新课预习衔接：数学广角——集合（讲义）-2024-2025学年三年级上册数学人教版

数学广角——集合 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】前言部分 目录导航 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 【知识点归纳】 在日常生活中，人们常常需要统计一些数量，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出现，为了使重复出现的部分不致被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，既先不考虑重复的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排除出去，使计算的结果既无遗漏又无重复．这种计数方法称为包含排除法，也叫做容斥原理或重叠问题． 一般方法： 在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考． 原理1：两量重叠问题 A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数 原理2：三量重叠问题 A类、B类与C类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数﹣既是B类又是C类的元素个数﹣既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数． 第二部分 典型例题 例题1：学校运动会，三（1）班参加跳绳比赛的有15人，参加接力比赛的有10人。这两项比赛都参加的有6人，三（1）班一共有多少人参加这两项比赛？ 【答案】19人。 【分析】根据容斥原理“A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数”，用参加跳绳的15人加参加接力比赛的10人的和，减去两项都参加的16人即得总人数。 【解答】解：15+10﹣6 ＝25﹣6 ＝19（人） 答：三（1）一共有19人参加这两项比赛。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 例题2：四年级（1）班有42名同学，其中会下象棋的有21人，会下围棋的有17人，两种棋都不会下的有10人。那么两种棋都会下的有多少人？ 【答案】6人。 【分析】先求出会下象棋的人数与围棋的人数和，再加上两样都不会下的人数，这样就比全班的总人数多算了一次两种棋都会下的人数，所以再减去总人数42，就是两种棋都会下的人数。 【解答】解：21+17+10﹣42 ＝48﹣42 ＝6（人） 答：两种棋都会下的有6人。 【点评】本题依据了容斥原理公式之一：既是A类又是B类的元素个数＝属于A类元素个数+属于B类元素个数+非A非B元素个数﹣元素总个数。 例题3：某艺术中心有62名学生，其中会弹钢琴的有11名，会吹长笛的有56名，两样都不会的有4名。两样都会的有多少名？ 【答案】9名。 【分析】用会弹钢琴的人数加会吹长笛的人数加两样都不会的人数，再减总人数即可求解。 【解答】解：11+56+4﹣62 ＝67+4﹣62 ＝71﹣62 ＝9（名） 答：两样都会的有9名。 【点评】本题主要考查了容斥原理的灵活运用。 例题4：为了丰富同学们的课外知识，三（2）班组织学生订阅刊物，有两种刊物供选择，每人至少订一种。订《少年博览》的有32人，订《少儿百王》的有25人，两种刊物都订的有12人，三（2）班共有多少名同学？ 【答案】45名。 【分析】用订《少年博览》的人数加上订《少儿百王》的人数，然后再减去两种刊物都订的人数，即可求出三（2）班共有多少名同学。由此解答即可。 【解答】解：32+25﹣12 ＝57﹣12 ＝45（名） 答：三（2）班共有45名同学。 【点评】此题考查容斥原理的简单应用。 第三部分 高频真题 1．学校科技节，三（1）班有18人的小制作获奖，有24人的科幻画获奖。这其中有7人这两项都获了奖。三（1）班在这次学校科技节小制作和科幻画获奖的一共是多少人？ 2．三（1）班每人至少订一份报纸，订《数学报》的有36人，订《语文报》的有28人，两种都订的有12人，三（1）班一共有多少人？ 3．三（1）班每人都订了报纸，订《小学生周报》的有25人，订《小博士报》的有21人，两种报纸都订的有9人，三（1）班一共有多少人？ 4．三（2）班有48人，每人至少订了2种课外书中的一种，其中订《数学王国》的有25人，订《作文天地》的有32人。两种课外书都订的有多少人？ 5．学校为了丰富学生的校园生活，让学生的个性特长得到优质发展，本学期开设了多门选修课，五（3）班45名同学中，有26人选择了球类课程，有18人选择了舞蹈类课程，有10人这两类课程都选择了。 （1）至少选择其中一类课程的有多少人？ （2）这两类课程都没有选择的有多少人？ 6．某班有26人参加数学兴趣小组，30人参加英语兴趣小组，其中数学、英语都参加的有12人，两个小组都不参加的有4人，则这个班学生人数有多少人？ 7．有10个人参加才艺表演，表演舞蹈的有5人，表演唱歌的有8人，两样都表演的有多少人？ 8．红星小学四（1）班共有学生42人，会打乒乓球的有26人，会打羽毛球的有18人，两种球都不会打的有12人。两种球都会打的有多少人？ 9．二（3）班有学生45名，现有两份报纸可以订阅，每人至少订一份。已知订《少年日报》的有32人，订《东方少年报》的有25人，那么两种报纸都订的有几人？ 