专题2.3 直线的交点坐标与距离公式（6类必考点）-2024-2025学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题2.3 直线的交点坐标与距离公式 【考点1：两条直线的交点坐标】 1 【考点2：方程组解的个数与两直线的位置关系】 3 【考点3：两点间的距离公式】 5 【考点4：点到直线的距离公式】 6 【考点5：两条平行直线间的距离】 7 【考点6：点、直线间的对称问题】 7 【考点1：两条直线的交点坐标】 【知识点：两条直线的交点坐标】 1．（2024高二上·河北石家庄·阶段练习）经过直线和的交点，且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高二上·全国·课后作业）已知直线和，则直线和的交点为 . 3．（2024·山东·二模）过直线和的交点，倾斜角为的直线方程为 . 4．（23-24高二上·江苏南京·期末）求过两条直线和的交点，且与垂直的直线方程 ． 5．（2024高二上·陕西宝鸡·阶段练习）已知直线l经过直线和的交点，且直线l在坐标轴上的截距相等，则直线l的方程是 . 6．（24-25高二上·上海·随堂练习）若三条直线：，：，：，当为何值时，三条直线不能构成三角形？ 7．（2024高二上·云南临沧·阶段练习）已知直线，设直线的交点为. (1)求点的坐标； (2)若直线过点且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 8．（23-24高二上·吉林延边·期中）已知直线，直线与直线垂直，且直线，的交点的横坐标与纵坐标相等． (1)求直线的方程； (2)若直线l被直线，所截得的线段恰好被点平分，求直线l的方程． 【考点2：方程组解的个数与两直线的位置关系】 【知识点：方程组解的个数与两直线的位置关系】 1．（2024高二上·全国·课后作业）思维辨析（对的写正确，错误的写错误） （1）若点在直线上，则．( ) （2）若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交．( ) （3）若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解．( ) （4）若直线与直线的交点为，则．( ) 2．（2024高二上·全国·专题练习）曲线与的交点的情况是（    ） A．最多有两个交点 B．两个交点 C．一个交点 D．无交点 2．（23-24高二上·湖南·期中）已知，是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况，下列说法正确的是（    ） A．无论，，如何，总是无解 B．无论，，如何，总有唯一解 C．存在，，，使是方程组的一组解 D．存在，，，使之有无穷多解 4．（多选）（2024高二上·全国·专题练习）下列选项中，正确的有（    ） A．直线和的交点坐标为 B．直线和的交点坐标为 C．直线和交点坐标为 D．直线和，两两相交 5．（多选）（23-24高二上·浙江温州·期末）设直线：，：，下列说法正确的是（    ） A．当时，直线与不重合 B．当时，直线与相交 C．当时， D．当时， 6．（23-24高二上·湖北武汉·期中）写出使得关于的方程组无解的一个的值为 .（写出一个即可） 7．（2024高三下·上海杨浦·阶段练习）若关于，的方程组有无穷多组解，则的值为 8．（2024高二上·江苏·专题练习）分别判断下列直线l1与l2的位置关系，若相交，求出它们的交点坐标. (1)； (2)； (3). 【考点3：两点间的距离公式】 【知识点：两点间的距离公式】 类型 条件 距离公式 两点间的距离 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离 |P1P2|＝ 1．（24-25高一上·上海·课前预习）平面上、两点的距离是 . 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）顶点坐标分别为，，，则的形状为 . 3．（24-25高二下·上海·单元测试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 ． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知二元函数的最小值为，则 ． 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知是直角三角形，斜边的中点为，建立适当的平面直角坐标系，证明： (1)； (2)． 【考点4：点到直线的距离公式】 【知识点：点到直线的距离公式】 类型 条件 距离公式 点到直线的距离 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝ 1．（23-24高二下·贵州毕节·期末）点到直线l：的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知直线：，则点到直线距离的最大值为（    ） A． B． C．5 D．10 3．（23-24高二上·浙江金华·期中）原点到直线的距离为 . 4．（24-25高二上·上海·随堂练习）若点到直线的距离为1，则实数a的值为 ． 5．（24-25高二上·上海·课后作业）若点到直线l：的距离为d，则d的取值范围是 ． 6．（24-25高二上·上海·课后作业）已知直线l过点，若原点到l的距离为2，求直线l的方程． 【考点5：两条平行直线间的距离】 【知识点：两条平行直线间的距离】 类型 条件 距离公式 两条平行直线间的距离 两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离 d＝ 1．（2024高二上·新疆昌吉·阶段练习）两平行直线之间的距离为（    ） A． B．3 C． D． 2．（多选）（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知两条平行直线，，直线，直线，直线，之间的距离为1，则的值可以是（    ） A． B． C．12 D．14 3．（多选）（23-24高二下·江苏南京·期末）已知动点分别在直线与上移动，则线段的中点到坐标原点的距离可能为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二·上海·随堂练习）若与平行，则两直线之间的距离为 . 5．（24-25高二下·上海·随堂练习）已知直线：与直线：且，则实数 ，，之间的距离为 ． 【考点6：点、直线间的对称问题】 【知识点：点、直线间的对称问题】 点关于点对称 若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得，进而求解 直线关于点对称 ①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； ②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程 点关于直线对称 若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组，可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2) 直线关于直线对称 ①若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解． ②若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解 1．（23-24高二上·全国·期末）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 2．（24-25高二上·上海·课堂例题）过原点的直线l的倾斜角为θ，则直线l关于直线对称的直线的倾斜角不可能为（    ） A．θ B． C． D． 3．（2024高二上·河北石家庄·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2024高三·全国·专题练习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为 ． 5．（2024高二下·上海·阶段练习）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 6．（2024高三·全国·专题练习）已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程； (3)直线关于点对称的直线的方程． 7．（2024高二·全国·课后作业）已知直线，，． （1）求直线关于直线的对称直线的方程； （2）求直线关于直线的对称直线的方程． 8．（2024高三·全国·专题练习）已知在中，，. (1)若的面积为，求点C的轨迹方程； (2)若直线平分内角C，求点C的坐标. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 直线的交点坐标与距离公式 【考点1：两条直线的交点坐标】 1 【考点2：方程组解的个数与两直线的位置关系】 4 【考点3：两点间的距离公式】 9 【考点4：点到直线的距离公式】 12 【考点5：两条平行直线间的距离】 15 【考点6：点、直线间的对称问题】 17 【考点1：两条直线的交点坐标】 【知识点：两条直线的交点坐标】 1．（2024高二上·河北石家庄·阶段练习）经过直线和的交点，且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出两直线的交点坐标，再利用二倍角的正切公式求出直线的斜率即可求解. 【详解】由，解得，即所求方程的直线过点， 令直线的倾斜角为，则，显然是锐角， 因此所求方程的直线斜率， 所以所求的直线方程为，即. 故选：C. 2．（2024高二上·全国·课后作业）已知直线和，则直线和的交点为 . 【答案】 【分析】通过联立方程组的方法来求得两直线的交点坐标. 【详解】联立，解得. 直线和的交点为. 故答案为：. 3．（2024·山东·二模）过直线和的交点，倾斜角为的直线方程为 . 【答案】 【分析】联立直线求解交点，即可根据点斜式求解直线方程. 【详解】联立与可得， 故交点为，倾斜角为，所以斜率为1， 故直线方程为，即， 故答案为：. 4．（23-24高二上·江苏南京·期末）求过两条直线和的交点，且与垂直的直线方程 ． 【答案】 【分析】先求出直线和的交点，再设直线，代入交点求解即可． 【详解】由得， 设直线为，代入解得， 故方程为， 故答案为：． 5．（2024高二上·陕西宝鸡·阶段练习）已知直线l经过直线和的交点，且直线l在坐标轴上的截距相等，则直线l的方程是 . 【答案】或 【分析】求出给定的两条直线交点坐标，再按直线是否过原点分类求解即可. 【详解】由，解得，即直线过点， 当直线过原点时，直线的方程为， 当直线不过原点时，设直线的方程为，则，解得，方程为， 所以直线的方程为或. 故答案为：或. 6．（24-25高二上·上海·随堂练习）若三条直线：，：，：，当为何值时，三条直线不能构成三角形？ 【答案】或或 【分析】三条直线不能构成三角形⇔三条直线交于同一点或其中至少有两条直线平行，分别讨论即可得解. 【详解】三条直线不能构成三角形⇔三条直线交于同一点或其中至少有两条直线平行． ①若三条直线交于同一点时，解方程组，得， 即与的交点是， 把点代入直线的方程，得； ②若其中至少有两条直线平行时， 由，得，即； 由，得，即； 综上，当或或时，三条直线不能构成三角形． 7．（2024高二上·云南临沧·阶段练习）已知直线，设直线的交点为. (1)求点的坐标； (2)若直线过点且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）将两直线方程联立求解，即得交点坐标； （2）结合图形理解，直线在两坐标轴上的截距相等包括直线斜率为或经过原点，分别求直线方程即得. 【详解】（1）联立方程解得. （2）直线在两坐标轴上的截距相等， 直线的斜率为或经过原点. ①当直线过原点时，直线过点， 的方程为； ②当直线斜率为时，直线过点， 的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 8．（23-24高二上·吉林延边·期中）已知直线，直线与直线垂直，且直线，的交点的横坐标与纵坐标相等． (1)求直线的方程； (2)若直线l被直线，所截得的线段恰好被点平分，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出直线，的交点坐标，再设直线为，将交点坐标代入求出，从而可求出直线的方程； （2）设直线l交直线，分别于点，则有，，，从而可求出两点的坐标，则可求出直线的斜率，进而可求出直线的方程. 【详解】（1）由题意设直线，的交点坐标为，则，得， 所以直线，的交点坐标为， 由题意设直线为，则，得， 所以直线的方程为； （2）设直线l交直线，分别于点， 因为为的中点，所以， 因为，， 所以，即， 由，解得， 所以，所以， 所以， 所以直线的方程为，即. 【考点2：方程组解的个数与两直线的位置关系】 【知识点：方程组解的个数与两直线的位置关系】 1．（2024高二上·全国·课后作业）思维辨析（对的写正确，错误的写错误） （1）若点在直线上，则．( ) （2）若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交．( ) （3）若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解．( ) （4）若直线与直线的交点为，则．( ) 【答案】 正确 错误 正确 正确 【分析】（1）将点坐标代入即可判断；（2）（3）根据直线方程交点与对应方程组解的关系判断；（4）联立直线方程求出交点坐标即可判断. 【详解】（1）将点代入得，即，正确； （2）若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交或重合，错误； （3）若两直线相交，直线方程所成方程组必有解，且对应为交点坐标，正确； （4）由题设，联立直线方程，则，即交点坐标为，所以，正确. 故答案为：正确，错误，正确，正确. 2．（2024高二上·全国·专题练习）曲线与的交点的情况是（    ） A．最多有两个交点 B．两个交点 C．一个交点 D．无交点 【答案】A 【分析】联立两条直线的方程得到二次方程，再根据判别式分析即可 【详解】联立两条直线方程得：得到，两边平方得：，当即时，，得到方程有两个不相等的实数解，所以曲线与直线有两个交点．当时，得到，与曲线只有一个交点．所以曲线与的最多有两个交点． 故选：A 2．（23-24高二上·湖南·期中）已知，是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况，下列说法正确的是（    ） A．无论，，如何，总是无解 B．无论，，如何，总有唯一解 C．存在，，，使是方程组的一组解 D．存在，，，使之有无穷多解 【答案】B 【分析】先得到，从而得到方程组总有唯一解，A，D错误，B正确；再假设是方程组的一组解，得到，在直线，与两点在上矛盾，C错误. 【详解】直线的斜率存在， ∴， 由题意， 则， 故：与：相交， ∴方程组总有唯一解，A，D错误，B正确； 若是方程组的一组解，则， 则点，在直线，即上， 但已知这两个点在直线上，而这两条直线不是同一条直线， ∴不可能是方程组的一组解，C错误. 故选：B. 4．（多选）（2024高二上·全国·专题练习）下列选项中，正确的有（    ） A．直线和的交点坐标为 B．直线和的交点坐标为 C．直线和交点坐标为 D．直线和，两两相交 【答案】AD 【分析】通过联立方程组求直线的交点坐标. 【详解】方程组的解为，因此直线和相交，交点坐标为，A正确； 方程组有无数个解，这表明直线和重合，B错误； 方程组无解，这表明直线和没有公共点，故，C错误； 方程组的解为 方程组的解为 方程组的解也为 所以，三条直线两两相交且交于同一点，D正确. 故选：AD 5．（多选）（23-24高二上·浙江温州·期末）设直线：，：，下列说法正确的是（    ） A．当时，直线与不重合 B．当时，直线与相交 C．当时， D．当时， 【答案】BD 【分析】举出反例判断A；联立，结合是否为0，讨论方程组解的情况，判断直线的位置关系，判断，讨论是否为0，结合可判断两直线是否垂直，判断D. 【详解】对于A，时，若,,且时， 两直线：，：重合，A错误； 对于B，联立 ，可得, 当时，，此时方程组有唯一一组解， 故直线与相交，B正确； 对于C，时，若，则无解， 此时； 若，则有无数多组解， 此时重合，故C错误； 对于D，若，则由可得， 即两直线斜率之积等于，故； 若,则可得，此时满足， 直线：，：， 此时， 故当时，，D正确， 故选： 6．（23-24高二上·湖北武汉·期中）写出使得关于的方程组无解的一个的值为 .（写出一个即可） 【答案】，3，（写出一个即可） 【分析】根据方程组无解，讨论其中一方程无解、两方程表示的直线平行、一方程表示直线过，另一方程表示直线不过该点的情况得解. 【详解】显然，当时，不表示直线，无解，故方程组无解； 当时，由方程组可看作求两直线（）与的交点，则方程组无解，即直线无交点， 若两直线平行，则，解得. 若两直线不平行时，过点，即，解得或， 此时，不过点，方程组无解. 综上，的取值为. 故答案为：，3，（写出一个即可） 7．（2024高三下·上海杨浦·阶段练习）若关于，的方程组有无穷多组解，则的值为 【答案】4 【分析】当方程组有无穷多解时,可得到两直线重合,则可求出,,计算即可得解. 【详解】若方程组有无穷多组解， 即两条直线重合,即 , 则 故答案为：4 8．（2024高二上·江苏·专题练习）分别判断下列直线l1与l2的位置关系，若相交，求出它们的交点坐标. (1)； (2)； (3). 【答案】(1)相交，交点为； (2)重合； (3)平行. 【分析】（1）联立方程求解，即可判断与关系； （2）（3）根据各项系数比值关系，即可判断与关系. 【详解】（1）由，解得，所以交点坐标为，故与相交. （2）由，显然，即方程无解，故与重合. （3）由，显然，即方程无解，故与平行. 【考点3：两点间的距离公式】 【知识点：两点间的距离公式】 类型 条件 距离公式 两点间的距离 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离 |P1P2|＝ 1．（24-25高一上·上海·课前预习）平面上、两点的距离是 . 【答案】 【分析】根据两点距离公式即可求解. 【详解】, 故答案为： 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）顶点坐标分别为，，，则的形状为 . 【答案】等腰直角三角形 【分析】根据两点间距离求出边长，再结合边长判断形状. 【详解】因为 , 所以 所以为等腰直角三角形. 故答案为：等腰直角三角形. 3．（24-25高二下·上海·单元测试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 ． 【答案】 【分析】求出关于直线对称的点，结合图形，即可求解. 【详解】设点关于直线对称的点为， 则有，解得，所以， 则，所以“将军饮马”的最短总路程为，    故答案为：. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知二元函数的最小值为，则 ． 【答案】80 【分析】化简后转化为点到点之间距离，利用轴对称实现折化直，转化到两点之间线段最短问题. 【详解】． 设点．则， 这是经典的将军饮马问题如图． 点关于直线与轴的对称点分别为与， 可得，故． 故答案为：80 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知是直角三角形，斜边的中点为，建立适当的平面直角坐标系，证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）建系设坐标应用距离公式证明等式即可； （2）应用两点间距离公式证明即可. 【详解】（1）以的直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系．    设两点的坐标分别为． 由两点间距离公式得，． 所以． （2）因为点是的中点， 所以点的坐标为，即． 由两点间距离公式得． 所以． 【考点4：点到直线的距离公式】 【知识点：点到直线的距离公式】 类型 条件 距离公式 点到直线的距离 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝ 1．（23-24高二下·贵州毕节·期末）点到直线l：的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点到直线的距离公式求解即可. 【详解】点到直线l：的距离为. 故选：A 2．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知直线：，则点到直线距离的最大值为（    ） A． B． C．5 D．10 【答案】B 【分析】根据直线方程，可得直线过定点，即可求出结果. 【详解】直线：，即， 由，得到，所以直线过定点， 当直线垂直于直线时，距离最大，此时最大值为， 故选：B. 3．（23-24高二上·浙江金华·期中）原点到直线的距离为 . 【答案】 【分析】由点到直线的距离公式求解即可. 【详解】点到直线的距离为： . 故答案为： 4．（24-25高二上·上海·随堂练习）若点到直线的距离为1，则实数a的值为 ． 【答案】或 【分析】利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】因为点到直线的距离为1， 所以解得：或 故答案为：或 5．（24-25高二上·上海·课后作业）若点到直线l：的距离为d，则d的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先确定直线恒过定点，再计算，从而可得结论． 【详解】解：把直线的方程化为， 由方程组 解得 所以直线恒过定点， 其中直线不包括直线． 又， 且当与直线垂直时，点到直线的距离为， 所以点到直线的距离满足， 故答案为：． 6．（24-25高二上·上海·课后作业）已知直线l过点，若原点到l的距离为2，求直线l的方程． 【答案】或 【分析】讨论直线的斜率不存在和存在两种情况，因为原点到l的距离为2，当直线的斜率不存在时，满足，当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，得到直线方程，利用点到直线的距离公式求出，即可得到直线l的方程． 【详解】当直线的斜率不存在时，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，直线过点， 直线的方程为，即， 又原点到直线的距离为2， ， ，， ，， 直线的方程为，即， 所以，直线l的方程为或． 【考点5：两条平行直线间的距离】 【知识点：两条平行直线间的距离】 类型 条件 距离公式 两条平行直线间的距离 两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离 d＝ 1．（2024高二上·新疆昌吉·阶段练习）两平行直线之间的距离为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】利用平行直线间的距离公式即可得解. 【详解】直线可化为， 直线可化为， 所以两平行直线之间的距离为. 故选：A. 2．（多选）（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知两条平行直线，，直线，直线，直线，之间的距离为1，则的值可以是（    ） A． B． C．12 D．14 【答案】BD 【分析】将直线化为，代入两平行线间距离公式分析求解. 【详解】将直线化为， 则，之间的距离， 即，解得或． 故选：BD． 3．（多选）（23-24高二下·江苏南京·期末）已知动点分别在直线与上移动，则线段的中点到坐标原点的距离可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据直线平行可得在直线上运动，即可根据点到直线的距离公式即可求解. 【详解】解：动点分别在直线与上移动， 又线段的中点为，， 在直线上运动， 到直线的距离． 到坐标原点的距离大于等于． 故选：CD． 4．（24-25高二·上海·随堂练习）若与平行，则两直线之间的距离为 . 【答案】 【分析】先根据直线与平行求出参数，再由两平行直线间的距离公式可得答案. 【详解】∵直线与平行，∴，解得， ∴直线，直线， ∴直线与之间的距离， 故答案为：. 5．（24-25高二下·上海·随堂练习）已知直线：与直线：且，则实数 ，，之间的距离为 ． 【答案】6 ； 【分析】根据两直线平行的充要条件可列式求得参数的值，再由平行线间的距离公式即可求解. 【详解】因为，∴，解得：， ∴：，即，∴与之间的距离． 故答案为：6，. 【考点6：点、直线间的对称问题】 【知识点：点、直线间的对称问题】 点关于点对称 若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得，进而求解 直线关于点对称 ①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； ②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程 点关于直线对称 若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组，可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2) 直线关于直线对称 ①若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解． ②若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解 1．（23-24高二上·全国·期末）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 【答案】C 【分析】根据两直线关于点对称，利用中点坐标公式即可求直线上的对称点，且该点在直线上. 【详解】由题设关于对称的点为，若该点必在上， ∴，解得，即一定在直线上. 故选：C. 2．（24-25高二上·上海·课堂例题）过原点的直线l的倾斜角为θ，则直线l关于直线对称的直线的倾斜角不可能为（    ） A．