专题2.3 直线的方程（特色专题卷）-2024-2025学年高二数学特色专题卷（人教A版2019选择性必修第一册）

专题2.3 直线的方程 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（23-24高二上·福建宁德·期中）已知直线过点，且在轴上的截距为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在轴上的截距为3，说明直线过点，由斜率公式求得直线斜率，由点斜式写出直线方程并整理为一般式． 【详解】由题意，直线l过点和点，∴其斜率为，直线方程为，即. 故选：A. 2．（23-24高二上·浙江金华·期中）过点和的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线的方程为求出即得解. 【详解】设直线的方程为 又直线经过点， 所以， 所以直线的方程为 所以直线方程为. 故选：C 3．（2024高一·全国·课后作业）方程y＝k(x－2)表示(　　) A．通过点(－2,0)的所有直线 B．通过点(2,0)的所有直线 C．通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线 D．通过点(2,0)且除去x轴的所有直线 【答案】C 【分析】由方程y=k（x-2）知直线过点（2，0）且直线的斜率存在，可得结论． 【详解】由方程y=k（x-2）知直线过点（2，0）且直线的斜率存在． 故选C． 【点睛】本题考查恒过定点的直线，容易误选B． 4．（23-24高二上·新疆喀什·期末）经过点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线斜率，利用点斜式写出直线方程即可. 【详解】直线斜率为， 故经过点，且与直线平行的直线方程为， 整理得. 故选：B. 5．（2024高二上·江苏苏州·阶段练习）已知M（3，），A（1，2），B（3，1），则过点M和线段AB的中点的直线方程为（　　） A．4x+2y﹣5＝0 B．4x﹣2y﹣5＝0 C．x+2y﹣5＝0 D．x﹣2y﹣5＝0 【答案】B 【分析】求出线段AB的中点坐标，再根据直线的两点式方程即可的解. 【详解】解：因为A（1，2），B（3，1）， 所以线段AB的中点坐标为， 所以过点M和线段AB的中点的直线方程为， 即. 故选：B. 6．（23-24高二上·贵州遵义·期末）已知直线过点，且倾斜角为直线倾斜角的一半，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线倾斜角和斜率关系即可得出直线方程. 【详解】设直线的倾斜角为，则，解得， 因为直线倾斜角为直线倾斜角的一半， 所以直线倾斜角为，从而， 即直线的斜率为，又直线过点，所以直线的方程为， 即. 故选：A. 7．（23-24高二上·浙江杭州·期中）直线通过点(1，3)且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积为6，则直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】待定系数法设点斜式方程，求出与轴交点坐标后表示出面积求解 【详解】设直线的方程为 则直线与轴交于，与轴交于， 由题意，解得 故直线方程为： 故选：A 8．（2024高一·全国·课后作业）已知点，点在直线上运动，则当线段AB最短时，直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当线段最短时，即为直线是过点垂直于直线的直线时，求出直线的斜率，利用点斜式方程求出直线AB． 【详解】点，点在直线上运动， 当线段最短时，直线是过点垂直于直线的直线， 直线的斜率， 当线段最短时，直线的斜率， 当线段最短时，直线的方程为：，即． 故选：C． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（23-24高一下·江苏泰州·期末）关于直线，下列说法正确的有（    ） A．过点 B．斜率为 C．倾斜角为60° D．在轴上的截距为1 【答案】BC 【分析】A. 当时，，所以该选项错误； B. 直线的斜率为，所以该选项正确； C.直线的倾斜角为60°，所以该选项正确；     D. 当时，，所以该选项错误. 【详解】A. 当时，，所以直线不经过点，所以该选项错误； B. 由题得，所以直线的斜率为，所以该选项正确； C. 由于直线的斜率为，所以直线的倾斜角为60°，所以该选项正确；     D. 当时，，所以直线在轴上的截距不为1，所以该选项错误. 故选：BC 10．（2024高二·全国·课后作业）一光线过点（2，4），经倾斜角为135°的直线l：反射后经过点（5，0），则反射光线还经过下列哪些点（    ） A． B．（14，1） C．（13，2） D．（13，1） 【答案】AD 【分析】先求点关于直线的对称点，得出反射后的直线，再对选项逐一检验 【详解】由题意知，，设点（2，4）关于直线的对称点为（m，n）， 则，解得，所以反射光线所在的直线方程为， 所以当x＝13时，y＝1；当x＝14时，， 故选：AD 11．（2024高二上·重庆北碚·阶段练习）下列说法错误有（    ） A．“”是“与直线互相垂直”的充要条件 B．过两点的直线的方程为 C．直线恒过定点 D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 【答案】ABD 【分析】A.由两直线互相垂直求解判断；B.根据直线的两点式方程判断；C.利用判断；D分直线经过原点和不经过原点时求解判断. 【详解】对于A，当与直线互相垂直时，， 解得：或，故A错误； 对于B，过（且）两点的所有直线的方程为，故B错误； 对于C，因为， 所以直线恒过定点，故C正确； 对于D，经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为： 当直线经过原点时为， 当直线不经过原点时，设方程为，将点代入得， 则直线方程为，故D错误； 故选：ABD 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2024高二·江苏·假期作业）直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距小1，且过定点，则直线l的方程为 . 【答案】或. 【分析】设直线方程的截距式为，将代入解方程即可得求出的值，进而求出直线l的方程. 【详解】设直线方程的截距式为. 则，解得或， 则直线方程是或， 即或. 故答案为：或. 13．（23-24高二上·天津东丽·期中）已知三角形的三个顶点，，，则的高CD所在的直线方程是 . 【答案】 【分析】先求，从而得到边上的高所在的直线的斜率，根据点斜式可写出直线方程. 【详解】因为，，故， 故边上的高CD所在的直线的斜率为，所以该直线的方程为，即 故答案为：. 14．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）一条直线经过点并且它的倾斜角等于直线的倾斜角的2倍，则这条直线的方程为 . 【答案】 【解析】先求得直线的倾斜角,即可由倾斜角的2倍求得该直线的斜率,进而利用点斜式求得直线方程. 【详解】设直线的倾斜角为, 则 所以 则该直线的倾斜角为 斜率为 由点斜式可得直线方程为 化简可得 故答案为: 【点睛】本题考查了直线的斜率与倾斜角关系,点斜式求直线方程的方法,属于基础题. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（2024高一下·全国·课后作业）根据下列条件，求直线的一般方程： （1）过点且与直线平行； （2）过点，且在两坐标轴上的截距之和为. 【答案】（1）；（2）或. 【分析】（1）根据平行关系可设直线为：，代入点可求得结果； （2）设直线的截距式方程，根据点及截距之和可求得截距，整理可得直线一般式方程. 【详解】解析（1）设直线方程为，则， ∴， ∴所求直线方程为. （2）设直线方程为， 由已知得解得或， ∴所求直线方程为或， 即或. 16．（23-24高二上·安徽蚌埠·期中）光线自点射到点后被轴反射． （1）求反射光线所在的直线的方程； （2）求过点且与入射光线垂直的直线方程．（请用直线的一般方程表达解题结果） 【答案】（1）；（2）． 【详解】试题分析：（1）反射光线过点，而由物理学知识知反射角与入射角相等，因此反射光线与入射光线的斜率相反（注意直线的倾斜角不是入射角、反射角）；（2）入射光线就是过点和点的直线，斜率易求（（1）已求得），根据垂直的直线的斜率乘积为－1可得所求直线的斜率． 试题解析：（1）设，则，所以，直线方程为，即． （2）设所求直线的斜率为，则，，直线方程为，即． 考点：直线方程，两直线垂直． 17．（23-24高二上·浙江金华·期中）在三角形中，已知点，，. (1)求边上中线的方程； (2)若某一直线过点，且在轴上截距比在轴上截距大1，求该直线的一般式方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）求得线段的中点坐标，再结合点的坐标，由直线的点斜式写出直线方程； （2）根据题意该直线斜率存在，进而设出方程，求出在坐标轴上的截距，根据题意解方程即可得答案. 【详解】（1）解：因为，，所以的中点坐标为， 所以边上中线的斜率为， 所以边上中线的方程为，即. （2）解：根据题意，该直线的斜率存在且不为0，不妨设该直线方程为 所以令，则，令，则， 因为在轴上截距比在轴上截距大1， 所以，即，解得或 即或. 18．（23-24高一·湖北·期末）已知直线l过点. （1）若直线l在两坐标轴上截距和为零，求l方程； （2）设直线l的斜率，直线l与两坐标轴交点别为，求面积最小值. 【答案】（1）或；（2） 【分析】（1）由题知直线l斜率存在且不为，故不妨设斜率为，进而写出直线的方程并求解直线在坐标轴上截距，再结合题意求解即可； （2）由题知，进而根据题意得，再根据基本不等式求解即可得答案. 【详解】解：（1）因为直线l在两坐标轴上截距和为零， 所以直线l斜率存在且不为，故不妨设斜率为，则直线l方程为， 所以直线在坐标轴上截距分别为，， 所以，整理得，解得或 所以直线l方程为或. （2）由（1）知， 因为， 所以面积为， 当且仅当，即时等号成立， 所以面积最小值 19．（23-24高二上·浙江台州·期中）已知直线经过点. (Ⅰ)若直线与直线垂直，求直线的方程； (Ⅱ)若直线在轴上的截距是轴上的截距倍，求直线的方程； (Ⅲ)若直线与轴、轴的正半轴分别相交于、两点，求当的面积取得最小值时直线的方程. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）. 