10．三（1）班共有36名同学订阅杂志，其中订阅《数学天地》的有21人，订阅《语文天地》的有18人，每人至少订阅一种．有多少名同学订阅了两种杂志？ 11．甲、乙、丙3个小朋友参加礼仪知识竞赛，甲答对了20题，乙答对了25题，丙答对了32题。甲答对的20题丙都答对了，乙答对的题中有15题丙也答对了。甲、丙一共答对了多少道题？乙、丙一共答对了多少道题？ 12．三（2）班有44个学生参加竞赛，其中参加数学竞赛的有30人，参加美术竞赛的有26人。既参加数学竞赛又参加美术竞赛的有多少人？ 13．三（2）班报名参加作文竞赛的有21人，报名参加数学竞赛的有25人，其中参加作文和数学两项竞赛的有8人。如果三（2）班的同学们都参加了竞赛，那么三（2）班一共有多少人？ 14．四一班参加了合唱和舞蹈兴趣小组的有35人，其中有8人只参加了合唱小组，有17人既参加了合唱又参加了舞蹈小组，有多少人只参加了舞蹈小组？ 15．四年级有72人参加了“故事力”大赛的写故事和演故事比赛的两项活动，参加写故事的有56人，参加演故事的有27人。两项活动都参加的有多少人？ 16．三年级（1）班有52人，喜欢喝牛奶的有27人，喜欢喝豆浆的有36人。既喜欢喝牛奶又喜欢喝豆浆的有多少人？ 17．三年级共有100名同学参加了科技兴趣小组和体育兴趣小组，其中参加科技兴趣小组的有42人，参加体育兴趣小组的有68人，那么既参加科技兴趣小组又参加体育兴趣小组的有多少人？ 18．劳动教育是新时代党对教育的新要求，是大中小学生必须参与的教育活动，光明小学组织“农田基地”劳动，40人参加“农田除杂草”劳动，25人参加“农田施肥”劳动，其中两项都参加的有10人。参加这两项劳动的学生一共有多少人？ 19．某栏目组组织了一次有奖竞答活动，设有8条谜语，有60人参加，一共猜对了338条谜语。已知每人至少猜对3条，猜对3条的有6人，猜对4条的有10人，猜对5，6，7条的人数一样多。你知道8条谜语全猜对的有多少人吗？ 20．参加数学竞赛的有22人，参加语文竞赛的有26人，两个都参加的有10人，都没参加的有2人，这个班级共有学生多少人？ 21．三（1）班有31人参加阅读和书法两项竞赛，全部获奖。其中阅读获奖的有12人，书法获奖的有27人，两科都获奖的有多少人？ 22．三年级举行趣味运动会，参加“摸石头过河”的有39人，参加“两人三足”的有53人，两项都参加的有27人。参加趣味运动会的一共有多少人？ 23．六一儿童节文艺会演中，四年级（1）班有36人参加演出，其中跳舞表演的有14人，合唱表演的有28人。两项演出都参加的有多少人？ 24．四年级有108名学生去春游，带水果的有77人，带矿泉水的有78人，每人至少带一样，既带水果又带矿泉水的有多少人？ 25．某进修班有50人，开甲、乙、丙三门进修课。选修甲这门课的有38人，选修乙这门课的有35人，选修丙这门课的有31人，甲、乙课两门都选的有29人，甲、丙两门课都选的有28人，乙、丙两门课都选的26人，甲、乙、丙三门都选的有24人。问三门都没有选的人数有多少？ 26．学校成立了科技和书法两个兴趣小组。四（4）班共有40名同学，每人至少参加一个兴趣小组，有24人参加科技小组，17人参加书法小组。有多少人参加了两个兴趣小组？ 27．同学们要到动物园去参观老虎馆和熊猫馆．参观老虎馆的有70人，参观熊猫馆的有65人，两个馆都参加的有40人．去动物园的一共有多少人？ 28．五年级一班共有36名学生，在六一表演中有12人参加了舞蹈表演，有16人参加了合唱，既要表演舞蹈又要参加合唱的有7人，那么既不参加舞蹈表演、又不参加合唱的有多少人？ 29．2021年是红军长征胜利85周年。一个44人的国际旅游团到中央红军长征胜利纪念园参观，其中会讲英语的有37人，会讲汉语的有25人，每人至少会讲英语和汉语中的一种，英语和汉语都会讲的有多少人？ 30．阳光小学文艺组每人至少会演奏手风琴和电子琴中的一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中这两种乐器都会演奏的有8人。这个文艺组一共有多少人？ 31．四年级有60名同学．有35人参加了跳绳，有22人参加了踢毽子，这两项活动都参加的有6人，只参加跳绳的有多少人？两项活动都没参加的有多少人？ 32．在校运动会上，共有30人参加跳远和跳高。参加跳远的有18人，参加跳高的有22人，既参加跳远又参加跳高的有多少人？ 33．三年级（1）班有45名学生参加团体比赛，其中参加接力赛的有25人，参加拔河赛的有35人，既参加接力赛又参加拔河赛的有多少人？ 34．三（1）班有50人，每人至少参加一个小组，参加美术小组的有29人，参加书法小组的有27人，两个小组都参加的有多少人？ 35．李老师给三（2）班出了两道数学题，批改后发现，全班每人至少做对一题，第1题做对的有26人，第2题做对的有24人，两道题都做对的有8人，三（2）班一共有多少人？ 36．三（1）班有学生56人，每人至少参加美术和音乐兴趣小组中的一种，已知参加美术小组的有35人，参加音乐小组的有38人．两个小组都参加的有多少人？ 37．本次运动会涌现了很多闪闪发光的志愿者。经统计，某学校的志愿者中，有18人参与了纸桥承重项目，有15人参与了“鸡蛋”撞地球项目。两个项目都参加的有7人。 （1）完成图。 （2）该学校一共有多少名志愿者参与了本次科技运动会？ （3）你还能提出其他数学问题并解答吗？ 38．三年级一班有45人，他们去学习书法和绘画，每人至少学一门．学习书法的有26人，学习绘画的有25人．书法和绘画都学习的有多少人？ 39．