专题04 一元二次方程中含参数问题的五种考法-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（湘教版）

专题04 一元二次方程中含参数问题的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用一元二次方程的定义求参数 2 类型二、一元二次方程的解求参数或代数式的值 3 类型三、根据一元二方程根的情况求参数 5 类型四、利用一元二次方程根与系数的关系求参数 8 类型五、一元二次方程根与系数中的参数与新定义型问题 12 压轴能力测评（15题） 16 解题知识必备 1. 一元二次方程的概念 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 要点：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 2. 一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 3. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中，（1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0；（3）方程没有实数根﹤0. 4.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是，那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 压轴题型讲练 类型一、利用一元二次方程的定义求参数 例1.（23-24八年级下·浙江宁波·期末）已知关于x的方程为一元二次方程，则m的值是 ． 【变式训练1】（23-24八年级下·广西百色·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 【变式训练2】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则k的值为 ． 【变式训练3】（24-25九年级上·全国·课后作业）若是关于x的一元二次方程，则 ． 【变式训练4】（23-24九年级上·四川内江·期中）已知是关于的一元二次方程，则等于 ． 类型二、一元二次方程的解求参数或代数式的值 例2.1.（2024·江苏镇江·二模）已知是方程的一个根，则实数c的值是 ． 例2.2. （2024·青海玉树·三模）若是关于的方程的解，则的值为 ． 【变式训练1】（2024·山东济南·二模）已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值是 ． 【变式训练2】（2024·四川南充·中考真题）已知m是方程的一个根，则的值为 ． 【变式训练3】（2024·江苏常州·二模）已知m为方程 的一个根，则代数式的值是 ． 【变式训练4】（2024·福建·模拟预测）已知为方程的根，那么的值为 类型三、根据一元二方程根的情况求参数 例3. （23-24八年级下·江苏苏州·期中） 已知，是关于的方程的两个不等实数根． (1)求实数的取值范围： (2)已知等腰的一边长为，若、恰好是另外两边长，求这个三角形另外两边的长． 【变式训练1】（23-24九年级下·北京·阶段练习）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)写出一个满足条件的m的值，使方程的两根为整数根，并求此时方程的两根． 【变式训练2】（23-24九年级上·广东广州·期末）已知关于的一元二次方程有两个不等的实数根． (1)求的取值范围： (2)若方程有一个根为，求方程的另一根． 【变式训练3】（23-24九年级上·河南洛阳·期末）已知关于的方程，其中，，是的三边长． (1)若是方程的一个根，则是 ； (2)若方程有两个相等的实数根，则是 ； (3)若是等边三角形，试求方程的根． 类型四、利用一元二次方程根与系数的关系求参数 例4. （23-24八年级下·四川成都·期中）已知关于的方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【变式训练1】（2024·四川南充·三模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围， (2)当时，设方程的两个实数根分别为，求的值． 【变式训练2】（23-24八年级下·山东淄博·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根为，且，求m的值． 【变式训练3】（23-24八年级下·广西贺州·期中）阅读材料： 材料：关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数a，b，c有如下关系：，； 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)类比：一元二次方程的两个实数根为m，n，则 ； ； (2)应用：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； (3)提升：已知实数s，t满足，且，求的值． 类型五、一元二次方程根与系数中的参数与新定义型问题 例5：（23-24九年级上·福建厦门·期中）定义：如果一元二次方程满足．那么我们称这个方程为“凤凰”方程． (1)已知是“凤凰”方程．且有两个相等的实数根．试求a与c的关系； (2)已知关于x的方程是“凤凰”方程，且两个实数根都是整数．求整数m的值． 【变式训练1】（23-24九年级上·江苏镇江·期中）定义：若是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． (1)判断：方程______“差积方程”（填“是”或“不是”）； (2)已知关于的方程， ①证明：不论取何值，方程总有实数根； ②若该方程是“差积方程”，求的值． 【变式训练2】（22-23九年级上·山西临汾·阶段练习）请认真阅读，并根据理解，完成相应任务： 阅读材料： 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”，例如：和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． 任务一： （1）根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有______；（只填写序号即可） ①；②；③． 任务二： （2）关于的一元二次方程与为“同伴方程”，求的值； 任务三： （3）若关于的一元二次方程（）同时满足和，且与互为“同伴方程”，求的值． 【变式训练3】（23-24八年级下·山东淄博·期末）定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． (1)直接写出方程的衍生点的坐标为______； (2)已知关于的方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ②求该方程衍生点的坐标； ③已知不论为何值，关于的方程的䘕生点始终在直线上，求b，c的值． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（23-24八年级下·浙江·期末）已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为（　　） A． B．2 C．2或 D．4或 2．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）关于的方程是一元二次方程，则的值是（    ） A． B．2 C． D．4 3．（2024·辽宁·模拟预测）已知a是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（        ） A． B． C．2024 D．2028 4．（23-24八年级下·山东烟台·期末）关于的方程有两个实数根，则的取值范围为（    ） A．且 B． C．且 D．且 二、填空题 5．（23-24九年级上·湖南永州·期中）若是关于的一元二次方程，则 ． 6．（2024·四川眉山·模拟预测）若关于x的一元二次方程有一个根为，则k的值为 ． 7．（2024·山东临沂·模拟预测）若是关于x的方程的解，则的值为 ． 8．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）若一元二次方程 有实数根，则m 的取值范围是 ． 三、解答题 9．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）若a是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值． 10．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，方程有两个不相等的实数根． (2)在（1）的结果中，取满足m的范围的最小整数m，并算出该方程的根． 11．（23-24九年级上·福建泉州·期中）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为，，且，求m的值． 12．（22-23九年级上·湖北十堰·阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个实数根，． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根，满足，求的值． 13．（23-24九年级上·四川乐山·期中）已知关于x的方程． (1)当k是为何值时，此方程有实数根； (2)若此方程的两个实数根、满足：，求k的值． 14．（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证∶不论m取何实数，此方程总有两个实数根． (2)若平行四边形的两边的长是关于该方程的两个实数根． ①当m为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长； ②若的长为3，那么平行四边形的周长是多少？ 15．（23-24八年级下·山东济南·期末）法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、，那么两个根的关系为 ，．习惯上把这个结论称作“韦达定理”． 小明在探究二次项系数为1的一元二次方程根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：，．借此结论，小明进行了对“倍根方程”和“方根方程”的根的特征的探究． 定义： 倍根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． 方根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”． (1)请你判断：方程是______（填“倍根方程”或“方根方程”）； (2)若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值； (3)根据探究，小明想设计一个一元二次方程，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一元二次方程中含参数问题的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用一元二次方程的定义求参数 2 类型二、一元二次方程的解求参数或代数式的值 3 类型三、根据一元二方程根的情况求参数 5 类型四、利用一元二次方程根与系数的关系求参数 8 类型五、一元二次方程根与系数中的参数与新定义型问题 12 压轴能力测评（15题） 16 解题知识必备 1. 一元二次方程的概念 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 要点：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 2. 一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 3. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中，（1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0；（3）方程没有实数根﹤0. 4.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是，那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 压轴题型讲练 类型一、利用一元二次方程的定义求参数 例1.（23-24八年级下·浙江宁波·期末）已知关于x的方程为一元二次方程，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，列出关于的一元二次方程和一元一次不等式，解之即可． 【详解】解：根据题意得： ， 解得：，， ， 解得：， 即， 故答案为：． 【变式训练1】（23-24八年级下·广西百色·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，得到关于a的不等式，解之即可. 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴的系数不为0，即， ∴， 故选：A. 【变式训练2】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，象这样的方程叫做一元二次方程．根据未知数的最高次数等于2且二次项系数不等于0列式求解即可． 【详解】由题意，得且， 解得 故答案为：． 