24.1.3 弧、弦、圆心角 讲义（思维导图+知识例题+强化训练）2024-2025学年人教版数学九年级上册

§24.1.3 弧、弦、圆心角 讲义 （思维导图+知识例题+强化训练）2024-2025学年人教版 思维导图理思路 知识模块1 知识点2：圆心角、弧、弦之间的关系 ●1 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 ●2 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等 【典型例题1】 1.下列说法中，正确的是　　 A．同心圆的周长相等 B．面积相等的圆是等圆 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弧的弦一定经过圆心 【典型例题2】 2.如图，、、、是上四点，且，求证：． 【典型例题3】 3.如图所示，在中，，则（    ） A． B． C． D． 【典型例题4】 4.⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【典型例题4】 4.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论一定正确的个数有（　　） ①CE=DE；②BE=OE；③；④∠CAB=∠DAB． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 1. 1.如图，在中，，则的度数为　　 A． B． C． D． 2. 2.如图，是的直径，，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 3. 3.如图，，，是上三个点，，则下列说法中正确的是　　 A． B．四边形内接于 C． D． 4.是中的两条弦，若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 5.、是中的两条弦，若，则与的大小关系是　　 A． B． C． D．不能确定 6.如图，已知是的直径，，，那么弧度数等于 　　． 7.在中，和是弦，且，请用无刻度直尺完成下列作图． (1)如图①，在上找一点P，使点P到、所在直线的距离相等； (2)如图②，E是上一点，且，，在上找一点Q，使点到、所在直线的距离之比为． 8.如图所示，、、是的三条半径，为弧的中点，、分别是、的中点．求证：． 知识模块2 知识点2：圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系 ★ 1的弧：将顶点在圆心的周角等分360份，每一份圆心角是1的角，因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，我们把1的圆心角所对的弧叫做1的弧。 ★ 圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系：一般地，n的圆心角对着n的弧，n的弧对着n的圆心角，即圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。 1　 圆心角的度数与它所对弧的度数相等，不是角与弧相等（角与弧是两个不同的图形）。 2　 度数相等的角为等角，但度数相等的弧不一定是等弧。 【典型例题1】 1.如图，弦直径，连接，，则所对的圆心角的度数为（    ） A． B． C． D． 【典型例题2】 2.如图，经过五边形的四个顶点，若弧等于，，，则弧的度数为（     ）    A． B． C． D． 【典型例题3】 3.如图，在中，，劣弧的度数是　　 A． B． C． D． 【典型例题4】 4.如图，在中，，以点C为圆心，长为半径的与相交于点．    (1)若弧的度数为，则______°； (2)若，，求线段的长． 1.中的一段劣弧的度数为，则　　 A． B． C． D． 2.如图，，是的弦，延长，相交于点，已知，，则所对的圆心角的度数是　　 A． B． C． D． 3.如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆分别交、于点、点，则弧的度数为　　 A． B． C． D． 4.如图，已知是的两条直径，且，过点作交于点，则弧的度数为 ．    5. 如图，四个边长为2的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O的半径为2，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB等于（） A．30° B．45° C．60° D．90° 6.如图，，是圆的两条相等的弦，弧，弧的度数分别为30度，120度，为劣弧上一点，则 °． 7.如图所示，若扇形DOE与扇形AOE的圆心角的度数之比为1：2．求这五个圆心角的度数． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$24.1.3 弧、弦、圆心角 讲义答案 (思维导图+知识例题+强化训练)2024-2025学年人教版 思维导图理思路 知识模块1 知识模块1 知识点2:圆心角、弧、弦之间的关系 1 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等。 2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所 对应的其余各组量都分别相等 【典型例题1】 1.