3.2.2奇偶性7题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 3.2.2奇偶性9题型分类 一、偶函数、奇函数的定义 (1)偶函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 二、偶函数、奇函数的图象特征 (1)偶函数的图象特征 如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. (2)奇函数的图象特征 如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象关于坐标原点成中心对称图形，则这个函数是奇函数. 三、函数具有奇偶性时定义域与对应关系的特点 (1)定义域：由于f(－x)与f(x)都有意义，故－x和x同时属于定义域，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称．换言之，若函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性． (2)对应关系：①奇函数有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔(f(x)≠0)； ②偶函数有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔(f(x)≠0)． 四、函数奇偶性的四个关注点 (1)与函数的最值相同，函数的奇偶性也是函数的整体性质． (2)若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数． (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空集合． (4)函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数． 五、奇、偶函数的单调性 根据奇、偶函数的图象特征，我们不难得出以下结论： (1)奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．上述结论可简记为“奇同偶异”． (2)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 六、常见函数(一次函数、反比例函数、二次函数)的奇偶性 函数 奇偶性 一次函数y＝kx＋b(k≠0) 当b＝0时是奇函数；当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数 反比例函数y＝(a≠0) 奇函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 当b＝0时是偶函数；当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数 （一） 函数奇偶性的判断 判断函数奇偶性的三种常用方法 (1)定义法 ①确定函数的定义域； ②看定义域是否关于原点对称． (ⅰ)不对称，则函数为非奇非偶函数； (ⅱ)对称 (2)图象法：画出函数的图象，直接利用图象的对称性判断函数的奇偶性． (3)性质法 ①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数； ②奇函数的和、差仍为奇函数； ③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数； ④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数． 注：(1)判断奇偶性时，必须先求定义域. (2)有时需在定义域内对函数解析式进行变形、化简，再找f(-x)与f(x)的关系. (3)对于分段函数，应分段讨论，要注意根据x的范围取相应的函数解析式. 题型1：函数奇偶性的判断 1-1．（2024高一·全国·课后作业）下列函数中，是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 1-2．（2024高一·全国·课后作业）函数的奇偶性是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 1-3．（2024高一·全国·课后作业）下列函数中，是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 1-4．（2024高一·全国·课后作业）函数的奇偶性是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 1-5．（2024高三下·上海宝山·期中）函数的奇偶性为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 1-6．（2024高一·全国·专题练习）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 题型2：抽象函数的奇偶性 2-1．（2024高一上·安徽蚌埠·期末）已知定义在上的函数，满足： ①； ②任意的，，. （1）求的值； （2）判断并证明函数的奇偶性. 2-2．（2024高一上·广东汕头·期中）已知函数对一切实数都有成立， 且. (1)分别求和的值； (2)判断并证明函数的奇偶性． 2-3．（2024高一·全国·课后作业）若函数对任意，恒有成立，且． (1)求证：是奇函数； (2)求的值； (3)若时，，试求在上的最大值和最小值． （二） 奇、偶函数的图象及应用 1、巧用奇偶性作函数图象的步骤 (1)确定函数的奇偶性． (2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象． (3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的函数图象． 2、奇、偶函数图象的应用类型及处理策略 (1)类型：利用奇、偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题． (2)策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图象直接观察． 题型3：奇、偶函数的图象及应用 3-1．（2024高一上·河南三门峡·期末）已知函数的图象关于原点对称，且当时，．    (1)试求在上的解析式； (2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间． 3-2．（2024高一上·福建福州·期中）已知函数是定义在R上的偶函数，如图所示，现已画出函数在y轴左侧的图象，    (1)请画出y轴右侧的图像，并写出函数的解析式和单调减区间； (2)若函数，求函数的最大值． 3-3．（2024高一上·安徽马鞍山·期中）已知定义在R上的函数是奇函数，且当时，． (1)求和的值； (2)求函数的解析式； (3)作函数的图象，并写出它的单调区间和值域． 3-4．（2024高一上·上海金山·期末）已知． (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)判断并证明函数在区间上的单调性； (3)根据函数的性质，画出函数的大致图像． （三） 利用函数的奇偶性求函数值 利用函数的奇偶性求函数值的思路 已知f(a)求f(－a)的思路：判断f(x)的奇偶性或构造已知奇偶性的函数，利用奇偶性找出f(a)与f(－a)的关系，若还有其他条件，可再利用其转化，进而求出f(－a)． 注：(1)利用函数的奇偶性求函数值问题应充分运用奇(偶)函数的定义构造函数，从而使问题快速得到解决. (2)在定义域关于原点对称的前提下,若解析式中仅含有x的奇次项，则函数为奇函数,若解析式中仅含有x的偶次项，则函数为偶函数，常利用此结论构造函数解题. 题型4：利用函数的奇偶性求函数值 4-1．（2024·福建漳州·三模）已知函数是定义在上的奇函数，且，则 . 4-2．