【变式训练3】（24-25九年级上·全国·课后作业）若是关于x的一元二次方程，则 ． 【答案】0 【分析】此题考查一元二次方程的定义，熟记定义是解题的关键，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程是一元二次方程，根据定义求出m的值即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴且， 解得． 故答案为：0． 【变式训练4】（23-24九年级上·四川内江·期中）已知是关于的一元二次方程，则等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，理解定义是解题的关键． 根据一元二次程的定义得出关于a的不等式组，求出a的值即可． 【详解】解：由题意得， 解得：． 故答案为：． 类型二、一元二次方程的解求参数或代数式的值 例2.1.（2024·江苏镇江·二模）已知是方程的一个根，则实数c的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，把代入即可求出c的值． 【详解】解：把代入， 可得出， 解得：， 故答案为：2． 例2.2. （2024·青海玉树·三模）若是关于的方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解的定义、代数式求值，根据方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入原方程得出，整理为，整体代入计算即可，熟练掌握方程的解的定义、代数式求值是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式训练1】（2024·山东济南·二模）已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的一个根是，将代入原方程得到关于的一元一次方程进而即可解答．本题考查了一元二次方程的根，一元一次方程的解，理解一元二次方程的根是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴将代入方程得：， 解得：， 故答案为：． 【变式训练2】（2024·四川南充·中考真题）已知m是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据m是方程的一个根，可得出，再化简代数式，整体代入即可求解． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴ ， 故答案为：． 【变式训练3】（2024·江苏常州·二模）已知m为方程 的一个根，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解等知识点，先根据方程解的定义，化简关于m的方程，然后整体代入求值，掌握方程解的定义和整体代入的思想方法是解决本题的关键． 【详解】∵m为方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式训练4】（2024·福建·模拟预测）已知为方程的根，那么的值为 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义；将方程的根代入方程，化简得，将代数式变形，整体代入求值即可． 【详解】∵为方程的根， ∴， ∴， ∴原式 ． 故答案为：． 类型三、根据一元二方程根的情况求参数 例3. （23-24八年级下·江苏苏州·期中） 已知，是关于的方程的两个不等实数根． (1)求实数的取值范围： (2)已知等腰的一边长为，若、恰好是另外两边长，求这个三角形另外两边的长． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与判别式之间的关系，三角形三边之间的关系，等腰三角形的定义，解一元一次不等式，解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的根与判别式之间的关系是解题的关键． （1）由根的判别式即可得出答案； （2）由题意得出方程的一个根为，将代入求出的值，再根据三角形三边之间的关系进行判断，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：； （2）解：由题意可知：， 只能取或，即是方程的一个根， 将代入得：， 解得：或， 当时，方程的另一个根为，此时三角形三边分别为，，，能构成一个等腰三角形； 当时，方程的另一个根为，此时三角形三边分别为，，，不能构成一个三角形； 综上所述，这个三角形另外两边的长分别为，． 【变式训练1】（23-24九年级下·北京·阶段练习）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)写出一个满足条件的m的值，使方程的两根为整数根，并求此时方程的两根． 【答案】(1) (2)，，（答案不唯一） 【分析】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及解一元二次方程． （1）根据一元二次方程的定义及根的判别式，建立关于的一元一次不等式求解，即可解题； （2）根据题意，确定的值，再解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， ， ； （2）解：当时， 一元二次方程为，有， 解得，，满足方程的两根为整数根．（答案不唯一） 【变式训练2】（23-24九年级上·广东广州·期末）已知关于的一元二次方程有两个不等的实数根． (1)求的取值范围： (2)若方程有一个根为，求方程的另一根． 【答案】(1)且 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根的判别式的作用是解本题的关键． （1）根据题意可得根的判别式和一元二次方程的定义，列出不等式组求解即可； （2）把代入到关于的一元二次方程求出值，解出一元二次方程的解即可． 【详解】（1）关于的一元二次方程有两个不等的实数根， 且， 故答案为：的取值范围是且； （2）把代入到关于的一元二次方程中，得 ， ， ， ，， 故答案为：方程的另一根是． 【变式训练3】（23-24九年级上·河南洛阳·期末）已知关于的方程，其中，，是的三边长． (1)若是方程的一个根，则是 ； (2)若方程有两个相等的实数根，则是 ； (3)若是等边三角形，试求方程的根． 【答案】(1)等腰三角形 (2)直角三角形 (3)， 【分析】题目主要考查一元二次方程的解及因式分解解一元二次方程，等边三角形及三角形的分类，理解题意，掌握一元二次方程的相关性质是解题关键． （1）将方程的根代入化简得出，即可确定三角形的形状； （2）根据方程根的情况利用判别式化简求解即可； （3）根据等边三角形的性质得出，然后代入方程求解即可． 【详解】（1）解：当时， ，即， ∴是等腰三角形， 故答案为：等腰三角形； （2）是直角三角形 理由如下： ∵方程有两个相等的实数根， ， ， ， 是直角三角形； （3）是等边三角形， ， ∴原方程变形为， ， 方程左边分解因式，得， 或， 解得，． 类型四、利用一元二次方程根与系数的关系求参数 例4. （23-24八年级下·四川成都·期中）已知关于的方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由关于的方程有两个实数根，得到判别式非负，解不等式即可得到答案； （2）根据根与系数关系得到，代入，解方程得或5，再由（1）中即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得， ，解得； （2）解：由根与系数的关系得， ∴ ∵， ∴， ，解得或5， 由（1）知，则． 【点睛】本题考查一元二次方程综合，涉及由一元二次方程根的情况求参数范围、解不等式、一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程等知识，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解决问题的关键． 【变式训练1】（2024·四川南充·三模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围， (2)当时，设方程的两个实数根分别为，求的值． 【答案】(1) (2)13 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式． （1）根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）时，方程变为，利用根与系数的关系得到，，再将变形代入求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得； （2）解：时，方程变为， 设方程的两个实数根分别为，， ，， ． 【变式训练2】（23-24八年级下·山东淄博·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根为，且，求m的值． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据根的判别式得出，据此可得答案； （2）根据根与系数的关系得出，，代入得出关于的方程，解之可得答案． 本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，． 【详解】（1）证明： ， ∵ 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由根与系数的关系，得，， 由，得， 解得． 【变式训练3】（23-24八年级下·广西贺州·期中）阅读材料： 材料：关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数a，b，c有如下关系：，； 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)类比：一元二次方程的两个实数根为m，n，则 ； ； (2)应用：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； (3)提升：已知实数s，t满足，且，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)的值为 【分析】本题考查根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系及巧妙使用整体思想是解题的关键． （1）利用根与系数的关系即可解决问题． （2）将所给代数式转化为m与n的和与积的形式即可解决问题． （3）将s和t看作方程的两个根即可解决问题． 【详解】（1）解：，， 故答案为：， （2）解：根据题意，一元二次方程的两个实数根为m，n， ∴， ∴； （3）解：∵实数s，t满足，且， ∴实数s，t是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴ ． 类型五、一元二次方程根与系数中的参数与新定义型问题 例5：（23-24九年级上·福建厦门·期中）定义：如果一元二次方程满足．那么我们称这个方程为“凤凰”方程． (1)已知是“凤凰”方程．且有两个相等的实数根．试求a与c的关系； (2)已知关于x的方程是“凤凰”方程，且两个实数根都是整数．求整数m的值． 【答案】(1) (2)0或2或4或6． 【分析】本题考查了根的判别式，公式法解一元二次方程，正确理解“凤凰”方程的定义是解题的关键． （1）根据有两个相等的实数根得到，根据是“凤凰”方程得到，则，代入整理得，即可得到结论； （2）根据“凤凰”方程的定义列式求出，然后求出，可得，，再根据两个实数根都是整数可得整数m的值． 【详解】（1）解：∵有两个相等的实数根， ∴， ∵是“凤凰”方程． ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 即； （2）解：方程整理得：， ∵此方程是“凤凰”方程， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵两个实数根都是整数， ∴或， ∴或或或， ∴整数m的值为0或2或4或6． 【变式训练1】（23-24九年级上·江苏镇江·期中）定义：若是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． (1)判断：方程______“差积方程”（填“是”或“不是”）； (2)已知关于的方程， ①证明：不论取何值，方程总有实数根； ②若该方程是“差积方程”，求的值． 【答案】(1)不是 (2)①见解析；②或． 【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，根的判别式，理解新定义是解题的关键． （1）分别根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可求解； （2）①利用一元二次方程根的判别式列式计算即可求解； ②先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∵， ∴方程不是差积方程； 故答案为：不是； （2）解：①∵， ∴， ∴关于的方程不论取何值，方程总有实数根； ②∵， ∴， 解得：， ∵是差积方程， ∴， 即或． 解得：或． 【变式训练2】（22-23九年级上·山西临汾·阶段练习）请认真阅读，并根据理解，完成相应任务： 阅读材料： 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”，例如：和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． 