2024-2025学年高二上学期数学阶段检测（三）（圆锥曲线的方程+数列）

2024-2025学年第一学期阶段检测（三） 高二数学试题 注意事项： 1．试卷共19题，满分150分，考试时间120分钟。 2. 答卷前，考生务必将自己的考号、姓名等相关信息填写在答题卡上。 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡的指定区域，写在本试题卷上无效。 4．试卷包括试题卷（共4页）和答题卡（共6页）两部分，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 5. 本套试卷的范围：圆锥曲线的方程+数列。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若数列满足，，则 A． B． C． D． 2．椭圆与双曲线的关系是 A．有相同的离心率 B．有相等的焦距 C．有相同的焦点 D．有相同的顶点 3．已知两定点，动点满足，则点的轨迹方程是 A． B． C． D． 4．已知是椭圆长轴的两个端点，是椭圆上关于轴对称的两点，直线的斜率分别为.若椭圆的离心率为，则的最小值为 A．1 B． C． D． 5．设是椭圆的两个焦点，点P在椭圆C上，若为直角三角形，则的面积为 A． B．1或 C． D．1或 6．设数列的前项积为，满足，则 A．175 B．185 C． D． 7．已知数列的前项和为，且，若恒成立，则的最小值是 A． B．3 C． D．5 8．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：.其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和.后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.记为“斐波那契数列”的前项和，若，，则 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分. 9．数列满足：，，，下列说法正确的是 A．数列为等比数列 B． C．数列是递减数列 D．的前项和 10．设点，的坐标分别为，动点满足：，则下列说法正确的有 A．点的轨迹方程为 B． C．存在4个点，使得的面积为 D． 11．在数列中，对于任意的都有，且，则下列结论正确的是 A．对于任意的，都有 B．对于任意的，数列不可能为常数列 C．若，则数列为递增数列 D．若，则当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知直线与抛物线在第一象限交于点，若点到的准线的距离为，则 . 13．在如图所示的表格中，每个空格中填入一个数字，使每一行方格中的数成等比数列，每一列方格中的数成等差数列，则所填数字之积的值为 . 1 a 4 b 6 d c e 20 14．如图所示，已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，点在轴上， ，则的离心率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本题满分13分） 已知等差数列的公差，与的等差中项为5，且. （1）求数列的通项公式； （2）设求数列的前20项和. 16．（本题满分15分） 已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为. （1）求双曲线C的标准方程； （2）若O为坐标原点，过的直线l交双曲线C于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程. 17．（本题满分15分） 已知为等差数列，且，． （1）求的通项公式； （2）若恒成立，求实数λ的取值范围． 18．（本题满分17分） 已知椭圆的右焦点为，并且经过点． （1）求C的方程； （2）过F的直线交C于，交直线于点N，记的斜率分别为，，，探索三个数，，是否成等差数列，并证明你的结论． 19．（本题满分17分） 卷积运算在图象处理、人工智能、通信系统等领域有广泛的应用．一般地，对无穷数列，，定义无穷数列，记作，称为与的卷积．卷积运算有如图所示的直观含义，即中的项依次为所列数阵从左上角开始各条对角线上元素的和，易知有交换律． （1）若，，，求，，，； （2）对，定义如下：①当时，；②当时，为满足通项的数列，即将的每一项向后平移项，前项都取为0．试找到数列，使得； （3）若，，证明：当时，． 答案第1页，共2页 高二数学试题卷 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年第一学期阶段检涮（三） A.175 B,185 。曾 高二数学试题 无已克款到似的前如项和为或，且6一兰，着气框俊立，斯上的最小值是 注童事项： A。2 H,3 C.4 D.5 1.试卷共19烟。满分10分，考时同120分钟。 .意大利著名数学家雯被莫在细究免子繁期问思时，发现有这样州数：，山，2,1，气系3，…其中从第三项起 2.答静前，考生务经将白已的考号、姓名等相关结皇第写在答卡上. 每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数粗成的数列，：称灯些波和哭数对”记S,对空波影 3,回容选择影时，速出辉小塘答案后，用相笔把答海卡上对应增目的答案标号徐用，知盾要支动，用懂皮擦 复数列风I的院项相，若S量：实+写+0++可。-b,赚a日 干净后，再这涂其他答案标号，同容非透样烟时，将容案写在若题卡的指定区域。写在本试题套上无效。 4,试卷包括试是静《共4页)和答烟卡（共6置）两部分，考试束后。将本试登和答题华并父回 A.+ 五，本套试卷的范国：避身线的方+数列 一，远释题：本莲找8小题，每小题5分，其40分，在蜂小则始出的四个选项中，只有一项是符合题月要 二、选择题：本题其3小题，禁小题6分，共18分，在每小题给白的选项中，有多项符合题月数求，全常选 求的. 对的得5分，建但不全得笔分分，有地销的视0分. 1.若数列间}简足4=2，间：4=国。-，= 9.数列间1清足，年=1，出4-数，-10，neN,下列晚法正瑞的是 B.2 C,3 D.-1 A数到a,+宁为等比数列 2用四后号与双线后子1的关系是 259 C.数列但}是通减数列 D.的前项和或-- 4 A,有相同的离心率 B,有相等的街 级.设点A。R的坐影分别为)-00，动点八)横足：信++y+-+了=4，则下 C,有相同的期点 D.有相网的境点 列说法正瑞的有 3,已知两定点A(-L0,1,0,动点”气工y)端是∠P48-m∠P指4=-2，思点P的轨直方限是 4皆1 Br-5- 人点r的道方程为号号- B,P4P序5 D号-04o 4已期》延树国号卡-如>的长封的腾个城点，M水是精上关于轴时路的两点，在线，W的 C.存在4个点P,使刻P的童积为写 D.+PF>1 斜率分捌为人与帖的.若箱同的离心幸为5。小的最小值为 2 11,在数到视，中，对于任的≤N都有4,0。且一：一以，划下列站论正通的是 A.I B.2 C. 2 D. A:对于任意的知？，有4，>≥ 支设代、是和则C号y1的裤个些点，点P在稻圆C上。若5不为直角三角形。期：5的面积为 8,对于任意的4，>0，数列[」不可能为宫数列 4.22 3 B.1成2 c.且 D.1Q32 3 C,若0≤国<2，附数则@}为边增数列 丘段数对a的雕项制为，满足+或=1，则号 D.若高之2，期当e22时：2<8，≤4 高二数学以增鞋第【真共4 高二数学试是在境叫关4项 三、填空题：本共5小题，每小题5分，共15分 17.(本墨满分5分) 2.已知直线y-而与菊物战Cy2P>的在第-象限安于点P,若点r到C的雅线的师离为，则 已知}为等翰数科，且=3知，4+4*属。·24. (1)常LI的湖璞公式 3。宙如图所示的表格中，督个字格中萌入一个置学，使每一行方格中的数成等比数列。每一列方格中的数 (2)着Y-人2马+4，+-+，恒成立，求实数的取值范， 成等墓数判，相所填数字之机ah的慎为 8。(本题满分17分) 20 宁向的右点为小，能过写 已知死题c:号， 4,如国所示已如情置C号片=如>06>0的左右套在分别为，点A在C上，点在，箱上 〔1)常C的方程： A上从，=A,相C的离心率为 (2)过F的直线交C于PQ,交直线x=2正千点N,记0PO2N的斜分别为k,::翼素同 个时，名言延器成等地到，并框环常销站之 19.(本愿满分17分) 卷积岳算在图象处用、人工智能、遥情系绕等峻有广泛的控用。一经越，对无穷数列红小，轴小，建义 四、解答圆：本基共5小烟，共7分，帮答应牙出文字说明、任明过园成演算步鞋 无穷数判c.=工4，weN,过作a“私}=女，释为a)与的整积。卷积运算有如所示的直观合 15.【本题满分13分》 义，即仁中的项您次为所列数阵从左上角开的各条对角线上元素的和。易知有交模律只}·他={他}风 已知等整数列风的公老d>0,马与可的等差中项为5，且风=4， 《1)求数列风，的通项公式 的h” a,n内青数。 《2)设- ,为g数求数列6的道0预和 (1若a=m,。-2,a%1=k}:求9，马：写：9： 2附cN,定义7a如下：国当1=1封.7a-:②当122时，Ta,为清定通项d-A< 0402 16.(本随满分15分) 已知双自线C:艺 C号一三=和>b的一条谢派战方程为-，师为2行. 的收列d,即将风的一镇向后平移-1境，售-1项每取为0.成找别数列}，使得a-{a: 《1)求发虫线C的标隆方程： (3)若山，=，风}"{6引=巴，1，正明：当23时，4=6=，t (2)若0为坐标跟点，过门0,4)的直线/交双线C下，两点。且A04s的面制为245，术直线/ 的方程 高二数学以增鞋第3直共4 高二数学试是在奶4琪兴4项答案第 1页，共 12页 2024-2025 学年第一学期阶段检测（三） 高二数学参考答案 1．A 【分析】根据递推式写出数列的前几项，可得 �� 是周期为3的周期数列，从而可求得答案. 【详解】数列 �� 满足 1 2a  ， 1 1n n na a a   ， 1 11n n a a    ， 2 1 11 2 2 a    ， 3 1 2 1a     ，  4 1 1 2a     ， 5 1 11 2 2 a    ，  na 是周期为3的周期数列， 而2024 3 674 2   ， 故 2024 2 1 2 a a  ． 故选：A 2．B 【解析】分别求出椭圆和双曲线的离心率，焦距，焦点，顶点，即可判断. 【详解】在椭圆 2 2 1 25 9 x y   中， 5, 3, 4a b c   ，则离心率 4 5 ce a   ，焦距2 8c  ，焦点为  4,0 ， 4,0 ，顶点 为        5,0 , 5,0 , 0,3 , 0, 3  ； 在双曲线 2 2 1 12 4 y x   中， 2 3, 2, 4a b c   ，则离心率 2 3 3 ce a   ，焦距 2 8c  ，焦点为    0,4 , 0, 4 ，顶点为    0,2 3 , 0, 2 3 ， 综上可知，椭圆 2 2 1 25 9 x y   与双曲线 2 2 1 12 4 y x   有相同的焦距. 故选：B. 【点睛】本题考查椭圆和双曲线的性质，属于基础题. 3．B 【分析】利用两点的斜率公式表示夹角正切，化简计算即可. 