空间几何体的外接球 讲义-2025届高三数学一轮复习

空间几何体的外接球 1、 预备知识 1、 球的定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球。 2、 球的性质 （1） 用一个平面去截球，截面是圆面； 用一个平面去截球面，截线是圆。 （2）球心和截面圆心的连线垂直于截面． （3）球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r有如下关系： （4） 球的表面积与体积公式 2、 空间几何体的外接球 方法一：补形法 （1） 正方体外接球的球心是其体对角线的中点，半径； （其中为正方体的棱长） 长方体外接球的球心是其体对角线的中点，半径。 （其中，，为长方体共顶点的三条棱长） （2） 当三棱锥的三条棱两两垂直或对棱相等（如下图所示）时，可以补形为可补成正方体或者长方体，利用正方体或者长方体的体对角线长为外接球的直径，求外接球的半径。 （3） 典例分析 例1. 已知，若,则四面体的外接球的体积为 。 解析：可补形为棱长为1的正方体,如图所示： 外接球半径，故. 例2. 在四面体ABCD中，若，，，则四面体ABCD的外接球的表面积为 。 解析：根据题意，四面体ABCD的对棱相等，可以补形为长方体，如图所示： 不妨设长方体共顶点的三条棱长分别为:，，，则有 ，所以有 外接球半径为 表面积为. 方法二：定义法 （1） 依据：根据球的定义，空间几何体的外接球的球心到几何体各个顶点距离相等。 （2） 模型一：棱面模型 如图所示，如何确定三棱锥的外接球的球心？ 第一步：找底面ABC的外接圆的圆心，过圆心作面ABC的垂线； 第二步：作棱PB的垂直平分面（即圆面O与棱PB垂直，且圆面O过棱PB的中点），与上一步所作的垂线相交，交点O即为球心； 第三步：将球心O与三棱锥的任意顶点连接，如图所示，连接CO，，则CO为外接球的半径R，为的外接圆半径r，的距离为d，则有，进而可以求出外接球的半径。 （3） 模型二：二面角模型 可分别过相交的两个面的外接圆的圆心作两个面的垂线，垂线的交点就是外接球的球心（如图所示），再转为为平面图形中的解三角形问题，求出球的半径。 （4） 典例分析 例3.如图，在四棱锥中，，，，，且，则此四棱锥的外接球的表面积为 。解析：如图所示 四点共圆，且圆心在的中点处 过作平面的垂线，再作棱的垂直平分面，与垂线相交于点，则点即为该四棱锥外接球的球心。 由题意可得，和全等 在中，，， 例4.已知正三棱锥的顶点都在球的球面上，其侧棱与底面所成角为，且，则球的表面积为 。 解析：如图所示，首先找的外接圆圆心，过作平面的垂线，在正三棱锥中，垂线过顶点，作棱的垂直平分面，该平面分别与、交于点、，则点即为正三棱锥外接球的球心，点为的中点。 在中，， 在中，， ，即外接球半径 例5.已知四棱锥的底面是矩形，其中，，，为等边三角形，则四棱锥的外接球的表面积为 。 解析：如图所示，连接，交于点，则点为矩形的外接圆圆心，过点作平面的垂线，取的中点为，连接，的三等分点（靠近点），即为的外接圆圆心，过点作平面的垂线，与相交于点，点即为该四棱锥的外接球球心。 矩形中，，，则， 在中，， 则， 例6.在四面体中，与都是边长为6的等边三角形，且二面角为，则四面体外接球的表面积为 。 解析：如图所示，取的中点为，连接、，因为与都是边长为6的等边三角形，所以，，故为二面角的平面角，即。的外接圆圆心为的三等分点（靠近点），的外接圆圆心为的三等分点（靠近点），过平面的垂线，过平面的垂线，与相交于点，点即为该四面体的外接球球心。 中，，，则， ， ， 转化为平面图形 （5）巩固练习 练1.直三棱柱中，，，则此直三棱柱外接球的表面积是 。 解析：首先找的外接圆圆心，过作平面的垂线，垂线过上底面的外接圆圆心，则的中点即为外接球的球心，如图所示。 在中，， 由正弦定理，得 又 练2.在三棱锥中，，为等边三角形，且，则三棱锥的外接球的表面积为 。 解析：如图所示，首先找的外接圆圆心，过作平面的垂线，作棱的垂直平分面，与垂线的交点为球心，即。 在中，由正弦定理，得 又 练3.在三棱锥中，，，且，为等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为 。 解析：如图所示，的外接圆圆心在斜边的中点处，因为，为等边三角形，所以过点作平面的垂线，则该垂线必过点， 的外接圆圆心为的三等分点（靠近），此时，点也即三棱锥的外接球球心。 在中，， 在中，，，， 练4.在三棱锥中，，，，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为 。 解析：取的中点为，连接， ， 是二面角的平面角，即 在中，，，则，点为外接圆的圆心， 由，可知是等边三角形，故的三等分点（靠近点）是的外接圆圆心 过平面的垂线，过平面的垂线，与相交于点，点即为该三棱锥的外接球球心。 中，，，， 中，，， 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $$