专题03 解一元二次方程的八种考法-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（湘教版）

专题03 解一元二次方程的八种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用直接开平方法解一元二次方程的复合型 2 类型二、用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 3 类型三、配方法的应用 7 类型四、用公式法求解一元二次方程 11 类型五、用因式分解法（除十字相乘法）求解一元二次方程 13 类型六、用十字相乘法求解一元二次方程 15 类型七、与新定义型有关的求解一元二次方程 18 类型八、换元法解一元二次方程 21 压轴能力测评（12题） 25 解题知识必备 知识点一、直接开方法解一元二次方程 直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. 要点：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根. 知识点二、配方法解一元二次方程 配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. 要点：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 知识点三．公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，. 2.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x的一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根. 知识点四.用因式分解法解一元二次方程 （1）将方程右边化为0； （2）将方程左边分解为两个一次式的积； （3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 压轴题型讲练 类型一、利用直接开平方法解一元二次方程的复合型 例1. （23-24九年级上·江西萍乡·期末）解方程： 【变式训练1】（23-24九年级上·吉林白山·期末）用适当的方法解方程： 【变式训练2】（23-24九年级上·江苏常州·期中）解方程：． 【变式训练3】（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）用适当的方法解方程： 类型二、用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 例2. （23-24八年级下·山东烟台·期中）配方法解一元二次方程：． 【变式训练1】（23-24八年级下·安徽安庆·期末）解方程：（配方法解）． 【变式训练2】（23-24八年级上·上海青浦·期中）用配方法解一元二次方程： ． 【变式训练3】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）用配方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4) 【变式训练4】（2024·江西吉安·三模）小明解一元二次方程的过程如下，请你仔细阅读，并回答问题： 解：原方程可变形为，（第一步） ∴，（第二步） ∴，（第三步） ∴，（第四步） ∴，（第五步） ∴，．（第六步） (1)小明解此方程使用的是______法；小明的解答过程是从第______步开始出错的． (2)请写出此题正确的解答过程． 类型三、配方法的应用 例3. （23-24九年级上·甘肃兰州·阶段练习）阅读理解： 一位同学将代数式变形为，得到后分析发现，那么当时，此代数式有最小值是4． 请同学们思考以下问题： (1)已知代数式，此代数式有最 值（填“大 ”或“小 ”），且值为 ． (2)已知代数式，此代数式有最 值（填“大 ”或“小 ”），且值为 ． (3)通过阅读材料分析代数式的最值情况，写出详细过程及结论． 【变式训练1】（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）阅读并解答问题：用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最大值1． (1)当_______时，代数式有最_______（填写“大”或“小”）值，为______． (2)代数式有最大值或最小值吗？若有，请求出这个最大值或最小值． 【变式训练2】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）（1）当__________时，多项式的最小值为__________． （2）当__________时，多项式的最大值为__________． （3）当、为何值时，多项式取最小值？并求出这个最小值． 【变式训练3】（2024·河北石家庄·一模）（1）发现，比较4m与 的大小， 填“>” “<”或“=”： 当时， ； 当时， ； 当时， ； （2）论证，无论m取什么值，判断4m与有怎样的大小关系?试说明理由； （3）拓展，试通过计算比较．与的大小． 【变式训练4】（23-24八年级下·山东济南·期末）求代数式的最小值时，我们通常运用“”这个结论对代数式进行配方来解决．比如，，，的最小值是，试利用“配方法”解决下列问题：    (1)填空：（______）______； (2)如图1所示的是一组邻边长分别为，的长方形，其面积为；如图2所示的是边长为的正方形，其面积为，，请比较与的大小，并说明理由． (3)如图3，一个地块一边靠墙（墙足够长），另外三边用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边加建宽的门（用其他材料）．设，矩形的面积为．当为何值时，矩形场地的面积最大?最大值为多少平方米? 类型四、用公式法求解一元二次方程 例4.（23-24八年级下·吉林长春·期中）解方程：． 【变式训练1】（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）用公式法解方程：． 【变式训练2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）解方程： 【变式训练3】（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 类型五、用因式分解法（除十字相乘法）求解一元二次方程 例5．（23-24九年级·江苏·假期作业）解关于的方程（因式分解方法）： (1)； (2)． 【变式训练1】（2023八年级下·浙江·专题练习）用因式分解解方程：． 【变式训练2】（2024·陕西西安·模拟预测）解方程：． 【变式训练3】（23-24八年级下·广西崇左·期中）解方程： (1)； (2)． 类型六、用十字相乘法求解一元二次方程 例6.（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ②交叉相乘，验中项：    ③横向写出两因式： （2）根据乘法原理，若，则或 ，则方程可以这样求解： 方程左边因式分解得 或 试用上述这种十字相乘法解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练1】（2024·广东广州·二模）解方程：． 【变式训练2】（23-24八年级下·山东烟台·期中）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式： （2）若，则或，所以方程可以这样求解： 方程左边分解因式得 ∴或 ∴， 上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程： (1)； (2)． 【变式训练3】（23-24九年级上·全国·课后作业）（1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答： 解：①坚分二次项与常数项：． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）：    ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法． （2）根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②； ③； ④． 类型七、与新定义型有关的求解一元二次方程 例题：（23-24八年级下·山东泰安·期末）定义新运算：规定，例如，若，则x的值为 ． 【变式训练1】（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：例如：，．若，则的值为 ． 【变式训练2】（2024·山东聊城·二模）对于实数，，先定义一种新运算“”如下：，若，则实数的值为 ． 【变式训练3】（23-24九年级上·广东珠海·阶段练习）对于实数、，定义运算“※”：，如果，则x的值为 ． 类型八、换元法解一元二次方程 例8. （23-24九年级上·河南信阳·开学考试）阅读下列例题的解答过程： 解方程：． 解：设，则原方程可以化为． ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 当时，， ∴； 当时，， ∴． ∴原方程的解为，． 请仿照上面的例题解方程：． 【变式训练1】（23-24九年级上·广西南宁·开学考试）阅读下面的材料，解答后面的问题． 材料：解方程． 解：设，原方程变为，解得或． 当时，即，解得；当时，即，解得． 综上所述，原方程的解为，，，． 问题： (1)上述解答过程采用的数学思想方法是__________． A．加减消元法    B．代入消元法    C．换元法    D．待定系数法 (2)采用类似的方法解方程：． 【变式训练2】（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为，解得，． 当时，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 由原方程得到的过程，利用换元法达到了简化方程的目的，体现了整体转化的数学思想． 阅读后解答问题： (1)利用上述材料中的方法解方程：； (2)已知一元二次方程的两根分别为，，则方程的两根分别是什么？请说明理由． 【变式训练3】（23-24九年级上·广东汕头·期中）综合实践：“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式．方程是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为， 解这个方程得：，， 当时，，； 当时，， ， 所以原方程有四个根：， ， ． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． 请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题： (1)解方程：． (2)若，求的值． 压轴能力测评（12题） 一、单选题 1．（23-24九年级上·广东湛江·期末）用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）在实数范围内定义一种运算“”，使，则方程的解为（　　） A． B．， C． D． 二、填空题 3．（2024·山东泰安·二模）关于y的方程的解是 ． 4．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）已知代数式，则A的最小值为 ． 三、解答题 5．（23-24九年级上·浙江台州·期中）解下列方程： 6．（23-24九年级上·陕西西安·期中）解方程：． 7．（23-24九年级上·山东泰安·开学考试）解方程： (1)； (2)． 8．（24-25九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)． 9．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）选用适当方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 10．（23-24九年级上·吉林长春·期末）阅读材料，并回答问题． 小明在学习一元二次方程时，解方程的过程如下： 解：． ．① ．② ．③ ．④ ．⑤ ．⑥ 问题： (1)上述过程中，从 步开始出现了错误（填序号）； (2)发生错误的原因是： ； (3)写出这个方程的解： ． 11．（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）阅读材料，并解答问题： 数学运算中有一种非常重要的思想—“换元法”．它的本质是将一个冗长的、前后具有相同形式的式子用一个字母来代替，将其化为我们所熟悉的形式．例如：为解方程，我们将看成一个整体，然后设，则原方程化为，∴，解得，．当时，，∴；当时，，∴．综上所述：，，，． 请利用以上方法解下面方程： (1)； (2)； (3)． 12．（23-24八年级下·山东济宁·期末）学习的本质是提高自学能力．周末，小睿同学在复习配方法后，他对代数式进行了配方，发现，小睿发现是一个非负数，即，他继续探索，利用不等式的基本性质得到，即，所以，他得出结论是的最小值是2，即的最小值是2．