【详解】动点� �, � 满足 tan tan 2PAB PBA     ，则 2 1 1 y y x x     ，其中 0y  ， 化简可得   2 2 1 0 2 yx y   ． 答案第 2页，共 12页 故选：B． 4．A 【分析】依据题意列出斜率，结合基本不等式求解最值即可. 【详解】设    , , , ( )M x y N x y a x a    ，不妨设点A是椭圆长轴的左端点， 则 1 2, y yk k x a a x     .因为椭圆的离心率 3 2 e  ， 所以 2 11 2 b e a    ，所以 2 1 2 2 2 22 1 y y y bk k x a a x a x a          ， 当且仅当 0x  时，等号成立，故 A正确. 故选：A. 5．D 【分析】分 2 1 90PF F   以及 2 1 90F PF  o 两种情况分别进行求解即可求出结果. 【详解】因为 2 2 1 9 x y  ，所以 3, 1, 2 2a b c   ， 若 2 1 90PF F   （当 1 2 90PF F   时，面积一样），则 2 1 4 2F F  ， 2 2 1 3 bF P a   ， 所以 1 2 1 1 2 24 2 2 3 3PF F S     ； 若 2 1 90F PF  o ，设 1 2| | ,| |PF m PF n  ，则 2 26, 32m n m n    ，所以 26 32 2 2 mn   ， 故 1 2 1 1 2 2 2PF F S mn bc    ，符合题意； 综上： 1 2PFF 的面积为 1或 2 2 3 . 故选：D 6．A 【分析】首先令 1n  求出 1a ，当 2n  时 1 n n n Ta T   ，即可得到 1 13n n n nT T T T   ，从而得到 1 1 1 3 n nT T    ，即 1 nT       是 以 4为首项，3为公差的等差数列，再由等差数列求和公式计算可得. 【详解】因为 3 1n na T  ，当 1n  时 1 13 1a T  ，解得 1 1 4 a  ， 当 2n  时 1 n n n Ta T   ，所以 1 3 1n n n T T T    ，则 1 13n n n nT T T T   ， 所以 1 1 1 3 n nT T    ，又 1 1 4 T  ，所以 1 nT       是以4为首项，3为公差的等差数列， 所以  10 1 10 10 11 4 10 3 175 2i iT        . 故选：A 答案第 3页，共 12页 7．B 【分析】利用错位相减法求出 nS ，然后得出 3nS  ，即可得出答案. 【详解】因为 2 3 2 3 4 1 2 2 2 2n n nS      ， 所以 2 3 4 1 1 2 3 4 1 2 2 2 2 2n n nS        ， 两式相减可得 2 3 4 1 1 1 1 1 1 11 2 2 2 2 2 2n n n nS          2 1 1 1 1 1(1 ) 1 3 32 21 1 2 2 21 2 n n n n n            ， 所以 33 2n n nS   ， 因为 3 0 2n n   ，所以 43 3 2n n    ，即 3nS  恒成立，故 3k  . 故选：B. 8．A 【分析】由题意得当 3n  时， 1 2n n na a a   ，变形的可证得 2 1n nS a   ， 2 2 2 2 1 2 3 1n n na a a a a a      ，再结合 已知条件可求得结果. 【详解】由题意得当 3n  时， 1 2n n na a a   ，则 1 2n n na a a   ， 所以 2 3 1a a a  ， 3 4 2a a a  ，……， 1 2n n na a a   ， 1 1n n na aa    ， 所以 1 2 3 1n n nS a a a a a      1 3 1 4 2 2 1 1( ) ( ) ( ) ( )n n n na a a a a a a a a               1 2n na a a   2 2 2 1n na a a     ， 所以 2023 2025 1S a a   ，所以 2025 1a a  ， 因为当 3n  时， 1 2n n na a a   ，则 1 2n n na a a   ， 所以 2 1 1 2 1 1 2( )n n n n n n n na a a a a a a a         ， 所以 2 1 1n n n n na a a a a   ， 所以 2 2 2 2 1 2 3 2024b a a a a     2 1 2 3 1 2 3 4 2 3 2024 2025 2023 2024( ) ( ) ( )a a a a a a a a a a a a a        2 2024 2025 1 1 2a a a a a   2024 2025 2024 20251 1 1a a a a     ， 所以 2024( 1)b a a  ， 答案第 4页，共 12页 所以 2024 1 ba a   . 故选：A 【点睛】关键点点睛：此题考查递推数列的性质，解题的关键是对“斐波那契数列”的正确理解，得到当 3n  时， 1 2n n na a a   ，考查计算能力，属于中档题. 9．AB 【分析】推导出 1 1 13( ) 2 2n n a a    ， 1 1 3 2 2 a   ，从而数列 1{ } 2n a  为首项为 3 2 ，公比为 3的等比数列，由此利用 等比数列的性质能求出结果． 【详解】解：数列{ }na 满足： 1 1a  ， 1 3 1 0n na a    ， *n N ， 1 3 1n na a   ， 1 1 13( ) 2 2n n a a    ，  1 1 3 2 2 a   ， 数列 1{ } 2n a  为首项为 3 2 ，公比为 3的等比数列，故A正确； 11 3 13 3 2 2 2 n n na      ， 1 13 2 2 n na    ，故 B正确； 数列{ }na 是递增数列，故C错误； 数列 1{ } 2n a  的前 n项和为： 1 3 (1 3 ) 3 1 32 (3 1) 3 1 3 4 4 4 n n n nS           ， { }na 的前n项和 1 1 1 1 33 2 4 2 4 n n nS S n n        ，故D错误． 故选： AB． 10．AD 【分析】应用椭圆定义判断 A，B，D，应用面积公式判断个数判断 C. 【详解】对于 A，由 2 2 2 2( 1) ( 1) 4x y x y      得， 1 2 1 24 2PF PF FF    ， 所以点 P的轨迹为以 1 2,F F 为焦点的椭圆，且 2 2,2 4c a  ，即 1, 2c a  ， 则 2 2 3b a c   ，故点� �, � 的轨迹方程为 2 2 1 4 3 x y   ，A正确. 对于 B，D，将 −1,1 的坐标代入椭圆方程左边得 1 1 1 4 3   ，所以点  1,1A  在椭圆内部， 如图所示，所以 2 1 12 2 4 1 5PA PF PA a PF a AF         ，当且仅当点 P运动到点 1P处时，等号成立，故 B错误； 1 2 22 4PA PF PA a PF PA PF       ， 因为 2 2 25 5PA PF AF PA PF       ，所以 1 24 4 5 1PA PF PA PF       ， 答案第 5页，共 12页 当且仅当点 P运动到点 2P 处时，等号成立，故 D正确. 对于 C， 1 1 1 1 1 2 2 2PAF hS AF h h     ，其中h为点 P到直线 1AF 的距离，若 1 3 2 2PAF hS   ，则 3h  ， 由于当点 P为椭圆的右顶点时，h取得最大值 3，故满足条件的点 P只有一个，C错误. 故选：AD. 11．ACD 【分析】A由递推式有 *nN 上 1 1 1nn n aa a    ，结合 0na  恒成立，即可判断：B反证法：假设{��}为常数列， 根据递推式求 na 判断是否符合 1 0a  ，即可判断；C、D由 *nN 上 1 1 1n n n a a a    ，讨论 11 2na   、 1 2na   研究 数列单调性，即可判断. 【详解】A：由 1 1 1nn n aa a    ，对 *n N 有 0na  ，则 1 1 1 1nn n aa a    ，即任意 2n  都有 1na  ，正确； B：由 1 1( 1)n n na a a    ，若{��}为常数列且 0na  ，则 2na  满足 1 0a  ，错误； C：由 1 1 1n n n a a a    且 *nN ， 当 11 2na   时 1 0 1n n a a    ，此时 1 2 2( 1) (0,2)a a a   且 1 2a a ，数列{��}递增； 当 1 2na   时 1 1n n a a   ，此时 1 2 2 2( 1) 2a aa a   ，数列{��}递减； 所以 10 2a  时数列{��}为递增数列，正确； D：由 C分析知： 1 2a  时 1 2na   且数列{��}递减，即 2n  时 12 na a  ，正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：选项 B应用反证法，假设{��}为常数列求通项，判断是否与 1 0a  矛盾；对于 C、D，将 递推式变形为 1 1 1n n n a a a    ，讨论 11 2na   、 1 2na   时研究数列的单调性. 12．3 【分析】先由直线方程与抛物线方程联方程组表示出点 P的横坐标，再根据抛物线的定义结合题意列方程可求 出 p . 【详解】抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  的准线方程为 2 px   ， 答案第 6页，共 12页 由 2 6 2 y x y px     ，得 26 2x px ，即 23 0x px  ， 解得 0x  或 3 px  ， 所以点 P的横坐标为 3 p ， 因为点 P到C的准线的距离为 5 2 ， 所以 5 3 2 2 p p   ，解得 3p  . 故答案为：3 13．3600 【分析】根据条件，利用等差和等比中项，求出 , , , ,a b c d e的值，即可求出结果. 【详解】因为每一行方格中的数成等比数列，每一列方格中的数成等差数列， 由1, , 4a 成等比数列，得 2 4a  ，所以 2a  或 2a   ，由4, , 20d 成等差数列，得到 4 20 12 2 d   ， 由 ,6,b d成等比数列，得到36 12bd b  所以 3b  ，由1, ,b c成等差数列，得到2 1b c  ，解得 5c  ， 又由 , , 20c e 成等比数列，得到 2 100e  ，即 10e  或 10e   ， 由 , 6,a e成等差数列知，当 10e  时， 2a  ， 10e   时， 2a   ， 所以 20 3 5 12 3600abade aebcd      , 故答案为：3600 . 14． 10 5 / 1 10 5 【分析】 设出 2| |AF m ，利用椭圆定义和图形对称性，借助于 1 1F A F B 求得 a与m的数量关系，接着在 2Rt OBF△ 中求 得 2cos OF B ，从而得到 2 1cos AF F ，最后在 2 1AF F 中运用余弦定理即可求得. 