3.2.1单调性与最大（小）值12题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 3.2.1单调性与最大（小）值12题型分类 一、函数的单调性及其符号表达 (1)函数单调性的概念 函数值随自变量的增大而增大(或减小)的性质叫做函数的单调性． (2)函数单调性的符号表达 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： 如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增. 如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 二、增函数、减函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数． 当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数． 三、单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 1．单调性是函数的局部性质，但在其单调区间上是整体性质，因此对x1，x2有下列要求： (1)属于同一个区间D； (2)任意性，即x1，x2是定义域中某一区间D上的任意两个值，不能用特殊值代替； (3)有大小，即确定的任意两值x1，x2必须区分大小，一般令x1<x2. 2．并非所有的函数都具有单调性．如f(x)＝它的定义域为Z，但不具有单调性． 3．单调区间 (1)这个区间可以是整个定义域．如y＝x在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递增， y＝－x在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递减； (2)这个区间也可以是定义域的真子集．如y＝x2在定义域(－∞，＋∞)上不具有单调性，但在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增． 4．函数在某个区间上单调递增(减)，但是在整个定义域上不一定都是单调递增(减)．如函数y＝(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减，但是在整个定义域上不具有单调性． 5．一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接．如函数y＝(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减，不能认为y＝(x≠0)的单调递减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)． 6．函数的单调性是相对于函数的定义域的子区间D而言的．对于单独的一点，它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性问题．因此在写单调区间时，区间端点可以包括，也可以不包括．但对于函数式无意义的点，单调区间一定不能包括这些点． 四、函数的最大值与最小值 最大值 最小值 条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有 f(x)≤M f(x)≥M ∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 称M是函数y＝f(x)的最大值 称M是函数y＝f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标 1．对函数最值的三点说明 (1)最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝x2(x∈R)的最小值是0，有f(0)＝0. (2)最大(小)值定义中的“任意”是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立，也就是说，函数y＝f(x)的图象不能位于直线y＝M的上(下)方． (3)最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个实数满足等号成立，也就是说y＝f(x)的图象与直线y＝M至少有一个交点． 2．函数最值与函数值域的关系 函数的值域是一个集合，最值若存在则属于这个集合，即最值首先是一个函数值，它是值域的一个元素．函数值域一定存在，而函数并不一定有最大(小)值． 3．利用单调性求最值的常用结论 (1)如果函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则f(x)在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值． (2)如果函数f(x)在区间(a，b]上单调递增，在区间[b，c)上单调递减，则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)． (3)如果函数f(x)在区间(a，b]上单调递减，在区间[b，c)上单调递增，则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)． （一） 证明或判断函数的单调性 定义法证明单调性的步骤 判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格按照单调性的定义操作． 利用定义法判断函数的单调性的步骤如下： 注意：对单调递增的判断，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，也可以用一个不等式来替代： (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0或>0. 对单调递减的判断，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，相应地也可用一个不等式来替代： (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0或<0. 题型1：利用函数单调性定义判断单调性 1-1．（2024高一下·上海杨浦·期中）已知函数的定义域为，“”是“函数在区间是严格增函数”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 1-2．（24-25高一上·上海·课堂例题）若定义在上的函数对任意两个不相等的实数、，总有成立，则必有（    ） A．在上是严格增函数 B．在上是严格减函数 C．函数是先增后减函数 D．函数是先减后增函数 1-3．（2024高三·全国·专题练习）设函数在上为增函数，则下列结论正确的是（    ） A．在R上为减函数 B．在R上为增函数 C．在R上为增函数 D．在R上为减函数 1-4．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列函数在定义域上为严格减函数的是（　　） A． B． C． D． 题型2：利用函数单调性定义证明单调性 2-1．（2024高一上·广东肇庆·开学考试）根据定义证明函数在区间上单调递增. 2-2．（2024高一·全国·课后作业）求证：函数在区间上是增函数. 2-3．（2024高一下·湖北黄冈·期中）求证：函数在区间上是减函数． 2-4．（2024高一·全国·专题练习）设函数．用定义证明函数在区间上是单调减函数； 2-5．（2024高一上·广东广州·期末）已知函数，且，． (1)求函数的解析式； (2)根据定义证明函数在上单调递增． （二） 求函数的单调区间 求函数单调区间的三种方法 方法一：转化为已知的函数(如一次函数、二次函数等)的单调性判断． 方法二：定义法，即先求出定义域，再利用单调性的定义进行判断求解． 方法三：图象法，即先画出图象，根据图象求单调区间． 注：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有． 题型3：求函数的单调区间 3-1．（2024高一上·新疆喀什·期末）函数，的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 3-2．（2024高一·全国·课后作业）如图是函数的图象，则函数的减区间是（    ） A． B． C． D． 3-3．（2024高一·全国·课后作业）函数的减区间是（    ） A． B． C．， D． 3-4．（2024高二下·贵州·学业考试）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 3-5．（2024高一上·河南信阳·阶段练习）函数的单增区间为（    ） A． B． C． D． （三） 函数单调性的应用 1、由函数单调性求参数范围的处理方法是： (1)由函数解析式求参数 若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件， 若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性. 若为复合函数y＝|f(x)|或y＝f(|x|)——数形结合，探求参数满足的条件. (2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”脱掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域. 2、利用单调性比较大小或解不等式的方法 (1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上． (2)利用抽象函数的单调性求范围． ①依据：定义在[m，n]上的单调递增(减)函数中函数值与自变量的关系f(a)<f(b)⇔ ②方法：依据函数的单调性去掉符号“f”，转化为不等式问题求解． 题型4：利用函数单调性求参数的取值范围 4-1．（2024高一上·四川达州·阶段练习）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 4-2．（2024高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知函数在区间上是减函数，则整数a的取值可以为（ ） A． B． C．0 D．1 4-3．（2024高一上·江苏扬州·阶段练习）“”是“函数在区间上为减函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4-4．（2024高一·全国·课后作业）设函数是上的减函数，则有（    ） A． B． C． D． 题型5：利用函数的单调性比较大小 5-1．（2024高一上·江苏南通·期中）若函数在R上是增函数，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5-2．（2024高一上·全国·课后作业）设函数满足：对任意的都有，则与大小关系是 （    ） A． B． C． D． 5-3．（2024高一·全国·课后作业）已知是函数的增区间，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 5-4．（2024高一·全国·专题练习）已知函数是区间内的减函数，则与的大小关系为（　　） A． B． C． D．不确定 题型6：利用函数单调性解不等式 6-1．（2024高一上·江苏南京·期中）已知函数是定义在R上的增函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B．(2，3) C．(1，2) D．(1，3) 6-2．（2024·山东枣庄·模拟预测）已知函数是定义在上的减函数，且，则的取值范围是 ． 6-3．（2024高一上·云南保山·期末）已知定义在上的函数,满足,且当时,. (1)讨论函数的单调性,并说明理由; (2)若,解不等式. 6-4．（2024高一上·安徽滁州·期中）已知函数在定义域上是减函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （四） 利用图象求函数最值 1、利用图象求函数最值的一般步骤 (1)画出函数y＝f(x)的图象； (2)观察图象，找出图象的最高点和最低点； (3)写出最值，最高点的纵坐标就是函数的最大值，最低点的纵坐标就是函数的最小值． 2、图象法求最值的步骤 题型7：利用图象求函数最值 7-1．（2024高一上·安徽马鞍山·阶段练习）如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．在和上单调递减 B．在区间上的最大值为3，最小值为-2 C．在上有最大值2，有最小值-1 D．当直线与函数图象有交点时 7-2．【多选】（2024高一上·河南信阳·期中）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中正确的是（　　） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 （五） 利用单调性求函数最值 1、利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性； (2)利用函数的单调性求出最大(小)值． 2、函数的最大(小)值与单调性的关系 (1)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则函数f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)． (2)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，在区间[b，c]上单调递减(增)，则函数f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个． 题型8：利用单调性求函数最值 8-1．（2024高三·河北邢台·阶段练习）函数是定义在上的奇函数，且． （1）求实数a，b，并确定函数的解析式； （2）判断在（-1，1）上的单调性，并用定义证明你的结论； （3）写出的单调减区间，并判断有无最大值或最小值？如有，写出最大值或最小值．（本小问不需要说明理由） 8-2．（2024高一·全国·专题练习）函数在区间[1，2]上的最大值与最小值分别是（　　） A． B．2，5 C．1，2 D． 8-3．（2024高一上·全国·课后作业）设对任意的有，且当时，. (1)求证是上的减函数； (2)若，求在上的最大值与最小值. 8-4．（2024高一上·山东枣庄·期末）已知函数是上的偶函数 (1)求实数的值，判断函数在,上的单调性； (2)求函数在,上的最大值和最小值． 题型9：根据函数的最值求参数 9-1．（2024高一上·北京·期中）已知函数. (1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)若在区间上有最大值3，求实数的值. 9-2．（2024高一·全国·课后作业）若函数，它的最大值为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9-3．（2024高一上·四川泸州·期末）函数在时有最大值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 9-4．（2024高一上·宁夏吴忠·期中）已知 (1)根据单调性的定义证明函数在区间上是减函数 (2)若函数（）的最大值与最小值之差为1，求实数的值 9-5．（2024高三上·广东深圳·阶段练习）设函数若存在最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． （六） 求二次函数的最值 二次函数最值的求法 (1)探求二次函数y＝f(x)在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象判断函数的单调性．对于“定对称轴变区间”“变对称轴定区间”的情况，特别要注意二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得． (2)二次函数图象的对称轴与定义域区间的位置通常有三种关系：①对称轴在定义域的右侧；②对称轴在定义域的左侧；③对称轴在定义域区间内． 题型10：求二次函数的最值 10-1．（2024高一上·广东深圳·期中）已知函数． (1)若函数在上是增函数，求实数a的取值范围； (2)若，求时的最小值． 10-2．（2024高一上·陕西榆林·阶段练习）已知函数（）的最小值为–1． (1)求实数a的值； (2)当，时，求函数的最小值． 10-3．（2024高一上·江西南昌·阶段练习）已知二次函数满足，且． (1)求的解析式； (2)求函数在区间，上的最大值． 10-4．（2024高一上·河南商丘·阶段练习）已知函数. (1)求的最小值; (2)求的最大值. 10-5．（2024高一·全国·课后作业）已知函数的表达式，若，求函数的最值． （七） 一元二次不等式的恒成立问题 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足. 注：①已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； ②已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足． ③含参数的一元二次不等式恒成立．若能够分离参数成k<f(x)或k>f(x)形式．则可以转化为函数值域求解． 设f(x)的最大值为M，最小值为m. (1)k<f(x)恒成立⇔k<m，k≤f(x)恒成立⇔k≤m. (2)k>f(x)恒成立⇔k>M，k≥f(x)恒成立⇔k≥M. 题型11：函数不等式恒成立问题 11-1．（2024高一上·山西晋城·阶段练习）已知函数， (1)判断函数在区间上的单调性，并利用定义证明； (2)若对任意的时，恒成立，求实数的取值范围. 11-2．（2024高一上·上海普陀·阶段练习）已知. (1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； (2)若，解不等式. 11-3．（2024高一上·四川成都·阶段练习）已知函数. (1)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围； (2)若对任意的，恒成立，求x的取值范围. 题型12：函数不等式有解问题 12-1．（2024高一上·福建泉州·期末）已知函数在上的最大值为3，最小值为． (1)求的解析式； (2)若，使得，求实数m的取值范围． 12-2．（2024高一上·河北沧州·阶段练习）已知函数 (1)解关于x的不等式； (2)已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数m的取值范围. 12-3．（2024高一·全国·单元测试）若存在实数，使得不等式成立，求x的取值范围． 一、单选题 1．（2024高一上·四川广安·期末）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一上·陕西西安·期中）已知函数在上单调，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（宁夏中卫市第一中学2023-2024学年高一上学期第一次月考数学（B卷）试题）若函数y＝f(x)在R上单调递减，且f(2m－3) > f(－m)，则实数m的取值范围是（     ） A．(－∞，－1) B．(－1，＋∞) C．(1，＋∞) D．(－∞，1) 4．（2024高一上·全国·课后作业）已知的图象如图所示，则该函数的单调增区间为（    ） A． B．和 C． D．和 5．（2024高二下·陕西宝鸡·期末）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 6．（2024高一上·福建三明·阶段练习）下列有关函数单调性的说法，不正确的是（    ） A．若为增函数，为增函数，则为增函数 B．若为减函数，为减函数，则为减函数 C．若为增函数，为减函数，则为增函数 D．若为减函数，为增函数，则为减函数 7．（2024高一下·云南普洱·阶段练习）函数的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D．以上都不对 8．（2024高一上·广西桂林·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2024高一上·河南信阳·阶段练习）若函数在上单调递增,则a的取值范围是(     ) A． B． C． D． 10．（2024高一·全国·课后作业）函数的定义域为，且在定义域内是增函数，若，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 12．（2024·海南海口·模拟预测）函数的单调递减区间是（    ） A． B．和 C． D．和 13．（2024高一上·天津和平·期中）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D．， 14．（2024高一·全国·专题练习）函数的单调增区间为（　　） A．（0，+∞） B．（﹣∞，0） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（﹣∞，0），（0，+∞） 15．（2024高一上·天津和平·期中）设函数，则的值域是（    ） A． B． C． D． 16．（2024高三下·北京海淀·期中）已知函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 17．（2024高一·全国·课后作业）下列命题正确的是（    ） A．函数在上是增函数 B．函数在上是减函数 C．函数和函数的单调性相同 D．函数和函数的单调性相同 二、多选题 18．（2024高一上·江苏南京·期中）下列说法正确的是（    ） A．定义在R上的函数满足，则函数是R上的增函数 B．定义在R上的函数满足，则函数是R上不是减函数 C．定义在R上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在R上是增函数 D．定义在R上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在R上是增函数 19．（2024高二下·辽宁大连·期末）在下列函数中，最小值是2的是（    ） A． B． C． D． 20．（2024高一上·广东湛江·阶段练习）若不等式对于一切恒成立，则a的值可能是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 21．（2024·上海）设若是的最小值，则的取值范围是　　　　　. 22．（2024高一上·河北保定·期中）已知在上是增函数，则a的取值范围是 ． 23．（2024高一上·内蒙古通辽·期末）已知函数的最大值为m，的最小值为n，则 ． 24．（2024高一上·全国·课后作业）已知是定义在上的减函数，则不等式的解集为 . 25．（2024高一上·上海杨浦·期末）函数的单调减区间为 . 26．（2024高一上·广东汕尾·期末）已知函数，则的单调递增区间为 . 27．（2024高一上·浙江温州·期中）函数单调减区间是 . 28．（2024高一上·新疆·期中）若函数的值域是，则实数的取值范围是 ． 29．（2024高三·全国·对口高考）设的定义域为，对于任意实数t，则的最小值 ． 30．（2024高一·全国·课后作业）定义一种运算，设（t为常数），且，则使函数最大值为4的t值是 ． 四、解答题 31．（2024高一上·云南红河·期末）已知函数. (1)当时，求的解集； (2)求函数在区间上的最小值. 32．（2024高一上·云南·阶段练习）已知二次函数，非空集合. (1)当时，二次函数的最小值为，求实数的取值范围； (2)当__________时，求二次函数的最值以及取到最值时的取值. 在①，②，③，这三个条件中任选一个补充在（2）问中的横线上，并求解. （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.） 33．（2024高一上·上海闵行·期末）已知函数严格单调，且的最大值为8，求实数的值. 34．（2024高一上·陕西安康·阶段练习）已知函数，求函数在区间上的最小值 35．（2024高一·全国·课后作业）用定义证明：函数在上是增函数． 36．（2024高一·全国·专题练习）已知函数.判断函数在上的单调性，并证明； 37．（2024高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数，判断并证明在上的单调性. 38．（2024高一·江苏·假期作业）已知函数， (1)对任意的，都有，且当时，求证：是上的增函数； (2)若是上的增函数，且，解不等式． 39．（2024高一上·江西抚州·期中）已知函数的定义域为,且对任意的正实数都有,且当时,,. (1)求; (2)求证:为上的增函数; (3)解不等式. 40．（2024高一上·辽宁铁岭·阶段练习）已知，其中为常数． (1)若的解集为或，求的值； (2)使，求实数的取值范围． 41．（2024高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知定义在的函数满足以下条件： ①； ②当时，； ③对，均有． (1)求和的值； (2)判断并证明的单调性； (3)求不等式的解集． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 3.2.1单调性与最大（小）值12题型分类 一、函数的单调性及其符号表达 (1)函数单调性的概念 函数值随自变量的增大而增大(或减小)的性质叫做函数的单调性． (2)函数单调性的符号表达 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： 如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增. 如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 二、增函数、减函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数． 当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数． 三、单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 1．单调性是函数的局部性质，但在其单调区间上是整体性质，因此对x1，x2有下列要求： (1)属于同一个区间D； (2)任意性，即x1，x2是定义域中某一区间D上的任意两个值，不能用特殊值代替； (3)有大小，即确定的任意两值x1，x2必须区分大小，一般令x1<x2. 2．并非所有的函数都具有单调性．如f(x)＝它的定义域为Z，但不具有单调性． 3．单调区间 (1)这个区间可以是整个定义域．如y＝x在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递增， y＝－x在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递减； (2)这个区间也可以是定义域的真子集．如y＝x2在定义域(－∞，＋∞)上不具有单调性，但在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增． 4．函数在某个区间上单调递增(减)，但是在整个定义域上不一定都是单调递增(减)．如函数y＝(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减，但是在整个定义域上不具有单调性． 5．一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接．如函数y＝(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减，不能认为y＝(x≠0)的单调递减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)． 6．函数的单调性是相对于函数的定义域的子区间D而言的．对于单独的一点，它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性问题．因此在写单调区间时，区间端点可以包括，也可以不包括．但对于函数式无意义的点，单调区间一定不能包括这些点． 四、函数的最大值与最小值 最大值 最小值 条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有 f(x)≤M f(x)≥M ∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 称M是函数y＝f(x)的最大值 称M是函数y＝f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标 1．对函数最值的三点说明 (1)最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝x2(x∈R)的最小值是0，有f(0)＝0. (2)最大(小)值定义中的“任意”是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立，也就是说，函数y＝f(x)的图象不能位于直线y＝M的上(下)方． (3)最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个实数满足等号成立，也就是说y＝f(x)的图象与直线y＝M至少有一个交点． 2．函数最值与函数值域的关系 函数的值域是一个集合，最值若存在则属于这个集合，即最值首先是一个函数值，它是值域的一个元素．函数值域一定存在，而函数并不一定有最大(小)值． 3．