【分析】(Ⅰ)利用直线与直线垂直，求得直线的斜率，由点斜式可求直线的方程；(Ⅱ)讨论两种情况：直线过原点时求得斜率，由斜截式可得直线方程；直线不过原点时，设出截距式方程，将代入方程，结合直线在轴上的截距是轴上的截距倍，列方程可得结果; (Ⅲ)设直线方程为，可得，利用基本不等式得，，当，从而可得结果. 【详解】（1）， ， ， （2）， 将点坐标代入可得，直线方程为 直线不过原点时，设直线方程为， 由可得直线方程为， 故所求直线方程为或. （3）设直线方程为，可得， 从而得，三角形面积， 当时取等号， 所以三角形最小面积为12， 此时，直线方程为. 【点睛】本题主要考查直线的方程，直线方程主要有五种形式，每种形式的 直线方程都有其局限性，斜截式与点斜式要求直线斜率存在，所以用这两种形式设直线方程时要注意讨论斜是否存在；截距式要注意讨论截距是否为零；两点式要注意讨论直线是否与坐标轴平行；求直线方程的最终结果往往需要化为一般式. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 直线的方程 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（23-24高二上·福建宁德·期中）已知直线过点，且在轴上的截距为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·浙江金华·期中）过点和的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2024高一·全国·课后作业）方程y＝k(x－2)表示(　　) A．通过点(－2,0)的所有直线 B．通过点(2,0)的所有直线 C．通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线 D．通过点(2,0)且除去x轴的所有直线 4．（23-24高二上·新疆喀什·期末）经过点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2024高二上·江苏苏州·阶段练习）已知M（3，），A（1，2），B（3，1），则过点M和线段AB的中点的直线方程为（　　） A．4x+2y﹣5＝0 B．4x﹣2y﹣5＝0 C．x+2y﹣5＝0 D．x﹣2y﹣5＝0 6．（23-24高二上·贵州遵义·期末）已知直线过点，且倾斜角为直线倾斜角的一半，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·浙江杭州·期中）直线通过点(1，3)且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积为6，则直线的方程是（   ） A． B． C． D． 8．（2024高一·全国·课后作业）已知点，点在直线上运动，则当线段AB最短时，直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（23-24高一下·江苏泰州·期末）关于直线，下列说法正确的有（    ） A．过点 B．斜率为 C．倾斜角为60° D．在轴上的截距为1 10．（2024高二·全国·课后作业）一光线过点（2，4），经倾斜角为135°的直线l：反射后经过点（5，0），则反射光线还经过下列哪些点（    ） A． B．（14，1） C．（13，2） D．（13，1） 11．（2024高二上·重庆北碚·阶段练习）下列说法错误有（    ） A．“”是“与直线互相垂直”的充要条件 B．过两点的直线的方程为 C．直线恒过定点 D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2024高二·江苏·假期作业）直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距小1，且过定点，则直线l的方程为 . 13．（23-24高二上·天津东丽·期中）已知三角形的三个顶点，，，则的高CD所在的直线方程是 . 14．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）一条直线经过点并且它的倾斜角等于直线的倾斜角的2倍，则这条直线的方程为 . 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（2024高一下·全国·课后作业）根据下列条件，求直线的一般方程： （1）过点且与直线平行； （2）过点，且在两坐标轴上的截距之和为. 16．（23-24高二上·安徽蚌埠·期中）光线自点射到点后被轴反射． （1）求反射光线所在的直线的方程； （2）求过点且与入射光线垂直的直线方程．（请用直线的一般方程表达解题结果） 17．（23-24高二上·浙江金华·期中）在三角形中，已知点，，. (1)求边上中线的方程； (2)若某一直线过点，且在轴上截距比在轴上截距大1，求该直线的一般式方程. 18．（23-24高一·湖北·期末）已知直线l过点. （1）若直线l在两坐标轴上截距和为零，求l方程； （2）设直线l的斜率，直线l与两坐标轴交点别为，求面积最小值. 19．（23-24高二上·浙江台州·期中）已知直线经过点. (Ⅰ)若直线与直线垂直，求直线的方程； (Ⅱ)若直线在轴上的截距是轴上的截距倍，求直线的方程； (Ⅲ)若直线与轴、轴的正半轴分别相交于、两点，求当的面积取得最小值时直线的方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$