＋｜4｜； ③｜(－5)＋(－4)｜ ｜－5｜＋｜－4｜； ④｜(－5)＋0｜ ｜－5｜＋｜0｜； ＜　 ＝　 ＝　 ＝　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 3星题　提升练 (2)猜想：当a，b同号时，｜a＋b｜ ｜a｜＋｜b｜；当a，b异号时，｜a＋b｜ ｜a｜＋｜b｜；(用“＜” “＝”或“＞”填空) (3)猜想：对于两个有理数a，b，有｜a＋b｜ ⁠｜a｜＋ ｜b｜.(填“≤”或“≥”). ＝　 ＜　 ≤　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 $$第1章　有理数 1.4　有理数的加法和减法 1.4.1　有理数的加法 第2课时　有理数加法的运算律 湘教 七年级上册 1. 加法交换律：两个有理数相加，交换加数的位置，和 ⁠ .用字母表示：a＋b＝ ⁠. 2. 加法结合律：三个有理数相加，先把前两个数相加，或者 先把后两个数相加，和 .用字母表示：(a＋b)＋ c＝a＋ ⁠. 不 变　 b＋a　 不变　 (b＋c)　 核心必知 加法的运算律 1. 下列运算不符合加法交换律的是(　D　) A. 30＋(－20)＝(－20)＋30 B. (－5)＋(－13)＝(－13)＋(－5) C. (－37)＋16＝16＋(－37) D. 10＋(－20)＝20＋(－10) D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 1星题　基础练 2. 运算过程5＋(－3)＋7＋(－9)＋12＝(5＋7＋12)＋[(－3)＋ (－9)]应用了(　C　) A. 加法交换律 B. 加法结合律 C. 加法的交换律与结合律 D. 以上均不对 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 3. [2023·常德期中]计算 的结果为(　A　) A. －1 B. 1 C. 0 D. 4 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 4. [2024·东莞月考]若a和b互为相反数，则a＋3＋b的值 为 ⁠. 3　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 5. 给下面的计算过程标明理由. (＋16)＋(－22)＋(＋34)＋(－78) ＝(＋16)＋(＋34)＋(－22)＋(－78)① ＝[(＋16)＋(＋34)]＋[(－22)＋(－78)]② ＝(＋50)＋(－100)③ ＝－50.④ ① ；② ⁠； ③ ；④ ⁠. 加法交换律　 加法结合律　 有理数加法法则　 有理数加法法则　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 6. 【教材改编题】运用运算律进行计算： (1)(－301)＋125＋301＋(－75)； 解：原式＝(－301＋301)＋(125－75)＝0＋50＝50. (2)25.7＋(－7.3)＋(－13.7)＋7.3. 解：原式＝(25.7－13.7)＋(－7.3＋7.3)＝12＋0＝12. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 加法的运算律的应用 7. 某商店去年四个季度盈亏情况如下(盈余为正)：＋128.5 万元，－140万元，－95.5万元，280万元，这个商店去年 的总盈利情况是(　C　) A. 盈余644万元 B. 亏本173万元 C. 盈余173万元 D. 亏本64万元 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 8. [2023·岳阳期中]岳阳水利部门记录铁山水库某周的水位情 况如下表(水位相对于前一天上升记为“＋”，相对于前 一天下降记为“－”)，则本周末与上周末相比，水位的 变化情况为(　A　) 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化/m ＋0.22 ＋0.81 －0.36 ＋0.03 ＋0.29 －0.35 －0.01 A A. 上升0.63 m B. 下降0.63 m C. 上升0.53 m D. 下降0.53 m 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 9. [2024·长沙月考]某公交车原有乘客32人，途经四个站点的 上、下车人数如下(上车为正)：(＋1，－7)，(－5，＋6)， (＋4，－8)，(－3，＋2)，则车上还有乘客 人. 22　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 10. 【创新题·新问法】在计算 ＋□时，□中可以 填入的能使该题用简便方法进行计算的数值为(　D　) A. B. C. D. D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2星题　中档练 11. 计算(＋1)＋(－2)＋(＋3)＋(－4)＋…＋ (＋99)＋(－100) 的值是 ⁠. 点拨：(＋1)＋(－2)＋(＋3)＋(－4)＋…＋(＋99)＋(－100) ＝[(＋1)＋(－2)]＋[(＋3)＋(－4)]＋…＋[(＋99)＋(－100)] ＝－1×50＝－50. －50　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 12. 计算：0.75＋ ＋0.125＋ ＋0.25. 解：原式＝(0.75＋0.25)＋ ＝1＋(－4)＋ ＝(－3)＋ ＝－6 . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 13. [2024·湛江月考]仓库存有10袋大米，按照标准以每袋 50 kg为参照：超过50 kg的质量记作正数，不足50 kg的质量记作负数，称得质量(单位：kg)记录如下：＋0.4，＋0.3，－0.7，－0.2，＋0.8，0，－0.2，－0.3， ＋1.2，＋0.7. 10袋大米共超重或不足多少千克？总质量是多少千克？ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 解：(＋0.4)＋(＋0.3)＋(－0.7)＋(－0.2)＋(＋0.8)＋0＋ (－0.2)＋(－0.3)＋(＋1.2)＋(＋0.7)＝[(＋0.4)＋(－0.2) ＋(－0.2)]＋[(＋0.3)＋(－0.3)]＋0＋[(＋1.2)＋(＋0.8)] ＋[(－0.7)＋(＋0.7)]＝2(kg)， 50×10＋2＝502(kg). 答：10袋大米共超重2 kg，总质量是502 kg. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 14. [运算能力][2023·邵阳月考]阅读材料，回答问题. 计算：－5 ＋17 . 解：－5 ＋17 ＝[(－5)＋(－9)＋17＋(－3)]＋ ＝0＋ ＝－1 . 上面这种解题方法叫作拆项法. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 3星题　提升练 根据上述方法，计算： ＋2 024 . 解：原式＝［(＋2 022)＋ ］＋ ＋［(－1)＋ ］＝[(＋2 022)＋(－2 023)＋2 024＋(－1)]＋［ ］＝(＋2 022)＋0＝2 022. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 $$第1章　有理数 1.4　有理数的加法和减法 1.4.2　有理数的减法 湘教 七年级上册 1. 减去一个数，等于加上这个数的 .用字母表 示：a－b＝a＋ ⁠. 2.0减去一个数，结果为这个数的相反数. 相反数　 (－b)　 核心必知 有理数的减法法则 1. 【知识初练】填空： 减号变加号 (1)(－10)－(－3)＝(－10)＋(＋3)＝ ⁠； 减数变相反数 减号变加号 (2)(－8)－(＋5)＝(－8) (　－5　)＝ ⁠； 减数变相反数 －2　 ＋　 －5 －13　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 1星题　基础练 (3)0－(－12)＝ ＋ ＝ ⁠ (4)7－18＝ ⁠ 0　 (＋12)　 12　 －11　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2. 计算6－｜－8｜的结果为 ⁠. －2　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 3. [2024·岳阳华容月考]比0小4的数是 ，比3小4的数 是 ，比－5小－2的数是 ⁠. －4　 －1　 －3　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 4. [2024年1月益阳安化期末]a的相反数是它本身，b是最大 的负整数，则a－b的值是 ⁠. 点拨：因为a的相反数是它本身，所以a＝0， 因为b是最大的负整数，所以b＝－1， 所以a－b＝0－(－1)＝0＋1＝1. 1　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 5. 【教材改编题】计算： (1)0－7； (2)4－8； 解：原式＝0＋(－7) ＝－7. 解：原式＝4＋(－8) ＝－4. (3)(－3)－(－5)； 解：原式＝(－3)＋5 ＝2. (4) (－4.9)－(－6.25)； 解：原式＝(－4.9)＋6.25 ＝1.35. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 (5) ； (6) . 