小睿同学又进行了尝试，发现求一个二次三项式的最值可以用配方法，他自己设计了两个题，请你解答． 解决问题： （1）求代数式的最小值． （2）求代数式的最值． 探究问题： 关于x的一元二次方程与 称为“同族二次方程”． 例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，根据你的观察，探究下面的问题：代数式的最值是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 解一元二次方程的八种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用直接开平方法解一元二次方程的复合型 2 类型二、用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 3 类型三、配方法的应用 7 类型四、用公式法求解一元二次方程 11 类型五、用因式分解法（除十字相乘法）求解一元二次方程 13 类型六、用十字相乘法求解一元二次方程 15 类型七、与新定义型有关的求解一元二次方程 18 类型八、换元法解一元二次方程 21 压轴能力测评（12题） 25 解题知识必备 知识点一、直接开方法解一元二次方程 直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. 要点：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根. 知识点二、配方法解一元二次方程 配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. 要点：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 知识点三．公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，. 2.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x的一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根. 知识点四.用因式分解法解一元二次方程 （1）将方程右边化为0； （2）将方程左边分解为两个一次式的积； （3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 压轴题型讲练 类型一、利用直接开平方法解一元二次方程的复合型 例1. （23-24九年级上·江西萍乡·期末）解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程－直接开平方法．开平方求出的值，然后求出x的值即可． 【详解】解：， ∴， 则或， 解得． 【变式训练1】（23-24九年级上·吉林白山·期末）用适当的方法解方程： 【答案】，. 【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟知方程特点选择适当的解法是正确解决本题的关键，用直接开平方法或因式分解法都可以． 【详解】解： 开方得，或 解得，． 【变式训练2】（23-24九年级上·江苏常州·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴或， 解得，． 【变式训练3】（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）用适当的方法解方程： 【答案】， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，根据方程的特点选择恰当解法是解题的关键．直接用开平方法求解即可． 【详解】解：原式直接开方得，， 或， ∴原方程的解为：，． 类型二、用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 例2. （23-24八年级下·山东烟台·期中）配方法解一元二次方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解： 两边同除以，得， 移项，得， 配方，得，即， 开平方，得， ∴，或， ∴，． 【变式训练1】（23-24八年级下·安徽安庆·期末）解方程：（配方法解）． 【答案】， 【分析】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 先变形为，然后利用配方法解方程． 【详解】解： ， ， ， ， 解得，． 【变式训练2】（23-24八年级上·上海青浦·期中）用配方法解一元二次方程： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了运用配方法解一元二次方程，掌握配方法成为解题的关键． 先移项，然后再按照配方法即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ∴． 【变式训练3】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）用配方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4) 【分析】本题考查解一元二次方程，正确计算是解题的关键： （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）利用配方法解一元二次方程即可； （4）利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ，； （2）解：， ， ，； （3）解：， ， ，； （4）解：， ， ， ． 【变式训练4】（2024·江西吉安·三模）小明解一元二次方程的过程如下，请你仔细阅读，并回答问题： 解：原方程可变形为，（第一步） ∴，（第二步） ∴，（第三步） ∴，（第四步） ∴，（第五步） ∴，．（第六步） (1)小明解此方程使用的是______法；小明的解答过程是从第______步开始出错的． (2)请写出此题正确的解答过程． 【答案】(1)配方；三 (2)， 【分析】（1）根据配方法解答即可． （2）根据配方法的基本步骤规范解答即可． 本题考查了配方法解方程，熟练掌握配方法解方程是解题的关键． 【详解】（1）根据题意，这种解方程的方法是配方法，配方时，在第三步时出现错误， 故答案为：配方法，第三步． （2）原方程可变形为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 类型三、配方法的应用 例3. （23-24九年级上·甘肃兰州·阶段练习）阅读理解： 一位同学将代数式变形为，得到后分析发现，那么当时，此代数式有最小值是4． 请同学们思考以下问题： (1)已知代数式，此代数式有最 值（填“大 ”或“小 ”），且值为 ． (2)已知代数式，此代数式有最 值（填“大 ”或“小 ”），且值为 ． (3)通过阅读材料分析代数式的最值情况，写出详细过程及结论． 【答案】(1)小， (2)大，13 (3)当时，此代数式有最小值 【分析】本题考查了配方法的应用，平方的非负性，解题的关键是掌握完全平方公式． （1）先将该式化为，再根据完全平方公式进行配方即可解答； （2）先将该式化为，再根据完全平方公式进行配方即可解答； （3）先将该式化为，再根据完全平方公式进行配方即可解答． 【详解】（1）解∶ ， ∵， ∴当时，此代数式有最小值， 故答案为：小，； （2）解：， ∵， ∴， ∴当时，此代数式有最大值13， 故答案为：大，13； （3）解： ， ∵， ∴， ∴当时，此代数式有最小值． 【变式训练1】（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）阅读并解答问题：用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最大值1． (1)当_______时，代数式有最_______（填写“大”或“小”）值，为______． (2)代数式有最大值或最小值吗？若有，请求出这个最大值或最小值． 【答案】(1)1，大，3 (2)有最大值，最大值为5 【分析】（1）利用完全平方式大于等于0得到代数式有最大值，求出最大值以及此时的值即可； （2）根据已知将代数式变形得出，判断出有最大值并解答． 【详解】（1）， ∴当时，代数式有最大值为3， 故答案为：1，大，3； （2）代数式有最大值，理由如下： ， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最大值为5． 【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质：偶次方，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【变式训练2】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）（1）当__________时，多项式的最小值为__________． （2）当__________时，多项式的最大值为__________． （3）当、为何值时，多项式取最小值？并求出这个最小值． 【答案】（1）3，3 （2）1， （3），，最小值是10 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出的值，然后进行计算即可； （2）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出的值，然后进行计算即可； （3）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出和的取值，然后进行计算即可． 【详解】（1） 当时，多项式取最小值，且最小值为3； 故答案为：3，3 （2） 当时，多项式取最大值，且最大值为； 故答案为：1，； （3） ， 当且，即时，多项式取最小值，并且最小值为． ，，最小值是10． 【变式训练3】（2024·河北石家庄·一模）（1）发现，比较4m与 的大小， 填“>” “<”或“=”： 当时， ； 当时， ； 当时， ； （2）论证，无论m取什么值，判断4m与有怎样的大小关系?试说明理由； （3）拓展，试通过计算比较．与的大小． 【答案】（1），，；（2）总有，理由见解析；（3） 【分析】此题考查了配方法的应用，不等式的性质，用到的知识点是不等式的性质、完全平方公式、非负数的性质，关键是根据两个式子的差比较出数的大小． （1）当时，当时，当时，分别代入计算，再进行比较得出结论填空即可； （2）根据，即可得出无论取什么值，判断与有； （3）拓展：先求出，再判断的正负，即可做出判断． 【详解】解：（1）①当时，，，则， ②当时，，，则， ③当时，，，则． 故答案为：；；； （2）无论取什么值，判断与有， 理由如下： ， 无论取什么值，总有； （3）拓展： ， 故． 【变式训练4】（23-24八年级下·山东济南·期末）求代数式的最小值时，我们通常运用“”这个结论对代数式进行配方来解决．比如，，，的最小值是，试利用“配方法”解决下列问题：    (1)填空：（______）______； (2)如图1所示的是一组邻边长分别为，的长方形，其面积为；如图2所示的是边长为的正方形，其面积为，，请比较与的大小，并说明理由． (3)如图3，一个地块一边靠墙（墙足够长），另外三边用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边加建宽的门（用其他材料）．设，矩形的面积为．当为何值时，矩形场地的面积最大?最大值为多少平方米? 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)当为时，矩形场地的面积最大，最大值为平方米 【分析】本题主要考查配方法的运用，几何图形的面积的计算，乘法公式与几何图形面积的综合运用，理解题意，掌握乘法公式与几何图形的综合知识的运用是解题的关键． （1）根据材料提示，运用配方法即可求解； （2）结合矩形和正方形面积公式，利用整式的乘法分别算出、，再运用的结果的正负来判断大小，即可解题； （3）根据题意得到，利用矩形面积公式表示出，再结合题干求解方法即可解题． 【详解】（1）解：由题知，， 故答案为：，． （2）解：由题知，， ， ， ， ． （3）解：， 由题知，， 矩形的面积；      ， ， ， 当为时，矩形场地的面积最大，最大值为平方米． 类型四、用公式法求解一元二次方程 例4.（23-24八年级下·吉林长春·期中）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握解一元二次方程的解法是解题关键．本题直接利用公式法求解即可． 【详解】解：一元二次方程中，，，， ∴， ∴， ∴． 【变式训练1】（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）用公式法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，根据公式法，按步骤求解即可得到答案，熟记公式法解一元二次方程是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ， ． 