【详解】设 2| |AF m ，依题意， 1| | 2AF a m  ，因点 B在 y轴上，则 1 2| | | | 4BF BF m  ， | | 5AB m ， 又因 1 1 ,F A F B 则 2 2 2(2 ) (4 ) (5 )a m m m   ，化简得 2a m ，在 2Rt OBF△ 中， 2cos 4 cOF B m   ，故 2 1cos 4 cAF F m    , 答案第 7页，共 12页 在 2 1AF F 中由余弦定理， 2 2 2 2 1(2 ) (2 ) 2 2 cosa m c m c m AF F       ,即 2 2 29 14 2 ( ) 4 4 2 ca c a ac a      ， 解得： 2 22 5a c ，即 2 2 5 e  ，则离心率为 10 5 . 故答案为： 10 5 . 【点睛】思路点睛：由椭圆的焦半径想到椭圆定义式，由垂直想到求三边利用勾股定理，由边的数量关系想到 设元替换，遇到三角形的边角关系，要考虑能否用正、余弦定理. 15．（1）数列 na 的通项公式为 na n ； （2）数列 nb 的前 20项和 20T 为 2205 22 . 【分析】（1）根据等差中项求出 5 5a  ，再根据 4 6 24a a  求出公差d，最后根据等差数列的通项公式，求出 na 的通项公式； （2）先写出 nb ，对 n为偶数的情况进行裂项，再用分组求和法求出 20T . 【详解】（1）因为 na 为等差数列，且 2a 与 8a 的等差中项为 5， 所以 2 8 52 5 2a a a    ，解得 5 5a  ， 因为 4 6 24a a  ， 所以 (5 )(5 ) 24d d   ，解得 1d   ， 因为 0d  ，所以 1d  ， 所以 5 ( 5) 5 ( 5)n n d n na a       ， 故数列 na 的通项公式为 na n ； （2）由题知， , 1 , ( 2) n n n b n n n      为奇数， 为偶数， 即 , 1 1 1 , 2 2 n n n b n n n         为奇数， 为偶数， 所以 20 1 2 3 4 19 20T b b b b b b       1 1 1 1 1 1 1 1 11 3 19 2 2 4 2 4 6 2 20 22                                1 19 10 1 1 1 5100 2 2 2 22 22 2205 22              ， 故数列 nb 的前 20项和 20T 为 2205 22 . 答案第 8页，共 12页 16．（1） 2 2 1 4 3 y x   （2） 4y x   或 2 855 4 45 y x   【分析】（1）根据 2 3 3 a b  ，2 2 7c  ，以及 2 2 2a b c  ，求解即可； （2）设直线 AB的方程为 4y kx  与椭圆联立，利用弦长公式表示 | |AB ，根据点到直线的距离公式求解高， 即可根据三角形面积公式进行求解. 【详解】（1）由题意得： 2 3 3 a b  ，2 2 7c  ， 2 2 2a b c  ， 解得： 7c  ， 2a  ， 3b  ， 双曲线C的标准方程为 2 2 1 4 3 y x   ． （2）由题意可知，直线 AB的斜率一定存在， 设直线 AB的方程为 4y kx  ， 1(A x ， 1)y ， 2(B x ， 2 )y ， 联立方程组 2 2 4 1 4 3 y kx y x       ，消去 y整理得 2 2(3 )4 63 024k x xk   ， 则  2 2 1 2 2 1 2 2 2 Δ 24 4 36(3 4) 0 24 3 4 36 3 4 3 4 0 k k kx x k x x k k                   ， 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 24 4| | 1 ( ) 4 1 4 12 136 3434 43 k kAB k x x x x k k k k k                     原点到直线 AB的距离为 2 4 1 d k   ， 所以 2 2 2 2 2 2 4 24 41 12 1 241 4 2 2 5 31 34 4 AOB kS AB d kk kk k              ， 解得 2 1k  或 2 76 45 k  ，故 1,k   或 2 855 45 k   ， 故直线方程为 4y x   或 2 855 4 45 y x   17．（1） 2 2na n ＝ （2） 5[ , ) 2  答案第 9页，共 12页 【分析】（1）根据题意建立方程求出等差数列的首项与公差，从而可求解； （2）先求出等差数列的前 n项和，再将恒成立问题参变分离，接着利用数列的单调性求出最值，从而得解． 【详解】（1）设数列  na 的公差为 d，则根据题意可得 1 1 1 1 4 3 3 17 9 24 a d a a d a d        ， 解得 1 4 2 a d    ，则 2 2na n ＝ ． （2）由（1）可知运用等差数列求和公式，得到 21 2 3n nS a a a n n      ， 又 1 22 n na a a     恒成立，则 2 3 2n n n  恒成立， 设   2 3 2n n nf n  ，则   2 1 4( 1) 2n n nf n f n        ， 当 1n＝ 时，     12 1 0 2 f f   ，即    2 1f f ； 当 2n  时， 2 4 2n n  - - - ，则  ( 1) 0f n f n   ，则  ( 1)f n f n  ； 则  max (2)f n f ，故   52 2 f   ， 故实数λ的取值范围为 5[ , ) 2  ． 