θ B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线与直线对称，得到倾斜角之间的关系，然后对选项进行逐个分析判断即可. 【详解】设直线的倾斜角为，则， 因为直线和直线关于直线对称， 所以直线和直线也关于直线对称 ， 所以或， 对于A，当时，，所以A正确， 对于B，当时，，所以B正确， 对于C，若，则不成立，且也不成立，所以C错误， 对于D，当时，，所以D正确. 故选：C 3．（2024高二上·河北石家庄·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程组求出两条直线的交点坐标，再求出直线上的点关于直线的对称点即可求解. 【详解】由，解得，则直线与直线交于点， 在直线上取点，设点关于直线的对称点， 依题意，，整理得，解得，即点， 直线的方程为，即， 所以直线关于直线对称的直线方程为. 故选：D 4．（2024高三·全国·专题练习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为 ． 【答案】. 【分析】由于两条直线平行，所以可设，利用对称的性质，可求得，进而求得直线方程为. 【详解】由题意知，设直线，在直线上取点， 设点关于直线的对称点为， 则， 解得，即， 将代入的方程得， 所以直线的方程为. 故答案为：. 5．（2024高二下·上海·阶段练习）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 【答案】【小题1】 【小题2】 【小题3】 【分析】（1）已知点和直线，求点关于直线的对称点问题，设出对称点的坐标，利用点和点中点在直线上以及直线与直线垂直列方程组，解方程组即可求解. （2）如果两条直线相交，求一条直线关于另一条直线的对称直线的方程，可以先求两条已知直线的交点，再求直线上任取的一点关于另一条直线的对称点，两点和可以确定要求直线的方程，从而求得方程. （3）求直线关于点的对称直线的方程，可以转化成求直线上两点关于已知点的对称点，通过两个对称点的坐标求出直线方程即可. 【详解】（1）设点关于直线 的对称点的坐标为， 则有题意可得，解得， 故点关于直线的对称点的坐标为． （2）由可得， 直线与直线的交点为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则由解得， 即． 由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线方程为， 化简为． （3）在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为3， 则所求直线方程为， 即． 6．（2024高三·全国·专题练习）已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程； (3)直线关于点对称的直线的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用两对称点的连线与对称直线垂直及两对称点的中点落在对称直线上，列出方程，解得即可； （2）在直线上任取一点，利用（1）的做法求得对称点，再求出与的交点，由经过，两点，利用点斜式即可求得直线的方程； （3）任取上一点，求得其对称点，代入直线的方程即可求得直线的方程. 【详解】（1）设，由得， 则，解得，故. （2）在直线上取一点，如，则关于直线的对称点必在上， 设对称点为，则，解得，即， 设与的交点为，则由，解得，即， 又经过点，故， 所以直线的方程为，即. （3）设为上任意一点， 则关于点的对称点为， 因为在直线上，所以， 即直线的方程为.    7．（2024高二·全国·课后作业）已知直线，，． （1）求直线关于直线的对称直线的方程； （2）求直线关于直线的对称直线的方程． 【答案】（1） ；（2） ． 【分析】（1）由于，所以，可设的方程为，在直线上取点，求出点关于直线的对称点，代入方程，即得解； （2）与的交点坐标为也在上，另取上不同于的一点，求出关于的对称点为，利用两个点坐标求出直线方程，即得解 【详解】（1）因为，所以． 设直线的方程为（，且）． 在直线上取点，设点关于直线的对称点为， 则，解得， 即点的坐标为． 把点的坐标代入直线的方程，得，解得， 所以直线的方程为． （2）由，得， 所以与的交点坐标为． 另取上不同于A的一点， 设关于的对称点为， 则，得， 即点的坐标为． 所以过与的直线的方程为， 即． 8．（2024高三·全国·专题练习）已知在中，，. (1)若的面积为，求点C的轨迹方程； (2)若直线平分内角C，求点C的坐标. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用面积得点C到直线AB的距离恒为2，利用平行线距离公式求解即可； （2）根据平分的几何性质列式求解，从而求得直线方程，联立方程即可求得交点坐标. 【详解】（1），，，的面积为， 则点C到直线AB的距离恒为2， 所以点C的轨迹是一条与直线AB平行的直线，且与直线AB的距离为2， 直线AB的方程为， 所以设点C的轨迹方程为， 所以，解得， 所以点C的轨迹方程为或. （2）因为直线平分，所以点B关于直线的对称点在直线AC上. 设，则，解得，所以， 所以直线的方程为， 则直线与直线的交点即为点C，即 ，解得，所以点C的坐标为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$