精品解析：山东省青岛市海诺学校2022-2023学年九年级上学期月考数学试题

2022-2023学年山东省青岛市李沧区海诺学校九年级（上） 月考数学试卷（10月份） 一、单选题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分） 1. 根据表格中的信息，估计一元二次方程（a、b、c为常数，）的一个解x的范围为（ ） x 0 0.5 1 1.5 2 5.25 13 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据的符号即可估算的解． 【详解】解：由表格可得， 当时，，则， 当时，，则， ∴关于x的一元二次方程的一个解得取值范围是， 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的近似解． 2. 下列判断错误的是（　　） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 四个内角都相等的四边形是矩形 C. 两条对角线垂直且平分的四边形是正方形 D. 四条边都相等的四边形是菱形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定方法，根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定方法逐一进行判断即可，掌握平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，该说法正确，不符合题意； 、四个内角都相等的四边形是矩形，该说法正确，不符合题意； 、两条对角线垂直且平分且相等的四边形是正方形，原说法错误，符合题意； 、四条边都相等的四边形是菱形，说法正确，不符合题意； 故选：． 3. 关于x的方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A. m≤3 B. m≥3 C. m≤3且m≠2 D. m＜3 【答案】A 【解析】 【分析】讨论：当m-2=0，方程变形为2x+1=0，此一元一次方程有解；当m-2≠0，方程为一元二次方程，利用判别式得到Δ=22-4（m-2）≥0，解得m≤3且m≠2，然后综合两种情况即可得到m的范围． 【详解】解：当m-2=0，即m=2时，方程变形为2x+1=0，解得x=-； 当m-2≠0，则Δ=22-4（m-2）≥0，解得m≤3且m≠2， 综上所述，m的范围为m≤3． 故选：A 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．注意分类讨论． 4. 在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（　　） A. 两人都对 B. 两人都不对 C. 甲对，乙不对 D. 甲不对，乙对 【答案】A 【解析】 【分析】根据边数相同的两个多边形，如果对应角相等，且对应边成比例，那么这两个多边形相似，即可判断． 【详解】解：如图：甲：根据题意得：，，， ，， ， ∴甲说法正确； 乙：∵根据题意得：，，则，， ，， ， ∴新矩形与原矩形不相似． ∴乙说法正确． 故选：A． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定以及相似多边形的判定，熟练掌握和运用相似形的判定方法是解决本题的关键． 5. 将矩形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，，，折叠后，点落在边上的处，并且点落在边上的处，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，解直角三角形，由矩形的性质得，进而由三角形函数得，由折叠得，，，，，即可得，，解直角三角形可得，即得，得到，进而即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， 由折叠可得，，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 6. 甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（　　） A. 抛一枚硬币，连续两次出现正面的概率 B. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” C. 任意写一个正整数，它能被5整除的概率 D. 掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 【答案】B 【解析】 【分析】根据统计图可得，实验结果在0.33附近波动，故概率，计算四个选项的概率即可得出答案． 【详解】A. 抛一枚硬币两次，出现得结果有（正，正），（正，反），（反，正）和（反，反）四种，所以连续两次出现正面的概率，故A排除； B. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，故B正确； C. 任意写一个正整数，它能被5整除的概率为，故C排除； D. 掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故D排除． 故选：B 【点睛】本题考查用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即为概率，在解答过程中掌握概率公式是解决本题的关键． 7. 如图，如图正方形内一点E，满足为正三角形，直线AE交BC于F点，过E点的直线，交AB于点G，交CD于点H．以下结论：①；②；③；④，其中正确的有（　　） A. ①②③ B. ①③④ C. ①④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质求出，然后求出，再根据等腰三角形的性质求出，然后求出，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，判断出①正确，过点作，可得，根据等角的余角相等求出，再利用“角角边”证明和，然后根据全等三角形对应边相等可得，再根据等边三角形的性质，点是的中点，从而得到，判断出②正确；再求出，过点作于，过点作于，解直角三角形分别用、表示出，可以得到，再表示出，即可判定③正确；设，表示出、，然后求出的值，判断出④错误． 【详解】解：为正三角形， ， ， ， ， ， ，故①正确； 过点作， 则， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， 为正三角形， 点在的垂直平分线上， 根据平行线分线段成比例定理，点是的中点， ， ，故②正确； ，， ， ， ， 过点作于，过点作于， 则，， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， ，故③正确； ，故④错误． 综上所述，正确的结论是①②③． 故选：． 【点睛】本题考查了四边形综合题型，主要利用了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判断与性质，解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形与等腰直角三角形是解题的关键． 8. 如图，在四边形中，，为对角线的中点，连接，，，若，则的度数为（ ）度． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直角三角形的斜边中线等于斜边的一半可得：，得出，；由外角定理求出，最后根据三角形的内角和定理求解即可； 【详解】解：∵，为的中点； ∴ ∴，； 在和中 ∴ 即： 在中 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等边对等角、三角形的外角定理和内角和定理等知识点；熟练掌握直角三角形的斜边中线等于斜边的一半是解题的关键． 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 9. 若，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知设出a=k，b=2k，再把a，b的值代入即可求出答案． 【详解】解：∵ ∴设a=k，b=2k， ∴ 故答案为： 【点睛】此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例的性质与比例变形． 10. 若关于的方程有整数根，则的值可以是_____（只填一个）． 【答案】1（m为完全平方数即可） 【解析】 【分析】根据直接开平方法得出m为完全平方数，进而得解． 【详解】∵， ∴， 若方程有整数根，则m为完全平方数，如0，1，4，9，16等， 故答案为：1（m为完全平方数即可）． 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法是解题的关键． 11. 某药品原价是100元，经连续两次降价后，价格变为64元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价的百分率是_______ 【答案】20％ 【解析】 【分析】此题可设每次降价的百分率为x，第一次降价后价格变为100（1-x）元，第二次在第一次降价后的基础上再降，变为100（1-x）（1-x），即100（1-x）2元，从而列出方程，求出答案． 【详解】设每次降价的百分率为x，第二次降价后价格变为100（1-x）2元． 根据题意，得100（1-x）2=64， 即（1-x）2=0.64， 解得x1=1.8，x2=0.2． 因为x=1.8不合题意，故舍去， 所以x=0.2． 即每次降价的百分率为0.2，即20%． 故答案为20%． 12. 如图所示，某小区想借助互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用长的篱笆围成一个面积为矩形花园．设宽，且，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设宽，则，根据题意列出方程即可求解，根据题意，找到等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设宽，则， 由题意得，， 整理得，， 解得，， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在菱形中，，，E，F分别是和的中点，连接并延长与的延长线相交于点G，则的长度为______cm． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，中位线，勾股定理等知识；连接，交于点O，证四边形是平行四边形，得，利用勾股定理求出的长，，即可求出． 【详解】解：连接，交于点O，如图： ∵菱形的边长为， ∴，， ∵ 点E、F分别是边的中点， ∴， ∵是菱形的对角线，， ∴，，， 又∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，∵，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：10． 14. 如图，为等边三角形内的一点，且到三个顶点，，的距离分别为，，，则的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据等边三角形的性质、旋转的性质可得，再根据等边三角形的判定与性质得出，然后根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，从而根据角的和差可得，最后利用直角三角形的性质、勾股定理可求出AB的长，由此利用等边三角形的面积公式即可得． 【详解】是等边三角形 可将绕点B逆时针旋转的，连接EP，过点A作，交BP延长线于点F，如图所示： 由旋转的性质得： 是等边三角形 在中， 是直角三角形， 在中， 则等边的面积为 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理与逆定理、直角三角形的性质、旋转的性质等知识点，通过作旋转图形，利用旋转的性质是解题关键． 三、解答题（共72分） 15. 已知：线段． 求作：正方形ABCD，使正方形ABCD边长AB＝． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先画线段AB=m，再分别过A、B点作l的垂线AM、BN，并且截取AD=m，截取BC=m，则根据正方形的判定方法可判断四边形ABCD为正方形． 【详解】作法：①在直线l上截取线段AB=m； ②分别过A、B点作l的垂线AM、BN； ③在AM上截取AD=m，在BN上截取BC=m， ④连接CD， 则四边形ABCD为所作的正方形． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图 ：尺规作图，作正多边形．复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了正方形的判定． 16. （）解方程：． （）（用配方法）． 【答案】（），；（），． 【解析】 【分析】（）利用因式分解法解答即可求解； （）移项化简，再利用配方法解答即可求解； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：（）∵， ∴， ∴或， ∴，； （）移项得，， 合并同类项得，， 两边除以得，， 配方得，， 即， ∴， ∴，． 17. 对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护环境．为了检查垃圾分类的落实情况，某居委会成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的A，B，C，D四个小区进行检查，并且每个小区不重复检查． （1）甲组抽到A小区的概率是多少； （2）请用列表或画树状图的方法求甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率． 【答案】（1）甲组抽到A小区的概率是；（2）甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率为． 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式求解可得； （2）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得． 【详解】（1）甲组抽到A小区的概率是， 故答案为． （2）画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的结果数为1， ∴甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率为． 【点睛】此题考查列表法与树状图法，解题关键在于根据题意画出树状图. 18. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F．延长BF至G，使FG＝BF，连结DG． （1）求证：GF＝DE． （2）当OF∶BF＝1∶2时，判断四边形DEFG是什么特殊四边形？并说明理由． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OD＝OB， ∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴∠DEO＝∠BFO＝90°， ∠DOE＝∠BOF ∴△DEO≌△BFO（AAS）； ∴DE＝BF， ∵GF＝BF， ∴DE＝GF， （2）四边形MGCN为正方形， ∵∠DEO＝∠BFO＝90°， ∴ DE∥GF， ∵DE＝GF， ∴四边形DEFG是平行四边形， ∵∠DEF＝90°， ∴四边形DEFG是矩形， ∵△DEO≌△BFO ∴OF∶EF＝1∶2 ∵OF∶BF＝1∶2，GF＝BF ∴OF∶GF＝1∶2， ∴GF＝EF ∵四边形DEFG是矩形， ∴四边形DEFG是正方形． 【解析】 【分析】（1）根据AAS证明△DEO≌△BFO即可得到结论； （2）先证明四边形DEFG是平行四边形和矩形，再证明GF=EF，即可证明四边形DEFG是正方形， 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，正方形的判定以及全等三角形的判定与性质，证得△DEO≌△BFO是解题的关键． 19. 如图，我区荷兰花海景区东北角有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此扩建一个新品种花卉观光区，其中阴影部分为观览通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为a米）区域将种植新品种花卉． （1）设观览通道的宽度为x米，则______（用含x的代数式表示）； （2）若新品种花卉总占地面积为2430平方米．请求出观览通道的宽度为多少米？ 【答案】（1） （2）通道的宽度为． 【解析】 【分析】（1）结合图形可得：长为，内部两个矩形的宽为，通道宽为，可得式，化简即可得； （2）结合图形，利用大面积减去黑色部分的面积可得方程，求解即可得． 【小问1详解】 解：结合图形可得：长为，内部两个矩形的宽为，通道宽为， ∴， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意得：， ∵， ∴， 解得（不合题意，舍去）． ∴通道的宽度为． 【点睛】题目主要考查列代数式及一元二次方程的应用，理解题意，找准面积之间的关系是解题关键． 20. 某校数学课外活动小组的同学，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题． 【探究发现】 ；；；；；． 【猜想结论】 如果，那么存在（当且仅当时，等号成立） 【证明结论】 ∵， ∴①当且仅当，即时，，∴； ②当，即时，，∴． 综合上述可得：若，则成立（当且仅当时，等号成立） 【应用结论】 （1）对于函数（），当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？ （2）对于函数（），当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？ 【答案】（1）时，函数的值最小，最小值为； （2）时，函数的值最小，最小值为． 【解析】 【分析】（）根据题目中给的结论将函数式进行变式，即可求出最小值； （）先将函数式边变形为易于计算的形式，再按照题目中所给结论进行计算，即可求出最值； 本题考查了完全平方公式、算术平方根，熟练掌握完全平方公式和算术平方根是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴ ∴当且仅当，即时，函数的值最小，最小值为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴当且仅当，且，即时，函数的值最小，最小值为． 21. 如图1，长、宽均为3cm，高为8cm的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6cm，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度是多少厘米？ 将这个情景转化成几何图形，如图3所示，请同学们借助图3利用相似的知识解答CF的高是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】设，根据水的体积不变，列出方程，求出的值，进而求出的值，由得，，进而即可求解． 【详解】设，则， 根据题意得：， 解得：， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 的高是． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质以及勾股定理，掌握相似三角形对应边成比例是解题的关键． 22. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于点D，且BD＝8cm．点 M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发，沿BA 的方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于点P、交 BC于点Q、交BD于点F．连接PM，设运动时间为ts(0＜t＜5)． (1)当t为何值时，四边形PQCM是平行四边形？ (2)设四边形PQCM的面积为ycm2，求y与t之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻t，使S四边形PQCM=S△ABC？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； (4)连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质进行求解； （2）过P作PE⊥AC，交AC于E，根据PQ∥AC得出△PBQ∽△ABC，根据相似比求出函数关系式； （3）首先求出△ABC的面积，然后求出y的值，解出方程得出x的值； （4）假设存在某一时刻t，然后根据△AHM和△ADB相似进行以及△HMP的勾股定理进行解答． 