18．（1） 2 2 1 4 2 x y   （2）成等差数列，证明见解析 【分析】（1）根据椭圆过的点结合 , ,a b c的关系，列方程求解，可得答案； （2）设直线 PQ的方程为 2x ty  ，设 1 1( , )P x y ，  2 2,Q x y ，  2 2,N n ，联立直线和椭圆方程，可得根与系 数的关系式，化简 1 2 1 1 k k  ，推出 1 2 3 1 1 2 k k k   ，即可得结论. 【详解】（1）因为 2 2 2 2: 1( 0) x yC a b a b     经过点 61, 2        ，所以 2 2 1 1 2 3 a b   , 又 2 2 2a b  ， 联立解得 2 4a  ， 2 2b  ， 于是 C的方程为 2 2 1 4 2 x y   ； （2） 1 1 k ， 3 1 k ， 2 1 k 成等差数列； 证明：设 1 1( , )P x y ，  2 2,Q x y ，  2 2,N n ，由题意知 1 2 0y y  ， 设直线 PQ的方程为 2x ty  ，其中 2t n  ． 答案第 10页，共 12页 由 2 2 2 2 4 x ty x y       得  2 22 2 2 2 0t y ty    ，因为直线过椭圆的焦点，必满足 0  ， 故 1 2 2 2 2 2 ty y t     ， 1 2 2 2 2 y y t    ， 从而    1 2 2 11 2 1 2 1 2 1 2 2 21 1 ty y ty yx x k k y y y y         1 2 1 2 2 4 4 22 2 4 2 y y tt t t y y n          ． 因为 3 2 2ON nk k  ，所以 3 1 2 2 k n  ， 从而 1 2 3 1 1 2 k k k   ， 所以， 1 1 k ， 3 1 k ， 2 1 k 成等差数列． 【点睛】关键点点睛：本题将直线和椭圆的位置关系的问题和数列进行了综合，要说明三个数 1 1 k ， 3 1 k ， 2 1 k 是 否成等差数列，关键是根据等差中项性质说明，即看是否有 1 2 3 1 1 2 k k k   成立. 19．（1） 1 2c  ， 2 8c  ， 3 22c  ， 4 52c  （2） ( ) 1, 0,n i n it n i     （3）证明见解析 【分析】（1）根据数列 na 和数列 nb 的通项公式，分别求出这两个数列的前四项，再根据数列 nc 的定义求 出 1c ， 2c ， 3c ， 4c . （2）通过特例 (1) n t 和前面的一些项来寻找规律及性质，有效转化特殊与一般. （3）思路一：由卷积运算的交换律，得   1 1 n k n k n k b c     ，记 nb 的前 n项和为 nS ，再利用 nS 求 nb . 思路二：记 nb 的前 n项和为 nS ，   int 对所有 i N 对应项相加所得的数列为 nT ，易证卷积关于数列加法有 答案第 11页，共 12页 分配律、卷积运算满足结合律，因此可得     *n n nT b S ， 1 n n i i c S   ，再利用 nS 求 nb . 【详解】（1）因为 na n ， 2nnb  ，所以 1 1a  ， 1 2b  ； 2 2a  ， 2 4b  ； 3 3a  ， 3 8b  ； 4 4a  ， 4 16b  . 因为     *n n na b c ，  1 1 N n n k n k k c a b n      ， 所以 1 2c  ， 2 8c  ， 3 22c  ， 4 52c  . （2） (1) 1, 1 0, 2n n t n     ， 对一般的 Ni  ， ( ) 1, 0,n i n it n i     . （3）方法一： 记 nb 的前 n项和为 nS ，由卷积运算的交换律有   1 1 n k n k n k b c     , 故   1 1 n n k n k n S kb c     ， 因此    1 1 1 1 2 1 n n k n n k n S kb n b c         ，② ②－①得 1 1n n nS c c   ， 故当 3n  时，    1 1 1 2 1 22n n n n n n n n n nb S S c c c c c c c              ． 方法二： 记 nb 的前 n项和为 nS ，常数列  1 NnT n   ，注意 （Ⅰ） 易证卷积关于数列加法有分配律，将（Ⅰ）中所有数列对应项相加，得     *n n nT b S ，注意 （Ⅱ） 注意 nT 是   int 对所有 i N 对应项相加所得的数列， na 是     *n nit T 对所有 i N 对应项相加所得的数列， 答案第 12页，共 12页 易知卷积运算有结合律，因此将（Ⅱ）中所有数列对应项相加， 得    *n n nc a b 的通项即为 1 n n i i c S   ， 故当 3n  时，    1 1 1 2 1 22n n n n n n n n n nb S S c c c c c c c              ． 注：以上论证可用符号语言说明如下： 定义数列加法：     n n nz x y  ，其中 n n nz x y  ． 容易验证卷积运算满足结合律：              * * * *n n n n n nx y x y  ， 数列加法关于卷积满足分配律：               * * *n n n n n n nx y x y     ． 因此                     11 1 1 1 n n i j i j i n n n n n n n j i j i i a b t t b t t b S                                   . 【点睛】方法点睛： 本题主要考查数列新定义与卷积运算的综合问题，属于难题. 1、解决数列新概念问题时需注意: （1）读懂定义，理解新定义数列的含义； （2）通过特例列举前面的一些项来寻找规律及性质，以及新定义数列与已知数列的关系，进行求解. 2、卷积运算具有的性质 （1）交换律：       * *n n n na b b a . （2）结合律：              * * * *n n n n n nx y x y  . （3）分配律：               * * *n n n n n n nx y x y     . 高二数学答题卡 第 1页 共 6 页 高二数学答题卡 第 2页 共 6 页 高二数学答题卡 第 3页 共 6 页 2024-2025 学年第一学期阶段检测（三） 高二数学答题卡 姓名： 班级： 学校： 准考考号 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得 6 分，选对但不全得部分分，有选错的得 0分. 9[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 13. 14. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13 分） 16.（15 分） 17.（15 分） 贴 条 码 粘 贴 区 考生禁填 缺考标记 缺考考生由监考员贴条形码， 并用 2B 铅笔填涂该缺考标记。 注意事项 1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号 填写清楚。 2、选择题填涂时，必须使用 2B 铅笔按 图 示填涂；非选择题必须用 0.5 毫米黑色签字笔 书写。 3、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超 出范围的答案无效，在草稿纸、试题卷上作答 无效。 4、保持卡面清洁，不折叠、不破损。 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 高二数学答题卡 第 4页 共 6 页 高二数学答题卡 第 5页 共 6 页 高二数学答题卡 第 6页 共 6 页 18.（17 分） 19.（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 高二数学试题卷 第 1页 共 4页 2024-2025 学年第一学期阶段检测（三） 高二数学试题 注意事项： 1．试卷共 19 题，满分 150 分，考试时间 120 分钟。 2. 答卷前，考生务必将自己的考号、姓名等相关信息填写在答题卡上。 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡的指定区域，写在本试题卷上无效。 4．试卷包括试题卷（共 4页）和答题卡（共 6页）两部分，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 5. 本套试卷的范围：圆锥曲线的方程．．．．．．．+数列．．。 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1．若数列 na 满足 1 2a  ， 1 1n n na a a   ，则 2024a  A． 1 2 B．2 C．3 D． 1 2．椭圆 2 2 1 25 9 x y   与双曲线 2 2 1 12 4 y x   的关系是 A．有相同的离心率 B．有相等的焦距 C．有相同的焦点 D．有相同的顶点 3．已知两定点    1,0 , 1,0A B ，动点  ,P x y 满足 tan tan 2PAB PBA     ，则点 P的轨迹方程是 A． 2 2 1 2 yx   B．   2 2 1 0 2 yx y   C． 2 2 1 2 yx   D．   2 2 1 0 2 yx y   4．已知 ,A B是椭圆 2 2 2 2 1( 0) x y a b a b     长轴的两个端点， ,M N是椭圆上关于 x轴对称的两点，直线 ,AM BN的 斜率分别为 1 2 1 2, 0)k k k k  .若椭圆的离心率为 3 2 ，则 1 2k k 的最小值为 A．1 B． 2 C． 3 2 D． 3 5．设 1 2F F、 是椭圆 2 2: 1 9 xC y  的两个焦点，点 P在椭圆 C上，若 1 2PFF 为直角三角形，则 1 2PFF 的面积为 A． 2 2 3 B．1或 2 C． 2 D．1或 2 2 3 6．设数列 na 的前 n项积为 nT ，满足 3 1n na T  ，则 10 1 1 i iT  高二数学试题卷 第 2页 共 4页 A．175 B．185 C． 275 2 D． 295 2 7．已知数列 na 的前n项和为 nS ，且 1 2n n na  ，若 nS k 恒成立，则 k的最小值是 A． 2 B．3 C． 4 D．5 8．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1, 2,3,5,8,13, .其中从第三项起， 每个数等于它前面两个数的和.后来人们把这样的一列数组成的数列 na 称为“斐波那契数列”.