解：原式 ​ ＝－ . 解：原式 ​ ＝－ ＝－1 . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 运用有理数减法解决实际问题 6. [2023·岳阳月考]下图是岳阳市某一天的天气预报图，岳阳 市这天的最高气温与最低气温的温差是(　A　) A A. 6℃ B. 14℃ C. －8℃ D. －5℃ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 7. 【教材改编题】若A、B两地的海拔高度分别为70 m与 －210 m，那么A地比B地高 m. 280　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 8. 【跨学科·化学】仔细观察如图所示的资料卡中的信息， 可以发现水银的凝固点比酒精的凝固点高 ℃. 78.43　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 9. [2023·清远月考]如图为某一矿井的示意图.以地面为基准，点A的高度是＋3.9 m，B，C两点的高度分别是－13.8 m与－29.8 m，点A比点B高多少米？点C比点B低多少米？ 解：(＋3.9)－(－13.8)＝17.7(m)， (－13.8)－(－29.8)＝16(m). 答：点A比点B高17.7 m，点C比点B低16 m. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 10. [2023·合肥蜀山区期中]如果三个数中任意两个相邻数之 差的绝对值不超过1，则称这三个数为一组“平稳数”. 下列各组数中是“平稳数”的是(　D　) A. 1，－1，－2 B. －3，－1，－2 C. 1，3，2 D. －1，0，1 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2星题　中档练 11. 下列结论不正确的是(　C　) A. 若a＞0，b＜0，则a－b＞0 B. 若a＜0，b＞0，则a－b＜0 C. 若a＜0，b＜0，则a－(－b)＞0 D. 若a＜0，b＜0，且｜b｜＞｜a｜，则a－b＞0 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 12. [2024年1月岳阳君山区期末]若｜x｜＝3，｜y｜＝2， 且x－y＜0，则x－y的值是(　B　) A. 1或5 B. －1或－5 C. 1或－5 D. －1或5 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 13. 在数轴上，点A表示的有理数是－3.5，点B在点A的左 边，且与点A相距6个单位长度，则点B表示的有理数 是 ⁠. －9.5　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 14. 【创新题·新考法】在如图所示的各个圆圈内填上适当的 数，使每个圆圈里的数都等于与它相邻的两个数的和， 则m的值为 ⁠. 3　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 点拨：如图， 由题意得a＋(－3)＝－1，m＋(－1)＝a， 所以a＝－1－(－3)＝－1＋3＝2， 所以m＝a－(－1)＝2－(－1)＝2＋1＝3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 15. [2024·北京月考]某同学在计算－3 －N时，误将－N看 成了＋N，从而算得结果是5 ，请你算出正确结果. 解：根据题意，得－3 ＋N＝5 ，所以N＝5 5 ＋3 9 ，所以－3 －N＝－3 －9 －13 .故正确结果为－13 . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 16. [2024年1月岳阳期末]若｜a｜＝7，｜b｜＝9，且｜a＋b｜＝－(a＋b)，求a－b的值. 解：因为｜a｜＝7，所以a＝±7， 因为｜b｜＝9，所以b＝±9. 因为｜a＋b｜＝－(a＋b)，所以a＋b≤0， 所以a＝7，b＝－9或a＝－7，b＝－9， 所以a－b＝7－(－9)＝7＋9＝16或a－b＝－7－(－9)＝ －7＋9＝2. 所以a－b的值为16或2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 21 17. [推理能力]已知A，B两点在数轴上分别表示数a，b. (1)若a＝0，b＝0，则A，B两点间的距离为 ⁠； 若a＝0，b＝3，则A，B两点间的距离为 ⁠； 若a＝0，b＝－3，则A，B两点间的距离为 ⁠； 若a＝1，b＝5，则A，B两点间的距离为 ⁠； 若a＝－3，b＝4，则A，B两点间的距离为 ⁠. 0　 3　 3　 4　 7　 (2)若A，B两点间的距离记为d，试问d与a，b有何数量关系？ 解：d＝｜a－b｜. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 3星题　提升练 $$第1章　有理数 1.4　有理数的加法和减法 1.4.3　有理数的加减混合运算 湘教 七年级上册 　　算式中既有加法，也有减法，为便于计算，可根据“减 去一个数，等于加上这个数的相反数”，将它们全部转化 为 运算. 加法　 核心必知 加减混合运算统一为加法运算 1. 用式子表示“引入相反数后，加减混合运算可以统一为加 法运算”，正确的是(　D　) A. a＋b－c＝a＋b＋c B. a－b＋c＝a＋b－c C. a＋b－c＝a＋(－b)＋(－c) D. a＋b－c＝a＋b＋(－c) D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 1星题　基础练 2. [2024年1月益阳期末]将(－2)－(＋1)－(－5)＋(－4)统一为 加法运算，正确的是(　B　) A. (－2)＋(＋1)＋(－5)＋(－4) B. (－2)＋(－1)＋(＋5)＋(－4) C. (－2)＋(＋1)＋(＋5)＋(＋4) D. (－2)＋(－1)＋(－5)＋(＋4) B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 省略括号与加号的形式 3. [2024年1月衡阳期末]将－3－(＋6)－(－5)＋(－2)写成省 略括号的形式是(　B　) A. －3＋6－5－2 B. －3－6＋5－2 C. －3－6－5－2 D. －3－6＋5＋2 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 4. [2023·岳阳月考]下列式子可读作“负2，负3，正6，负5的 和”的是(　C　) A. －2＋(－3)＋(＋6)－(－5) B. －2－(－3)－(－6)－(－5) C. －2－3＋6－5 D. －2－(＋3)＋(－6)－5 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 运用运算律进行加减混合运算 5. 【教材改编题】为计算简便，把(－1.4)－(－4.7)－(＋0.5)＋(＋2.4)＋(－3.5)写成省略括号与加号的和的形式，并按要求交换加数的位置，正确的是(　A　) A A. －1.4＋2.4＋4.7－0.5－3.5 B. －1.4＋2.4＋4.7＋0.5－3.5 C. －1.4＋2.4－4.7－0.5－3.5 D. －1.4＋2.4－4.7－0.5＋3.5 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 6. 计算4 －2 ＋3 的结果为 ⁠. 6　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 7. [2024·长沙月考]计算： (1)27－15－(－23)＋(－35)； 解：原式＝27－15＋23－35 ＝(27＋23)＋(－15－35)＝50－50＝0. (2) . 解：原式 ＝－1＋ － . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 有理数加减混合运算的应用 8. [2023·邵阳期中]武冈某天凌晨气温是－5 ℃，上午升高了 3 ℃，到中午再升高5 ℃，晚上又降低3 ℃，到午夜又降 了4 ℃，午夜时气温为 ℃. －4　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 9. 【创新题·新问法】[2023·株洲期中]下表为张先生家的一 张存折的一部分，从表中可知，截至2024年3月12日，此 张存折还结余 元. 30 000　 存取日期 摘要 存入(＋)、取出(－)/元 余额/元 操作柜员 20231002 现存 ＋58 000 58 000 20231225 现取 －20 000 20240106 现存 ＋10 000 20240312 现取 －18 000 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 10. 下列各式的结果与式子－1－2＋3的结果不相等的是 (　D　) A. －1＋(－2)＋(＋3) B. －1－2－(－3) C. －(＋1)＋(－2)－(－3) D. －1－(－2)－(－3) D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2星题　中档练 11. [2024年1月长沙望城区期末]计算：1－(＋2)＋3－(＋4)＋ 5－(＋6)＋…＋2 025＝ ⁠. 1 013　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 12. 计算： (1)－｜－4.4｜－ ＋12.4； 解：原式＝－4.4＋4 －2 －2 ＋12.4 ＝(－4.4＋12.4)＋ ＝8－1＝7. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 解：原式 －1＋ －1 ＝1－ －1 ＝(1－1)＋ ＝0＋(－3)＝－3. (2) －1＋ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 13. 【新情境题】某架飞机在进行特技表演时起飞后的高度 变化如下表： 高度 变化 上升 5.5 km 下降 3.2 km 上升 1 km 下降 1.5 km 下降 0.8 km 记作 ＋5.5 km －3.2 km ＋1 km －1.5 km －0.8 km 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 (1)此时这架飞机比起飞点高了多少千米？ 解：(1)5.5－3.2＋1－1.5－0.8＝(5.5＋1)＋(－3.2－1.5－0.8)＝6.5－5.5＝1(km). 答：此时这架飞机比起飞点高了1 km. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 (2)若飞机平均每上升1 km需消耗4 L燃油，平均每下降1 km需消耗2 L燃油，那么这架飞机在这5个特技动作表演过程中，一共消耗多少升燃油？ 解：(2)(5.5＋1)×4＋｜－3.2－1.5－0.8｜×2＝6.5×4＋5.5×2＝26＋11＝37(L). 答：一共消耗37 L燃油. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 (3)若某架飞机从地面起飞后先上升5 km，然后再做两个表演动作，这两个动作产生的高度变化的绝对值分别是0.6 km和1.8 km，请你求出这两个表演动作结束后，飞机离地面的高度. 解：(3)5＋0.6＋1.8＝7.4(km)；5＋0.6－1.8＝3.8(km)； 5－0.6－1.8＝2.6(km)；5－0.6＋1.8＝6.2(km). 答：飞机离地面的高度为7.4 km或3.8 km或2.6 km或6.2 km. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 14. [运算能力]设 表示不小于a的最小整数，如：3， －4， 5. (1)求 的值； 解：(1)因为 表示不小于a的最小整数， 所以 2＋ 5. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 3星题　提升练 (2)令 a－ ，求 的值. 解：(2)因为 a－ ， 表示不小于a的最小整数， 所以 2－(－4.4－[－4.4])＋ 2－ 2－ 2＋0.4－5＝－2.6. 14. [运算能力]设 表示不小于a的最小整数，如：3， －4， 5. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 $$第1章　有理数 1.5　有理数的乘法和除法 1.5.1　有理数的乘法 第1课时　有理数的乘法法则 湘教 七年级上册 有理数的乘法法则： 同号两数相乘得 数，异号两数相乘得 数，并把 绝对值相乘；0乘任何数都得 ⁠. 正　 负　 0　 核心必知 有理数的乘法法则 1. 【知识初练】 算式 积的组成 积 积的符号 积的绝对值 －5×4 － 20 －20 5×(－4) － 20 －20 －5×(－4) ＋ 20 20 － 20 －20 － 20 －20 ＋ 20 20 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 1星题　基础练 2. [2023·南通中考]计算(－3)×2，正确的结果是(　D　) A. 6 B. 5 C. －5 D. －6 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 3. [2023·天津中考]计算 ×(－2)的结果是(　D　) A. － B. －1 C. D. 1 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 4. 下列算式的运算结果是负数的是(　C　) A. 0×(－5) B. (－1)×(－2) C. (－3)× D. ｜－2｜×｜＋4｜ C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 5. 下列结论不正确的是(　C　) A. 异号两数相乘，积为负数 B. 同号两数相乘，积为正数 C. 两个非负数相乘，积为正数 D. 两个非正数相乘，积为非负数 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 6. 计算： (1)(－2)×(－5)； (2) × ； 解：(－2)×(－5) ＝2×5 ＝10. 解： × ＝－ ＝－ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 (3)(－3.5)×0； (4) × . 解：(－3.5)×0 ＝0. 解：(－4)×(－1.5) ＝4×1.5 ＝6. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 有理数乘法的应用 7. [2024·株洲月考]小明在数轴上标出A，B两点，已知这两 点在原点两侧，且到原点的距离相等，则这两点所表示的 两数的(　D　) A. 和为正数 B. 和为负数 C. 积为正数 D. 积为负数 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 8. 某小商店每天亏损20元，一周(7天)亏损 元. 140　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 9. [2023·岳阳月考]已知一个数的相反数是2 ，另一个数的绝对值是2 ，求这两个数的积. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 解：因为一个数的相反数是2 ，所以这个数为－2 .因为另一个数的绝对值是2 ，所以另一个数为±2 .当两个数分别为－2 ，2 时，这两个数的积为－2 ×2 － × －6； 当两个数分别为－2 ，－2 时，这两个数的积为－2 × － × 6.综上，这两个数的积为－6或6. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 10. [2024·阳江模拟]一个有理数和它的相反数的积是(　C　) A. 正数 B. 负数 C. 零或负数 D. 零或正数 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2星题　中档练 11. [2024·荆州月考]已知a、b、c在数轴上的位置如图所 示，则下列乘积：①a·b；②a·c；③b·c中，结果是 负数的有 .(填序号) ②③　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 12. 计算： (1)(－0.2)× ； (2)3 × . 解：(－0.2)× × × . 解：3 × × ＝－ ＝－ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 13. 【新情境题】如图，每一个标有数的方块均是可以翻动的木牌，请任选其中的两个木牌上的数做乘法，结果记作P. (1)要使P的值最大，选择的两个数为 ， ⁠； －4　 －6 (2)计算P的最大值； 解：(2)－4× 24，所以P的最大值为24. (3)计算P的最大值比P的最小值大多少. 解：(3)易知P的最小值为5×(－6)＝－30， 所以P的最大值比P的最小值大24－(－30)＝54. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 14. [2024·长沙月考]已知｜x｜＝8，｜y｜＝5. (1)若x＞y，求xy的值； 解：因为｜x｜＝8，｜y｜＝5，所以x＝±8，y＝±5. (1)若x＞y，则x＝8，y＝±5. 当x＝8，y＝5时，xy＝8×5＝40； 当x＝8，y＝－5时，xy＝8×(－5)＝－40， 故xy的值为40或－40. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 14. [2024·长沙月考]已知｜x｜＝8，｜y｜＝5. (2)若xy＜0，求xy的值. 解：(2)若xy＜0，则x＝8，y＝－5或x＝－8，y＝5. 当x＝8，y＝－5时，xy＝8×(－5)＝－40； 当x＝－8，y＝5时，xy＝(－8)×5＝－40， 故xy的值为－40. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 15. [推理能力]如图是一个数值转换器. (1)若输入的数是－4，则输出的数是多少？ 解：(1)(－4－8)×9＝－12×9＝－108. 因为｜－108｜＞100，所以输出的数是－108. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 3星题　提升练 (2)若输入的数是2，则输出的数是多少？ 解：(2)(2－8)×9＝－54. 因为｜－54｜＜100，所以再次进行运算， 得(－54－8)×9＝－558. 因为｜－558｜＞100，所以输出的数是－558. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 $$第1章　有理数 1.5　有理数的乘法和除法 1.5.1　有理数的乘法 第2课时　有理数乘法的运算律 湘教 七年级上册 1. (1)乘法对加法的分配律用字母表示：a×(b＋c) ＝ ⁠； (2)乘法交换律用字母表示：a×b＝ ⁠； (3)乘法结合律用字母表示：(a×b)×c＝ ⁠. 