【详解】解：（1）假设四边形PQCM是平行四边形， 则PMQC， ∴AP=AM ∴， 解得 答：当s时，四边形PQCM是平行四边形． （2）过P作PE⊥AC，交AC于E． ∵PQ AC ∴△PBQ∽△ABC， ∴△PBQ是等腰三角形，PQ=PB=， ∴， 即， 解得， ∴ 又∵， ∴ 答：y与t之间的函数关系式是； （3） 当时， 解得，（舍去） 答：当时，S四边形PQCM＝S△ABC； （4）假设存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上，则MP=MC， 过M作MH⊥AB，交AB于H，由△AHM∽△ADB ∴， 又 ∴， ∴ 即 在Rt△HMP中， 又∵ 由 ∴ 解得：（舍去） 答：当s时，点M在线段PC的垂直平分线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023学年山东省青岛市李沧区海诺学校九年级（上） 月考数学试卷（10月份） 一、单选题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分） 1. 根据表格中的信息，估计一元二次方程（a、b、c为常数，）的一个解x的范围为（ ） x 0 0.5 1 1.5 2 5.25 13 A. B. C. D. 2. 下列判断错误的是（　　） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 四个内角都相等的四边形是矩形 C. 两条对角线垂直且平分的四边形是正方形 D. 四条边都相等的四边形是菱形 3. 关于x的方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A. m≤3 B. m≥3 C. m≤3且m≠2 D. m＜3 4. 在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（　　） A. 两人都对 B. 两人都不对 C. 甲对，乙不对 D. 甲不对，乙对 5. 将矩形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，，，折叠后，点落在边上的处，并且点落在边上的处，则的长为（　　） A. B. C. D. 6. 甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（　　） A. 抛一枚硬币，连续两次出现正面的概率 B. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” C. 任意写一个正整数，它能被5整除的概率 D. 掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 7. 如图，如图正方形内一点E，满足为正三角形，直线AE交BC于F点，过E点的直线，交AB于点G，交CD于点H．以下结论：①；②；③；④，其中正确的有（　　） A. ①②③ B. ①③④ C. ①④ D. ①②③④ 8. 如图，在四边形中，，为对角线的中点，连接，，，若，则的度数为（ ）度． A. B. C. D. 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 9. 若，则的值为__________． 10. 若关于的方程有整数根，则的值可以是_____（只填一个）． 11. 某药品原价是100元，经连续两次降价后，价格变为64元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价的百分率是_______ 12. 如图所示，某小区想借助互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用长的篱笆围成一个面积为矩形花园．设宽，且，则_____． 13. 如图，在菱形中，，，E，F分别是和的中点，连接并延长与的延长线相交于点G，则的长度为______cm． 14. 如图，为等边三角形内的一点，且到三个顶点，，的距离分别为，，，则的面积为_________． 三、解答题（共72分） 15. 已知：线段． 求作：正方形ABCD，使正方形ABCD边长AB＝． 16. （）解方程：． （）（用配方法）． 17. 对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护环境．为了检查垃圾分类的落实情况，某居委会成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的A，B，C，D四个小区进行检查，并且每个小区不重复检查． （1）甲组抽到A小区的概率是多少； （2）请用列表或画树状图的方法求甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率． 18. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F．延长BF至G，使FG＝BF，连结DG． （1）求证：GF＝DE． （2）当OF∶BF＝1∶2时，判断四边形DEFG是什么特殊四边形？并说明理由． 19. 如图，我区荷兰花海景区东北角有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此扩建一个新品种花卉观光区，其中阴影部分为观览通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为a米）区域将种植新品种花卉． （1）设观览通道的宽度为x米，则______（用含x的代数式表示）； （2）若新品种花卉总占地面积为2430平方米．请求出观览通道的宽度为多少米？ 20. 某校数学课外活动小组的同学，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题． 【探究发现】 ；；；；；． 【猜想结论】 如果，那么存在（当且仅当时，等号成立） 【证明结论】 ∵， ∴①当且仅当，即时，，∴； ②当，即时，，∴． 综合上述可得：若，则成立（当且仅当时，等号成立） 【应用结论】 （1）对于函数（），当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？ （2）对于函数（），当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？ 21. 如图1，长、宽均为3cm，高为8cm的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6cm，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度是多少厘米？ 将这个情景转化成几何图形，如图3所示，请同学们借助图3利用相似的知识解答CF的高是多少？ 22. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于点D，且BD＝8cm．点 M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发，沿BA 的方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于点P、交 BC于点Q、交BD于点F．连接PM，设运动时间为ts(0＜t＜5)． (1)当t为何值时，四边形PQCM是平行四边形？ (2)设四边形PQCM的面积为ycm2，求y与t之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻t，使S四边形PQCM=S△ABC？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； (4)连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $