3.1.2函数的表示法12题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）

3.1.2函数的表示法12题型分类 一、函数的表示法 (1)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. (2)列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. (3)图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 二、描点法作函数图象的三个步骤 (1)列表：先找出一些有代表性的自变量x的值，再计算出与这些自变量x相对应的函数值f(x)，并用表格的形式表示出来． (2)描点：把第(1)步表格中的点(x，f(x))一一在平面直角坐标系中描出来． (3)连线：用光滑的曲线把这些点按自变量由小到大(或由大到小)的顺序连接起来． 三、函数三种表示法的几点说明 (1)解析法：变量间的对应关系明确，且要注意函数的定义域． (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．比如我们生活中经常遇到的列车时刻表、银行的利率表等．其优点是不需要计算就可以直接看出与自变量相对应的函数值．这种表示法常常被应用到实际生产和生活中去． (3)图象法：函数图象的形状不一定是一条或几条无限长的平滑曲线，也可能是一些点、一些线段、一段曲线等，但不是任何一个图形都是函数图象． 四、分段函数的概念 如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，那么称这样的函数为分段函数. 五、应用函数知识解决实际问题的一般步骤 (1)阅读材料、理解题意； (2)把实际问题抽象为函数问题，并建立相应的函数模型； (3)利用函数知识对函数模型进行分析、研究，得出数学结论； (4)把数学结论(结果)应用到实际问题中，解决实际问题． 六、分段函数的特点 (1)分段函数是一个函数，并非几个函数． (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集． (3)分段函数的值域是各段值域的并集． (4)分段函数的图象要分段来画． 七、应用函数知识解决实际问题 关键是如何根据题意将实际问题抽象、转化成数学问题，然后通过求解数学问题，最后解决实际问题，这也是数学建模思想在实际问题中的具体应用． （一） 函数表示法 函数的三种表示法的选择和应用的注意点 解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少． 题型1：函数的表示法 1-1．（2024高一上·广东广州·期末）已知函数，分别由下表给出， x 0 1 2 1 2 1 x 0 1 2 2 1 0 则 ；满足的x的值是 ． 1-2．（2024高一·全国·课后作业）已知完成某项任务的时间与参加完成此项任务的人数之间满足关系式，当时，；当时，，且参加此项任务的人数不能超过8． （1）写出关于的解析式； （2）用列表法表示此函数； （3）画出此函数的图象． 1-3．（2024高一上·陕西咸阳·阶段练习）如图中的图象所表示的函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 1-4．（2024高一上·安徽黄山·开学考试）已知边长为1的正方形ABCD中，E为CD的中点，动点P在正方形ABCD边上沿运动．设点经过的路程为．的面积为．则与的函数图象大致为图中的（　　） A．   B．   C．   D．   （二） 函数图象的作法及应用 1、画函数图象的两种常用方法 (1)描点法 一般步骤：①列表——先找出一些(有代表性的)自变量x，并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来； ②描点——从表中得到一系列的点(x，f(x))，在坐标平面上描出这些点； ③连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来． (2)变换作图法：常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换等． 2、画函数图象的关注点 ①画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图； ②图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象； ③要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点． 题型2：函数图象的作法及应用 2-1．（2024高三·全国·对口高考）已知函数定义在上的图象如图所示，请分别画出下列函数的图象：    (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 2-2．（2024·全国）画出函数的图象． 2-3．（2024高一上·浙江杭州·阶段练习）直线与二次函数交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．以上都有可能 2-4．（2024高一·江苏·专题练习）作出下列函数图象： (1)且； (2)． 2-5．（2024高二下·上海杨浦·阶段练习）设均为非零实数，则直线和在同一坐标系下的图形可能是（    ）． A． B． C． D． （三） 函数解析式的求法 函数解析式的求法 求函数解析式，关键是对基本方法的掌握，常用方法有配凑法、换元法、待定系数法、解方程(组)法、赋值法等． (1)配凑法：将形如f(g(x))的函数的表达式配凑为关于g(x)的表达式，并整体将g(x)用x代换，即可求出函数f(x)的解析式．如由f(x＋1)＝(x＋1)2可得f(x)＝x2. (2)换元法：将函数f(g(x))中的g(x)用t表示，则可求得x关于t的表达式，并将最终结果中的t用x代换，即可求得函数f(x)的解析式． (3)待定系数法：将已知类型的函数以确定的形式表达，并利用已知条件求出其中的参数，从而得到函数的解析式． 一次函数解析式为y＝ax＋b(a≠0)，二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (4)解方程(组)法：采用解方程或方程组的方法，消去不需要的函数式子，得到f(x)的表达式，这种方法也称为消去法． (5)赋值法：利用恒等式将特殊值代入，求出特定函数的解析式．这种方法灵活性强，必须针对不同的类型选取不同的特殊值． 题型3：配凑法 3-1．（2024高一上·江苏扬州·期中）已知，则 ． 3-2．（2024高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数满足：，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 3-3．（2024高一上·浙江金华·期末）已知，则（    ） A．6 B．3 C．11 D．10 3-4．（2024高一上·甘肃庆阳·期中）已知，则 ． 题型4：换元法 4-1．（2024高一上·浙江·期中）已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 4-2．（2024·重庆·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 4-3．（2024高一上·重庆·期中）已知，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 4-4．（2024高三·全国·专题练习）已知，求. 题型5：待定系数法 5-1．（2024高一上·福建厦门·阶段练习）已知是一次函数，且，则 . 5-2．（2024高一上·湖南衡阳·期末）已知二次函数满足． (1)求的解析式． (2)求在上的值域． 