【变式训练2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： ∴， ∴ 解得：， 【变式训练3】（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)， (3)方程无解 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用公式法求解方程是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （2）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （3）由题意易得，然后根据公式法可进行求解． 【详解】（1）解： ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解： ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解： ∴， ∴， ∴原方程无解． 类型五、用因式分解法（除十字相乘法）求解一元二次方程 例5．（23-24九年级·江苏·假期作业）解关于的方程（因式分解方法）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用提公因式法进行因式分解，再解方程即可； （2）移项后，用提公因式法进行因式分解，再解方程即可． 【详解】（1）解： ①② ∴． （2）解： ①② ∴． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程．其中找到合适的公因式是解题的关键． 【变式训练1】（2023八年级下·浙江·专题练习）用因式分解解方程：． 【答案】， 【分析】采用因式分解法即可求解． 【详解】 移项得，， 提取公因式得，． 故或， 解得，． 【点睛】本题重点是利用因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解求解的方法是解题的关键． 【变式训练2】（2024·陕西西安·模拟预测）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 【变式训练3】（23-24八年级下·广西崇左·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等． （1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：， 因式分解得， 即或， 解得，． （2）解：， 移项得， 因式分解得， 即或， 解得，． 类型六、用十字相乘法求解一元二次方程 例6.（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ②交叉相乘，验中项：    ③横向写出两因式： （2）根据乘法原理，若，则或 ，则方程可以这样求解： 方程左边因式分解得 或 试用上述这种十字相乘法解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）利用十字相乘法解方程即可； （2）利用十字相乘法解方程即可； （3）利用十字相乘法解方程即可； （4）利用十字相乘法解方程即可． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或 ∴，； （3） 或 ∴，； （4） 或 ∴，． 【点睛】本题考查十字相乘法解方程，掌握十字相乘法是解题的关键． 【变式训练1】（2024·广东广州·二模）解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可，解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程． 【详解】解：， ， 或， ∴，． 【变式训练2】（23-24八年级下·山东烟台·期中）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式： （2）若，则或，所以方程可以这样求解： 方程左边分解因式得 ∴或 ∴， 上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案； （2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或 ∴，． 【变式训练3】（23-24九年级上·全国·课后作业）（1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答： 解：①坚分二次项与常数项：． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）：    ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法． （2）根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②； ③； ④． 【答案】①，  ②，  ③，  ④， 【分析】根据题中十字相乘法的解法步骤求解即可． 【详解】解：①由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，； ②由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，； ③由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，； ④由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，． 【点睛】本题考查十字相乘法解一元二次方程，理解题干中的十字相乘法的解法是解答的关键． 类型七、与新定义型有关的求解一元二次方程 例题：（23-24八年级下·山东泰安·期末）定义新运算：规定，例如，若，则x的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，新定义，根据新定义可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得或， 故答案为：或． 【变式训练1】（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：例如：，．若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据新定义运算法则列出方程求解即可． 【详解】解：∵， 而， ∴①当时，则有， 解得，； ②当时，， 解得， 综上所述，x的值是或， 故答案为：或． 