同学们到动物园游玩，参观企鹅馆的有36人，参观白鲸馆的有43人，其中两个馆都参观的有21人，每位同学至少参观这两馆中的一个，去动物园游玩的一共有几人？ 40．学校举办“我的中国梦”书画作品比赛，共有210幅作品分别获得一、二等奖和优秀奖，其中优秀奖和二等奖的作品共148幅，获得一二等奖的作品共140幅，获得一等奖、二等奖和优秀奖的作品各有多少幅？ 41．三（1）班每人至少订一份杂志，订《现代少年报》有24人，订《中国少年报》的有28人，两种杂志都订的有13人。三（1）班一共有多少人？ 42．三年一班有45人，参加体育课外小组的有27人，参加音乐课外小组的有31人，每人至少参加一个课外小组，三年一班两个课外小组都参加的有多少人？ 43．在一个班学生中，会下中国象棋的有38人，会下国际象棋的有18人，两种棋都会下的有10人，这两种象棋都不会下的有2人，这个班有多少人？ 44．某工厂有180人，其中每个人要么会打乒乓球，要么会打羽毛球，要么两样都会。现知道会打乒乓球的有80人，既会打羽毛球又会打乒乓球的有20人，会打羽毛球的有多少人？ 45．逸夫小学组织学生参加周末公益活动。有66人参加周六的活动，90人参加周日的活动，其中有35人这两天的活动都参加。至少参加一天活动的有多少人？ 46．三年级有224人去郊游．带面包的有159人，带方便面的有198人，每人至少带这两种食品中的一种，两种食品都带的有多少人？ 47．丽丽会唱26首歌，平平会唱18首歌。她们都会唱的歌有15首，她们一共会唱多少首不同的歌？ 48．六年级参加学校组织的研学旅行。学校分时段提供了以传统文化和劳动教育为主题的两次研学旅行，六年级每个同学至少参加了一次。已知有的同学参加了传统文化，有45%的同学参加了劳动教育，有14个同学两次都参加了。六年级共有多少名同学？ 49．《流浪地球》和《中国机长》是我国两部优秀的电影，四年级二班有43位同学，看了《流浪地球》的有31人，看了《中国机长》的有23人，两部电影都没看的有9人。两部电影都看了的有多少人？ 参考答案与试题解析 1．学校科技节，三（1）班有18人的小制作获奖，有24人的科幻画获奖。这其中有7人这两项都获了奖。三（1）班在这次学校科技节小制作和科幻画获奖的一共是多少人？ 【答案】35人。 【分析】根据题干可得，三（1）班有18人的小制作获奖，有24人的科幻画获奖，一共有18+24＝42人，这42人中有7人这两项都获奖了，说明42人中有7人重复加了1次，由此从42人里面减去7人，就是获奖总人数。 【解答】解：18+24＝42（人） 42﹣7＝35（人） 答：三（1）班在这次学校科技节小制作和科幻画获奖的一共是35人。 【点评】本题考查的是容斥原理的应用。 2．三（1）班每人至少订一份报纸，订《数学报》的有36人，订《语文报》的有28人，两种都订的有12人，三（1）班一共有多少人？ 【答案】52人。 【分析】订《数学报》的人数+订《语文报》的人数﹣两种都订的人数＝总人数。 【解答】解：36+28﹣12 ＝64﹣12 ＝52（人） 答：三（1）班一共有52人。 【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。 3．三（1）班每人都订了报纸，订《小学生周报》的有25人，订《小博士报》的有21人，两种报纸都订的有9人，三（1）班一共有多少人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】把订《小学生周报》有25人，订《小博士报》的有21人相加，去掉重复的两种报纸都订的有9人，即可得出答案． 【解答】解：25+21﹣9 ＝46﹣9 ＝37（人） 答：三（1）班一共有37人． 【点评】此题考查容斥原理的实际运用，掌握基本计算方法：总人数＝A+B﹣既A又B． 4．三（2）班有48人，每人至少订了2种课外书中的一种，其中订《数学王国》的有25人，订《作文天地》的有32人。两种课外书都订的有多少人？ 【答案】9人。 【分析】根据容斥问题公式：A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数。解答即可。 【解答】解：25+32﹣48 ＝57﹣48 ＝9（人） 答：两种课外书都订的有9人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用。 5．学校为了丰富学生的校园生活，让学生的个性特长得到优质发展，本学期开设了多门选修课，五（3）班45名同学中，有26人选择了球类课程，有18人选择了舞蹈类课程，有10人这两类课程都选择了。 （1）至少选择其中一类课程的有多少人？ （2）这两类课程都没有选择的有多少人？ 【答案】（1）34人； （2）11人。 【分析】（1）至少选择其中一类课程的人数＝选择球类课程的人数+选择舞蹈类课程的人数﹣两类课程都选择的人数； （2）两类课程都没有选择的人数＝班级总人数﹣至少选择其中一类课程的人数，据此解答。 【解答】解： （1）26+18﹣10 ＝44﹣10 ＝34（人） 答：至少选择其中一类课程的有34人。 （2）45﹣34＝11（人） 答：这两类课程都没有选择的有11人。 【点评】本题主要考查集合问题，分析清楚每个集合中包含与排除的关系是解答题目的关键。 6．某班有26人参加数学兴趣小组，30人参加英语兴趣小组，其中数学、英语都参加的有12人，两个小组都不参加的有4人，则这个班学生人数有多少人？ 【答案】48人。 