（2024高三下·湖南邵阳·学业考试）已知是定义域为R的奇函数，时，，则（    ） A．0 B． C． D．2 4-3．（2024高一·全国·课后作业）已知是上的奇函数，当时，，则（    ） A．4 B． C．7 D． 4-4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，且，则 ． 4-5．（2024高一·全国·课后作业）已知，则等于（    ） A．8 B． C． D．10 （四） 利用函数的奇偶性求参数值 已知函数的奇偶性求参数值的三种思路 (1)若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程． (2)一般化策略：对x取定义域内的任一个值，利用f(－x)与f(x)的关系式恒成立来确定参数的值． (3)特殊化策略：根据定义域内关于原点对称的特殊自变量值对应的函数值的关系列方程求解，不过，这种方法求出的参数值要代入解析式检验，看是否满足条件，不满足的要舍去． 题型5：利用函数的奇偶性求参数值 5-1．（2024高三上·安徽滁州·期中）设是定义在上的偶函数，则 A．0 B．2 C． D． 5-2．（2024·湖南·模拟预测）已知是偶函数，则（    ） A． B．1 C． D．2 5-3．（2024高一上·江西宜春·阶段练习）设是定义在上偶函数，则在区间上是（    ） A．增函数 B．减函数 C．先增后减函数 D．与，有关，不能确定 5-4．（江苏省盐城市大丰中学、盐城一中等六校2023-2024学年高一上学期期末联考数学试题）设是定义在上的奇函数，则＝（    ） A． B． C． D． （五） 利用函数的奇偶性求函数解析式 利用函数的奇偶性求函数解析式的注意事项 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性解出f(x)． 注意：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，则未必有f(0)＝0. 题型6：利用函数的奇偶性求函数解析式 6-1．（2024高一上·江苏南京·期中）设函数是定义在上的奇函数，且. （1）确定函数的解析式； （2）试判断函数的单调性，并用定义法证明. 6-2．（2024高一上·浙江·期末）函数是定义在R上的偶函数，当时，． （1）求函数在的解析式； （2）当时，若，求实数m的值． 6-3．（2024高一下·陕西安康·期中）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 6-4．（2024高一上·山东济宁·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求在上的解析式； (2)当时，求的值域. （六） 利用函数的奇偶性比较大小 利用函数的奇偶性比较大小：看自变量是否在同一单调区间上． ①在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； ②不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性转化为同一单调区间上的两函数值，然后利用单调性比较大小． 题型7：利用函数的奇偶性比较大小 7-1．（2024高一上·全国·课后作业）若函数在上是偶函数，在上单调递增，则，，的大小关系是 . 7-2．（山东省潍坊市临朐县第一中学2023-2024学年高一上学期9月月考数学试题）设偶函数 在区间 上单调递增， 则（       ） A． B． C． D． 7-3．（2024高一·河南·阶段练习）定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（ ） A． B． C． D． （七） 利用函数的奇偶性解不等式 利用函数的奇偶性解不等式 ①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式； ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”，转化为简单不等式求解． 注：(1)抽象不等式问题，解题步骤是: ①将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系; ②利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的符号“f"，转化为解不等式(组)的问题. (2)需要注意的是:在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上;当不等式一边没有符号“f”时，需转化为含符号“f”的形式，如0= f(l),f(x-1)<0，则f(x-1)< f(1). (3)利用好偶函数性质f(x)=f(|x|)可以避免讨论，简化计算. 题型8：利用函数的奇偶性解不等式 8-1．（2024高一上·四川内江·期中）定义在上的偶函数满足：在上单调递减，则满足的解集 . 8-2．（2024高一上·陕西西安·期中）已知为定义在上的奇函数，且对任意实数，有，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8-3．（2024高二下·河南·期中）已知函数为定义在上的奇函数，且当时，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8-4．（2024·广东深圳·模拟预测）已知为上的偶函数，函数在上单调递增，则不等式的解集为 . 8-5．（2024高一上·辽宁丹东·期末）若偶函数在上单调递增，且，则不等式解集是（    ） A． B． C． D． 题型9：函数性质的综合应用 9-1．（2024高一上·江苏苏州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)解不等式. 9-2．（2024高一下·广西·期中）函数是定义在上的奇函数，且． (1)确定的解析式； (2)判断在上的单调性，并证明你的结论； (3)解关于的不等式． 9-3．（2024高一上·陕西渭南·期末）已知二次函数. (1)若函数是偶函数，求实数的值； (2)是否存在实数，使得函数在上的值域也是?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 一、单选题 1．（2024高一上·湖南衡阳·期末）已知为偶函数，则a=（   ） A． B． C．1 D．2 2．（2024高一上·重庆璧山·阶段练习）已知函数在上为偶函数，且当时，，则当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． 3．（2024高一上·河北石家庄·阶段练习）下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024高三·全国·对口高考）函数是定义在区间上的奇函数，，则的最大值与最小值之和为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2024高一·全国·课后作业）若奇函数在区间上是增函数，则它在区间上是（    ） A．增函数且最大值是 B．增函数且最小值是 C．减函数且最大值是 D．减函数且最小值是 6．（2024·四川·三模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 7．（2024高一上·广东深圳·期中）定义在上的偶函数在单调递减，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 9．（2024高一上·全国·课后作业）已知是奇函数且对任意正实数，恒有，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（2024·湖北·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，对任意，且，有，若，则不等式的解集是（    ） A．B． C． D． 11．（2024高一下·江苏扬州·开学考试）已知是定义在上的偶函数，对于任意的，（），都有成立．若，则实数m的取值范围为（    ） A．或 B． C．或 D． 12．（2024·河南·模拟预测）为定义在上的偶函数，对任意的，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 13．（2024高一上·全国·课后作业）若函数是偶函数，则、的值是（    ） A． B．不能确定， C．，不能确定 D． 14．（2024高一·全国·课后作业）已知是定义在上的奇函数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 15．（2024高三·全国·对口高考）设奇函数在上为单调递增函数，且，则不等式，的解集为（    ） A． B． C． D． 16．（2024高一·全国·课后作业）对于两个定义域关于原点对称的函数和在它们的公共定义域内，下列说法中正确的是（    ） A．若和都是奇函数，则是奇函数 B．若和都是偶函数，则是偶函数 C．若是奇函数，是偶函数，则是偶函数 D．若和都是奇函数，则不一定是奇函数 17．（2024高一下·浙江台州·开学考试）下列判断正确的是 A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C．函数是偶函数 D．函数既是奇函数又是偶函数 18．（2024·广西南宁·一模）已知函数，的定义域均为，且，，若为偶函数，且，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．0 二、多选题 19．（2024高二下·辽宁·阶段练习）已知是定义在上不恒为0的偶函数，是定义在上不恒为0的奇函数，则（    ） A．为奇函数 B．为奇函数 C．为偶函数 D．为偶函数 三、填空题 20．（2024高一下·河北保定·期中）已知函数且，则的值为 21．（2024高一上·全国·课后作业）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 . 22．（2024高一上·贵州黔西·期末）已知定义域为的函数是奇函数且.若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围为 . 23．（2024·广东湛江·二模）已知奇函数则 ． 24．（2024高一下·上海宝山·期中）已知是定义域为R的奇函数，当时，，则当时，的表达式为 ． 25．（2024高三·全国·专题练习）已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，则函数在R上的表达式为 ． 26．（2024高一上·江西景德镇·期中）若是上的奇函数，且当时，，则当， ． 27．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，且，则 ． 四、解答题 28．（2024高一上·浙江温州·期中）若函数满足 (1)求函数的解析式； (2)若函数，试判断的奇偶性，并证明. 29．（2024高一·全国·课后作业）已知函数是偶函数，其中c为常数. (1)求c的值； (2)若时，均有，求m的取值范围. 30．（2024高二下·河北石家庄·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求当时，函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 31．（2024高一·全国·专题练习）已知函数，（）. (1)当时，解关于x的不等式； (2)判断函数的奇偶性，并证明； 32．（2024高一上·贵州遵义·期末）已知函数y＝f(x)的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，且当x>0时，f(x)<0恒成立. (1)证明函数y＝f(x)是R上的单调函数； (2)讨论函数y＝f(x)的奇偶性； (3)若f(x2－2)＋f(x)<0，求x的取值范围. 33．（2024高一下·山西太原·阶段练习）设函数是定义在上的增函数，对于任意都有． (1)证明是奇函数； (2)解不等式． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 3.2.2奇偶性9题型分类 一、偶函数、奇函数的定义 (1)偶函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 二、偶函数、奇函数的图象特征 (1)偶函数的图象特征 如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. (2)奇函数的图象特征 如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象关于坐标原点成中心对称图形，则这个函数是奇函数. 三、函数具有奇偶性时定义域与对应关系的特点 (1)定义域：由于f(－x)与f(x)都有意义，故－x和x同时属于定义域，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称．换言之，若函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性． (2)对应关系：①奇函数有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔(f(x)≠0)； ②偶函数有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔(f(x)≠0)． 四、函数奇偶性的四个关注点 (1)与函数的最值相同，函数的奇偶性也是函数的整体性质． (2)若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数． (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空集合． (4)函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数． 五、奇、偶函数的单调性 根据奇、偶函数的图象特征，我们不难得出以下结论： (1)奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．上述结论可简记为“奇同偶异”． (2)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 六、常见函数(一次函数、反比例函数、二次函数)的奇偶性 函数 奇偶性 一次函数y＝kx＋b(k≠0) 当b＝0时是奇函数；当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数 反比例函数y＝(a≠0) 奇函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 当b＝0时是偶函数；当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数 （一） 函数奇偶性的判断 判断函数奇偶性的三种常用方法 (1)定义法 ①确定函数的定义域； ②看定义域是否关于原点对称． (ⅰ)不对称，则函数为非奇非偶函数； (ⅱ)对称 (2)图象法：画出函数的图象，直接利用图象的对称性判断函数的奇偶性． (3)性质法 ①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数； ②奇函数的和、差仍为奇函数； ③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数； ④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数． 注：(1)判断奇偶性时，必须先求定义域. (2)有时需在定义域内对函数解析式进行变形、化简，再找f(-x)与f(x)的关系. (3)对于分段函数，应分段讨论，要注意根据x的范围取相应的函数解析式. 题型1：函数奇偶性的判断 1-1．（2024高一·全国·课后作业）下列函数中，是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇函数的定义逐项判断作答. 【详解】对于A，的定义域为R，，函数是奇函数，A是； 对于B，的定义域为R，，函数不是奇函数，B不是； 对于C，的定义域为R，，函数不是奇函数，C不是； 对于D，的定义域为R，，函数不是奇函数，D不是. 故选：A 1-2．（2024高一·全国·课后作业）函数的奇偶性是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用奇偶性函数的定义直接判断作答. 【详解】函数的定义域为，不关于数0对称， 所以函数是非奇非偶函数. 故选：D 1-3．（2024高一·全国·课后作业）下列函数中，是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用偶函数定义逐项判断作答. 【详解】对于A，函数的定义域为R，，不是偶函数，A不是； 对于B，函数的定义域为R，，不是偶函数，B不是； 对于C，函数的定义域为R，，是偶函数，C是； 对于D，函数的定义域为R，，不是偶函数，D不是. 故选：C 1-4．（2024高一·全国·课后作业）函数的奇偶性是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 【答案】A 【分析】求出函数的解析式，得出与的关系，即可判断出函数的奇偶性. 【详解】若，则，则； 若，则，则. 又，满足. 所以，又函数的定义域为，关于原点对称， 因此，函数为奇函数. 故选：A. 1-5．（2024高三下·上海宝山·期中）函数的奇偶性为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 【答案】C 【分析】求出的定义域不关于原点对称，即可判断为非奇非偶函数. 【详解】由函数的定义域可得， 则， 由于定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数. 故选：C. 1-6．（2024高一·全国·专题练习）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【答案】(1)奇函数 (2)是奇函数，也是偶函数 (3)既不是奇函数，也不是偶函数 (4)奇函数 (5)偶函数 【分析】利用奇偶函数的定义与性质判断即可. 【详解】（1）因为，其定义域为，关于原点对称， 又， 所以是奇函数. （2）因为， 所以，解得， 则的定义域为，关于原点对称，且， 故是奇函数，也是偶函数. （3）因为， 所以，解得或， 则的定义域不关于原点对称， 所以既不是奇函数，也不是偶函数． （4）因为，易知定义域关于原点对称， 当时，， ，； 当时，， ，. 所以函数为奇函数； （5）因为， 所以，所以且， 所以函数的定义域为关于原点对称， 又， 所以函数为偶函数. 题型2：抽象函数的奇偶性 2-1．（2024高一上·安徽蚌埠·期末）已知定义在上的函数，满足： ①； ②任意的，，. （1）求的值； （2）判断并证明函数的奇偶性. 【答案】（1）1；（2）偶函数，证明见解析. 【解析】（1）令，代入，可得答案； （2）由（1）知，且，得出，利用偶函数的定义判断可得函数的奇偶性． 【详解】（1）依题意，. （2）由（1）知， ∴，即， ∴， 又因为的定义域为， 所以函数为偶函数. 2-2．（2024高一上·广东汕头·期中）已知函数对一切实数都有成立， 且. (1)分别求和的值； (2)判断并证明函数的奇偶性． 【答案】(1)，； (2)是奇函数，证明见解析. 【分析】（1）利用赋值法求解即可； （2）令可得，然后可判断. 【详解】（1）因为函数对一切实数都有成立，， 所以当时，即， 令可得，所以，即 （2）令可得，所以， 所以，即，， 所以函数是奇函数. 2-3．（2024高一·全国·课后作业）若函数对任意，恒有成立，且． (1)求证：是奇函数； (2)求的值； (3)若时，，试求在上的最大值和最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)， (3)最大值为2，最小值为 【分析】（1）赋值法得到，再由得到，得到函数为奇函数； （2）赋值法求出，利用（1）中的函数奇偶性求出，再用赋值法求出； （3）先证明出函数的单调性，结合（2）中结论得到答案. 【详解】（1）定义域为，令，得，再令，得， 所以，故是奇函数； （2）因为，故令得，即， 又是奇函数，所以， 令得， 令得 故； （3）不妨设， 中，令得， ， 因为，又时，， 所以，即， 所以在R上单调递减， 故． （二） 奇、偶函数的图象及应用 1、巧用奇偶性作函数图象的步骤 (1)确定函数的奇偶性． (2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象． (3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的函数图象． 2、奇、偶函数图象的应用类型及处理策略 (1)类型：利用奇、偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题． (2)策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图象直接观察． 题型3：奇、偶函数的图象及应用 3-1．（2024高一上·河南三门峡·期末）已知函数的图象关于原点对称，且当时，．    (1)试求在上的解析式； (2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间． 【答案】(1) (2)作图见解析，单调递增区间为和，单调递减区间为 【分析】（1）根据奇函数的性质，结合条件即可求解的解析式， （2）由的图象即可求解单调区间. 【详解】（1）∵的图象关于原点对称， ∴是奇函数，∴． 又的定义域为，∴，解得． 设，则， ∵当时，， ∴，∴， 所以； （2）由（1）可得的图象如下所示：    由图象可知的单调递增区间为和，单调递减区间为； 3-2．（2024高一上·福建福州·期中）已知函数是定义在R上的偶函数，如图所示，现已画出函数在y轴左侧的图象，    (1)请画出y轴右侧的图像，并写出函数的解析式和单调减区间； (2)若函数，求函数的最大值． 【答案】(1)图见解析，，单调递减区间为和 (2) 【分析】（1）根据偶函数的图象关于y轴对称，可作出的图象，写出单调递减区间，进而求得函数的解析式； （2）当时，得到，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）解：如图所示，根据偶函数的图象关于y轴对称，可作出的图象， 当时，设函数， 由图象可得，解得，所以， 当时，则，因为函数为偶函数，所以， 所以函数的解析式为， 可得的单调递减区间为和，    （2）解：当时，， 可得其对称轴的方程为且开口向上， ①当时，即时，； ②当时，即时，， 综上可得， 3-3．（2024高一上·安徽马鞍山·期中）已知定义在R上的函数是奇函数，且当时，． (1)求和的值； (2)求函数的解析式； (3)作函数的图象，并写出它的单调区间和值域． 【答案】(1)； (2) (3)图象见详解；单调递增区间为和，单调递减区间为和，值域为 【分析】（1）根据函数的解析式可直接求解，再根据奇函数的性质可求解； （2）根据奇函数的性质即可求解； （3）结合（2）可得图象，即可求解的单调区间和值域． 【详解】（1）当时，，则， 又因为函数为R上的奇函数，则； （2）因为函数为R上的奇函数，所以， 令，得，所以， 任取，则， 所以， 所以， 综上所述； （3）结合（2）可得图象如下， 由图象可知的单调递增区间为和，单调递减区间为和， 值域为． 3-4．（2024高一上·上海金山·期末）已知． (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)判断并证明函数在区间上的单调性； (3)根据函数的性质，画出函数的大致图像． 