第一章 特殊的平行四边形（单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（北师大版，辽宁专用）

第一单元 特殊的平行四边形 （北师大版） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列性质中正方形具有而菱形没有的是（　　） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．一条对角线平分一组对角 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质和正方形的性质，要熟记菱形和正方形的性质．菱形的对角线垂直且互相平分，正方形的对角线垂直相等且互相平分． 【详解】解：因为菱形的对角线垂直且互相平分，正方形的对角线垂直相等且互相平分． 所以对角线相等是正方形具有而菱形不具有的． 故选：B． 2．在数学活动课上，小明准备用一根绳子检查一个书架是否为矩形．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，下列验证方法中错误的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的判定和平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．根据矩形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：平行四边形， ， ， ， 平行四边形是矩形，故选项A不符合题意； ， 平行四边形是矩形，故选项B不符合题意； 由无法判断平行四边形是矩形，故选项C符合题意； 平行四边形， ， ， ， 平行四边形是矩形，故选项D不符合题意； 故选C 3．顺次连结一个四边形各边的中点所得的四边形是矩形，那么这个四边形一定是（    ） A．矩形 B．菱形 C．对角线相等的四边形 D．对角线垂直的四边形 【答案】D 【分析】本题考查矩形的判定定理和三角形的中位线的定理，有一个角是直角的平行四边形是矩形，据此可知顺次连接对角线垂直的四边形的各边中点得到矩形． 【详解】解：如图，    根据题意得，是的中点， ∴， ∴， 同理：， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 所以顺次连接对角线垂直的四边形的各边中点是矩形． 故选：D． 4．如图，在菱形中，M，N分别在，上，且， 与交于点O，连接，若，则的度数为（    ） A．28° B．52° C．62° D．72° 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质． 根据菱形的性质以及，利用可得，可得，然后可得，继而可求得的度数． 【详解】解：四边形为菱形， ，，， ，，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 5．如图，已知菱形的周长为8，若，则对角线的长为（      ） A． B．3 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定，证得是等边三角形是解题关键．利用菱形的性质以及等边三角形的判定证得是等边三角形，在中求出，即可求出的长． 【详解】解：∵菱形的周长为8， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ， ， ． 故选：A． 6．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，若点的横坐标是8，为点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点B作轴，垂足为点D，先求出，由勾股定理求得，再由菱形的性质得到轴，最后由平移即可求解． 【详解】解：过点B作轴，垂足为点D， ∵顶点在直线上，点的横坐标是8， ∴，即， ∴， ∵轴， ∴由勾股定理得：， ∵四边形是菱形， ∴轴， ∴将点B向左平移10个单位得到点C， ∴点， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的图像，勾股定理，菱形的性质，点的坐标平移，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 7．如图，菱形的边长为，，点在对角线上，点在边上，，点为中点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】关于的对称点，即连接，，，，连接交于，根据菱形的性质和轴对称的性质，可得，，再结合，可得点为中点，垂直平分，故，继而结合题意证明为等边三角形，且，，再利用勾股定理算出，再算出，根据，即可求出的最小值． 【详解】解：作关于的对称点，连接，，，连接交于点，连接交于， ∵关于的对称点为， ∴ ∴ 又∵四边形为菱形， ∴， 又∵为公共边 ∴， ∴， 又∵， ∴点为中点， 又∵， ∴垂直平分， ∵点在对角线上 ∴， ∵四边形为菱形，其边长为，， ∴，，， ∴为等边三角形， 又∵， ∴， 即， ∴， 又∵， ∴， 即 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴则的最小值为， 即的最小值为， 故选C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，轴对称的性质，勾股定理解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 8．如图，在中，，以点C为圆心，以长为半径作弧，交边于点，再分别以点A和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，作射线交边于点D，点E是的中点，且，则的长为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，由作图知，根据勾股定理求出，然后利用直角三角形斜边上中线求出即可． 【详解】解∶连接， 由作图知：， ∵， ∴， ∵，点E是AB的中点， ∴ 故选：B． 9．如图，已知，线段长为，两端分别在上滑动，以为边在的右侧作正方形，连接，则的最大值为（    ）    A． B．6 C． D．8 【答案】A 【分析】取中点，根据正方形的性质，可得直角，运用勾股定理可得的长，在直角中，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得的长，在中，根据三角形三边关系可得，当点三点共线时，最长，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，在线段上取中点，连接，    ∵四边形是正方形，，点是中点， ∴，，， ∴在中，， ∵，点是中点， ∴在中，， 在中， ∵， ∴当点三点共线时，有最大值， ∴， 故选： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，三角形三边关系确定线段的最大值的方法，掌握正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，线段最大值的计算方法是解题的关键． 