【分析】某班有26人参加数学兴趣小组，30人参加英语兴趣小组，两者共有26+30＝56人，然后再减去其中数学、英语都参加的有12人，即重叠的人数12人就是至少参加一项的人数，最后加上两个小组都不参加的4人，可得这个班学生的人数。 【解答】解：26+30﹣12+4 ＝56﹣12+4 ＝48（人） 答：这个班学生人数有48人。 【点评】两量重叠问题：A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数。 7．有10个人参加才艺表演，表演舞蹈的有5人，表演唱歌的有8人，两样都表演的有多少人？ 【答案】3人。 【分析】根据容斥原理，表演舞蹈的人数+表演唱歌的人数﹣参加才艺表演的总人数＝两样都表演的人数。 【解答】解：5+8﹣10 ＝13﹣10 ＝3（人） 答：两样都表演的有3人。 【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。 8．红星小学四（1）班共有学生42人，会打乒乓球的有26人，会打羽毛球的有18人，两种球都不会打的有12人。两种球都会打的有多少人？ 【答案】14人。 【分析】根据容斥原理公式：既A又B＝A+B﹣（总人数﹣非A非B）解答即可。 【解答】解：26+18﹣（42﹣12） ＝44﹣30 ＝14（人） 答：两种球都会打的有14人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 9．二（3）班有学生45名，现有两份报纸可以订阅，每人至少订一份。已知订《少年日报》的有32人，订《东方少年报》的有25人，那么两种报纸都订的有几人？ 【答案】12人。 【分析】根据容斥原理，订《少年日报》的人数+订《东方少年报》的人数﹣学生总人数＝两种报纸都订的人数。 【解答】解：32+25﹣45 ＝57﹣45 ＝12（人） 答：两种报纸都订的有12人。 【点评】此题主要考查了两集合容斥原理的应用，要熟练掌握。 10．三（1）班共有36名同学订阅杂志，其中订阅《数学天地》的有21人，订阅《语文天地》的有18人，每人至少订阅一种．有多少名同学订阅了两种杂志？ 【答案】见试题解答内容 【分析】用21加上18求出它们的和，这样两种杂志都订的多算了一次，然后减去36就是两种杂志都订的． 【解答】解：21+18﹣36＝3（名） 答：有3名同学订阅了两种杂志． 【点评】本题为基本的容斥原理题目，其公式为：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数． 11．甲、乙、丙3个小朋友参加礼仪知识竞赛，甲答对了20题，乙答对了25题，丙答对了32题。甲答对的20题丙都答对了，乙答对的题中有15题丙也答对了。甲、丙一共答对了多少道题？乙、丙一共答对了多少道题？ 【答案】32道；42道。 【分析】（1）求甲和丙一共答对了多少道题，用20加32，再减去重复计算的20道题即可； （2）求乙和丙一共答对了多少道题，用25加32，再减去重复计算的15道题即可。 【解答】解：20+32﹣20 ＝52﹣20 ＝32（道） 25+32﹣15 ＝57﹣15 ＝42（道） 答：甲、丙一共答对了32道题，乙、丙一共答对了42道题。 【点评】两量重叠问题：A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数。 12．三（2）班有44个学生参加竞赛，其中参加数学竞赛的有30人，参加美术竞赛的有26人。既参加数学竞赛又参加美术竞赛的有多少人？ 【答案】12人。 【分析】既参加数学竞赛又参加美术竞赛的人数＝参加数学竞赛的30人+参加美术竞赛的26人﹣三（2）班全班参加竞赛人数；据此解答即可。 【解答】解：30+26﹣44 ＝56﹣44 ＝12（人） 答：既参加数学竞赛又参加美术竞赛的12人。 【点评】本题属于容斥原理问题，既A又B＝A+B﹣总数。 13．三（2）班报名参加作文竞赛的有21人，报名参加数学竞赛的有25人，其中参加作文和数学两项竞赛的有8人。如果三（2）班的同学们都参加了竞赛，那么三（2）班一共有多少人？ 【答案】38人。 【分析】三（2）班的人数＝参加作文竞赛的人数+参加数学竞赛的人数﹣参加作文和数学两项竞赛的人数；据此解答即可。 【解答】解：21+25﹣8 ＝46﹣8 ＝38（人） 答：三（2）班一共有38人。 【点评】本题考查了容斥原理知识点，基本计算方法：总数＝A+B﹣既A又B。 14．四一班参加了合唱和舞蹈兴趣小组的有35人，其中有8人只参加了合唱小组，有17人既参加了合唱又参加了舞蹈小组，有多少人只参加了舞蹈小组？ 【答案】10人。 【分析】先用35减去17求出只参加一种的人数，然后再减去只参加合唱小组的人数，就是只参加舞蹈小组的人数。 【解答】解：35﹣17﹣8 ＝18﹣8 ＝10（人） 答：有10人只参加了舞蹈小组。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 15．四年级有72人参加了“故事力”大赛的写故事和演故事比赛的两项活动，参加写故事的有56人，参加演故事的有27人。两项活动都参加的有多少人？ 【答案】11人。 【分析】根据容斥原理公式：既A又B＝（A+B）﹣总人数解答即可。 【解答】解：56+27﹣72 ＝83﹣72 ＝11（人） 答：两项活动都参加的有11人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 16．三年级（1）班有52人，喜欢喝牛奶的有27人，喜欢喝豆浆的有36人。既喜欢喝牛奶又喜欢喝豆浆的有多少人？ 【答案】11人。 