记 nS 为“斐波那 契数列” na 的前 n项和，若 2023S a ， 2 2 2 21 2 3 2024a a a a b     ，则 2024a  A． 1 b a  B． 1 1 b a   C． 2 1 b a  D． 1 2 1 b a   二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得 6分，选对但不全得部分分，有选错的得 0分. 9．数列{ }na 满足： 1 1a  ， 1 3 1 0n na a    ， Nn  ，下列说法正确的是 A．数列 1{ } 2n a  为等比数列 B． 1 13 2 2 n na    C．数列{ }na 是递减数列 D．{ }na 的前 n项和 1 1 53 4 4 n nS    10．设点A， 1 2,F F 的坐标分别为      1,1 , 1,0 , 1,0  ，动点  ,P x y 满足： 2 2 2 2( 1) ( 1) 4x y x y      ，则下 列说法正确的有 A．点 P的轨迹方程为 2 2 1 4 3 x y   B． 2 5PA PF  C．存在 4个点 P，使得 1PAFV 的面积为 3 2 D． 1 1PA PF  11．在数列{ }na 中，对于任意的 *nN 都有 0na  ，且 2 1 1n n na a a   ，则下列结论正确的是 A．对于任意的 2n  ，都有 1na  B．对于任意的 1 0a  ，数列{��}不可能为常数列 C．若 10 2a  ，则数列{��}为递增数列 D．若 1 2a  ，则当 2n  时， 12 na a  高二数学试题卷 第 3页 共 4页 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分. 12．已知直线 6y x 与抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  在第一象限交于点 P，若点 P到C的准线的距离为 5 2 ，则 p  . 13．在如图所示的表格中，每个空格中填入一个数字，使每一行方格中的数成等比数列，每一列方格中的数 成等差数列，则所填数字之积abade的值为 . 1 a 4 b 6 d c e 20 14．如图所示，已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0, 0) x yC a b a b     的左右焦点分别为 1 2,F F ，点A在C上，点 B在 y轴上， 1 1 ,F A F B 2 24BF AF ，则C的离心率为 . 四、解答题：本题共 5小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本题满分 13分） 已知等差数列 na 的公差 0d  ， 2a 与 8a 的等差中项为 5，且 4 6 24a a  . （1）求数列 na 的通项公式； （2）设 2 , 1 , n n n n a n b n a a       为奇数， 为偶数， 求数列 nb 的前 20项和 20T . 16．（本题满分 15分） 已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0) y xC a b a b     的一条渐近线方程为 2 3 3 y x ，焦距为2 7 . （1）求双曲线 C的标准方程； （2）若 O为坐标原点，过 (0, 4)P 的直线 l交双曲线 C于 A，B两点，且 OAB△ 的面积为 24 5，求直线 l 的方程. 高二数学试题卷 第 4页 共 4页 17．（本题满分 15分） 已知 na 为等差数列，且 5 13a a＝ ， 1 5 14 10 24a a a a  ＝ ． （1）求 na 的通项公式； （2）若 1 22 n na a a     恒成立，求实数λ的取值范围． 18．（本题满分 17分） 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0) x yC a b a b     的右焦点为  2,0F ，并且经过点 61, 2        ． （1）求 C的方程； （2）过 F的直线交 C于 ,P Q，交直线 2 2x  于点 N，记 , ,OP OQ ON的斜率分别为 1k ， 2k ， 3k ，探索三 个数 1 1 k ， 3 1 k ， 2 1 k 是否成等差数列，并证明你的结论． 19．（本题满分 17分） 卷积运算在图象处理、人工智能、通信系统等领域有广泛的应用．一般地，对无穷数列 �� ， �� ，定义 无穷数列  1 1 N n n k n k k c a b n      ，记作     *n n na b c ，称为 �� 与 �� 的卷积．卷积运算有如图所示的直观含 义，即 nc 中的项依次为所列数阵从左上角开始各条对角线上元素的和，易知有交换律       * *n n n na b b a ． （1）若 na n ， 2nnb  ，     *n n na b c ，求 1c ， 2c ， 3c ， 4c ； （2）对 i N ，定义  i nT a 如下：①当 1i  时，    i n nT a a ；②当 2i  时，  i nT a 为满足通项 1 0, ,n n i n i d a n i      的数列 nd ，即将 na 的每一项向后平移 1i  项，前 1i  项都取为 0．试找到数列   int ，使得       in n i nt a T a  ； （3）若 na n ，     *n n na b c ，证明：当 3n  时， 1 22n n n nb c c c    ．