2. 几个不等于0的数相乘，当有偶数个负数时，积为 ⁠ 数，当有奇数个负数时，积为 数. a×b＋a×c　 b×a　 a×(b×c)　 正　 负　 核心必知 有理数乘法的运算律 1. [2024·岳阳月考]在计算 × ×(－8) × 的过程中，应用了(　C　) C A. 乘法交换律 B. 乘法结合律 C. 乘法交换律和乘法结合律 D. 乘法对加法的分配律 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 1星题　基础练 2. [2023·南京月考]计算： ×3×(－8)×(　D　) A. B. C. － D. － D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 3. 在横线上写出所运用的运算律. (1) 3×(－2)×(－5) ＝3×[(－2)×(－5)] ⁠； (2) 48× ＝48× －48× ⁠. 乘法结合律　 乘法对加法的分配律　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 4. 【创新题·新考法】小阳在做一道计算题：－ × ×■ 时，不小心将一滴墨水滴在了本子上，盖住了其中一个 数，导致他无法计算，在求助老师时，老师告诉他：“被 盖住的数是4，7，10，11其中的一个，并且这道题直接用 乘法结合律来计算会非常简便”，则被盖住的数是 ⁠. 7　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 5. 计算： (1)(－10)× ×0.1×6； 解：原式＝－(10×0.1)× －1×2＝－2. (2) ×(－48). 解：原式 ×(－48)＋ ×(－48)＋ ×(－48)＝8－36＋4＝－24. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 多个有理数相乘 6. [2023·益阳期中]下列各式中，积为负数的是(　D　) A. (－5)×(－2)×(－3)×(－7) B. (－5)×(－2)×｜－3｜ C. (－5)×2×0×(－7) D. (－5)×2×(－3)×(－7) D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 7. 【教材改编题】写出下列各题结果的符号： (1)(－0.12)×5×(－32)×(－2)×(－1)的积的符号为 ⁠； (2)12×(－5)×(－3)×(－4.5)×3的积的符号为 ⁠. 正　 负　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 8. 计算：(－5)× × ×0×325＝ ⁠. 0　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 9. 计算：(－8)×(－7.2)×(－2.5)× . 解：(－8)×(－7.2)×(－2.5)× －(8× × × ) ＝－60. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 10. [2024·杭州月考]若有100个有理数相乘所得的积为0，则 这100个数中(　B　) A. 最多有一个数为0 B. 至少有一个数为0 C. 恰有一个数为0 D. 均为0 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2星题　中档练 11. [2024·长沙月考]若－2 025×100的值记为p，则－2 025× 99的值可表示为(　C　) A. p＋1 B. p－1 C. p＋2 025 D. p－2 025 点拨：(－2 025)×99＝(－2 025)×(100－1) ＝(－2 025)×100－(－2 025)×1 ＝(－2 025)×100＋2 025 ＝p＋2 025.故选C. C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 12. [2024·松原期中]如图，小明有5张写着以下数的卡片，从 中取出3张卡片，把这3张卡片上的数相乘，最大的积 是 ⁠. 125　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 13. 用简便方法计算： (1) × × × ； 解： × × × × ＝(－5)×(－3) ＝15. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 解：49 ×(－5) ×(－5) ＝50×(－5)－ ×(－5) ＝－250＋ ＝－249 . (2)49 ×(－5)； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 (3)－3.14×35.2＋6.28×(－23.3)－1.57×36.4. 解：－3.14×35.2＋6.28×(－23.3)－1.57×36.4 ＝－3.14×35.2＋3.14×(－46.6)－3.14×18.2 ＝－3.14×(35.2＋46.6＋18.2) ＝－3.14×100 ＝－314. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 14. [运算能力][2023·衡阳月考]先阅读提供的材料，再解答 相关问题： × × 1. × × × × × × × 1×1＝1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 3星题　提升练 请计算： × × ×…× × × × ×…× . 解：原式 × × ×…× × × × ×…× × × ×…× 1×1×1×…×1＝1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 $$第1章　有理数 1.5　有理数的乘法和除法 1.5.2　有理数的除法 湘教 七年级上册 1. 同号两数相除得 数，异号两数相除得 数，并 把它们的绝对值相除. 2.0除以任何一个不等于0的数都得 ⁠. 3. 若两个有理数的乘积等于 ，则把其中一个数叫作另 一个数的倒数，也称它们互为倒数. 没有倒数. 4. 除以一个不等于0的数等于乘这个数的 ，即 a÷b＝a× (b不为0). 正　 负　 0　 1　 0　 倒数　 　 核心必知 倒数 1. [2023·娄底中考]－2 023的倒数是(　C　) A. 2 023 B. －2 023 C. － D. C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 1星题　基础练 【变式题】若一个数的倒数为－ ，则这个数是(　D　) A. B. － C. 2 D. －2 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2. [2024·长沙月考]下列各组数中，不是互为倒数的是 (　C　) A. －5与－ B. －2.5与－ C. －4与 D. 与3 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 3. 一个数的倒数等于这个数本身，这个数是 ⁠. 1或－1　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 有理数的除法法则 4. 把 ÷ 转化为乘法是(　D　) A. × B. × C. × D. × D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 5. 计算(－2)÷ 的结果为(　C　) A. B. － C. D. － C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 6. [2023·岳阳期中]下列计算正确的是(　C　) A. 6÷(－3)＝2 B. ÷ －5 C. (－1)÷ 9 D. (－5)÷ 25 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 7. 计算： (1)(－18)÷6； (2) ÷(－1)； 解：(－18)÷6＝－3. 解： ÷(－1)＝－ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 (3)0÷ ； (4)－ ÷(－1.5). 解：0÷ 0. 解：－ ÷(－1.5) ＝－ ÷ ＝－ × . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 有理数的除法的应用 8. [2024·徐州月考]某同学在计算－16÷a时，误将“÷”看 成“＋”，结果是－12，则－16÷a的正确结果是(　D　) A. 6 B. －6 C. 4 D. －4 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 9. [立德树人·关注生活]某冷库的温度为2 ℃，现存入一批食 物冷冻，必须使室温保持在－22 ℃.若冷冻机可使室温每 小时下降5 ℃，经过多少小时就可以使冷库达到－22 ℃ 的冷冻温度？ 解：[2－(－22)]÷5＝24÷5＝4.8(h). 答：经过4.8 h就可以使冷库达到－22 ℃的冷冻温度. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 10. 【易错题·忽略除数不能为0】下列说法正确的是(　C　) A. 0除以任何数都等于0 B. 1除以一个数就等于乘这个数的倒数 C. 一个不等于0的有理数除以它的相反数等于－1 D. 