【分析】先用27加上36求出喜欢喝牛奶与喜欢喝豆浆的人数和，再减去三年级（1）班的总人数52就是重复计算的人数，也就是既喜欢喝牛奶又喜欢喝豆浆的人数。 【解答】解：27+36﹣52 ＝63﹣52 ＝11（人） 答：既喜欢喝牛奶又喜欢喝豆浆的有11人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可以借助图形解决问题。 17．三年级共有100名同学参加了科技兴趣小组和体育兴趣小组，其中参加科技兴趣小组的有42人，参加体育兴趣小组的有68人，那么既参加科技兴趣小组又参加体育兴趣小组的有多少人？ 【答案】10人。 【分析】根据题意，将分别参加科技兴趣小组和体育兴趣小组的人数相加，再减三年级同学总人数，计算即可解答。 【解答】解：42+68﹣100 ＝110﹣100 ＝10（人） 答：既参加科技兴趣小组又参加体育兴趣小组的有10人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 18．劳动教育是新时代党对教育的新要求，是大中小学生必须参与的教育活动，光明小学组织“农田基地”劳动，40人参加“农田除杂草”劳动，25人参加“农田施肥”劳动，其中两项都参加的有10人。参加这两项劳动的学生一共有多少人？ 【答案】55人。 【分析】用参加“农田除杂草”劳动的40人加参加“农田施肥”劳动的25人的和，减去两项都参加的10人即得总人数。 【解答】解：40+25﹣10 ＝65﹣10 ＝55（人） 答：参加这两项劳动的学生一共有55人。 【点评】解答依据是：A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素的个数﹣既是A类又是B类的元素个数。 19．某栏目组组织了一次有奖竞答活动，设有8条谜语，有60人参加，一共猜对了338条谜语。已知每人至少猜对3条，猜对3条的有6人，猜对4条的有10人，猜对5，6，7条的人数一样多。你知道8条谜语全猜对的有多少人吗？ 【答案】8人。 【分析】设猜对5，6，7条的人数为x，则猜对8条谜语的人数为（60﹣6﹣10﹣3x），根据一共猜对了338条谜语，列出方程解答，求出猜对5，6，7条的人数，再用总人数减猜对3条的人数、猜对4条的人数、猜对5，6，7条的人数即可求解。 【解答】解：设猜对5，6，7条的人数为x，则猜对8条谜语的人数为（60﹣6﹣10﹣3x），根据题意列方程 3×6+4×10+5x+6x+7x+（60﹣6﹣10﹣3x）×8＝338 18+40+18x+（44﹣3x）×8＝338 58+18x+352﹣24x＝338 410﹣6x＝338 410﹣338＝6x 72＝6x 6x＝72 x＝12 60﹣6﹣10﹣3×12 ＝54﹣10﹣36 ＝44﹣36 ＝8（人） 答：8条谜语全猜对的有8人。 【点评】本题解题的关键是根据等量关系正确列出方程。 20．参加数学竞赛的有22人，参加语文竞赛的有26人，两个都参加的有10人，都没参加的有2人，这个班级共有学生多少人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，有关系式：全班人数＝参加数学竞赛的人数+参加语文竞赛的人数﹣两个都参加的人数﹣两个都没参加的人数．把数代入即可求出全班人数． 【解答】解：22+26﹣10+2 ＝48﹣10+2 ＝38+2 ＝40（人） 答：这个班级共有学生40人． 【点评】此题考查了利用容斥问题原理解决实际问题的灵活应用． 21．三（1）班有31人参加阅读和书法两项竞赛，全部获奖。其中阅读获奖的有12人，书法获奖的有27人，两科都获奖的有多少人？ 【答案】8人。 【分析】阅读获奖的人数+书法获奖的人数﹣总人数＝两科都获奖的人数。 【解答】解：12+27﹣31 ＝39﹣31 ＝8（人） 答：两科都获奖的有8人。 【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。 22．三年级举行趣味运动会，参加“摸石头过河”的有39人，参加“两人三足”的有53人，两项都参加的有27人。参加趣味运动会的一共有多少人？ 【答案】65人。 【分析】根据容斥原理公式“总人数＝（A+B）﹣既A又B”解答即可。 【解答】解：39+53﹣27 ＝92﹣27 ＝65（人） 答：参加趣味运动会的一共有65人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 23．六一儿童节文艺会演中，四年级（1）班有36人参加演出，其中跳舞表演的有14人，合唱表演的有28人。两项演出都参加的有多少人？ 【答案】6人。 【分析】先用14加28求出跳舞表演的和合唱表演的人数和，再减去四（1）班的总人数36就是重复计算的人数，也就是这两项演出都参加的人数。 【解答】解：14+28﹣36 ＝42﹣36 ＝6（人） 答：两项演出都参加的有6人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可以借助图形解决问题。 24．四年级有108名学生去春游，带水果的有77人，带矿泉水的有78人，每人至少带一样，既带水果又带矿泉水的有多少人？ 【答案】47人。 【分析】根据容斥原理公式：既A又B＝（A+B）﹣总人数解答即可。 【解答】解：77+78﹣108 ＝155﹣108 ＝47（人） 答：既带水果又带矿泉水的有47人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 25．某进修班有50人，开甲、乙、丙三门进修课。