【答案】(1)偶函数； (2)单调递增； (3)详见解析. 【分析】（1）利用函数的奇偶性的定义判断； （2）利用函数的单调性的定义判断； （3）根据函数的定义域，单调性和奇偶性画出. 【详解】（1）解：因为函数的定义域为关于原点对称， 又因为， 所以是偶函数； （2）任取，且， 则， ， 因为， 所以，， 又因为，所以， 所以，即， 所以函数在区间上单调递增； （3）由（2）同理可得在区间上单调递增， 由（1）知是偶函数，则在和上单调递减， 所以其图象如图所示： （三） 利用函数的奇偶性求函数值 利用函数的奇偶性求函数值的思路 已知f(a)求f(－a)的思路：判断f(x)的奇偶性或构造已知奇偶性的函数，利用奇偶性找出f(a)与f(－a)的关系，若还有其他条件，可再利用其转化，进而求出f(－a)． 注：(1)利用函数的奇偶性求函数值问题应充分运用奇(偶)函数的定义构造函数，从而使问题快速得到解决. (2)在定义域关于原点对称的前提下,若解析式中仅含有x的奇次项，则函数为奇函数,若解析式中仅含有x的偶次项，则函数为偶函数，常利用此结论构造函数解题. 题型4：利用函数的奇偶性求函数值 4-1．（2024·福建漳州·三模）已知函数是定义在上的奇函数，且，则 . 【答案】/ 【分析】根据奇函数的性质，结合题目中的函数解析式，可得答案. 【详解】由函数是定义在上的奇函数，则，， 由，则. 故答案为：. 4-2．（2024高三下·湖南邵阳·学业考试）已知是定义域为R的奇函数，时，，则（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】C 【分析】 根据奇函数的性质即可求解. 【详解】 ，由于是定义域为R的奇函数，所以， 故选：C 4-3．（2024高一·全国·课后作业）已知是上的奇函数，当时，，则（    ） A．4 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】由奇函数的性质求解即可. 【详解】当时，， 因为是上的奇函数，所以， 所以. 故选：A. 4-4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，且，则 ． 【答案】2024 【分析】根据已知条件构造函数，然后利用函数的奇偶性可求得结果. 【详解】构造具有奇偶性的函数，由，得， 构建函数，定义域为， 因为 所以函数是偶函数，所以， 所以， 从而，又， 因此. 故答案为：2024 4-5．（2024高一·全国·课后作业）已知，则等于（    ） A．8 B． C． D．10 【答案】C 【分析】构造函数，再判断函数的奇偶性，进而求值作答. 【详解】函数的定义域为R， 令函数，显然， 即函数是R上的奇函数，因此，即，而， 所以. 故选：C （四） 利用函数的奇偶性求参数值 已知函数的奇偶性求参数值的三种思路 (1)若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程． (2)一般化策略：对x取定义域内的任一个值，利用f(－x)与f(x)的关系式恒成立来确定参数的值． (3)特殊化策略：根据定义域内关于原点对称的特殊自变量值对应的函数值的关系列方程求解，不过，这种方法求出的参数值要代入解析式检验，看是否满足条件，不满足的要舍去． 题型5：利用函数的奇偶性求参数值 5-1．（2024高三上·安徽滁州·期中）设是定义在上的偶函数，则 A．0 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】由于在上的偶函数，故定义域关于原点对称，即：，便可得出的值. 又由于为偶函数，即：，便可得出的值.从而便得出答案. 【详解】由于在上的偶函数，故定义域关于原点对称，即：，得. 又由于为偶函数，即：，化简得：=0. 则. 故选：C. 【点睛】本题主要考查偶函数的定义以及性质，是一道基础的题目. 5-2．（2024·湖南·模拟预测）已知是偶函数，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】方法一：由偶函数的性质，即可求得的值；方法二：由偶函数图像关于轴对称，求出二次函数对称轴，列出方程求解即可． 【详解】方法一：因为， 所以， 由，得， 解得； 方法二：， 因为是偶函数， 所以图像关于直线对称， 所以，解得， 故选：D． 5-3．（2024高一上·江西宜春·阶段练习）设是定义在上偶函数，则在区间上是（    ） A．增函数 B．减函数 C．先增后减函数 D．与，有关，不能确定 【答案】B 【分析】根据偶函数的特点解出，然后根据二次函数的图像和性质进行判断即可. 【详解】是定义在上偶函数，∴定义域关于原点对称，即，∴， 则，由， 即，解得，∴， 函数图像抛物线开口向下，对称轴为， 则函数在区间上是减函数． 故选：B． 5-4．（江苏省盐城市大丰中学、盐城一中等六校2023-2024学年高一上学期期末联考数学试题）设是定义在上的奇函数，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇函数的定义可得的值，从而确定函数解析式，即可求得的值. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以，即，且，故，所以， 所以，则. 故选：B. （五） 利用函数的奇偶性求函数解析式 利用函数的奇偶性求函数解析式的注意事项 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性解出f(x)． 注意：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，则未必有f(0)＝0. 题型6：利用函数的奇偶性求函数解析式 6-1．（2024高一上·江苏南京·期中）设函数是定义在上的奇函数，且. （1）确定函数的解析式； （2）试判断函数的单调性，并用定义法证明. 【答案】（1）；（2）在上单调递增，证明见解析 【分析】（1）由函数是定义在上的奇函数，则，解得的值，再根据，解得的值，从而求得的解析式． （2）设，化简可得，然后再利用函数的单调性定义即可得到结果． 【详解】（1）∵函数是定义在上的奇函数， ∴由，得． 又∵ ， ∴ ，解之得； 所以函数的解析式为：； （2）设， 则 ∵，， ∴，即， 所以在上单调递增． 【点睛】本题主要考查了奇函数的性质，函数解析式的求法，以及利用函数单调性定义证明函数的单调性，属于基础题． 6-2．（2024高一上·浙江·期末）函数是定义在R上的偶函数，当时，． （1）求函数在的解析式； （2）当时，若，求实数m的值． 【答案】（1）；（2）或. 【分析】（1）根据偶函数的性质，令，由即可得解； （2），有，解方程即可得解. 【详解】（1）令，则， 由，此时； （2）由，， 所以， 解得或或（舍）. 6-3．（2024高一下·陕西安康·期中）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质即可求解. 【详解】时，，，∴， 故选：C. 6-4．（2024高一上·山东济宁·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求在上的解析式； (2)当时，求的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据奇函数的性质求解析式； （2）先根据定义判断函数单调性，再根据单调性求值域. 【详解】（1）∵函数为奇函数，则有： 当时，则，故； 当时，则； 所以在上的解析式为. （2）当时，则， 对，且，则，故， ∴，即， 故在上为增函数， 且，则， 所以当时，的值域为. （六） 利用函数的奇偶性比较大小 利用函数的奇偶性比较大小：看自变量是否在同一单调区间上． ①在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； ②不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性转化为同一单调区间上的两函数值，然后利用单调性比较大小． 