10．如图，在正方形中，点M，N分别为边，的点，且，与交于点P，连接，点Q为的中点，连接，，若，，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】对于①，先证明，可得，再根据直角三角形两锐角互余，即可证明，故①正确； 对于②，利用反证法证明，假设，即可证明，所以，这与，矛盾，即可得假设不成立，因此②错误； 对于③，利用反证法证明，假设，则，同理可证， 所以，这与，矛盾，由此假设不成立，故③错误； 对于④，利用勾股定理求出，再利用直角三角形斜边中线的性质即可求出，故④正确． 【详解】解：∵四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故①正确； 假设， 在和中， ， ， ， 这与，矛盾， 假设不成立，故②错误； 假设， 则，同理可证， ， 这与，矛盾， 假设不成立，故③错误； ，， ， ， ， ，， ； 故④正确； 正确的有：①④，共2个． 故选B． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用反证法解决问题． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，在菱形中，对角线，，过点A作于点E，则为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质和相勾股定理是解题的关键． 根据菱形的性质得出，，即可求出长，然后利用菱形的面积，即可得出答案． 【详解】解：∵是菱形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 12．如图，是边长为的正方形的对角线上一点，且为上任一点，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，根据，得出是解题的关键．连接，，交于，根据，从而，进一步得出结论． 【详解】解：连接，，交于，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，正方形和正方形中，、、三点共线，点在上，，，是的中点，那么的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，二次根式的化简，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点并能作出辅助线是解题的关键．连接和，先证明是直角三角形，利用勾股定理分别求出，和的长度，最后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，推导出，求得答案． 【详解】连接和，如图所示： 四边形和是正方形，， ，，， ， ，是的中点 故答案为：． 14．如图，正方形的边长为5，点M在延长线上，，作交延长线于点N，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，运用截长补短法构造全等三角形是关键． 在上截取，得与全等；再证明与全等，得，设，用表示，在中由勾股定理列出的方程便可求解． 【详解】解：如图，在上截取，连接． ，， ，． ， 即． 又， ． ， ． ， 设， ，， ，， ， ， ， 解得，， ， 故答案为：． 15．如图，l为矩形的一条对称轴，，，E为射线上的动点，将沿折叠得，当恰好落在l上时，的长是 ．    【答案】或10 【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理，分点在直线的左侧和右侧，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：设直线与的交点分别为， 当点在直线的左侧时，如图：    ∵l为矩形的一条对称轴，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵折叠， ∴， 在中，， ∴， 设，则：，， 在中，， ∴， 解得：； ∴； 当点在直线的右侧时，如图：    同法可得：， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴； 综上：或； 故答案为：或10． 三、解答题 16．如图，在中，对角线，延长到点E，使，连接，交于点F．连接．      (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】此题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定和性质、平行四边形的性质是解题的关键． （1）利用平行四边形的性质得到，得到，再利用得到，则四边形是平行四边形．再利用得到，即可证明四边形是矩形． （2）证明，，，利用勾股定理即可得到答案． 【详解】（1）证明：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：∵，， ∴， ∵，四边形是矩形， ∴，， 在中，； 17．在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)先将向右平移3个单位，得到，画出； (2)再将绕原点顺时针旋转，得到，画出； (3)若点为轴上一点，为平面内一点，以，、、Q四个点为顶点的四边形为菱形，直接写出符合条件的点的坐标为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)， 【分析】本题考查了平移变换与旋转变换的性质，菱形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握平移变换与旋转变的性质以及平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据平移变换的性质找出对应点即可求解； （2）根据旋转的性质找出对应点即可求解； （3）根据菱形的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）如图所示：即为所求； （3）当为对角线时，如图所示：点； 当为菱形边时，如图所示：位置， ∵， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴点， 综上可得：符合条件的点的坐标为，， 故答案为：，． 18．