选修甲这门课的有38人，选修乙这门课的有35人，选修丙这门课的有31人，甲、乙课两门都选的有29人，甲、丙两门课都选的有28人，乙、丙两门课都选的26人，甲、乙、丙三门都选的有24人。问三门都没有选的人数有多少？ 【答案】5人。 【分析】此题应用容斥原理解决，选甲乙而不选丙的有：a＝29﹣24＝5（人），选甲丙而不选乙的有：b＝28﹣24＝4（人），选乙丙而不选甲的有：c＝26﹣24＝2（人），仅选乙的有：d＝35﹣24﹣a﹣c＝4（人），仅选丙的有：e＝31﹣24﹣b﹣c＝1（人），选一科的是：甲+d+c+e＝45（人），三门均没选的人数是（50﹣45）人。 【解答】解：根据题意分析，利用容斥原理可得： 选甲乙而不选丙的有：a＝29﹣24＝5（人） 选甲丙而不选乙的有：b＝28﹣24＝4（人） 选乙丙而不选甲的有：c＝26﹣24＝2（人） 仅选乙的有：d＝35﹣24﹣a﹣c＝4（人） 仅选丙的有：e＝31﹣24﹣b﹣c＝1（人） 选一科的是：甲+d+c+e＝45（人） 三门都没选的人数是：50﹣45＝5（人） 答：三门都没有选的人数有5人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用。 26．学校成立了科技和书法两个兴趣小组。四（4）班共有40名同学，每人至少参加一个兴趣小组，有24人参加科技小组，17人参加书法小组。有多少人参加了两个兴趣小组？ 【答案】1人。 【分析】根据容斥原理，参加科技小组的人数+参加书法小组的人数﹣总人数＝参加书法小组的人数。 【解答】解：24+17﹣40 ＝41﹣40 ＝1（人） 答：有1人参加了两个兴趣小组。 【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。 27．同学们要到动物园去参观老虎馆和熊猫馆．参观老虎馆的有70人，参观熊猫馆的有65人，两个馆都参加的有40人．去动物园的一共有多少人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，利用容斥问题原理，有关系式：参观老虎馆的人数+参观熊猫馆的人数﹣两个馆都参加人数＝去参观的总人数．把数代入计算即可． 【解答】解：70+65﹣40 ＝135﹣40 ＝95（人） 答：去动物园的一共有95人． 【点评】此题考查了利用容斥问题原理解决实际问题的灵活应用． 28．五年级一班共有36名学生，在六一表演中有12人参加了舞蹈表演，有16人参加了合唱，既要表演舞蹈又要参加合唱的有7人，那么既不参加舞蹈表演、又不参加合唱的有多少人？ 【答案】15人。 【分析】12人参加了舞蹈表演，有16人参加了合唱，既要表演舞蹈又要参加合唱的有7人，根据容斥原理，既参加舞蹈队和参加合唱队的总人数是（12+16﹣7）人，用班级人数再减这个总人数即可求解。 【解答】解：36﹣（12+16﹣7） ＝36﹣21 ＝15（人） 答：既不参加舞蹈表演、又不参加合唱的有15人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用。 29．2021年是红军长征胜利85周年。一个44人的国际旅游团到中央红军长征胜利纪念园参观，其中会讲英语的有37人，会讲汉语的有25人，每人至少会讲英语和汉语中的一种，英语和汉语都会讲的有多少人？ 【答案】18人。 【分析】先用37加25求出会讲英语的和会讲汉语的人数和，再减去总人数44就是重复计算的人数，也就是英语和汉语都会讲的人数。 【解答】解：37+25﹣44 ＝62﹣44 ＝18（人） 答：英语和汉语都会讲的有18人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 30．阳光小学文艺组每人至少会演奏手风琴和电子琴中的一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中这两种乐器都会演奏的有8人。这个文艺组一共有多少人？ 【答案】33人。 【分析】根据容斥原理公式：总人数＝（A+B）﹣既A又B解答即可。 【解答】解：24+17﹣8 ＝41﹣8 ＝33（人） 答：这个文艺组一共有33人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 31．四年级有60名同学．有35人参加了跳绳，有22人参加了踢毽子，这两项活动都参加的有6人，只参加跳绳的有多少人？两项活动都没参加的有多少人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）用参加跳绳的人数减去这两项活动都参加的人数即可； （2）根据“A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数”求出至少参加一种的人数，用总人数60减去至少参加一种的人数即可． 【解答】解：（1）35﹣6＝29（人） （2）60﹣（35+22﹣6） ＝60﹣51 ＝9（人） 答：只参加跳绳的有29人，两项活动都没参加的有9人． 【点评】容斥原理公式之一：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数． 32．在校运动会上，共有30人参加跳远和跳高。参加跳远的有18人，参加跳高的有22人，既参加跳远又参加跳高的有多少人？ 【答案】10人。 【分析】先用18加上22求出两者的和，这其中把两项比赛都参加的人数多计算了一次，然后减去总人数30就是既参加跳远又参加跳高的有多少人。 