题型7：利用函数的奇偶性比较大小 7-1．（2024高一上·全国·课后作业）若函数在上是偶函数，在上单调递增，则，，的大小关系是 . 【答案】 【分析】根据函数的单调性以及奇偶性即可由自变量的大小进行求解. 【详解】由于在上是偶函数，所以， 因为，函数在上时增函数，所以 ，所以. 故答案为： 7-2．（山东省潍坊市临朐县第一中学2023-2024学年高一上学期9月月考数学试题）设偶函数 在区间 上单调递增， 则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由单调性及偶函数对称性可得结果 【详解】偶函数在区间上单调递增，则，即. 故选：B 7-3．（2024高一·河南·阶段练习）定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件得出单调性，再由偶函数把自变量转化到同一单调区间上，由单调性得结论． 【详解】因为对任意的，有， 所以当时，，所以在上是减函数， 又是偶函数，所以，， 因为，所以，即． 故选：D． （七） 利用函数的奇偶性解不等式 利用函数的奇偶性解不等式 ①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式； ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”，转化为简单不等式求解． 注：(1)抽象不等式问题，解题步骤是: ①将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系; ②利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的符号“f"，转化为解不等式(组)的问题. (2)需要注意的是:在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上;当不等式一边没有符号“f”时，需转化为含符号“f”的形式，如0= f(l),f(x-1)<0，则f(x-1)< f(1). (3)利用好偶函数性质f(x)=f(|x|)可以避免讨论，简化计算. 题型8：利用函数的奇偶性解不等式 8-1．（2024高一上·四川内江·期中）定义在上的偶函数满足：在上单调递减，则满足的解集 . 【答案】 【分析】利用偶函数，单调性解抽象不等式 【详解】因为为定义在上的偶函数，且在上单调递减， 所以， 所以， 即， 故答案为： 8-2．（2024高一上·陕西西安·期中）已知为定义在上的奇函数，且对任意实数，有，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得函数在定义域内单调递减，用奇偶性可将关系式变形为，根据单调性就可以求出. 【详解】对任意实数，有,所以函数在上单调递减， 又因为函数为定义在上的奇函数，且，则，所以得. 故选：D 8-3．（2024高二下·河南·期中）已知函数为定义在上的奇函数，且当时，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由函数的奇偶性得到时的解析式，分别求解，即可得到结果. 【详解】因为为定义在上的奇函数， 当时,， 由得，即，解得， 当时，，则， 则， 由得，即，解得， 又， 所以的解集为. 故选：D. 8-4．（2024·广东深圳·模拟预测）已知为上的偶函数，函数在上单调递增，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由题可得函数为偶函数且在上单调递增，进而可得，解之即得. 【详解】因为为上的偶函数，函数， 所以，即函数为偶函数， 由，可得， 即，又函数为偶函数且在上单调递增， 所以，解得，即原不等式的解集为. 故答案为：. 8-5．（2024高一上·辽宁丹东·期末）若偶函数在上单调递增，且，则不等式解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数的性质，结合分类讨论思想进行求解即可. 【详解】因为是偶函数，所以由， 当时，由， 因为在上单调递增， 所以，或， 而，所以； 当时，由， 因为在上单调递增， 所以或， 而，所以， 故选：A 题型9：函数性质的综合应用 9-1．（2024高一上·江苏苏州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)解不等式. 【答案】(1) (2)增函数；证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质和求解即可. （2）利用函数单调性定义证明即可. （3）首先将题意转化为解不等式，再结合的单调性求解即可. 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数， ，解得：， ，而，解得， . （2）函数在上为增函数； 证明如下：任意且， 则 因为，所以，又因为， 所以，所以， 即，所以函数在上为增函数. （3）由题意，不等式可化为， 即解不等式，所以， 所以，解得 所以该不等式的解集为 9-2．（2024高一下·广西·期中）函数是定义在上的奇函数，且． (1)确定的解析式； (2)判断在上的单调性，并证明你的结论； (3)解关于的不等式． 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）由和可求得，验证可知满足题意，由此可得解析式； （2）任取，由可得结论； （3）根据函数奇偶性和单调性，结合函数定义域可构造不等式组求得结果. 【详解】（1）为定义在上的奇函数，，解得：， ，解得：； 当，时，， ，满足为奇函数； 综上所述：. （2）在上单调递增； 证明如下：任取， ； ，，，，， 在上单调递增. （3）为定义在上的奇函数，由得：， 又在上单调递增，，解得：， 不等式的解集为. 9-3．（2024高一上·陕西渭南·期末）已知二次函数. (1)若函数是偶函数，求实数的值； (2)是否存在实数，使得函数在上的值域也是?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)1 (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）由偶函数的定义可得对任意的恒成立，列式求解即可； （2）根据二次函数的对称轴与区间端点的关系分类讨论，结合函数的单调性列出关于的方程求解即可. 【详解】（1）函数是偶函数， 对任意的恒成立. ，即对任意的恒成立. . （2）二次函数的图像开口向上，对称轴为， ①当时，函数在上单调递增，则，即，无解； ②当时，函数在上单调递减，在上单调递增，则，即（舍）； ③当时，函数在上单调递减，则，即（舍）. 所以，不存在实数，使得函数在上的值域也是. 一、单选题 1．（2024高一上·湖南衡阳·期末）已知为偶函数，则a=（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义列式计算作答. 【详解】因为函数为偶函数， 则， 即，因此，解得， 所以. 故选：B 2．（2024高一上·重庆璧山·阶段练习）已知函数在上为偶函数，且当时，，则当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案. 【详解】当时，， 由于是偶函数， 所以. 故选：C 3．（2024高一上·河北石家庄·阶段练习）下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数单调性以及奇偶性的判定即可求解. 【详解】对于A，为增函数，不符合题意；对于B，为奇函数，但是该函数在定义域内不符合单调递减的定义，错误；对于C，，故为奇函数，当时，在上单调递减，当时，在单调递减，故C符合题意；对于D，为偶函数，且在定义域内不单调. 故选：C 4．