1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 高二上学期 1 1、能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量和平面的法向量； 2、能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直关系； 3、能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理 4、提升直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算素养. 重点：用向量语言描述直线和平面以及彼此间的平行与垂直关系 难点：建立空间图形基本要素与向量间的联系，将就、立体几何问题转化 为空间向量问题 学习目标 在前面的学习中，我们已经把向量从平面推广到空间，并利用空间向量解决了一些有关空间位置关系和度量的问题. 我们发现，建立空间向量与几何要素的对应关系是利用空间向量解决立体几何问题的关键. 点线面关系 平行 垂直 距离 两线夹角 空间 向量 新知探究 点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素.因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要建立空间向量与几何要素的对应关系： 立体几何 点 线 面 空间向量 ？ ？ ？ 新知探究 思考1：如何用向量表示空间中的一个点？ 如图，在空间中，我们选一定点作为基点， 那么空间中任意一点就可以用向量来表示. 我们把向量称为点的位置向量. 相对于点的位置 新知生成 思考2：如何用向量表示直线？ 我们知道，空间中给定一个点和一个方向就能唯一确定一条直线，因此用向量表示直线就是要利用点和直线的方向向量表示直线上的任意一点. 如图，是直线的方向向量，在直线上取， 设是直线上的任意一点，由向量共线的条件可知， 点在直线上的充要条件是存在实数，使得即 点动成线 A B 进一步，取定空间中任意一点，可以得到点在直线上的充要条件是存在 实数，使，① 将代入①式，得. ② ①式和②式都称为空间直线的向量表达式. 变形： 新知生成 思考3：一个定点和两个定方向能否确定一个平面？进一步地，一个定点和一个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？ A a B b C α 一个定点和两个定方向能确定一个平面 l A α n 给定空间一点和一条直线，则过点且垂直于直线的平面是唯一确定的. 一个定点和一个定方向能确定一个平面 新知生成 思考3：如何用向量表示这个平面？ O A B α P 若为平面内任意一点，由平面向量基本定理可知， 存在唯一的有序实数对，使得 用向量表示表示平面上的任意一点. 进一步地，如图，取定空间任意一点， 可以得到，空间一点位于平面内的充要条件是 存在实数，使③ 我们把③式称为空间平面的向量表达式. 变形： 新知生成 A α 思考3：如何用向量表示这个平面？ 如图，直线，取直线的方向向量，我们称向量为平面的法向量， ●给定一个点和一个向量，那么过点，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 思考：如果另有一条直线，在直线上任取向量，与有什么关系? 一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量， 且均垂直于该平面内的任意一个向量. 用向量表示表示平面上的任意一点. 新知生成 1、判断下列命题是否正确，正确的在括号内打“✓”，错误的打“✕” (1)零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量； (2)若是直线的方向向量，则也是直线的方向向量； (3)在空间直角坐标系中，(0，0，1)是坐标平面的一个法向量； (4)一个平面的所有法向量都是同向的； (5)平面的法向量与该平面内的任一向量都是垂直的； 教材P29 练习 ✓ ✕ ✓ ✕ ✓ 例1：如图，棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，建立空间直角坐标系Axyz，则直线DD1的方向向量的坐标为________，直线BC1的方向向量的坐标为________，直线CD1的一个方向向量的坐标为________ (0,0,2) (0,0,1) (0,2,2) (0,1,1) C(2,2,0) D1(0,2,2) (-2,0,2) 练习：若直线l过点A(-1,3,4)，B(1,2,1)，则直线l的一个方向向量可以是(　　) A. B. C. D. D ——求直线的方向向量 解： 典例精析 ——求平面的法向量 例2：如图，在长方体中，，， 是的中点. 以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求平面的法向量； (2)求平面的法向量. 解：(1)因为轴垂直于平面， 所以是平面的一个法向量. 直接法 典例精析 解：(2)因为是的中点， 所以，的坐标分别为，，. 因此，. 设是平面的法向量，则，. 所以，所以， 取，则，. 于是是平面的一个法向量. 例2：如图，在长方体中，，， 是的中点，建系如图，(2)求平面的法向量. 解方程组法 设法向量 建系 写点坐标 写平面内两向量坐标 列方程组 赋非零值 下结论 ——求平面的法向量 典例精析 解：在正方形中，， 又，所以、、两两垂直， 以为原点，、、所在直线为、、轴建系如图， 则， 所以，，， 因为平面，所以平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，所以， 取，则，，于是是平面的一个法向量. 练习：如图,在四棱锥中，底面是正方形，，=DC=2，E是PC的中点，求平面PAD和平面EDB的法向量. x y z ——求平面的法向量 习题演练 l1 l2 我们知道，直线的方向向量和平面的法向量是确定空间中的直线和平面的关键量.那么是否能用这些向量来刻画空间直线、平面的平行、垂直关系呢？ 设，是l1，l2，l的方向向量，是平面α，β的法向量， 思考1：如何用直线的方向向量的关系表示两条直线平行？ ，使得 思考2：如何由直线的方向向量与平面的法向量的关系表示直线与平面平行？ l 思考3：如何用平面的法向量的关系表示平面与平面的平行？ 使得 新知探究 例题：证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 已知：如图，，，，，. 求证： 证明：如图取平面的法向量，直线的方向向量，. 因为，，所以. 因为 所以对任意点，存在，使得. 从而. 所以，向量也是平面的法向量.故 典例精析 解：以为原点，，，所在直线为、、轴，建系如图. 所以，，， 所以，. 设是平面的法向量， 则，即，所以， 取，则，.所以，是平面的一个法向量. 例题：如图，在长方体中，.线段上是否存在点，使得平面？ x y z 典例精析 解：，，，则，，设点满足 则， 所以. 令，得，解得， 此时平面，这样的点存在. 所以，当，即为的中点时，平面. 例题：如图，在长方体中，.线段上是否存在点，使得平面？ x y z 典例精析 1、判断直线与直线平行的方法： ①平行四边形的对边平行、梯形的上下底平行、棱柱的侧棱互相平行… ②三角形的中位线、相似线段成比例 ③基本事实4——平行线的传递性 ④直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. ⑤平面与平面平行的性质定理：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 ⑥直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行． ⑦两直线的方向向量共线(直接法/基底法/坐标法找λ) ——平行的判定 归纳总结 2、判段直线与平面平行的方法： ①判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.(几何法、基底法、坐标法) 直线的方向向量与平面内两个不共线的向量共面. ②面面平行的性质：两个平面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面. ③如果两个平面相互垂直，如果一条直线垂直于两个平面中的一个，则该直线要么在另一个平面内，要么与另一个平面平行. ④法向量坐标法：直线的方向向量与平面的法向量垂直 ——平行的判定 归纳总结 3、判段平面与平面平行的方法： ①判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行.(几何法、基底法、坐标法) ②平行于同一平面的两个平面平行. ③垂直于同一直线的两个平面互相平行. ④法向量坐标法：两平面的法向量共线 ——平行的判定 归纳总结 教材P31 练习 1、用向量方法证明“直线与平面平行的判定定理”：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 已知：直线，和平面，其中，且. 求证： 证明：在直线上取非零向量因为，所以是直线的方向向量， 取平面的法向量，因为，所以， 又所以 解：若点在直线上，， ，， 若//，则//，， 即即(+)， 此方程无解，直线上不存在点使得//. 教材P31 练习 2、如图，四面体中，E是BC的中点，直线AD上是否存在点F，使得AE//CF？ 证明：建系如图，设正方体的棱长为2， 则 于是，， 设平面的法向量为， ∴， 令，则则， 又因为，所以， 又平面，所以//平面 3、如图，在正方体中，，分别是面，面的中心.求证：//平面. 教材P31 练习 l1 l2 探究：类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间什么关系? 思考1：如何用直线的方向向量的关系表示两条直线垂直？ 思考2：如何由直线的方向向量与平面的法向量的关系表示直线与平面垂直？ l 平面的基底  思考3：如何用平面的法向量的关系表示平面与平面的垂直？ 新知生成 证明：法一：设 于是，， ∴ 故，，即，， 又，且平面，平面. 故直线平面. 例题：如图，长方体中，点为的中点，求证：直线平面. A D C B A1 D1 C1 B1 P 典例精析 证明：法二：依题意，以为坐标原点，建系， 则 于是，， ∴ 故，，即，， 又，且平面，平面. 故直线平面. 例题：如图，长方体中，点为的中点，求证：直线平面. A D C B A1 D1 C1 B1 P 典例精析 例题：如图，在平行六面体中，， ，求证：直线平面. 证明：设，，，则为空间的一个基底， 且，，. 因为 所以 在平面上，取，为基向量， 则对于平面上任意一点，存在唯一的有序实数对， 使得，所以， 所以是平面的法向量，所以平面. 典例精析 类比学习小结：垂直的判定 1、判断直线与直线垂直的方法： 2、判段直线与平面垂直的方法： 3、判段平面与平面垂直的方法： 练习 1、已知是直线的方向向量，是平面的法向量， (1)若，求的关系式； (2)若，求的值； 解：(1)若，则， 则， 所以 (2)若，则，所以使得， 则，所以. 练习 2、已知正方体的棱长为1，以为原点，，为单位正交基底建立空间直角坐标系，求证：. 证明：由题意， 于是，， ∴ 故，即. A D C B A1 D1 C1 B1 P 证明：建系如图，则 于是，，， 设平面、的法向量分别为，， ∴， 令，则则， ∴， 令，则，则， 则，所以，则平面平面 练习 3、如图，在长方体中，，是的中点，是的中点，求证：平面平面. 1.点的位置向量： 在空间中，我们选一定点作为基点，那么空间中任意一点就可以用向量来表示.我们把向量称为点的位置向量. 2.空间直线的向量表示式： 取定空间中的任意一点，可以得到点在直线上的充要条件是存在实数，使，①将代入①式，得. ② ①式和②式都称为空间直线的向量表达式. 课堂小结 3.平面的向量表达式： 取定空间任意一点，可以得到，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，使上式称为空间平面的向量表达式. 4.平面的法向量： 如图，直线取直线的方向向量，我们称向量为平面的法向量，给定一个点和一个向量，那么过点，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 课堂小结 5.直线与直线平行： 设分别是直线的方向向量，则： 使得 6.直线与平面平行： 设是直线的方向向量，是平面的法向量，则 7.平面与平面平行： 设分别是平面的法向量，则 使得 课堂小结 8.直线与直线垂直： 设直线的方向向量分别为，则 9.直线与平面垂直： 设直线的方向向量分别为，平面的法向量为，则 ，使得 10.平面与平面垂直： 设平面的法向量分别为则 课堂小结 谢 谢 观 看 ！ 高二上学期 $$