【解答】解：18+22﹣30 ＝40﹣30 ＝10（人） 答：既参加跳远又参加跳高的有10人。 【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。 33．三年级（1）班有45名学生参加团体比赛，其中参加接力赛的有25人，参加拔河赛的有35人，既参加接力赛又参加拔河赛的有多少人？ 【答案】15人。 【分析】根据容斥原理，参加接力赛的人数+参加拔河赛的人数﹣总人数＝既参加接力赛又参加拔河赛的人数。 【解答】解：25+35﹣45 ＝60﹣45 ＝15（人） 答：既参加接力赛又参加拔河赛的有15人。 【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。 34．三（1）班有50人，每人至少参加一个小组，参加美术小组的有29人，参加书法小组的有27人，两个小组都参加的有多少人？ 【答案】6人。 【分析】用参加美术小组的人数加上参加书法小组的人数，求出两者的总人数，这里面把两个小组都参加的人数多算了一次，所以再减去50，即可求出两个小组都参加的人数。 【解答】解：29+27﹣50 ＝56﹣50 ＝6（人） 答：两个小组都参加的有6人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 35．李老师给三（2）班出了两道数学题，批改后发现，全班每人至少做对一题，第1题做对的有26人，第2题做对的有24人，两道题都做对的有8人，三（2）班一共有多少人？ 【答案】42人。 【分析】用第1题做对的加上第2题做对的减去两道题都做对的即是本班人数。 【解答】解：26+24﹣8 ＝50﹣8 ＝42（人） 答：三（2）班一共有42人。 【点评】本题考查了容斥原理的知识。 36．三（1）班有学生56人，每人至少参加美术和音乐兴趣小组中的一种，已知参加美术小组的有35人，参加音乐小组的有38人．两个小组都参加的有多少人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】用35人加上38人求出两者的和，再减去总人数56人，就是两个小组都参加的有多少人． 【解答】解：35+38﹣56 ＝73﹣56 ＝17（人） 答：两个小组都参加的有17人． 【点评】两量重叠问题：A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数． 37．本次运动会涌现了很多闪闪发光的志愿者。经统计，某学校的志愿者中，有18人参与了纸桥承重项目，有15人参与了“鸡蛋”撞地球项目。两个项目都参加的有7人。 （1）完成图。 （2）该学校一共有多少名志愿者参与了本次科技运动会？ （3）你还能提出其他数学问题并解答吗？ 【答案】（1） （2）26人；（3）（答案不唯一，合理即可）只参加纸桥承重项目的志愿者有多少人？11人。 【分析】（1）根据题干把图补充完成； （2）根据“A类人数+B类人数﹣既A又B类人数＝参加人数”即可； （3）（答案不唯一，合理即可）只参加纸桥承重项目的志愿者有多少人？用参加纸桥承重项目的人生减去既参加纸桥承重又参加“鸡蛋”撞地球项目的人数即可。 【解答】解：（1）如下图所示： （2）18+15﹣7＝26（人） 答：该学校一共有26名志愿者参与了本次科技运动会。 （3）（答案不唯一，合理即可）只参加纸桥承重项目的志愿者有多少人？ 18﹣7＝11（人） 答：只参加纸桥承重项目的志愿者有11人。 【点评】本题考查了容斥原理的应用。 38．三年级一班有45人，他们去学习书法和绘画，每人至少学一门．学习书法的有26人，学习绘画的有25人．书法和绘画都学习的有多少人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】由题意，用26+25就是只学习书法、只绘画以及书法和绘画都学习的人数的2倍，再减去总人数，即得重复计算的书法和绘画都学习的人数． 【解答】解：26+25﹣45 ＝51﹣45 ＝6（人） 答：书法和绘画都学习的有6人． 【点评】本题考查了容斥原理，关键是求出至少参加一种的人数，知识点是容斥原理一：总人数＝（A+B）﹣既A又B． 39．同学们到动物园游玩，参观企鹅馆的有36人，参观白鲸馆的有43人，其中两个馆都参观的有21人，每位同学至少参观这两馆中的一个，去动物园游玩的一共有几人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】由题意，用36+43就是只参观企鹅馆、只参观白鲸馆以及两个馆都参观的人数和，再减去重复计算的两个馆都参观的人数，即得去动物园的总人数． 【解答】解：36+43﹣21 ＝79﹣21 ＝58（人 ） 答：去动物园的一共有58人． 【点评】解答此题注意36+43把两个馆都参观的人数多算了一次，所以要减去． 40．学校举办“我的中国梦”书画作品比赛，共有210幅作品分别获得一、二等奖和优秀奖，其中优秀奖和二等奖的作品共148幅，获得一二等奖的作品共140幅，获得一等奖、二等奖和优秀奖的作品各有多少幅？ 【答案】62、78、70幅。 【分析】140+148＝288（幅），是一、二、二、优秀奖数量的和，比一、二、优秀奖总数210幅多的数量就是二等奖的数量，即288﹣210＝78（幅）；那么一等奖就有140﹣78＝62（幅），优秀奖有148﹣78＝70（幅）；据此解答即可。 【解答】解：140+148＝288（幅） 288﹣210＝78（幅） 140﹣78＝62（幅） 148﹣78＝70（幅） 答：获得一等奖、二等奖和优秀奖的作品各有62、78、70幅。 【点评】本题主要考查容斥原理，解答本题的关键先求出二等奖的数量。 41．三（1）班每人至少订一份杂志，订《现代少年报》有24人，订《中国少年报》的有28人，两种杂志都订的有13人。三（1）班一共有多少人？ 【答案】39人。 【分析】先用24加上28求出订《现代少年报》和订《中国少年报》的人数和，再减去两种杂志都订的13人（即重复计算的人数），就是三（1）班参加的总人数。 【解答】解：24+28﹣13 ＝52﹣13 ＝39（人） 答：三（1）班一共有39人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可以借助图形解决问题。 42．三年一班有45人，参加体育课外小组的有27人，参加音乐课外小组的有31人，每人至少参加一个课外小组，三年一班两个课外小组都参加的有多少人？ 【答案】13人。 【分析】参加体育课外小组的人数+参加音乐课外小组的人数﹣总人数＝两个课外小组都参加的人数。 【解答】解：27+31﹣45 ＝58﹣45 ＝13（人） 答：三年一班两个课外小组都参加的有13人。 【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。 43．在一个班学生中，会下中国象棋的有38人，会下国际象棋的有18人，两种棋都会下的有10人，这两种象棋都不会下的有2人，这个班有多少人？ 【答案】48人。 【分析】先求出会下国际象棋的人数与中国象棋的人数和，再加上两样都不会下的人数，这样就比全班的总人数多算了一次两种棋都会下的人数，所以再减去两种棋都会下的人数，就是这个班的总人数。 【解答】解：38+18+2﹣10 ＝58﹣10 ＝48（人） 答：这个班有48人。 【点评】本题依据了容斥原理公式之一：既是A类又是B类的元素个数＝属于A类元素个数+属于B类元素个数+非A非B元素个数﹣元素总个数。 44．某工厂有180人，其中每个人要么会打乒乓球，要么会打羽毛球，要么两样都会。现知道会打乒乓球的有80人，既会打羽毛球又会打乒乓球的有20人，会打羽毛球的有多少人？ 【答案】120人。 【分析】现知道会打乒乓球的有80人，会打羽毛球也会打乒乓球的有20人，则只会打乒乓球的有80﹣20＝60（人），所以会打羽毛球的有180﹣60＝120（人）；据此解答即可。 【解答】解：180﹣（80﹣20） ＝180﹣60 ＝120（人） 答：会打羽毛球的有120人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 45．逸夫小学组织学生参加周末公益活动。有66人参加周六的活动，90人参加周日的活动，其中有35人这两天的活动都参加。至少参加一天活动的有多少人？ 【答案】121人。 【分析】根据容斥原理公式：总人数＝（A+B）﹣既A又B解答即可。 【解答】解：66+90﹣35 ＝156﹣35 ＝121（人） 答：至少参加一天活动的有121人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 46．三年级有224人去郊游．带面包的有159人，带方便面的有198人，每人至少带这两种食品中的一种，两种食品都带的有多少人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】带面包的有159人，带方便面的有198人，则带面包的和带方便面的共有（198+159）人，又因为实际总人数是224人，然后用带面包的和带方便面的和减去224人就是既带面包又带方便面的人数，据此解答． 【解答】解：198+159﹣224 ＝357﹣224 ＝133（人） 答：两种食品都带的有133人． 【点评】本题解答的依据是：A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数． 47．丽丽会唱26首歌，平平会唱18首歌。她们都会唱的歌有15首，她们一共会唱多少首不同的歌？ 【答案】29首。 【分析】丽丽会唱的数量+平平会唱的数量﹣她们都会唱的数量＝她们一共会唱的总数量。 【解答】解：26+18﹣15 ＝44﹣15 ＝29（首） 答：她们一共会唱29首不同的歌。 【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。 48．六年级参加学校组织的研学旅行。学校分时段提供了以传统文化和劳动教育为主题的两次研学旅行，六年级每个同学至少参加了一次。已知有的同学参加了传统文化，有45%的同学参加了劳动教育，有14个同学两次都参加了。六年级共有多少名同学？ 【答案】120名 【分析】把总人数看作单位“1”，那么两次都参加的占总人数的（45%﹣1），它对应的具体数量是14人，然后用除法解答即可。 【解答】解：14÷（45%﹣1） ＝14 ＝120（名） 答：六年级共有120名同学。 【点评】解答本题关键是求出两次都参加的占总人数的的几分之几。 49．《流浪地球》和《中国机长》是我国两部优秀的电影，四年级二班有43位同学，看了《流浪地球》的有31人，看了《中国机长》的有23人，两部电影都没看的有9人。两部电影都看了的有多少人？ 【答案】20人。 【分析】根据容斥原理公式：既A又B＝（A+B）﹣总人数解答即可。 【解答】解：31+23﹣（43﹣9） ＝54﹣34 ＝20（人） 答：两部电影都看了的有20人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 学科网（北京）股份有限公司 $$