（2024高三·全国·对口高考）函数是定义在区间上的奇函数，，则的最大值与最小值之和为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意结合奇函数的对称性分析运算. 【详解】因为与的单调性相同，且为奇函数， 设在处取到最大值，则在处取到最小值， 可得，且在处取到最大值，在处取到最小值， 所以. 故选：C. 5．（2024高一·全国·课后作业）若奇函数在区间上是增函数，则它在区间上是（    ） A．增函数且最大值是 B．增函数且最小值是 C．减函数且最大值是 D．减函数且最小值是 【答案】A 【分析】根据题意得到函数在区间为增函数，结合选项，即可求解. 【详解】由题意，奇函数在区间上是增函数， 则函数在区间也为增函数， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 故选：A. 6．（2024·四川·三模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】先求得时，函数的值域为，结合函数为奇函数，求得函数的值域，进而求得其最小值. 【详解】当时，函数， 当时，；当时，， 所以函数在上的值域为 因为是上的奇函数，所以的值域为， 所以的最小值是. 故选：A. 7．（2024高一上·广东深圳·期中）定义在上的偶函数在单调递减，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偶函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】因为定义在上的偶函数在单调递减， 不等式等价于，等价于， 即，解得，即不等式的解集是. 故选：D 8．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意作函数图像，根据单调性和奇偶性求解. 【详解】依题意，函数的大致图像如下图： 因为是定义在上的偶函数，在上单调递减，且， 所以在上单调递增，且， 则当或时，；当时，， 不等式化为或， 所以或或， 解得或或，即或， 即原不等式的解集为； 故选：C. 9．（2024高一上·全国·课后作业）已知是奇函数且对任意正实数，恒有，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数单调性与奇偶性分析判断. 【详解】由知，在上单调递增， ∵是奇函数，则在上单调递增， 由，可得，B错误，D正确； 虽然由题意可得在，上单调递增，但是由已知条件无法判断是否在定义域内单调递增，则A、C无法判断正误，即A、C不一定成立； 故选：D. 10．（2024·湖北·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，对任意，且，有，若，则不等式的解集是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】将不等式转化为或，根据奇偶性和单调性可解. 【详解】已知是定义在上的偶函数，则， 又对任意，且，都有， 所以函数在上单调递增，则函数在上单调递减，又，所以， 根据函数的单调性可知：等价为或， 即或，解得或， 即不等式的解集为. 故选：. 11．（2024高一下·江苏扬州·开学考试）已知是定义在上的偶函数，对于任意的，（），都有成立．若，则实数m的取值范围为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性以及单调性，即可转化为，即可求解. 【详解】由任意的，（），都有可知在 单调递减， 由于是定义在上的偶函数，所以在单调递增， 由得，平方可得 ，解得或 ， 故选：A 12．（2024·河南·模拟预测）为定义在上的偶函数，对任意的，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得函数在上单调递增，且为偶函数，进而可得，即得. 【详解】对任意的，都有，则， 令，则在上单调递增， 因为为定义在上的偶函数， 所以，即为偶函数， 又， 由，可得，即， 所以， 所以的解集为， 故选：A. 13．（2024高一上·全国·课后作业）若函数是偶函数，则、的值是（    ） A． B．不能确定， C．，不能确定 D． 【答案】D 【分析】根据定义域关于原点对称，求得，再根据，求得的值，即可求解. 【详解】因为函数是偶函数， 可得，解得，即， 又由， 因为函数为偶函数，则，即， 解得. 故选：D. 14．（2024高一·全国·课后作业）已知是定义在上的奇函数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】令，结合函数奇偶性可求出，再令代入即可得出答案. 【详解】因为， 所以令，则， 因为，，所以， 令，则. 故选：D. 15．（2024高三·全国·对口高考）设奇函数在上为单调递增函数，且，则不等式，的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意结合的奇偶性和单调性的示意图，化简不等式为，数形结合，求得它的解集． 【详解】由题意可得，奇函数在和上都为单调递增函数， 且，函数图像示意图如图所示：    故不等式，即，即， 结合的示意图可得它的解集为或 故选：D． 16．（2024高一·全国·课后作业）对于两个定义域关于原点对称的函数和在它们的公共定义域内，下列说法中正确的是（    ） A．若和都是奇函数，则是奇函数 B．若和都是偶函数，则是偶函数 C．若是奇函数，是偶函数，则是偶函数 D．若和都是奇函数，则不一定是奇函数 【答案】B 【分析】由函数的奇偶性的定义即可判断. 【详解】对于A，因为和都是奇函数，所以，， 令，则， 所以是偶函数，故A错误； 对于B，因为和都是偶函数，所以，， 令，则， 所以是偶函数，故B正确； 对于C，因为是奇函数，是偶函数，所以，， 令，则， 所以是奇函数，故C错误； 对于D，因为和都是奇函数，所以，， 令，则， 所以是奇函数，故D错误. 故选：B 17．（2024高一下·浙江台州·开学考试）下列判断正确的是 A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C．函数是偶函数 D．函数既是奇函数又是偶函数 【答案】C 【解析】根据奇偶性定义判断，先看定义域，再看解析式， 【详解】解：对于中，函数的定义域为{，且}，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数; 对于中，函数的定义域为，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数; 对于中，由得，定义域关于原点对称，且，所以是偶函数; 对于中，函数是偶函数，但不是奇函数. 故选：. 【点睛】本题考查了奇偶函数的定义，注意定义域，解析式两种思路判断，属于基础题． 18．（2024·广西南宁·一模）已知函数，的定义域均为，且，，若为偶函数，且，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．0 【答案】B 【分析】根据已知条件求得的对称轴、对称中心、周期以及的周期，据此即可求得结果. 【详解】∵，∴以为对称中心，且； ∵即， ∴为偶函数，以轴为对称轴； ∴，即， 由知，， ∴，， 从而，即， ∴的周期为4，∴的周期为4； 故． 故选：B. 二、多选题 19．（2024高二下·辽宁·阶段练习）已知是定义在上不恒为0的偶函数，是定义在上不恒为0的奇函数，则（    ） A．为奇函数 B．为奇函数 C．为偶函数 D．为偶函数 【答案】BCD 【分析】根据已知，利用奇函数、偶函数的性质进行判断. 【详解】由题意可知，，所以，所以为偶函数，A项错误； 由，得，所以为奇函数，B项正确； 因为，所以为偶函数，C项正确； 因为，所以为偶函数，D项正确. 故选：BCD. 三、填空题 20．（2024高一下·河北保定·期中）已知函数且，则的值为 【答案】 【分析】由函数的解析式发现，它是由一个奇函数加一个常数的形式，再注意到已知的函数值和要求的函数值，它们的自变量互为相反数，所以可以直接代入利用奇函数的性质求解. 