两数相除，商一定小于被除数 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2星题　中档练 11. [2024年1月长春期末]下面是小胡同学做过的一道题目， 请先阅读解题过程，然后回答所提出的问题. 计算：(－48)÷36÷(－9). 解：原式＝(－48)÷(－4)① ＝12.② (1)上述解题过程中，从第 步开始出错(填序号)，错因是 ⁠； (2)正确的结果是 ⁠. ①　 没有按从左到右的顺序计算　 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 12. [2023·绍兴月考]已知ab＞0，那么 ⁠ ⁠. 点拨：因为ab＞0，所以a，b同号.当a＞0，b＞0时， 2；当a＜0，b＜0时， －2. 2或－2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 13. (1)两数的积是1，已知一个数是－2 ，求另一个数； 解：1÷ 1÷ 1× － .故另一个数为－ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 (2)两数的商是－3 ，已知被除数是4 ，求除数. 解：4 ÷ ÷ × － .故除数是－ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 14. 【创新题·新定义】[2024年1月常德期末]若规定： a△b ÷ ，例如：2△3 ÷ － ， 试求(2△7)△4的值. 解：2△7 ÷ － . △4 ÷ . 所以(2△7)△4的值为 . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 15. [运算能力]【阅读理解】比较两个同号的有理数a和b的 大小，可以按照如下方法进行： 若a＞0，b＞0，且 ＞1，则a＞b； 若a＜0，b＜0，且 ＞1，则a＜b. 以上这种比较大小的方法叫作作商比较法. 试用作商比较法比较－ 与－ 的大小. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 3星题　提升练 解： ÷ × ， 即 ＞1， 因为－ ＜0，－ ＜0，所以－ ＜－ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 $$第1章　有理数 1.5　有理数的乘法和除法 1.5.3　有理数的乘除 湘教 七年级上册 　　在只有有理数的乘法和除法运算时，如果没有括号，则 按照从左到右的顺序依次计算，并可以把除法转化为乘法， 然后再按照乘法法则进行计算；如果有括号，就先做括号内 的运算. 核心必知 有理数的乘除混合运算 1. 将(－8)÷ ÷1 化为乘法运算正确的是(　C　) A. (－8)× × B. (－8)× × C. (－8)× × D. 8× × C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 1星题　基础练 2. [2023·汕头月考]计算－ ×0÷ 的结果是(　C　) A. B. C. 0 D. － C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 3. [2024·岳阳模拟]下列运算中，结果为负值的是(　C　) A. 2×(－3)÷(－4) B. (－2)×3÷(－4) C. (－2)×(－3)÷(－4) D. (－2)÷4×0 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 4. [2023·岳阳期中]与2÷(－3)÷4运算结果相同的是(　B　) A. －2÷(3÷4) B. 2÷(－3×4) C. －2÷(4÷3) D. －3÷2÷4 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 5. [2024·长沙月考]计算 ÷ ×(－4)÷1 的结果是 (　B　) A. 1 B. －1 C. 10 D. －10 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 6. 计算： ÷  　－ 　. － 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 7. 计算： (1)8×(－2)×(－5)÷(－1)； 解：8×(－2)×(－5)÷(－1) ＝－8×2×5÷1＝－80. (2)12×(－3)÷(－4)； 解：12×(－3)÷(－4) ＝(－36)× ＝9. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 (3) ÷ × × ； 解： ÷ × × × × × ＝－30. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 (4)(－0.4)÷0.02÷[(－5)×(－10)]. 解：(－0.4)÷0.02÷[(－5)×(－10)] ＝(－0.4)÷0.02÷50 ＝(－20)÷50 ＝－ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 8. [2023·娄底双峰期中]若x＝(－1.125)× ÷ × ， 则x的倒数是(　A　) A. 1 B. －1 C. ±1 D. 2 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2星题　中档练 9. 【创新题·新考法】我们约定：把5÷5÷5记为5(3)，(－1)÷ (－1)记为(－1)(2)，则(－9)×(－3)(4)的计算结果为(　B　) A. －3 B. －1 C. － D. － B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 10. [2024·无锡月考]如图是一个运算程序，若输入的x的值 为－5，则输出的y＝ ⁠. －12　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 11. [2024年1月邵阳期末]某同学把6×(－3)错抄为6＋(－3)， 抄错后算得答案为y，若正确答案为x，则x÷y×(－6) ＝ ⁠. 36　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 12. 计算：(1) ×2 ×(－0.2)； 解： ×2 ×(－0.2) × × ＝2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 解：(－15)÷ × ＝(－15)÷ × ＝(－15)÷(－1)× ＝15× ＝－18. (2)(－15)÷ × . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 13. 【教材改编题】[2023·永州期末]一天，小红与小莉利用 温差测量山峰的高度，小红在山顶测得温度是－2 ℃， 小莉此时在山脚测得温度是8 ℃.已知该地区高度每增加 100 m，气温大约降低0.8 ℃，这个山峰的高度大约是多 少米？ 解：8－(－2)＝10(℃)， 10÷0.8×100＝10× ×100＝1 250(m). 答：这个山峰的高度大约是1 250 m. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 14. [运算能力][2023·永州期末]数学老师布置了一道题：计算 ÷ .小明仔细思考了一番，用下面的方法解决了这个问题. 小明的解法：原式的倒数为 ÷ × (－12) ×(－12)－ ×(－12)＝－4＋10＝6， 所以 ÷ . (1)请你判断小明的解法是否正确，并说明理由； 解：(1)正确.理由：一个数的倒数的倒数等于原数. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 3星题　提升练 (2)请你运用小明的解法解答下面的问题. 计算： ÷ . 解：(2)原式的倒数为 ÷ ( )× (－24) ×(－24)－ ×(－24)＋ ×(－24) ＝－8＋4－9＝－13， 所以 ÷ － . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 $$第1章　有理数 1.6　有理数的乘方 1.6.1　认识乘方 湘教 七年级上册 1. an读作“a的n次方”或“a的n次 ⁠”. 2. 求n个相同因数的乘积的运算，叫作乘方.在an中，a叫作底数，n叫作指数. 3. a2通常读作“a的 ”，a3通常读作“a的 ⁠”. 4. 正数的任何正整数次幂都是 ；负数的奇次幂 是 ，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂 都是0. 幂　 平方　 立方 正数　 负数　 核心必知 有理数的乘方的意义 1. [2024年1月邯郸期末](－8)2表示(　A　) A. 2个－8的积 B. －8与2的积 C. 2个－8的和 D. 8个－2的积 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 1星题　基础练 2. 将(－3)×(－3)×(－3)×(－3)×(－3)写成乘方的形式是 (　B　) A. －35 B. (－3)5 C. (－5)3 D. 5－3 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 3. 关于－43的叙述正确的是(　B　) A. 其中相同因数是－4 B. 相同因数的个数为3个 C. 表示3个－4相乘 D. 读作－4的3次幂 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 【变式题】[2024年1月成都期末]杨老师在黑板上写下 “－72”，读作： ，底数是 ，指数是 ⁠. 