下列说法中,正确的是 A.同心圆的周长相等 B.面积相等的圆是等圆 C.相等的圆心角所对的弧相等 D.平分弧的弦一定经过圆心 【分析】根据等圆,圆周角定理,垂径定理一一判断即可. 【解答】解:、错误,同心圆的周长不相等,本选项不符合题意. 、正确,本选项符合题意. 、错误,条件是同圆或等圆中,本选项不符合题意. 、错误,平分弧的弦不一定经过圆心,本选项不符合题意. 故选:. 【典型例题2】 2.如图,、、、是上四点,且,求证:. 【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系得出即可. 【解答】证明:, , , 即, . 【典型例题3】 3.如图所示,在中,,则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查了同弧所对的弦相等,三角形内角和定理.先证明,然后根据三角形内角和计算的度数. 【详解】解:∵, ∴ ∴, ∴. 故选:B. 【典型例题4】 4.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,则下列结论一定正确的个数有( ) ①CE=DE;②BE=OE;③;④∠CAB=∠DAB. A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【答案】B 【分析】已知直径AB垂直于弦CD,那么可根据垂径定理来判断所给出的结论是否正确. 【详解】解:∵AB是⊙O的直径,且AB⊥CD, ∴CE=DE,;故①③正确; ∴∠CAB=∠DAB;故④正确 由于没有条件能够证明BE=OE,故②不一定成立; 所以一定正确的结论是①③④; 故选:B. 1.如图,在中,,则的度数为 A. B. C. D. 【分析】证明是等边三角形,求出,根据圆周角定理求出即可. 【解答】解:, , , , 故选:. 2.如图,是的直径,,若,则的度数是 A. B. C. D. 【分析】由,可求得,继而可求得的度数. 【解答】解:, , . 故选:. 3.如图,,,是上三个点,,则下列说法中正确的是 A. B.四边形内接于 C. D. 【分析】过作于交于,由垂径定理得到,于是得到,推出,根据三角形的三边关系得到,故错误;根据三角形内角和得到,,推出,故错误;由点,,在上,而点在圆心,得到四边形不内接于,故错误;根据余角的性质得到,故正确; 【解答】解:过作于交于, 则, ,, , , , , ,故错误; , , , ,故错误; 点,,在上,而点在圆心, 四边形不内接于,故错误; , , ,故正确; 故选:. 4.是中的两条弦,若,则与的大小关系是( ) A. B. C. D.不能确定 【答案】A 【分析】根据弦和弧之间关系和三角形三边关系即可求证. 【详解】解:如图,取的中点E,则. ∵, ∴, ∵,, ∴, ∴, ∴, ∴, ∴. 故选A. 5.、是中的两条弦,若,则与的大小关系是 A. B. C. D.不能确定 【分析】根据弧、弦之间的关系以及三角形的三边关系即可得出结论. 【解答】解:如图所示,,, 在中, , ,即, , . 故选:. 6.如图,已知是的直径,,,那么弧度数等于 . 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系得到,再利用平角的定义得到的度数,然后根据弧的度数等于它所对的圆心角的度数求解. 【解答】解:,, , . 故答案为:. 7.在中,和是弦,且,请用无刻度直尺完成下列作图. (1)如图①,在上找一点P,使点P到、所在直线的距离相等; (2)如图②,E是上一点,且,,在上找一点Q,使点到、所在直线的距离之比为. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】(1)根据角平分线的性质即可在图①的上找一点P,使点P到、所在直线的距离相等; (2)根据平行线对应线段成比例定理即可在图②的弧上找一点Q,使点到、所在直线的距离之比为. 本题考查了作图﹣复杂作图、角平分线的性质、圆心角、弧、弦的关系,解决本题的关键是综合运用以上知识画图. 【详解】(1)如图,延长,交于点M,连接交弧于点P, 则点P即为所求. (2)根据题意,画图如下: 则点Q即为所求. 8.如图所示,、、是的三条半径,为弧的中点,、分别是、的中点.求证:. 【答案】见详解 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和全等三角形的判定和性质,能求出 是解此题的关键. 连接,根据圆心角、弧、弦之间的关系求出,求出,根据全等三角形的判定得出,再得出答案即可. 【详解】证明:∵为的中点, ∵分别是的中点, 在和中, 知识模块2 知识点2:圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系 1的弧:将顶点在圆心的周角等分360份,每一份圆心角是1的角,因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等,所以整个圆也被等分成360份,我们把1的圆心角所对的弧叫做1的弧。 圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系:一般地,n的圆心角对着n的弧,n的弧对着n的圆心角,即圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。 