【变式训练2】（2024·山东聊城·二模）对于实数，，先定义一种新运算“”如下：，若，则实数的值为 ． 【答案】3 【分析】根据新定义，分类计算即可． 本题考查了新定义运算，正确理解运算是解题的关键． 【详解】当时， 变形得， 整理，得， 解得（舍去）． 当时， 变形得， 解得（舍去）． 故答案为：3． 【变式训练3】（23-24九年级上·广东珠海·阶段练习）对于实数、，定义运算“※”：，如果，则x的值为 ． 【答案】3或 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法，实数的运算，解题的关键是分两种情况：当时；当时；然后根据定义的新运算分别进行计算，即可解答． 【详解】解：分两种情况： 当时， ※， ， ， ， 或， （舍去），； 当时， ※， ， ， ， ； 综上所述：的值为3或， 故答案为：3或． 类型八、换元法解一元二次方程 例8. （23-24九年级上·河南信阳·开学考试）阅读下列例题的解答过程： 解方程：． 解：设，则原方程可以化为． ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 当时，， ∴； 当时，， ∴． ∴原方程的解为，． 请仿照上面的例题解方程：． 【答案】，，， 【分析】本题主要是考查利用换元法解一元二次方程的方法，仿照例题给出的方法进行解题，熟练掌握解方程的方法是本题解题的基础．利用例题中给很出的方法，利用换元的方法进行解题，设，则原方程化为：，解方程得：，，将解带入，求解方程即可． 【详解】解：设，则原方程可以化为， ∵，，， ∴， ∴． 解得，． 当时，， ∴，； 当时，， ∴，． ∴原方程的解为，，，． 【变式训练1】（23-24九年级上·广西南宁·开学考试）阅读下面的材料，解答后面的问题． 材料：解方程． 解：设，原方程变为，解得或． 当时，即，解得；当时，即，解得． 综上所述，原方程的解为，，，． 问题： (1)上述解答过程采用的数学思想方法是__________． A．加减消元法    B．代入消元法    C．换元法    D．待定系数法 (2)采用类似的方法解方程：． 【答案】(1)C (2)， 【分析】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．此题难度较大，不容易掌握． （1）利用换元法解方程； （2）设，原方程化为，求出y，把y的值代入，求出x即可． 【详解】（1）上述解答过程采用的数学思想方法是换元法． 故答案是：C； （2）设，原方程化为， ∴ 解得， 当时，得， 解得，； 当时，得， ，方程无解， 综上所述，原方程的解为，． 【变式训练2】（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为，解得，． 当时，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 由原方程得到的过程，利用换元法达到了简化方程的目的，体现了整体转化的数学思想． 阅读后解答问题： (1)利用上述材料中的方法解方程：； (2)已知一元二次方程的两根分别为，，则方程的两根分别是什么？请说明理由． 【答案】(1)原方程的解为，， (2)方程的两根分别是和，理由见详解 【分析】本题主要考查换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法和一元二次方程的解法是关键，体现了整体转化的数学思想， （1）设，用m代替方程中的，然后解关于m的一元二次方程，然后再来求关于x的一元二次方程即可 （2）根据已知方程的解，得出或，求出x的值即可． 【详解】（1）解：令， 则， ， 或， 解得或， 当时，，即， 解得，， 当时，，即， 解得， 综上，原方程的解为，， （2）一元二次方程的两根分别为，， 方程中或， 解得：或， 即方程的两根分别是和． 【变式训练3】（23-24九年级上·广东汕头·期中）综合实践：“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式．方程是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为， 解这个方程得：，， 当时，，； 当时，， ， 所以原方程有四个根：， ， ． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． 请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题： (1)解方程：． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）设，代入原式，对一元二次方程求解即可； （2）设，代入原式，对一元二次方程整体求解即可； 本题主要考查一元二次方程的解法，理解题目中换元法的解题思想是解题的关键． 【详解】（1）解：设 原方程可变为： 解得：， 当时， ∴方程无解 当时， 解得： ∴原方程有2个根：． （2）解：设 原方程可变为： 整理得： 解得：（舍去）， 的值为1． 压轴能力测评（12题） 一、单选题 1．（23-24九年级上·广东湛江·期末）用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，先把常数项移到方程右边，再把方程两边除以2，接着方程两边加上1，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 【详解】解：， ， 故选：B 2．（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）在实数范围内定义一种运算“”，使，则方程的解为（　　） A． B．， C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，新定义，根据新定义可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得，， 故选：B． 二、填空题 3．（2024·山东泰安·二模）关于y的方程的解是 ． 【答案】，， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握求解一元二次方程的方法是解题的关键． 根据因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， 或， 解得，． 故答案为：，． 4．