利用单调性求最值的常用结论 (1)如果函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则f(x)在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值． (2)如果函数f(x)在区间(a，b]上单调递增，在区间[b，c)上单调递减，则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)． (3)如果函数f(x)在区间(a，b]上单调递减，在区间[b，c)上单调递增，则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)． （一） 证明或判断函数的单调性 定义法证明单调性的步骤 判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格按照单调性的定义操作． 利用定义法判断函数的单调性的步骤如下： 注意：对单调递增的判断，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，也可以用一个不等式来替代： (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0或>0. 对单调递减的判断，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，相应地也可用一个不等式来替代： (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0或<0. 题型1：利用函数单调性定义判断单调性 1-1．（2024高一下·上海杨浦·期中）已知函数的定义域为，“”是“函数在区间是严格增函数”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【分析】利用单调性的定义及充分、必要条件的定义即可. 【详解】显然由推不出函数单调，个别情况推不出整体的单调性，不满足充分性； 反之函数在区间是严格增函数，可知，满足必要性. 即“”是“函数在区间是严格增函数”的必要不充分条件. 故选:B 1-2．（24-25高一上·上海·课堂例题）若定义在上的函数对任意两个不相等的实数、，总有成立，则必有（    ） A．在上是严格增函数 B．在上是严格减函数 C．函数是先增后减函数 D．函数是先减后增函数 【答案】B 【分析】利用给定条件结合函数单调性的定义求解即可. 【详解】因为，所以和异号， 所以当时，，当时，， 故在上是严格减函数，故B正确. 故选：B 1-3．（2024高三·全国·专题练习）设函数在上为增函数，则下列结论正确的是（    ） A．在R上为减函数 B．在R上为增函数 C．在R上为增函数 D．在R上为减函数 【答案】D 【分析】通过举反例即可判断A、B、C选项，可以借助单调性的定义证明D选项. 【详解】对于A选项，若，则，在上不是减函数，故A错误； 对于B选项，若，则，在上不是增函数，故B错误； 对于C选项，若，则，在上不是增函数，故C错误； 对于D选项，函数在上为增函数，则对于任意的，设，必有，即， 对于，则有 则在上为减函数，故D正确． 故选：D. 1-4．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列函数在定义域上为严格减函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据特殊值法判断A,B,C选项，应用一次函数的单调性性质判断D选项. 【详解】对于A:当，当，,在定义域上不是严格减函数，错误； 对于B:当，当，，在定义域上不是严格减函数，错误； 对于C:,当，，在定义域上不是严格减函数，错误； 对于D:因为在定义域内为严格减函数,正确. 故选：D. 题型2：利用函数单调性定义证明单调性 2-1．（2024高一上·广东肇庆·开学考试）根据定义证明函数在区间上单调递增. 【答案】证明见解析 【分析】根据函数单调性的定义创建相关不等式证明即可. 【详解】，，且，有 . 由，，得，，所以，， 又由，得，于是，即. 所以，函数在区间上单调递增. 2-2．（2024高一·全国·课后作业）求证：函数在区间上是增函数. 【答案】证明见解析 【分析】根据函数单调性的定义，取并结合解析式，判断的大小关系，即可证明结论. 【详解】证明：任取，. 又，，. ∴，则，即. ∴在区间上是增函数. 2-3．（2024高一下·湖北黄冈·期中）求证：函数在区间上是减函数． 【答案】证明见解析 【分析】利用函数单调性的定义即可求证. 【详解】设，且， 则, ，且， 又， , ,即 ， 故函数在区间是减函数. 2-4．（2024高一·全国·专题练习）设函数．用定义证明函数在区间上是单调减函数； 【答案】证明见解析； 【分析】根据定义法证明函数单调性的步骤即可求解. 【详解】证明： 任取，因为 在上是单调减函数 2-5．（2024高一上·广东广州·期末）已知函数，且，． (1)求函数的解析式； (2)根据定义证明函数在上单调递增． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）直接根据条件列方程组求解即可； （2）任取，计算判断的符号即可证明单调性. 【详解】（1）由已知，解得， ； （2）任取， 则， ， ， ，即， 函数在上单调递增. （二） 求函数的单调区间 求函数单调区间的三种方法 方法一：转化为已知的函数(如一次函数、二次函数等)的单调性判断． 方法二：定义法，即先求出定义域，再利用单调性的定义进行判断求解． 方法三：图象法，即先画出图象，根据图象求单调区间． 注：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有． 题型3：求函数的单调区间 3-1．（2024高一上·新疆喀什·期末）函数，的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出函数的对称轴，即可判断函数的单调性. 【详解】解：函数对称轴为，开口向上， 所以函数，的单调减区间为. 故选：D 3-2．（2024高一·全国·课后作业）如图是函数的图象，则函数的减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】若函数在区间上单调递减，则对应的函数图象为从左到右下降的，结合函数图象即可得解，需注意的是函数在两个区间上单调递减，不能写成并集的形式； 【详解】解：若函数在区间上单调递减，则对应的函数图象为从左到右下降的．由图象知，函数的图象在，上分别是从左到右下降的，则对应的减区间为，， 故选：D． 3-3．（2024高一·全国·课后作业）函数的减区间是（    ） A． B． C．， D． 【答案】C 【解析】画出函数图象，数形结合即可求得结果. 【详解】由图象知单调减区间为， 故选：. 【点睛】本题考查简单函数单调区间的求解，属简单题. 3-4．（2024高二下·贵州·学业考试）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接由二次函数的单调性求解即可. 【详解】由知，函数为开口向上，对称轴为的二次函数，则单调递增区间是. 故选：B. 3-5．（2024高一上·河南信阳·阶段练习）函数的单增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】得出分段函数解析式，即可得解. 【详解】. 因为，， 所以的增区间是． 故选：D （三） 函数单调性的应用 1、由函数单调性求参数范围的处理方法是： (1)由函数解析式求参数 若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件， 若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性. 若为复合函数y＝|f(x)|或y＝f(|x|)——数形结合，探求参数满足的条件. (2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”脱掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域. 2、利用单调性比较大小或解不等式的方法 (1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上． (2)利用抽象函数的单调性求范围． ①依据：定义在[m，n]上的单调递增(减)函数中函数值与自变量的关系f(a)<f(b)⇔ ②方法：依据函数的单调性去掉符号“f”，转化为不等式问题求解． 题型4：利用函数单调性求参数的取值范围 4-1．（2024高一上·四川达州·阶段练习）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】利用二次函数的单调性列出关于实数的不等式，解之即可求得实数的取值范围. 【详解】二次函数的图像开口向上，单调增区间为， 又函数在区间上是增函数， 则，解之得，则实数的取值范围是 故答案为： 4-2．（2024高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知函数在区间上是减函数，则整数a的取值可以为（ ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】由题意可得，解不等式即可得出答案. 【详解】解：由题意可得，解得， ∴整数a的取值可以为. 故选：A 4-3．（2024高一上·江苏扬州·阶段练习）“”是“函数在区间上为减函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】求出函数在区间上为减函数的的取值范围，结合与的关系求出答案 【详解】的图象如图所示， 要想函数在区间上为减函数，必须满足， 因为是的子集， 所以“”是“函数在区间上为减函数”的充分不必要条件. 故选：A 4-4．（2024高一·全国·课后作业）设函数是上的减函数，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性列出相应的不等式，即可求得答案. 【详解】由题意函数是上的减函数， 则，否则为常数函数，不合题意，故为一次函数， 故， 故选：D 题型5：利用函数的单调性比较大小 5-1．（2024高一上·江苏南通·期中）若函数在R上是增函数，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一次函数性质求解， 【详解】由题意得，即， 而在R上是增函数，则， 故选：B 5-2．（2024高一上·全国·课后作业）设函数满足：对任意的都有，则与大小关系是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件确定函数的单调性，进而比较函数值大小即可. 【详解】因为，当时；当时； 所以函数在实数上单调递增，又，所以. 故选：A 5-3．（2024高一·全国·课后作业）已知是函数的增区间，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单调性的定义判断即可. 【详解】因为是函数的增区间，所以，故A正确； 由于无法确定、的取值情况，故无法判断的符号，故B、C、D错误； 故选：A 5-4．（2024高一·全国·专题练习）已知函数是区间内的减函数，则与的大小关系为（　　） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】由已知结合二次函数的性质及函数的单调性即可比较大小． 【详解】因为， 又是区间内的减函数， 所以. 故选：B． 题型6：利用函数单调性解不等式 6-1．（2024高一上·江苏南京·期中）已知函数是定义在R上的增函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B．(2，3) C．(1，2) D．(1，3) 【答案】A 【分析】根据函数的单调性有，即可求a的取值范围. 【详解】∵是定义在R上的增函数，且， ∴，解得，则a的取值范围为． 故选：A． 6-2．（2024·山东枣庄·模拟预测）已知函数是定义在上的减函数，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数的定义域，结合函数的单调性求解即可. 【详解】函数是定义在上的减函数，且， ∴，解得． 故答案为： 6-3．（2024高一上·云南保山·期末）已知定义在上的函数,满足,且当时,. (1)讨论函数的单调性,并说明理由; (2)若,解不等式. 【答案】(1)在上单调递增,理由见解析 (2) 【分析】(1)取,利用单调性的定义,进行取值,作差,变形,定号,结论即可得出结果; (2)先根据,求得,再利用抽象函数的式子化为,根据(1)中的单调性结论,列出不等式,解出即可. 【详解】（1）解:在上单调递增,理由如下: 因为定义域为, 不妨取任意,且,则, 由题意,即, 所以在上单调递增. （2）因为,令,由可得: , 即, 由,可得, 令,, 则, 所以不等式, 即,即, 由(1)可知在定义域内单调递增, 所以只需,解得, 所以不等式的解集为. 6-4．（2024高一上·安徽滁州·期中）已知函数在定义域上是减函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数的单调性及定义域化简不等式，即可得解. 【详解】因为函数在定义域上是减函数，且， 则有 解得，所以实数的取值范围是. 故选：A． （四） 利用图象求函数最值 1、利用图象求函数最值的一般步骤 (1)画出函数y＝f(x)的图象； (2)观察图象，找出图象的最高点和最低点； (3)写出最值，最高点的纵坐标就是函数的最大值，最低点的纵坐标就是函数的最小值． 2、图象法求最值的步骤 题型7：利用图象求函数最值 7-1．（2024高一上·安徽马鞍山·阶段练习）如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．在和上单调递减 B．在区间上的最大值为3，最小值为-2 C．在上有最大值2，有最小值-1 D．当直线与函数图象有交点时 【答案】A 【分析】根据函数图象，结合函数的基本性质，逐项判断，即可得出结果. 【详解】A选项，由函数图象可得，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故A正确； B选项，由图象可得，函数在区间上的最大值为，无最小值，故B错； C选项，由图象可得，函数在上有最大值，有最小值，故C错； D选项，由图象可得，为使直线与函数的图象有交点，只需，故D错. 故选：A. 7-2．【多选】（2024高一上·河南信阳·期中）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中正确的是（　　） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 【答案】ABC 【分析】根据图象直接判断单调区间和最值即可. 【详解】对于A，由图象可知：的单调递减区间为，A正确； 对于B，当时，，B正确； 对于C，当时，，C正确； 对于D，由图象可知：的单调递增区间为和，但并非严格单调递增，不能用“”连接，D错误. 故选：ABC. （五） 利用单调性求函数最值 1、利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性； (2)利用函数的单调性求出最大(小)值． 2、函数的最大(小)值与单调性的关系 (1)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则函数f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)． (2)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，在区间[b，c]上单调递减(增)，则函数f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个． 题型8：利用单调性求函数最值 8-1．（2024高三·河北邢台·阶段练习）函数是定义在上的奇函数，且． （1）求实数a，b，并确定函数的解析式； （2）判断在（-1，1）上的单调性，并用定义证明你的结论； （3）写出的单调减区间，并判断有无最大值或最小值？如有，写出最大值或最小值．（本小问不需要说明理由） 【答案】（1）（2）见解析（3）单调减区间为x=-1时，，当x=1时，． 【详解】试题分析：（1）先根据函数为奇函数（）求出值，再利用求出值，即可其解析式；（2）利用函数的单调性定义进行判定与证明；（3）结合（2）问容易得到单调递减区间，进而写出最值. 解题思路:（1）求解析式的一种主要方法是待定系数法；（2）利用函数单调性的定义证明函数的单调性的一般步骤为：设值代值、作差变形、判定符号、下结论. 试题解析：（1）是奇函数，． 即，， ，又，，， （2）任取，且， ， ，，，， 在（-1，1）上是增函数． （3）单调减区间为 当x=-1时，，当x=1时，. 考点：1.函数的奇偶性；2.函数的解析式；3.函数的单调性与最值. 8-2．（2024高一·全国·专题练习）函数在区间[1，2]上的最大值与最小值分别是（　　） A． B．2，5 C．1，2 D． 【答案】A 【分析】先简单判断函数的单调性，进而求解结论． 【详解】 解：∵y＝x2+1在（0，+∞）上单调递增，且y＞1， ∴在区间[1，2]上单调递减， ∴函数在区间[1，2]上的最大值与最小值分别是 f（1），f（2）， 故选：A． 8-3．（2024高一上·全国·课后作业）设对任意的有，且当时，. (1)求证是上的减函数； (2)若，求在上的最大值与最小值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由递推关系得、，利用单调性定义证明结论即可； （2）由（1）知在上单调递减，结合递推关系和奇偶性求最值即可. 【详解】（1）令，则有， 令，则， 设且，则， 因为时，所以， 所以是上的减函数. （2）由（1）：是上的减函数，所以在上单调递减， 又，， 所以. 8-4．（2024高一上·山东枣庄·期末）已知函数是上的偶函数 (1)求实数的值，判断函数在,上的单调性； (2)求函数在,上的最大值和最小值． 【答案】(1)，单调递减 (2)最小值，最大值 【分析】（1）根据偶函数的定义，对照等式可求得，再根据函数单调性的定义可判断函数在,上的单调性. （2）根据函数的奇偶性和单调性，判断在,上的单调性，利用单调性可求得函数最值. 【详解】（1）若函数是上的偶函数，则， 即，解得， 所以， 函数在上单调递减． （2）由（1）知函数在上单调递减， 又函数是上的偶函数， 所以函数在,上为增函数， 所以函数在,上为增函数，在,上为减函数． 又 所以 题型9：根据函数的最值求参数 9-1．（2024高一上·北京·期中）已知函数. (1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)若在区间上有最大值3，求实数的值. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）根据二次函数对称轴和区间的位置关系，列出不等关系，即可求得结果； （2）根据对称轴和区间的位置关系分类讨论，在不同情况下求解即可. 【详解】（1）的对称轴，要满足题意，只需， 故实数的取值范围为. （2）当时，在单调递减，则在上的最大值为， 令，解得； 当时，在单调递增，在单调递减， 则在上的最大值为，令，解得或， 都不满足，故舍去； 当时，在单调递增，则在上的最大值为， 令，解得； 综上所述，或. 9-2．（2024高一·全国·课后作业）若函数，它的最大值为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的对称性，得到且，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数表示开口向上，且对称轴为的抛物线， 要使得当，函数的最大值为，则满足且， 解得，所以实数的取值范围是. 故选D. 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题. 9-3．（2024高一上·四川泸州·期末）函数在时有最大值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式求出，得出函数的最大值为，从而求出和的值． 【详解】解：因为时，，当且仅当，即时取“”， 所以函数，解得，， 所以． 故选：C． 9-4．（2024高一上·宁夏吴忠·期中）已知 (1)根据单调性的定义证明函数在区间上是减函数 (2)若函数（）的最大值与最小值之差为1，求实数的值 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）且，利用作差法证明即可； （2）由（1）求出函数的最值，再根据题意即可得解. 