1 圆心角的度数与它所对弧的度数相等,不是角与弧相等(角与弧是两个不同的图形)。 2 度数相等的角为等角,但度数相等的弧不一定是等弧。 【典型例题1】 1.如图,弦直径,连接,,则所对的圆心角的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】 本题考查平行线性质、圆心角概念、等腰三角形性质,连接,根据平行线性质得到,利用等腰三角形性质得到,再次利用平行线性质得到,即可解题. 【详解】解:连接, 弦直径, , , , , . 则所对的圆心角的度数为. 故选:A. 【典型例题2】 2.如图,经过五边形的四个顶点,若弧等于,,,则弧的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系,多边形内角与外角,连接,由半径相等得到,,都为等腰三角形,根据,,求出与的度数,根据的度数确定出度数,进而求出的度数,即可确定出的度数. 【详解】解:连接, ∵, ∴,,,皆为等腰三角形, ∵, ∴, ∵, ∴, ∴, 则度数为. 故选:B. 【典型例题3】 3.如图,在中,,劣弧的度数是 A. B. C. D. 【分析】连接,求出,可得结论. 【解答】解:连接. , , , 的度数为. 故选:. 【典型例题4】 4.如图,在中,,以点C为圆心,长为半径的与相交于点. (1)若弧的度数为,则_ ; (2)若,,求线段的长. (2) 【分析】(1)先求得,再利用等边对等角以及三角形内角和定理求得,据此即可求解; (2)作于,由垂径定理和勾股定理求得,,利用等积法求得的长,再利用勾股定理即可求解. 【详解】(1)解:∵弧的度数为, ∴, ∵, ∴, ∴, 故答案为:35; (2)解:作于,如图, 由垂径定理得, 由勾股定理得, ∵, ∴, ∴, ∴, ∴. 1.中的一段劣弧的度数为,则 A. B. C. D. 【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系得出答案即可. 【解答】解:中的一段劣弧的度数为, , 故选:. 2.如图,,是的弦,延长,相交于点,已知,,则所对的圆心角的度数是 A. B. C. D. 【分析】根据等腰三角形的性质,三角形内角和定理以及圆周角定理进行计算即可. 【解答】解:如图,连接,,,, ,, , , , , , , 故选:. 3.如图,在中,,,以点为圆心,为半径的圆分别交、于点、点,则弧的度数为 A. B. C. D. 【分析】先利用互余计算出,再利用半径相等和等腰三角形的性质得到,则根据三角形内角和定理可计算出,然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解. 【解答】解:,, , , , , 的度数为. 故选:. 4.如图,已知是的两条直径,且,过点作交于点,则弧的度数为 . 【答案】/80度 【分析】本题考查平行线的性质,圆心角,弧,弦之间的关系,圆周角定理等知识点, 连接,根据平行线的性质求出,根据圆周角定理求出,再求出的度数,即可求出本题答案. 【详解】解:连接, ∵,, ∴, ∵, ∴ ∴, ∴的度数是, ∵是的两条直径, ∴的度数是, ∴的度数是, 故答案为:. 5. 如图,四个边长为2的小正方形拼成一个大正方形,A、B、O是小正方形顶点,⊙O的半径为2,P是⊙O上的点,且位于右上方的小正方形内,则∠APB等于() A.30 B.45 C.60 D.90 【答案】B 【分析】根据圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半求解. 【详解】解: 故选:B 6.6.如图,,是圆的两条相等的弦,弧,弧的度数分别为30度,120度,为劣弧上一点,则 . 【答案】127.5 【分析】分别连接OA,OB,OC,OD,根据圆心角定理可求得∠AOD和∠BOC的度数;再根据弦AB=CD,可求得∠AOB和∠COD的度数;最后根据圆周角定理可求得∠APB的度数. 【详解】解:连接OA,OB,OC,OD,如图所示. ∵和的度数分别是30 和120 , ∴∠AOD=30 ,∠BOC=120 . ∵AB=CD, ∴. ∵, ∴. 故答案为:. 7.如图所示,若扇形DOE与扇形AOE的圆心角的度数之比为1:2.求这五个圆心角的度数. 【答案】54 ,90 ,108 ,36 ,72 【分析】求出每个扇形所占的百分比,再根据所有扇形所对应的圆心角的和为360 ,按比例进行计算即可. 【详解】解:由题意得,扇形DOE所占的百分比为:(1﹣30%﹣25%﹣15%) =10%, 扇形AOE所占的百分比为:(1﹣30%﹣25%﹣15%) =20%, ∴∠AOB=360 15%=54 , ∠BOC=360 25%=90 , ∠COD=360 30%=108 , ∠DOE=360 10%=36 , ∠AOE=360 20%=72 , 答:这五个圆心角的度数依次为54 ,90 ,108 ,36 ,72 . 7.如图1,圆形拱门是中国古典园林建筑元素之一,圆形拱门有着圆满、完美的美好寓意、 (1)在图2中作出拱门中圆弧的圆心(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹). (2)已知拱门高(优弧中点到的距离),,,求拱门的圆弧半径. 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 $$