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）已知代数式，则A的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用； 先利用配方法把代数式配成完全平方式的形式，再根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】解：， ∵， ∴，即A的最小值为， 故答案为：． 三、解答题 5．（23-24九年级上·浙江台州·期中）解下列方程： 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．直接开平方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； 【详解】 或 解得： 6．（23-24九年级上·陕西西安·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 根据配方法求解一元二次方程即可． 【详解】解： ， 解得：，． 7．（23-24九年级上·山东泰安·开学考试）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握一元二次方程的求根公式和因式分解法是解题的关键． （1）先求出，再代入求根公式求解即可； （2）先移项提取公因式，再化简为即可求解． 【详解】（1）解：， 原方程的系数分别是，，， ， ， ，； （2）解： 或， 解得：，． 8．（24-25九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查公式解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握，． （1）根据一化，二定，三判，四代直接求解即可得到答案； （2）根据一化，二定，三判，四代直接求解即可得到答案． 【详解】（1）解：将方程化为一般形式，得． ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． （2）解：原方程可化为，即． ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． 9．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）选用适当方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． （1）用直接开平方法求解即可； （2）用配方法求解即可； （3）用公式法求解即可； （4）移项后用因式分解法求解即可. 【详解】（1）∵ ∴ ∴ ∴ ∴ （2）∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （3）∵ ∴ ∴ ∴ （4）∵ ∴ ∴ ∴或 ∴ 10．（23-24九年级上·吉林长春·期末）阅读材料，并回答问题． 小明在学习一元二次方程时，解方程的过程如下： 解：． ．① ．② ．③ ．④ ．⑤ ．⑥ 问题： (1)上述过程中，从 步开始出现了错误（填序号）； (2)发生错误的原因是： ； (3)写出这个方程的解： ． 【答案】(1)⑤ (2)开平方后正负号丢失 (3) 【分析】本题主要考查解一元二次方程—配方法，将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （1）根据第⑤步直接开平方法，得即可判断； （2）由（1）得发生错误的原因是：开方后正负号丢失， （3）根据配方法解一元二次方程的步骤求解即可． 【详解】（1）解：， 上述过程中，从⑤步开始出现了错误， 故答案为：⑤； （2）解：由（1）知，发生错误的原因是：开平方后正负号丢失， 故答案为：开平方后正负号丢失； （3）解：， ， 故答案为：． 11．（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）阅读材料，并解答问题： 数学运算中有一种非常重要的思想—“换元法”．它的本质是将一个冗长的、前后具有相同形式的式子用一个字母来代替，将其化为我们所熟悉的形式．例如：为解方程，我们将看成一个整体，然后设，则原方程化为，∴，解得，．当时，，∴；当时，，∴．综上所述：，，，． 请利用以上方法解下面方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，则，解得，根据，得出，求解即可； （2）设，则，解得：，分别求解当时，和当时，方程的解即可； （3）设，则，求解，分别求解当时和当时方程 的解即可． 【详解】（1）解：， 设， ， ， 或， 解得：， ∵， ∴， ∴， 解得：． （2）解：， 设， ， ， 或， 解得：， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 综上：． （3）解：， 设， ， ， ， 或， ， 经检验，，是方程的解， 当时，， 解得：， 经检验，是方程的解； 当时，， 解得：， 经检验，是方程的解； 综上：． 【点睛】本题主要考查了用换元法解一元二次方程，解分式方程，解题的关键是正确理解题目所给换元法解方程的方法和步骤，以及解分式方程的方法和步骤． 12．（23-24八年级下·山东济宁·期末）学习的本质是提高自学能力．周末，小睿同学在复习配方法后，他对代数式进行了配方，发现，小睿发现是一个非负数，即，他继续探索，利用不等式的基本性质得到，即，所以，他得出结论是的最小值是2，即的最小值是2．小睿同学又进行了尝试，发现求一个二次三项式的最值可以用配方法，他自己设计了两个题，请你解答． 解决问题： （1）求代数式的最小值． （2）求代数式的最值． 探究问题： 关于x的一元二次方程与 称为“同族二次方程”． 例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，根据你的观察，探究下面的问题：代数式的最值是多少？ 【答案】解决问题：（1）1；（2）5；探究问题：代数式的最小值是2024． 【分析】本题考查配方法的应用，解二元一次方程组，以及非负数的性质，属于基础题，掌握方法是关键． 解决问题：（1）将变形为即可解决； （2）将变形为即可； 探究问题：根据“同族二次方程”的定义可得方程即为方程，再把展开得到，解方程组得到，据此仿照题意求出对应的最值即可． 【详解】解：解决问题：（1） ， 的最小值是1； （2）， 的最大值是5． 探究问题：∵关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”， ∴方程即为方程， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴代数式的最小值是2024． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$