7的平方的相反数　 7　 2　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 有理数乘方的运算 4. 【知识初练】根据乘方的意义，(－2)3表示3个－2相 ，所以(－2)3＝ × × ⁠ ＝ ⁠. 乘　 (－2)　 (－2)　 (－2)　 －8　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 5. [2023·宿迁期末]下面式子中，正确的是(　B　) A. (－2)2＝－2 B. (－3)2＝9 C. (－9)2＝±3 D. (－3)2＝－9 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 6. [2023·聊城莘县期末]－14的相反数是(　A　) A. 1 B. －1 C. 4 D. －4 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 7. 在－(－23)，｜－7｜，(－2)2，－32这四个数中，是负数 的是(　D　) A. －(－23) B. ｜－7｜ C. (－2)2 D. －32 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 8. [2024·长沙月考]下列各组数中，互为相反数的是(　A　) A. －52与(－5)2 B. －(－3)与｜－3｜ C. ＋(－2)与－(＋2) D. －13与(－1)3 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 9. 下列各式计算结果的符号为负的是(　A　) A. × B. －45× C. －0.52× D. 93× A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 10. [2024·益阳月考]若x是最小的正整数，y是最小的非负整 数，则(y－x)2 025＝ ⁠. －1　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 11. 计算： (1)53；　　　　　　　　(2) . 解：53＝125. 解： . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 12. 直接判断下列各式计算结果的符号： (1)(－2)4× ；　　(2)－54× . 解：(1)的结果为负. (2)的结果为正. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 13. 【易错题·未进行分类讨论而致错】设n是正整数，则1－(－1)n的值是(　C　) A. 0或1 B. 1或2 C. 0或2 D. 0，1或2 点拨：当n是奇数时，1－(－1)n＝1＋1＝2.当n是偶数时，1－(－1)n＝1－1＝0.综上所述，1－(－1)n的值是0或2. C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 2星题　中档练 14. 对于式子－mn与(－m)n(n为正整数)的关系，下列说法 正确的是(　C　) A. 它们互为相反数 B. 它们的值相等 C. 当n为奇数时，它们相等 D. 当n为偶数时，它们相等 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 15. [2024·温州月考]观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8， 24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，….根据 上述算式的规律，则220的末位数字是(　C　) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 16. [2023·岳阳月考]现定义某种运算“*”，对任意两个有理 数a，b，有a*b＝ab，则(－4)*3＝ ⁠. －64　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 17. 【教材改编题】计算： (1)－34×(－3)3； 解：－34×(－3)3＝－81×(－27)＝2 187. (2) × . 解： × × － . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 18. 【教材改编题】如果a与b互为相反数，那么a2与b2是 否互为相反数？a3与b3是否互为相反数？ 解：由题意知a＝－b. ①当a＝0，b＝0时，a2与b2互为相反数，a3与b3互为相 反数； ②当a≠0，b≠0时，a2与b2不互为相反数，a3与b3互为 相反数. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 19. [推理能力](1)比较下列各组数的大小(填“＞”“＜”或 “＝”)： 12 21，23 32，34 43，45 54， 56 65，…. (2)根据上面的结果进行归纳猜想，nn＋1和(n＋1)n(n为非零自然数)的大小关系是： ①当n＝1，2时， ⁠； ②当n≥3时， ⁠. ＜　 ＜　 ＞　 ＞　 ＞　 nn＋1＜(n＋1)n　 nn＋1＞(n＋1)n　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 3星题　提升练 (3)根据上面归纳猜想得到的一般结论，试比较2 0242 023和2 0232 024的大小. 解：2 0242 023＜2 0232 024. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 $$第1章　有理数 1.6　有理数的乘方 1.6.2　科学记数法 湘教 七年级上册 目 录 CONTENTS 01 核心必知 02 1星题　基础练 03 2星题　中档练 　　把一个大于10(小于－10)的数记作 的形式， 其中a大于或等于1且小于10(a大于－10且小于或等于－1)， n是正整数，这种记数法就是科学记数法.对于小于－10的数 也可以类似表示. a×10n　 核心必知 用科学记数法表示较大的数 1. [2024·扬州中考]近年来扬州经济稳步发展：2024年4月26 日，扬州市统计局、国家统计局扬州调查队联合发布一季 度全市实现地区生产总值约18 700 000万元，把18 700 000 这个数用科学记数法表示为 ⁠. 1.87×107　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1星题　基础练 2. 用科学记数法表示下列各数. (1)100＝ ⁠； (2)1 550＝ ⁠； (3)－46 000＝ ⁠； (4)－2 340 000＝ ⁠. 1×102　 1.55×103　 －4.6×104　 －2.34×106　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 求科学记数法中的原数 3. [2024年1月邵阳期末]用科学记数法表示的数8.07×108的 原数为(　C　) A. 80 700 000 000 B. 8 070 000 000 C. 807 000 000 D. 80 700 000 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 4. 下列是用科学记数法表示的数，请把原数填在横线上. (1)3.618×103＝ ⁠； (2)2.16×105＝ ⁠； (3)－8×104＝ ⁠； (4)－7.123×102＝ ⁠. 3 618　 216 000　 －80 000　 －712.3　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 5. [2024·杭州月考]一个数用科学记数法表示为3.25×107， 则这个数有 个整数位数. 8　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 6. [2023·娄底中考]新时代我国教育事业取得了历史性成就， 目前我国已建成世界上规模最大的教育体系，教育现代化 发展总体水平跨入世界中上国家行列，其中高等教育在学 总规模达到4 430万人，处于高等教育普及化阶段.4 430万 用科学记数法表示为(　B　) A. 443×105 B. 4.43×107 C. 4.43×108 D. 0.443×108 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2星题　中档练 7. [2024·岳阳月考]若一个整数13 800…0用科学记数法表示 为1.38×1010，则原数中“0”的个数为(　C　) A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 8. 比较大小：－3.02×102 025 －3.20×102 025(填“＞” “＜”或“＝”). ＞　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 9. 【跨学科·物理】卫星绕地球运动的速度(即第一宇宙速度) 是7.9×103 m/s，则卫星绕地球运行2 000 s走过的路程用 科学记数法表示是 m. 1.58×107　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 10. [立德树人·保护环境]为节约水资源，某初中环保宣传小组作了一个调查，得到了如下的一组数据：某城市大约有160万人，每人每天早晨起来漱口，如果大家都有一个坏习惯，漱口时都不关水龙头，那么每个人漱口时要浪费 56 mL的水. (1)按这样计算，全市一天早晨要浪费多少升水？