【详解】因为，所以， 所以， 所以              ， 故答案为：. 21．（2024高一上·全国·课后作业）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 . 【答案】 【分析】由奇函数的定义，结合已知函数的解析式，计算可得所求值． 【详解】因为函数是定义在R上的奇函数，且当时，， 则. 故答案为：． 22．（2024高一上·贵州黔西·期末）已知定义域为的函数是奇函数且.若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据奇偶性得到，再根据单调性得到恒成立，之后参变分离，求出的取值范围. 【详解】解：因为是定义域为上的奇函数，且对于任意，不等式恒成立， 所以，即， 又因为，所以在上是单调递减函数， 则有恒成立，即恒成立， 令，，则，所以， 所以的取值范围是. 故答案为：. 23．（2024·广东湛江·二模）已知奇函数则 ． 【答案】 【分析】根据奇函数的定义，先求当时，，，再进一步求解. 【详解】当时，，， 则． 故答案为：. 24．（2024高一下·上海宝山·期中）已知是定义域为R的奇函数，当时，，则当时，的表达式为 ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出时的解析式作答. 【详解】是定义域为R的奇函数，当时，， 则当时，，， 所以当时，的表达式为. 故答案为： 25．（2024高三·全国·专题练习）已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，则函数在R上的表达式为 ． 【答案】 【分析】利用偶函数定义可求解. 【详解】当时，，故， 所以，所以 故答案为： 26．（2024高一上·江西景德镇·期中）若是上的奇函数，且当时，，则当， ． 【答案】 【分析】根据奇函数的定义结合已知条件求解即可. 【详解】设，则， 所以， 因为是上的奇函数，所以， 所以，所以， 故答案为： 27．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，且，则 ． 【答案】 【分析】依题意可得，令，即可得到是奇函数，根据奇函数的性质代入计算可得. 【详解】由，得， 构建函数，定义域为， 则，即是奇函数， 于是，所以， 可得， 又，因此． 故答案为： 四、解答题 28．（2024高一上·浙江温州·期中）若函数满足 (1)求函数的解析式； (2)若函数，试判断的奇偶性，并证明. 【答案】(1) (2)偶函数，证明见解析 【分析】（1）利用凑配法求得. （2）根据函数奇偶性的定义证得的奇偶性. 【详解】（1）由于， 所以. （2）， 为偶函数，证明如下： 的定义域为， 且， 所以是偶函数. 29．（2024高一·全国·课后作业）已知函数是偶函数，其中c为常数. (1)求c的值； (2)若时，均有，求m的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用偶函数的定义列式求出c值作答. （2）由（1）的结论，列出关于m的不等式，解不等式作答. 【详解】（1）函数是偶函数，则，， 即，而不恒为0，则， 所以c的值是0. （2）由（1）知，，，由，得， 显然，由， 得，解得， 所以m的取值范围是. 30．（2024高二下·河北石家庄·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求当时，函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则，代入已知的解析式中化简，再结合函数为奇函数可求得结果； （2）将转化为，再判断的单调性，由其单调性可求出不等式的解集. 【详解】（1）设，则， 所以， 因为是定义在上的奇函数， 所以， 所以， 所以 即当时，函数的解析式为， （2）由，得， 因为为奇函数，所以， 当时，， 所以在上单调递增， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以在上单调递增， 所以，解得， 即实数的取值范围为 31．（2024高一·全国·专题练习）已知函数，（）. (1)当时，解关于x的不等式； (2)判断函数的奇偶性，并证明； 【答案】(1) (2)奇函数，证明见解析 【分析】（1）把分式不等式化为整式不等式，求解即可； （2）根据函数的奇偶性的定义即可判断和证明. 【详解】（1）当时，， 即，解得. 所以不等式的解集为. （2）依题意，， 判断函数为奇函数，证明如下： 令，定义域为， 因为， 所以函数为奇函数. 32．（2024高一上·贵州遵义·期末）已知函数y＝f(x)的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，且当x>0时，f(x)<0恒成立. (1)证明函数y＝f(x)是R上的单调函数； (2)讨论函数y＝f(x)的奇偶性； (3)若f(x2－2)＋f(x)<0，求x的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)奇函数 (3)(－∞，－2)∪(1，＋∞) 【分析】（1）首先设，利用条件，结合函数单调性的定义，即可证明； （2）利用赋值法，结合函数奇偶性的定义，即可证明； （3）法一，首先利用奇函数的性质，不等式转化为，结合函数的单调性，即可求解； 法二，首先利用条件，化简不等式，再结合奇函数的性质，，再结合函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）证明　设x1>x2，则x1－x2>0， ∴f(x1)－f(x2)＝f[(x1－x2)＋x2]－f(x2) ＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2) 又当x>0时，f(x)<0恒成立，所以，即f(x1)<f(x2)， ∴函数y＝f(x)是R上的减函数. （2）由f(a＋b)＝f(a)＋f(b)得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)， 即f(x)＋f(－x)＝f(0)， 又由f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，令a＝b＝0，得f(0)＝0， ∴f(－x)＝－f(x)，又函数y＝f(x)的定义域为R， 即函数y＝f(x)是奇函数. （3）法一　由f(x2－2)＋f(x)<0得 f(x2－2)<－f(x)，又y＝f(x)是奇函数， 即f(x2－2)<f(－x)， 又y＝f(x)在R上是减函数， 所以x2－2>－x，解得x>1或x<－2. 故x的取值范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞). 法二　由f(x2－2)＋f(x)<0且f(0)＝0及f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，得f(x2－2＋x)<f(0)， 又y＝f(x)在R上是减函数，所以x2－2＋x>0，解得x>1或x<－2. 故x的取值范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞). 33．（2024高一下·山西太原·阶段练习）设函数是定义在上的增函数，对于任意都有． (1)证明是奇函数； (2)解不等式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）对赋值，利用奇函数的定义进行证明； （2）先化简目标式为，结合函数单调性可求答案. 【详解】（1）证明：令，则由，得，即； 令，则由，得， 即得，故是奇函数． （2），所以，则， 即，               因为， 所以，所以，           又因为函数是增函数，所以，所以或． 所以x的解集为． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$