【详解】（1）且， 则， 因为，所以， 又因为，所以， 因此， 所以在是减函数； （2）由（1）可知，是减函数， 所以时，取得最大值为， 时，取得最小值为， 因为最大值与最小值之差为1， 所以，解得. 9-5．（2024高三上·广东深圳·阶段练习）设函数若存在最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数和二次函数的单调性，分类讨论进行求解即可. 【详解】若时，，； 若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值； 若时，时，单调递减，，当时，，若函数有最小值，需或，解得. 故选：B 【点睛】关键点睛：利用分类讨论法，结合最值的性质是解题的关键. （六） 求二次函数的最值 二次函数最值的求法 (1)探求二次函数y＝f(x)在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象判断函数的单调性．对于“定对称轴变区间”“变对称轴定区间”的情况，特别要注意二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得． (2)二次函数图象的对称轴与定义域区间的位置通常有三种关系：①对称轴在定义域的右侧；②对称轴在定义域的左侧；③对称轴在定义域区间内． 题型10：求二次函数的最值 10-1．（2024高一上·广东深圳·期中）已知函数． (1)若函数在上是增函数，求实数a的取值范围； (2)若，求时的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的性质列不等式，从而求得的取值范围. （2）对进行分类讨论，从而求得. 【详解】（1）的开口向上，对称轴为， 由于函数在上是增函数， 所以， 所以的取值范围是. （2）当时，，开口向上，对称轴为， 所以，当时，在时取得最小值，即； 当，时，在时取得最小值， 即； 当时，在时取得最小值，即. 所以. 10-2．（2024高一上·陕西榆林·阶段练习）已知函数（）的最小值为–1． (1)求实数a的值； (2)当，时，求函数的最小值． 【答案】(1)2 (2)答案详见解析 【分析】（1）利用的最小值求得. （2）对进行分类讨论，从而求得的最小值. 【详解】（1）∵函数， ∴函数的图象开口向上，对称轴为直线． ∴，解得或（舍）． ∴实数a的值为2． （2）由（1）知函数的图象开口向上，对称轴为直线． ①当，即时，函数在区间上为减函数， ∴； ②当时，函数在区间上为增函数， ∴； ③当，即时，易知． 综上，当时，； 当时，； 当时，． 10-3．（2024高一上·江西南昌·阶段练习）已知二次函数满足，且． (1)求的解析式； (2)求函数在区间，上的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出解析式，利用待定系数法进行求解； （2）在第一问基础上，分与两种情况进行求解最大值. 【详解】（1）设，则， 因为， 所以， 故，解得： 又 所以， 所以； （2）由（1）得，图象开口向上，对称轴为． 当时，， 所以此时函数的最大值为； 当时，， 所以此时函数的最大值为； 综上：． 10-4．（2024高一上·河南商丘·阶段练习）已知函数. (1)求的最小值; (2)求的最大值. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据二次函数的对称性，分类讨论函数的单调性，进而求最小值； （2）根据一次函数的单调性，及二次函数的最值求出分段函数在每段上的最大值从而得出的最大值． 【详解】（1）由题意可得：， 当时，在区间上单调递减，最小值； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，最小值； 当时，在区间上单调递增，最小值； 综上所述：. （2）由（1）可知：当时，在单调递减，所以的最大值为； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以的最大值为； 当时，在单调递增，所以的最大值为； 综上所述：的最大值. 10-5．（2024高一·全国·课后作业）已知函数的表达式，若，求函数的最值． 【答案】答案见解析 【分析】分,,,四种情况讨论求解即可. 【详解】解：函数的图像的对称轴为直线． ①当，即时，，； ②当，即时，，； ③当，即时，，； ④当，即时，，． ∴，. （七） 一元二次不等式的恒成立问题 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足. 注：①已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； ②已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足． ③含参数的一元二次不等式恒成立．若能够分离参数成k<f(x)或k>f(x)形式．则可以转化为函数值域求解． 设f(x)的最大值为M，最小值为m. (1)k<f(x)恒成立⇔k<m，k≤f(x)恒成立⇔k≤m. (2)k>f(x)恒成立⇔k>M，k≥f(x)恒成立⇔k≥M. 题型11：函数不等式恒成立问题 11-1．（2024高一上·山西晋城·阶段练习）已知函数， (1)判断函数在区间上的单调性，并利用定义证明； (2)若对任意的时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增，理由见解析； (2). 【分析】（1）利用定义法求出函数在上单调递减，在上单调递增， （2）在第一问的基础上求出在上的最大值和最小值，从而得到，列出不等式，求出实数的取值范围. 【详解】（1）在上单调递减，在上单调递增， 理由如下：取，且， ， 因为，，故，， ， 所以， 所以在上单调递减； 取，且， ， 因为，，故，， ， 所以， 所以在上单调递增； （2）若对任意的时，恒成立， 时，无意义，舍去， 当时，，此时无解，舍去， 所以， 只需求出的最大值， 当时，单调递减，当时，单调递增， 故， 又因为，， 故， 故， 所以， 因为，故解得：或 实数的取值范围是. 11-2．（2024高一上·上海普陀·阶段练习）已知. (1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； (2)若，解不等式. 【答案】(1) (2)解集见解析 【分析】（1）整理后分与两种情况，结合根的判别式列出不等式，求出答案； （2）因式分解后得到，对进行分类讨论，求出实数a的取值范围. 【详解】（1）变形得到对一切实数x恒成立， 当时，，不对一切实数x恒成立，舍去； 当时，则需，解得， 综上，实数a的取值范围是； （2），即， 因为，所以， 因为， 所以当时，，解集为， 当时，，解集为， 当时，，解集为， 综上：当时，的解集为， 当时，的解集为， 当时，的解集为. 11-3．（2024高一上·四川成都·阶段练习）已知函数. (1)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围； (2)若对任意的，恒成立，求x的取值范围. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）根据参变分离，然后利用基本不等式即得；或分类讨论求函数的最小值，进而即得； （2）利用主元法，把函数看成关于的a的函数，可得，即得. 【详解】（1）解法一：对任意的，恒成立，即恒成立， 即对任意的恒成立. ①当时，不等式为恒成立，此时； ②当时，， ∵，∴， ∴， 当且仅当时，即时取“=”， ∴， 综上，a的取值范围为； 解法二：由题可得对任意成立， 所以， 对于二次函数，对称轴为轴， 当时，函数在上单调递增， 则， 解得； 当时，则， 解得； 当时，函数在上单调递减， 则，无解， 综上，a的取值范围为； （2）由题可得， 则当时，不等式恒成立， 则， 整理得：， 解得：或， ∴x的取值范围为或. 题型12：函数不等式有解问题 12-1．（2024高一上·福建泉州·期末）已知函数在上的最大值为3，最小值为． (1)求的解析式； (2)若，使得，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据的最值列方程组，解方程组求得，进而求得. （2）利用分离常数法，结合基本不等式求得的取值范围. 【详解】（1）的开口向上，对称轴为， 所以在区间上有：， 即， 所以. （2）依题意，使得， 即， 由于，， 当且仅当时等号成立. 所以. 12-2．（2024高一上·河北沧州·阶段练习）已知函数 (1)解关于x的不等式； (2)已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2)或. 【分析】（1）由，讨论参数求对应解集； （2）由题设上值域是值域的子集，列不等式组求参数范围. 【详解】（1）由题设， 当时，，故不等式解集为； 当时，，故不等式解集为； 当时，，故不等式解集为； （2）由题设，在上， 要使任意的，总存在，使成立， 所以是值域的子集，显然时不满足题设， 或，可得或. 12-3．（2024高一·全国·单元测试）若存在实数，使得不等式成立，求x的取值范围． 【答案】或 【分析】原不等式可化为.设，根据的符号讨论，结合一次函数的单调性，即可得出答案. 【详解】原不等式可化为. 设， 当时，恒成立，满足题意； 当时，恒成立，不满足题意； 当时，函数单调递增， 要使不等式成立，则应有， 即有， 解得，或； 当时，函数单调递减， 要使不等式成立，则应有， 即有， 解得，. 综上所述，x的取值范围为或. 一、单选题 1．（2024高一上·四川广安·期末）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数单调性即可求出实数a的取值范围. 【详解】由题意，， 在中，函数单调递增， ∴，解得：， 故选：C. 2．（2024高一上·陕西西安·期中）已知函数在上单调，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质即可求解. 