(用科学记数法表示) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 解：(1)160万＝1 600 000， 1 600 000×56＝89 600 000(mL)， 89 600 000÷1 000＝89 600＝8.96×104(L). 所以按这样计算，全市一天早晨要浪费8.96×104 L水. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 (2)如果我们用500 mL的纯净水瓶来装全市一天早晨浪费 的水，可以装多少瓶？(用科学记数法表示) 解：(2)89 600 000÷500＝179 200＝1.792×105(瓶). 可以装1.792×105瓶. 10. [立德树人·保护环境]为节约水资源，某初中环保宣传小组作了一个调查，得到了如下的一组数据：某城市大约有160万人，每人每天早晨起来漱口，如果大家都有一个坏习惯，漱口时都不关水龙头，那么每个人漱口时要浪费 56 mL的水. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 $$第1章　有理数 1.7　有理数的混合运算 湘教 七年级上册 目 录 CONTENTS 01 核心必知 02 1星题　基础练 03 2星题　中档练 04 3星题　提升练 　　有理数的混合运算顺序是：先算 ，再算乘除， 最后算 ；如果有括号，就先进行括号里面的运算 (先小括号，再中括号，最后大括号). 乘方　 加减　 核心必知 有理数的混合运算 1. [2024·衡阳月考]计算(－3)2－6÷(－3)× 时，应该 (　B　) A. 先算乘法，再算除法 B. 先算乘方，再算除法 C. 先算乘方，再算乘法 D. 先算除法，再算乘法 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 1星题　基础练 2. 计算－2×(3－5)，正确的结果是(　D　) A. －16 B. －11 C. 16 D. 4 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 3. [2023·南阳期末]下列四个式子计算结果最大的是(　A　) A. －23＋(－1)2 B. (－2)3－(－1)2 C. 23×(－1)3· D. 23÷(－1)3 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 4. 下面是小刚同学做的一道题：－23÷ × .解：原 式＝8÷ × 8.四名同学看了小刚的解答，给出了四 个看法：①运算顺序错了；②计算－23时符号错了，应为 －8；③计算结果是－8；④第一步应该等于－8× × . 其中正确的是 (填序号). ①②④　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 5. 计算： (1) (－2)×(－22)－(－5)×10＋6×(－2)3； 解：(－2)×(－22)－(－5)×10＋6×(－2)3 ＝(－2)×(－4)－(－5)×10＋6×(－8) ＝8＋50－48 ＝10. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (2) × ＋(－3)÷(－6). 解： × ＋(－3)÷(－6) ＝－ ＝－ ＝0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 简便运算 6. [2024·长沙月考]下列运算中，错误的是(　A　) A. ×2＝3－4 ×2 B. －4×(－7)×(－125)＝－(4×125×7) C. 9 ×16 ×16＝160－ D. [3×(－25)]×(－2)＝3×[(－25)×(－2)] A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 7. 计算：(1)(－5)×4× × ； 解：原式 × ＝4×1＝4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (2) ×(－36)； 解：原式 × × × × －28＋30－21＋120＝101. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (3)4.61× －5.39× ＋3÷ . 解：原式＝4.61× －5.39× ＋3× × ×7＝3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 8. [2024年1月石家庄裕华区期末]在计算－22＋5÷(－2)× －9× 时，有四名同学给出了以下四种计算步骤，其中正确的是(　C　) C A. 原式＝1÷(－2)× －9× B. 原式＝－4＋5÷(－1－9)× C. 原式＝－4＋5÷(－2)× －18＋3＋2 D. 原式＝4＋5÷(－2)× －18＋3＋2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2星题　中档练 9. [2023·岳阳期末]我们定义一种新运算：a*b＝b2－ab， 如：1*2＝22－1×2＝2，则[1*(－2)]*3＝ ⁠. －9　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 10. [2024·上海月考]老师设计了接力游戏，用合作的方式完 成有理数运算，规则是：每人只能看到前一人给的式 子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完 成计算.过程如图所示. (1)接力中，计算错误的学生 是 ⁠； 小明和小强　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (2)请正确计算老师给出的算式； 解：(2)原式＝－16－20÷4－6× ＝－16－5＋48＝27. (3)计算： ÷ ×2＋ . 解：(3)原式＝1＋ ×2×2＋ 1＋ ×2×2＋ 1－40＋29＝－10. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 11. 【创新题·新考法】有一个填写运算符号的游戏：在“1□2□6□9”中的每个□内，填入＋，－，×，÷中 的某一个(可重复使用)，然后计算结果. (1)计算：1＋2－6－9； 解：(1)1＋2－6－9＝3－6－9＝－3－9＝－12. (2)若1÷2×6□9＝－6，请推算□内的符号； 解：(2)因为1÷2×6□9＝－6， 所以1× ×6□9＝－6，所以3□9＝－6， 所以□内的符号是“－”. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 11. 【创新题·新考法】有一个填写运算符号的游戏：在“1□2□6□9”中的每个□内，填入＋，－，×，÷中 的某一个(可重复使用)，然后计算结果. (3)在“1□2□6－9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数. 解：(3)这个最小数是－20. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 12. [运算能力]有一种“24点”游戏，其游戏规则是：将4个 1～13之间的有理数进行加减乘除四则运算(每个数只能 用一次)，使其结果为24，例如1，2，3，4可进行运算： (1＋2＋3)×4＝24. (1)现在有4个有理数：3，4，6，10，运用上述规则，写出两个不同的算式，使其结果为24； 解：(1)(4－6＋10)×3＝24，10－4＋3×6＝24.(答案不唯一) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 3星题　提升练 12. [运算能力]有一种“24点”游戏，其游戏规则是：将4个 1～13之间的有理数进行加减乘除四则运算(每个数只能 用一次)，使其结果为24，例如1，2，3，4可进行运算： (1＋2＋3)×4＝24. (2)对于4个有理数：1，2，4，8，再多给你一种乘方运算，请你写出一个含乘方的算式，使其结果为24. 解：(2)24＋1×8＝24.(答案不唯一) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 $$第1章　有理数 全章整合与提升 湘教 七年级上册 六个概念 正数与负数 1. [2024年1月深圳罗湖区期末]下列四个数中，是负数的是 (　B　) A. 0 B. －0.5 C. －(－1) D. 7 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 全章整合与提升 有理数 2. [2024·鹤壁模拟]在数－ ，0.101 001 000 1， ，0. 中，有理数有(　C　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 3. 是否存在满足下列条件的数，若存在，请写出来： (1)最小的正有理数： ⁠； (2)最小的负整数： ⁠； (3)最大的非正数： ⁠； (4)最小的整数： ⁠； (5)最大的负有理数： ⁠. 不存在　 不存在　 0　 不存在　 不存在　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 数轴 4. [2023·自贡中考]如图，数轴上点A表示的数是2 023，OA ＝OB，则点B表示的数是(　B　) A. 2 023 B. －2 023 C. D. － B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 【变式题】在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示 数a和b(b＞1)，将点A向右平移1个单位长度得到点C. 