如图所示，在中，对角线与相交于点O，过点O任作一条直线分别交，于点E，F． (1)求证：； (2)连接，直接写出当与满足什么关系时，四边形是菱形？ 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，四边形是菱形，理由见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定． （1）由四边形是平行四边形，可得，，则可证得，继而证得； （2）由，可得，，可征得四边形是平行四边形，由，根据菱形的判定即可证的结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：当时，四边形是菱形，理由如下： ， ，， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形． 19．如图，在矩形中，以点B为圆心，以为半径画弧，交边于点E，连接，作于点F． (1)求证：； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用． （1）由在矩形中，，，易证得，又由，可得，然后由，利用即可判定：，最后由全等三角形性质可得结论； （2）利用勾股定理可求得的长，再由，可得，继而求得答案． 【详解】（1）证明：在矩形中，，，， ， ， ， 在和中， ， ； ， ； （2）由题意可得， 在中，， ， ， ，， 四边形的周长． 20．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标为，正比例函数的图象交于点，过点作的垂线交于点，且满足． (1)求点B的坐标； (2)点在线段上，横坐标为，设的面积为，请用含的式子表示． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，三角形全等的判定和性质，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积． （1）设，通过证得，得到，，即可求得，，从而求得； （2）求得直线的解析式，从而表示出的坐标，然后利用三角形面积公式即可得到用含的式子表示． 【详解】（1）解：设， ， ， ，， ， ，， 点的坐标为， ， ， ， ，， ， ； （2）解：设直线的解析式为， ，， ，解得， 直线的解析式为， 点在线段上，横坐标为， ， ． 21．如图，已知中，点是边上一点，取的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当与满足条件______时，四边形是矩形（直接填空）． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由平行线的性质得，，再证明，得，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由矩形的判定定理即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ，， 是的中点， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：当与满足条件时，四边形是矩形，理由如下： 由（1）可知，四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、平行线的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 22．【基础方法】 （1）小明遇到这样一个问题：如图1、在正方形中，点分别为边上的点，，连接，求证：小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图），此时即是，在图2中，请依据小明的思考过程，求的度数；    【方法应用】 （2）如图3，在四边形中，，，，是上一点，若，，求的长度； 【应用拓展】 （3）如图4，已知线段，，以为边作正方形，连接．当线段的值最大时，求此时正方形的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）正方形的面积为． 【分析】（1）根据旋转只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得，然后求出，再根据计算即可得解； （2）过点作交的延长线于点可得四边形是正方形，然后设，根据上面的结论表示出，再求出，然后在中, 利用勾股定理列式进行计算即可得解； （3）过点作，取，连接，，推导出，由可证，可得，当三点共线时，取最大值，据此求解即可． 【详解】解：（1）根据旋转知：， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即； （2）过点作交的延长线于点，如图，    ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 根据上面结论可知， 设， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）如图，过点作，取，连接，，如图，    ∵，，∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴线段有最大值时，只需最大即可， 在中，， 当三点共线时，取最大值，此时， 在等腰直角三角形中，，， 作于点M，      则． 在中，， ∴正方形的面积． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 23．【问题呈现】如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点P旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段之间的数量关系． (1)【问题初探】爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论．请你写出线段之间的数量关系，并说明理由； (2)【问题引申】如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段之间的数量关系，并说明理由； (3)【问题解决】如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为8，点P运动至与A点距离恰好为7的位置，且旋转至时，求的长度． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)的值为4或2 【分析】（1）由正方形，可得，，证明，则，进而可得； （2）如图2，取的中点T，连接，由四边形为的菱形，可得，，证明是等边三角形，是等边三角形，证明，则，； （3）由题意知，分靠近点B，靠近点D，两种情况求解；①当点P靠近点B时，如图中，过点A作于H，连接，作交于G．由（2）可知，是等边三角形，证明是等边 三角形，，由勾股定理得，，由勾股定理得，，则，由（2）可知，，则，根据，求解作答；②当点P靠近点D时，如图，同理①，求解作答即可． 【详解】（1）解：，理由如下； ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下； 如图2，取的中点T，连接， ∵四边形为的菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意知，分靠近点B，靠近点D，两种情况求解； ①当点P靠近点B时，如图中，过点A作于H，连接，作交于G． 由（2）可知，是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形，则， ∴，即， ∵， ∴， 由勾股定理得，， 由勾股定理得，， ∴， 由（2）可知，， ∴， ∴； ②当点P靠近点D时，如图， 同理①，可得，， ∵， ∴， 综上所述，满足条件的的值为4或2． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一单元 特殊的平行四边形 （北师大版） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列性质中正方形具有而菱形没有的是（　　） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．一条对角线平分一组对角 2．在数学活动课上，小明准备用一根绳子检查一个书架是否为矩形．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，下列验证方法中错误的为（    ） A． B． C． D． 3．顺次连结一个四边形各边的中点所得的四边形是矩形，那么这个四边形一定是（    ） A．矩形 B．菱形 C．对角线相等的四边形 D．对角线垂直的四边形 4．如图，在菱形中，M，N分别在，上，且， 与交于点O，连接，若，则的度数为（    ） A．28° B．52° C．62° D．72° 5．如图，已知菱形的周长为8，若，则对角线的长为（      ） A． B．3 C．4 D． 6．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，若点的横坐标是8，为点的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．如图，菱形的边长为，，点在对角线上，点在边上，，点为中点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，以点C为圆心，以长为半径作弧，交边于点，再分别以点A和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，作射线交边于点D，点E是的中点，且，则的长为（   ） A．4 B． C． D． 9．如图，已知，线段长为，两端分别在上滑动，以为边在的右侧作正方形，连接，则的最大值为（    ）    A． B．6 C． D．8 10．如图，在正方形中，点M，N分别为边，的点，且，与交于点P，连接，点Q为的中点，连接，，若，，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，在菱形中，对角线，，过点A作于点E，则为 ． 12．如图，是边长为的正方形的对角线上一点，且为上任一点，，则的值是 ． 13．如图，正方形和正方形中，、、三点共线，点在上，，，是的中点，那么的长是 ． 14．如图，正方形的边长为5，点M在延长线上，，作交延长线于点N，则的长为 ． 15．如图，l为矩形的一条对称轴，，，E为射线上的动点，将沿折叠得，当恰好落在l上时，的长是 ．    三、解答题 （共75分） 16．（9分） 如图，在中，对角线，延长到点E，使，连接，交于点F．连接．      (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求的长． 17．（9分）在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)先将向右平移3个单位，得到，画出； (2)再将绕原点顺时针旋转，得到，画出； (3)若点为轴上一点，为平面内一点，以，、、Q四个点为顶点的四边形为菱形，直接写出符合条件的点的坐标为 ． 18．（9分）如图所示，在中，对角线与相交于点O，过点O任作一条直线分别交，于点E，F． (1)求证：； (2)连接，直接写出当与满足什么关系时，四边形是菱形？ 19．（9分）如图，在矩形中，以点B为圆心，以为半径画弧，交边于点E，连接，作于点F． (1)求证：； (2)若，，求四边形的周长． 20．（9分）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标为，正比例函数的图象交于点，过点作的垂线交于点，且满足． (1)求点B的坐标； (2)点在线段上，横坐标为，设的面积为，请用含的式子表示． 21．（9分）如图，已知中，点是边上一点，取的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当与满足条件______时，四边形是矩形（直接填空）． 22．（9分）【基础方法】 （1）小明遇到这样一个问题：如图1、在正方形中，点分别为边上的点，，连接，求证：小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图），此时即是，在图2中，请依据小明的思考过程，求的度数；    【方法应用】 （2）如图3，在四边形中，，，，是上一点，若，，求的长度； 【应用拓展】 （3）如图4，已知线段，，以为边作正方形，连接．当线段的值最大时，求此时正方形的面积． 23．（12分）【问题呈现】如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点P旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段之间的数量关系． (1)【问题初探】爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论．请你写出线段之间的数量关系，并说明理由； (2)【问题引申】如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段之间的数量关系，并说明理由； (3)【问题解决】如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为8，点P运动至与A点距离恰好为7的位置，且旋转至时，求的长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$