【详解】的对称轴为， 若在上单调递增，则，解得， 若在上单调递减，则，解得， 所以实数k的取值范围为. 故选：D. 3．（宁夏中卫市第一中学2023-2024学年高一上学期第一次月考数学（B卷）试题）若函数y＝f(x)在R上单调递减，且f(2m－3) > f(－m)，则实数m的取值范围是（     ） A．(－∞，－1) B．(－1，＋∞) C．(1，＋∞) D．(－∞，1) 【答案】D 【分析】直接利用函数的单调性解不等式即可 【详解】因为函数y＝f(x)在R上单调递减，且f(2m－3) > f(－m)， 所以，得， 所以实数m的取值范围是(－∞，1)， 故选：D 4．（2024高一上·全国·课后作业）已知的图象如图所示，则该函数的单调增区间为（    ） A． B．和 C． D．和 【答案】B 【分析】根据函数图象直接确定递增区间即可. 【详解】由图象知：该函数的单调增区间为和. 故选：B 5．（2024高二下·陕西宝鸡·期末）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出定义域，再利用二次函数单调性判断出结果. 【详解】函数的定义域需要满足，解得定义域为， 因为在上单调递增，所以在上单调递增， 故选：D. 6．（2024高一上·福建三明·阶段练习）下列有关函数单调性的说法，不正确的是（    ） A．若为增函数，为增函数，则为增函数 B．若为减函数，为减函数，则为减函数 C．若为增函数，为减函数，则为增函数 D．若为减函数，为增函数，则为减函数 【答案】C 【解析】根据函数的单调性定义及性质，可判断选项A，B，D选项正确，选项C可结合具体函数说明其不正确. 【详解】根据不等量的关系，两个相同单调性的函数相加单调性不变， 选项A,B正确； 选项D: 为增函数，则为减函数， 为减函数，为减函数，选项D正确； 选选C:若为增函数，为减函数， 则的增减性不确定. 例如为上的增函数，当时， 在上为增函数； 当时，在上为减函数， 故不能确定的单调性. 故选:C 【点睛】本题考查函数单调性的简单性质，属于基础题. 7．（2024高一下·云南普洱·阶段练习）函数的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D．以上都不对 【答案】B 【分析】令，则，然后根据对勾函数的单调性可得答案. 【详解】令，则， 因为在上单调递增， 所以当时取得最小值， 故选：B 8．（2024高一上·广西桂林·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数和二次函数单调性，结合分段函数区间端点的函数值大小关系求解即可. 【详解】根据题意，函数在时为单调递增，即，解得； 易知，二次函数是开口向上且关于对称的抛物线，所以为单调递增； 若满足函数在上单调递增， 则分段端点处的函数值需满足，如下图所示： 所以，解得； 综上可得. 故选：A 9．（2024高一上·河南信阳·阶段练习）若函数在上单调递增,则a的取值范围是(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两种情况进行讨论即可 【详解】当时，则，在上单调递增，满足题意； 当时，的对称轴为， 要使函数在上单调递增，只需，解得 综上，a的取值范围是 故选：D 10．（2024高一·全国·课后作业）函数的定义域为，且在定义域内是增函数，若，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将不等式化为，再利用的单调性即可列不等式组求解. 【详解】因为，所以， 又函数的定义域为，且在定义域内是增函数， 所以有，解得. 故选：C 11．（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的函数，借助二次函数分段讨论其单调性作答. 【详解】当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，，则函数在上单调递增， 所以函数的单调递减区间是. 故选：A 12．（2024·海南海口·模拟预测）函数的单调递减区间是（    ） A． B．和 C． D．和 【答案】B 【分析】将绝对值函数转化成分段函数，由二次函数的性质即可求 【详解】， 则由二次函数的性质知，当时，的单调递减区间为； 当，的单调递减区间为， 故的单调递减区间是和. 故选：B 13．（2024高一上·天津和平·期中）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D．， 【答案】D 【分析】由对勾函数的单调性求解即可. 【详解】函数为对勾函数， 由对勾函数的性质知，函数的单调递减区间为：，. 不能选C，因为不满足减函数的定义. 故选：D. 14．（2024高一·全国·专题练习）函数的单调增区间为（　　） A．（0，+∞） B．（﹣∞，0） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（﹣∞，0），（0，+∞） 【答案】D 【分析】先分离常数，再结合复合函数的单调性求解即可． 【详解】解：∵函数1，定义域为{x|x≠0}， 且y的单调递减区间为（﹣∞，0），（0，+∞）， 故函数的单调增区间为（﹣∞，0），（0，+∞）， 故选：D． 15．（2024高一上·天津和平·期中）设函数，则的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别当和求出的范围和解析式，再分别求出每段的值域，然后求其并集可得答案 【详解】当,即，时,或, , 因为，所以， 因此这个区间的值域为. 当时,即，得, 其最小值为， 其最大值为， 因此这区间的值域为. 综上，函数值域为:. 故选：D 【点睛】方法点睛：本题考查的值域的求法.解题时要认真审题,注意分类讨论思想的合理运用. 分类讨论思想的常见类型 ⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； ⑵问题中的条件是分类给出的； ⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的； 16．（2024高三下·北京海淀·期中）已知函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】若存在，使得成立，则说明在上不单调，分，和三种情况讨论求解. 【详解】若存在，使得成立，则说明在上不单调， 当时，，图象如图，满足题意；    当时，函数的对称轴，其图象如图，满足题意；    当时，函数的对称轴，其图象如图，要使在上不单调，则只要满足，解得，即.    综上，. 故选：D. 【点睛】本题考查分段函数的单调性的应用及二次函数的性质的应用，得出在上不单调是解题的关键. 17．（2024高一·全国·课后作业）下列命题正确的是（    ） A．函数在上是增函数 B．函数在上是减函数 C．函数和函数的单调性相同 D．函数和函数的单调性相同 【答案】C 【分析】分别判断出，，和的单调性，即可判断． 【详解】对于A：定义域为，由二次函数的图像可知，在是增函数，在是减函数，故A错误； 对于B：的定义域为，由反比例函数的图像可知，在和上是减函数，故B错误； 对于C：在是增函数，在是减函数， ，当时，，易知为增函数，当时，，易知为减函数，所以函数和函数的单调性相同，故C正确； 对于D：定义域为，由反比例函数的图像可知，在和上是减函数； 设定义域为，取， 则， 当时，，即在上单调递减， 当，，即在上单调递减， 同理可证，在上单调递减，在上单调递增，故D错误， 故选：C． 二、多选题 18．（2024高一上·江苏南京·期中）下列说法正确的是（    ） A．定义在R上的函数满足，则函数是R上的增函数 B．定义在R上的函数满足，则函数是R上不是减函数 C．定义在R上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在R上是增函数 D．定义在R上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在R上是增函数 【答案】BC 【分析】对于A，举例分析判断，对于B，根据减函数的定义分析判断，对于C，根据增函数的定义分析判断，对于D，举例判断. 【详解】解：对A：如，满足，但不是R上的增函数，所以A错误； 对B：若函数在R上为减函数，则对于任意且，则定成立， 则若，函数在R上不是减函数，故B正确； 对C：若定义在R上的函数在区间上时增函数，在上也是增函数， 则满足对于任意且，则定成立，则函数在R上是增函数，故C正确； 对D：设函数是定义在R上的函数，且在区间上是增函数，在区间上也是增函数， 而但，不符合增函数的定义，所以在R上不是增函数，故D错误； 故选：BC． 19．（2024高二下·辽宁大连·期末）在下列函数中，最小值是2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式、单调性和二次函数的性质即可求解. 【详解】对于选项A，的定义域为，当时，， 当且仅当，即时，等号成立，此时的最小值为， 但当时，，当且仅当，即时，等号成立， 此时的最大值为，故A错误； 对于选项B，的定义域为，由， 得，当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为，故B正确； 对于选项C，由在上单调递增，得在上单调递减， 当时，取得最小值为，故C正确； 对于选项D，，由二次函数的性质知，的对称轴为，开口向上， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值为，故D正确. 故选：BCD. 20．（2024高一上·广东湛江·阶段练习）若不等式对于一切恒成立，则a的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据题意利用参变分离可得，结合对勾函数单调性求其最小值，进而可得结果. 【详解】因为，且，可得， 因为在内单调递减，则， 可得，即， 结合选项可知ABC正确，D错误. 故选：ABC. 三、填空题 21．（2024·上海）设若是的最小值，则的取值范围是　　　　　. 【答案】 【详解】由题意，当时，的极小值为，当时，极小值为，是的最小值，则. 【考点】函数的最值问题.. 22．（2024高一上·河北保定·期中）已知在上是增函数，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】由于在上是增函数， 所以， 所以的取值范围是. 故答案为： 23．（2024高一上·内蒙古通辽·期末）已知函数的最大值为m，的最小值为n，则 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质分别求出两段函数的最值，从而可得函数的最大值和最小值，即可得解. 【详解】当时，， 所以此时， 当时，， 所以此时， 综上所述，，即， 所以. 故答案为：. 24．（2024高一上·全国·课后作业）已知是定义在上的减函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据函数定义域及减函数列不等式组求解集即可. 【详解】因为是定义在上的减函数， 则，可得，故解集为. 故答案为： 25．（2024高一上·上海杨浦·期末）函数的单调减区间为 . 【答案】和 【分析】分离参数，根据反比例函数的性质可得的单调区间，进而可求解. 【详解】，由于函数的单调减区间为和. 故函数的单调减区间为和. 故答案为：和 26．（2024高一上·广东汕尾·期末）已知函数，则的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】利用分段函数的单调性求解即可． 【详解】当时，单调递减； 当时，，在上单调递增，在单调递减； 故答案为： 27．（2024高一上·浙江温州·期中）函数单调减区间是 . 【答案】 【分析】画出函数的图像，从图像上即可得结论. 【详解】由， 如图所示： 由图可知函数单调减区间是：， 故答案为：. 28．（2024高一上·新疆·期中）若函数的值域是，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据基本不等式求出时的取值范围，然后根据的范围得出在上的单调性，求出值域．根据题意，即可得出答案. 【详解】因为函数. 当时，有，当且仅当时等号成立. 当，即时，有，不满足题意； 当，即时，在上单调递减，有，不满足题意； 当，即时，在上单调递增，有. 要使的值域是，则应有，所以. 综上所述，当时，的值域是. 故答案为：. 29．（2024高三·全国·对口高考）设的定义域为，对于任意实数t，则的最小值 ． 【答案】 【分析】讨论，结合二次函数的性质求的最小值. 【详解】可化为， 当，即时，函数在上单调递减， 所以当时，函数取最小值，最小值为， 当，即时，函数在上单调递增， 所以当时，函数取最小值，最小值为， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数取最小值，最小值为， 所以， 故答案为：. 30．（2024高一·全国·课后作业）定义一种运算，设（t为常数），且，则使函数最大值为4的t值是 ． 【答案】 【分析】根据定义，先计算在上的最大值，然后利用条件函数最大值为4，确定的取值即可． 【详解】若在上的最大值为4， 所以由，解得或， 所以要使函数最大值为4， 则根据新定义，结合与图像可知， 当，时，，此时解得， 当，时，，此时解得， 故或4， 故答案为：或4.    四、解答题 31．（2024高一上·云南红河·期末）已知函数. (1)当时，求的解集； (2)求函数在区间上的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接解一元二次不等式； （2）先求出对称轴，然后分，和三种情况求其最小值. 【详解】（1）当时， 不等式，即，解得. 所以不等式的解集为. （2）易知的对称轴为，则 ①当时，在上单调递增，则. ②当时，在上单调递减，在上单调递增，则 ③当时，在上单调递减，则 综上. 32．（2024高一上·云南·阶段练习）已知二次函数，非空集合. (1)当时，二次函数的最小值为，求实数的取值范围； (2)当__________时，求二次函数的最值以及取到最值时的取值. 在①，②，③，这三个条件中任选一个补充在（2）问中的横线上，并求解. （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.） 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】（1）注意到二次函数在取到最小值，于是； （2）根据二次函数的单调性讨论在不同区间上的最值即可. 【详解】（1）， 由于当且仅当时，才可取到最小值， 于是，即. （2）根据二次函数的性质，在上单调递减，在上单调递增， 于是当时，最小值一定在取得，最大值在或处取得. 选择方案①， 当时，在上递减， ，此时， ，此时． 选择方案②， 当时，，此时或， ，此时． 选择方案③， 当时，，，此时， ，此时． 33．（2024高一上·上海闵行·期末）已知函数严格单调，且的最大值为8，求实数的值. 【答案】 【分析】先求出二次函数的对称轴，再分，两种情况，进行分类讨论，根据最大值列出方程，求出实数的值. 【详解】，对称轴为，开口向上， 当时，在上单调递增， 故当时，取得最大值，，解得：，满足， 当时，在上单调递减， 故当时，取得最大值，，解得：，与矛盾，舍去； 综上：. 34．（2024高一上·陕西安康·阶段练习）已知函数，求函数在区间上的最小值 【答案】 【分析】根据二次函数对称轴和区间之间的位置关系，分类讨论，在不同情况下求解函数最小值即可. 【详解】， （1）当，即时，， （2）当，即时，， （3）当即时，， 35．（2024高一·全国·课后作业）用定义证明：函数在上是增函数． 【答案】证明见解析 【分析】根据函数单调性定义证明即可． 【详解】对任意，， 则， 因为， 所以， 又， 所以， 故函数在上是增函数． 36．（2024高一·全国·专题练习）已知函数.判断函数在上的单调性，并证明； 【答案】函数在上单调递减，理由见详解 【分析】利用定义法即可证明函数的单调性. 【详解】函数在上单调递减；理由如下： 取，规定， 则， 因为，， 所以， 所以， 所以函数在上单调递减. 37．（2024高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数，判断并证明在上的单调性. 【答案】单调递增，证明见解析 【分析】利用单调性的定义判断证明. 【详解】函数在上单调递增. 证明：，任取， ， 因为，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递增. 38．（2024高一·江苏·假期作业）已知函数， (1)对任意的，都有，且当时，求证：是上的增函数； (2)若是上的增函数，且，解不等式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知条件结合函数单调性的定义证明； （2）利用赋值法求得，再利用（1）求出的函数单调性解不等式． 【详解】（1）设，且， 则，即， 所以， 所以，所以是上的增函数． （2）因为，所以． 在上式中取，则有， 因为，所以． 于是不等式等价于． 又由（1）知是上的增函数， 所以，解得， 所以原不等式的解集为． 39．（2024高一上·江西抚州·期中）已知函数的定义域为,且对任意的正实数都有,且当时,,. (1)求; (2)求证:为上的增函数; (3)解不等式. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用赋值法,先令求出;令,可求得;再令,,可求得; （2）设,根据单调性定义结合当时,证明即可; （3）将转化为,再根据（2）的结论,列不等式组求解即可. 【详解】（1）因为,, 令,则,解得, 令,则, 令,,则, 所以. （2）设, 因为当时,,则, 令,则,即, 所以, 根据单调性定义,为上的增函数. （3）因为在上为增函数, 又, 所以,解得, 即原不等式的解集为. 40．（2024高一上·辽宁铁岭·阶段练习）已知，其中为常数． (1)若的解集为或，求的值； (2)使，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题知，方程的实数根为，再根据韦达定理求解即可； （2）由题知，再结合二次函数性质与对勾函数求函数最值即可得答案. 【详解】（1）解：即为， 因为的解集为或， 所以，方程的实数根为， 所以，根据韦达定理得，即 所以. （2）解：因为使， 所以，， 因为时，，当且仅当时等号成立， 由对勾函数的性质可得在上单调递增， 所以， 所以，解得 所以，实数的取值范围为. 41．（2024高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知定义在的函数满足以下条件： ①； ②当时，； ③对，均有． (1)求和的值； (2)判断并证明的单调性； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)，； (2)在上单调递增，证明见解析； (3). 【分析】（1）利用赋值法求解即可； （2）利用单调性的定义结合已知条件证明即可； （3）由（2）可知当时，，则，所以将原不等式转化为，再由已知条件可得，由于，则，再转化为，再构造函数，再由其单调性和可求得结果. 【详解】（1）因为，， 所以令，则， 令，则， 令，则，即， 得或， 令，则，即， 若，则，与已知矛盾， 所以； （2）在上单调递增，证明如下： 任取，且，则 ， 所以， 则 ， 令，则， 所以， 当时，，所以， 所以，则， 所以，即， 所以当时，， 所以， 因为， 所以，即， 所以在上单调递增； （3）由（2）可知当时，， 所以， 所以可化为， 所以， 所以， 所以， 因为在上单调递增， 所以， 令，则在上单调递增， 因为， 所以可化为， 所以， 即原不等式的解集为. 【点睛】关键点点睛：此题考查函数的综合应用，考查函数单调性的证明和应用，考查利用函数的单调性证明不等式，第（3）问解题的关键是将原不等式转化为，再次转化为，再由的单调性转化为，然后构造函数利用其单调性可求得不等式的解集，考查数学转化思想，属于较难题. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$