若B，C两点到原点O的距离相等，则a，b的关系是(　C　) A. a＋b＝1 B. a－b＝1 C. a＋b＝－1 D. a－b＝－1 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 相反数 5. [2024年1月天津和平区期末]下列各组数中，互为相反数 的是(　C　) A. －(＋4)与＋(－4) B. －(－4)与｜－4｜ C. －22与(－2)2 D. －23与(－2)3 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 绝对值 6. 若｜a｜＝－a，则a的值不可以是(　A　) A. 2 B. －5 C. 0 D. －0.5 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 7. 若有理数a≠0，则 的不同取值有(　B　) A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 无数种 点拨：依题意知a≠0，即｜a｜≠0.当a＞0时，｜a｜＝a，则 1；当a＜0时，｜a｜＝－a，则 －1.所以 的不同取值有2种. B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 倒数 8. [2023·长沙期末]下列互为倒数的是(　D　) A. －2和2 B. 3和－ C. －2和 D. －3和－ D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 两种方法 有理数大小的比较方法 9. 把数－2，1.5，－(－4)，－3 ，－｜＋0.5｜表示在数轴 上，然后用“＞”把它们连接起来. 解：－(－4)＝4，－｜＋0.5｜＝－0.5，将各数表示在数轴上如答图. －(－4)＞1.5＞－｜＋0.5｜＞－2＞－3 . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 科学记数法 10. [2024年1月永州期末]永州，雅称“潇湘”，是我国的历 史文化名城，总面积约22 400平方千米.其中22 400用科 学记数法表示为(　D　) A. 2.24×105 B. 0.224×105 C. 22.4×103 D. 2.24×104 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 一种运算——有理数的运算 11. [2023·岳阳月考]计算： (1)－3－ ； 解：原式＝－3－ －3＋2＋1＝0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 (2)－22÷(－4)× －12×(－15＋24)3； 解：原式＝－4÷(－4)× －12×(－15＋16)3 ＝1× －12×1 －12＝－11 . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 (3)｜－6｜－ ×[(－2)×(－6)＋(－4)2]＋(－3)÷ . 解：原式＝6－ ×(12＋16)＋(－3)×3 ＝6－ ×28－9＝6－7－9＝－10. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 两种运算技巧 巧用运算律 12. 用简便方法计算 ×17时，变形正确的是(　A　) A. － ×17 B. － ×17 C. － ×17 D. －9×17＋ ×17 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 13. 计算： (1)1 ＋2 ； 解：原式 ＋［ ］ ＝4＋(－4)＝0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 (2)3 ＋2 ； 解：原式 ＋2 －2 ＋2 ＋(－10)＝－10. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 (3)－13× －0.35× ×(－13)－1 ×0.35. 解：原式＝－13× －0.35× ＝－13×1－0.35×2＝－13.7. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 借数凑整 14. [一题多解]计算：89＋899＋8 999＋89 999－9－99－999 －9 999－99 999. 解：方法一：原式＝(90＋900＋9 000＋90 000－4)－(10＋100＋1 000＋10 000＋100 000－5)＝99 990－111 110－4＋5＝－11 119. 方法二：原式＝(89－9)＋(899－99)＋(8 999－999)＋ (89 999－9 999)－(100 000－1)＝80＋800＋8 000＋80 000－ (100 000－1)＝88 880－100 000＋1＝－11 119. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 一个应用——有理数的应用 15. 为庆祝中华人民共和国成立75周年，某校举行了一场文 艺汇演，汇演中途设置了一个有奖问答环节，题目在背 景屏幕上显示如图： 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 解：(－1)3＝－1，－｜－4｜＝－4，最小的正整数是1，｜a＋2｜－3的最小值是－3，0的相反数是0，比－1大 的数是 .将这些数在数轴上表示出来，如答图. 所以－4＜－3＜－1＜0＜1＜ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 16. 岳阳某超市顶层(第六层)为餐饮、休闲娱乐中心，地下负二层为地下停车场，地下负一层至地上第五层为购物中心.单层层高平均为4.5 m.超市竖直升降电梯极大方便了顾客，其平均运行速度约为1.5 m/s.若将地面一楼位置标记为0 m，竖直向上为正，如二楼的位置标记为＋4.5 m. (1)地下停车场的位置标记为 m，顶层餐饮、休闲娱乐中心的位置应标记为 m； －9　 ＋22.5　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 (2)某顾客在地下停车场停好车后直接去顶层就餐，乘坐电梯的时间(中途不停顿)为多少秒？ 解：(2)因为从地下停车场到顶层的距离为22.5－(－9)＝31.5(m)，所以乘坐电梯的时间(中途不停顿)为31.5÷1.5＝21(s). 16. 岳阳某超市顶层(第六层)为餐饮、休闲娱乐中心，地下负二层为地下停车场，地下负一层至地上第五层为购物中心.单层层高平均为4.5 m.超市竖直升降电梯极大方便了顾客，其平均运行速度约为1.5 m/s.若将地面一楼位置标记为0 m，竖直向上为正，如二楼的位置标记为＋4.5 m. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 (3)某顾客购物后准备去停车场，由于他进入电梯时，电梯处于向上运行状态，他乘坐电梯先到顶层，然后迅速向下到地下停车场，中途某楼层上下顾客时恰好停顿了10 s，全程恰好费时40 s，请问他是在第几层进入电梯的？ 16. 岳阳某超市顶层(第六层)为餐饮、休闲娱乐中心，地下负二层为地下停车场，地下负一层至地上第五层为购物中心.单层层高平均为4.5 m.超市竖直升降电梯极大方便了顾客，其平均运行速度约为1.5 m/s.若将地面一楼位置标记为0 m，竖直向上为正，如二楼的位置标记为＋4.5 m. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 解：(3)由(2)得，从顶层到地下停车场乘坐电梯的时间为21 s，而每上(下)一层乘坐电梯的时间为4.5÷1.5＝3(s)，(40－21－10)÷3＝3(层). 6－3＝3(层). 所以他是在第三层进入电梯的. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 两种思想 数形结合思想 17. [2024·北京朝阳区模拟]有理数a，b，c在数轴上的对应 点的位置如图所示，则正确的结论是(　C　) A. a＋c＞0 B. ｜a｜＜｜b｜ C. bc＞1 D. ac＞0 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 分类讨论思想 18. 如图， A，B分别为数轴上的两点，点A表示的数为 －20，点B表示的数为100. (1)请写出到A，B两点的距离相等的点M所表示的数； 解：(1)点M所表示的数是(－20＋100)÷2＝40. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 (2)若电子蚂蚁P从点B出发，以每秒6个单位长度的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发，以每秒4个单位长度的速度也向左运动.请问：当它们运动多少秒时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度？ 解：(2)相遇前：(100＋20－20)÷(6－4)＝50(s). 相遇后：(100＋20＋20)÷(6－4)＝70(s). 故当它们运动50 s或70 s时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 $$