任务一： （1）根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有______；（只填写序号即可） ①；②；③． 任务二： （2）关于的一元二次方程与为“同伴方程”，求的值； 任务三： （3）若关于的一元二次方程（）同时满足和，且与互为“同伴方程”，求的值． 【答案】（1）①②；（2）1或；（3）或． 【分析】（1）利用题中的新定义判断即可； （2）根据题中的新定义列出有关于的方程，求出方程的解即可得到的值； （3）求得两个方程的根，根据“同伴方程”的定义即可得出的值． 【详解】解：（1）① 解得：，， ②， 解得：， ③， 解得， 所以，属于“同伴方程”的有①② 故答案为：①②； （2）一元二次方程的解为， 当相同的根是时，则，解得； 当相同的根是时，则，解得； 综上，的值为1或； （3）∵关于的一元二次方程（） 同时满足和， ∴关于的一元二次方程的两个根是， ∵的两个根是， ∵关于的一元二次方程（）与互为“同伴方程”， ∴或． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解，根的判别式，熟练掌握新定义是解题的关键． 【变式训练3】（23-24八年级下·山东淄博·期末）定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． (1)直接写出方程的衍生点的坐标为______； (2)已知关于的方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ②求该方程衍生点的坐标； ③已知不论为何值，关于的方程的䘕生点始终在直线上，求b，c的值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②；③ 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程． （1）解方程得到方程的解，根据衍生点的定义即可得到点M的坐标； （2）①根据判别式即可判断方程的根的情况；②解方程得到方程的解，根据衍生点的定义即可得到点M的坐标；③将变形，可得过定点，根据题意方程的两个根为，根据根与系数的关系即可求解． 【详解】（1）解： ∴ ∴该方程的衍生点M的坐标为 （2）①∵方程为， ∴ ， ∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ② ∴， ∴该方程的衍生点M的坐标为； ③解∶直线，过定点， ∴两个根为， ∴， ∴． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（23-24八年级下·浙江·期末）已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为（　　） A． B．2 C．2或 D．4或 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义，由一元二次方程的定义可得，由题意又知，联立不等式组，求解可得答案． 【详解】解：根据题意可得： ， 解得． 故选：A． 2．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）关于的方程是一元二次方程，则的值是（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义解方程求解以及不等式即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得出且 解得：， 故选：A． 3．（2024·辽宁·模拟预测）已知a是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（        ） A． B． C．2024 D．2028 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，以及代数式求值，根据已知可得，整体代入，即可求解． 【详解】解：依题意得：， 即：， ， 故选：D． 4．（23-24八年级下·山东烟台·期末）关于的方程有两个实数根，则的取值范围为（    ） A．且 B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、一元二次方程根与判别式的关系等知识点，掌握一元二次方根的判别式点是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件和一元二次方程根情况可得且，然后解不等式组即可． 【详解】解：根据题意得：解得：且． 故选C． 二、填空题 5．（23-24九年级上·湖南永州·期中）若是关于的一元二次方程，则 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次幂是2次的整式方程，特别注意二次项系数不为0，正确把握定义是解题关键．直接利用一元二次方程的定义知道二次项系数不为0同时x的最高次幂为2，得出m的值进而得出答案． 【详解】解：由题意知：且， 解得， 故答案为：． 6．（2024·四川眉山·模拟预测）若关于x的一元二次方程有一个根为，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．把代入，再结合，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程有一个根为， ∴，， 解得：． 故答案为： 7．（2024·山东临沂·模拟预测）若是关于x的方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入原方程得到，再根据，利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）若一元二次方程 有实数根，则m 的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义得出，根据一元二次方程有实根，得出，解不等式即可求解．本题考查了一元二次方程，，，为常数）的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 【详解】解：一元二次方程有实数根， ，且， 解得：且， 故答案为：且． 三、解答题 9．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）若a是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，将代入原方程，变形得，再将代数式去括号展开，将整体代入展开后的代数式，求解即可，解题关键是利用整体代入法． 【详解】解：是关于x的一元二次方程的根， ， ， ． 10．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，方程有两个不相等的实数根． (2)在（1）的结果中，取满足m的范围的最小整数m，并算出该方程的根． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解答的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式列关于m的不等式，然后解不等式即可； （2）求得最小整数，进而得方程，然后解方程即可． 【详解】（1）解：∵x的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 故时，方程有两个不相等的实数根； （2）解：由得最小整数， ∴方程为， 解得，． 11．（23-24九年级上·福建泉州·期中）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为，，且，求m的值． 【答案】(1) (2)m的值为 【分析】此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，旁熟练掌握各自的性质是解本题的关键。 (1)根据方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出的范围即可; (2)已知等式利用完全平方公式化简，再利用根与系数的关系将各自的值代入计算即可求出的值 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，即， 整理得：， 解得： ； （2）∵该方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∵， ∴，即， 整理得：，即， 解得：（舍去）或， 则m的值为． 12．（22-23九年级上·湖北十堰·阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个实数根，． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根，满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系： （1）根据判别式可知，据此求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，再由完全平方公式得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）． 13．（23-24九年级上·四川乐山·期中）已知关于x的方程． (1)当k是为何值时，此方程有实数根； (2)若此方程的两个实数根、满足：，求k的值． 【答案】(1)当时，方程有实数根 (2) 【分析】 本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元一次方程不等式，解题的关键是：牢记“当时，方程有实数根”；根据根与系数的关系结合找出关于k的一元一次方程． （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出、，结合k的取值范围可得出、均为正数，根据可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值． 【详解】（1）解：关于x的方程有实数根， ， 解得：， 当时，方程有实数根． （2）解：方程的两个实数根为、， ， ， 、均为正数， ，即， 解得： ． 14．（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证∶不论m取何实数，此方程总有两个实数根． (2)若平行四边形的两边的长是关于该方程的两个实数根． ①当m为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长； ②若的长为3，那么平行四边形的周长是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)①2②10 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，则．也考查了根的判别式和菱形的性质． （1）计算判别式的值，然后利用非负数的性质得到，从而得到结论； （2）①根据菱形的性质得到，则，从而得到，然后解方程可确定菱形的边长．②先设，根据一元二次方程根与系数的关系得，，消去，求得，从而可求出平行四边形的周长 【详解】（1）证明：∵ ， ∴无论m取何值，方程总有两个实数根； （2）解：①∵平行四边形是菱形， ∴， ∴，即，解得， 方程化为，解得， ∴菱形的边长为2． ②设， ∵且AB，AD的长是方程的两个实数根． ∴，， ∴消去，得，即， ∴平行四边形的周长为 15．（23-24八年级下·山东济南·期末）法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、，那么两个根的关系为 ，．习惯上把这个结论称作“韦达定理”． 小明在探究二次项系数为1的一元二次方程根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：，．借此结论，小明进行了对“倍根方程”和“方根方程”的根的特征的探究． 定义： 倍根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． 方根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”． (1)请你判断：方程是______（填“倍根方程”或“方根方程”）； (2)若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值； (3)根据探究，小明想设计一个一元二次方程，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？ 【答案】(1)倍根方程 (2)c的值是8 (3)方程的两个根是，或， 【分析】（1）求出方程的解，再判断是否为倍根方程； （2）设方程的两个根为，，由倍根方程”的定义可知，利用根与系数的关系即可求得的值； （3）设一元二次方程，的两个实数根分别为、，由题意可知，或，，即可得到方程的根是2、4或、． 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的一般形式，新定义“倍根方程”或“方根方程”的意义，理解“倍根方程”或“方根方程”的意义和掌握根与系数的关系是解决问题的关键． 【详解】（1）解：解方程得： ，， ， 方程是倍根方程； 故答案为：“倍根方程”； （2）解：程的两个根为，， 一元二次方程是“倍根方程”， ， ，， ，， ， ； （3）解：元二次方程，的两个实数根分别为、， 这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”， ，， ， 解得或（舍去）， ， 或，， ， 解得或（舍去）， ， 这个方程的根是2、4或、． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$