5-3．（2024高一上·广西桂林·期中）若，且，则（    ） A．3 B． C． D． 5-4．（2024高三·全国·对口高考）若二次函数满足，且，则的表达式为（    ） A． B． C． D． 题型6：方程组法 6-1．（2024高一上·山西·阶段练习）已知函数满足，求的值为（    ） A． B． C． D． 6-2．（2024高三·全国·专题练习）已知，求的解析式 6-3．（2024高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数的定义域为R，对任意均满足：则函数解析式为（    ） A． B． C． D． 题型7：赋值法 7-1．（2024高三上·江苏扬州·开学考试）写出满足的函数的解析式 ． 7-2．（2024高一上·江西抚州·阶段练习）已知函数对一切的实数，，都满足，且. （1）求的值； （2）求的解析式； （3）求在上的值域. 7-3．（2024高三·全国·专题练习）定义在R上的函数f(x)满足，并且对任意实数x，y都有，求的解析式. 7-4．（2024高一·全国·专题练习）已知函数满足：对一切实数、，均有成立，且.求函数的表达式. （四） 分段函数的定义域、值域 分段函数定义域、值域的求法 (1)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集； (2)分段函数的值域是各段函数值域的并集． 题型8：求分段函数的定义域 8-1．（2024高一上·山西太原·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 8-2．（2024高一上·福建福州·期中）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 8-3．（2024高一上·河北邯郸·阶段练习）下列四个函数：① ；②；③ ；④ ．其中定义域与值域相同的函数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型9：求分段函数的值域 9-1．（2024高一上·云南保山·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 9-2．（2024·上海嘉定·二模）函数的值域为 ． 9-3．（2024高一上·内蒙古通辽·期末）已知函数的最大值为m，的最小值为n，则 ． 9-4．（2024高二下·北京大兴·阶段练习）函数的最小值是 . （五） 分段函数求值问题 1、求分段函数函数值的步骤 (1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间． (2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止． 2、已知分段函数值求字母取值的步骤 (1)先对字母的取值范围分类讨论． (2)然后代入到不同的解析式中． (3)通过解方程求出字母的值． (4)检验所求的值是否在所讨论的区间内． 题型10：分段函数求值问题 10-1．（2024高一·全国·课后作业）已知函数． （1）求的值； （2）画出函数的图象． 10-2．（2024高一上·广东汕头·期中）已知函数 (1)求，，； (2)若，求的值． 10-3．（2024高一上·广西梧州·阶段练习）已知函数. (1)求的值； (2)若，求的值. 题型11：分段函数与不等式的综合 11-1．（2024高一上·全国·课后作业）已知,则使成立的的取值范围是（　  ） A． B． C． D． 11-2．（2024高一上·重庆万州·阶段练习）函数，若关于的不等式的解集 . 11-3．（2024高一下·河北衡水·阶段练习）设，则不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 11-4．（2024·全国·模拟预测）已知函数. (1)求的最小值； (2)若对任意恒成立，求k的取值范围. （六） 分段函数图象的画法 作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． 注：(1)判断分段函数的图 象，分段判断，宏观把握. (2)画分段函数的图象，首先确定函数是否已经确为分段函数，然后再分段画出，分点处的虚实情况用空心点和实心点标出. 题型12：分段函数图象及应用 12-1．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数 (1)在坐标系中作出函数的图象； (2)若时函数值等于，求a的取值集合． 12-2．（2024高一上·陕西榆林·阶段练习）设函数．    (1)将函数写成分段函数的形式并画出其图象； (2)写出函数的单调区间和值域． 12-3．（2024·山东济宁·模拟预测）已知函数，其中[x]表示不超过的最大整数，例如 (1)将的解析式写成分段函数的形式; (2)请在如图所示的平面直角坐标系中作出函数的图象; (3)根据图象写出函数的值域. 12-4．（2024高一上·云南昆明·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，， (1)求函数的解析式，并作出简图； (2)求函数在区间上的值域. 12-5．（2024高二下·海南海口·期末）已知函数，.若，则 ；若函数的图象与的图象有3个公共点，则的取值范围是 . 一、单选题 1．（2024高一上·重庆万州·期中）将函数的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位长度，所得的函数图象对应的解析式为（   ） A． B． C． D． 2．（山东省2023-2024学年高三上学期普通高校招生（春季）考试第一次校际联考数学试题）如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈(路线为)，则小明到点的直线距离与他从点出发后运动的时间之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 3．（2024高一上·福建宁德·期中）函数的图象大致形状是（    ） A． B． C． D． 4．（2024高一上·福建）如图，点在边长为1的正方形的边上运动，是的中点，则当沿运动时，点经过的路程与的面积的函数的图象的形状大致是（    ）    A．   B．   C．  D．   5．（2024高三上·北京大兴·期中）如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度（单位：米/分钟）与时间（单位：分钟）的关系．若定义“速度差函数”为无人机在时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图像为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·湖北·一模）已知函数，则函数的图像是（    ） A． B． C． D． 7．（2024高二下·吉林长春·期末）已知函数无最大值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2024高一上·辽宁辽阳·期中）函数的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·河北唐山·模拟预测）已知函数，若的最小值为1，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（2024高一·全国·期末）某校要召开学生代表大会，规定各班每人推选一名代表，当班人数除以的余数大于时，再增选一名代表，则各班推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数，如，）可表示为（    ） A． B． C． D． 11．（2024高一上·广西柳州·期中）如图，是边长为2的等边三角形，点E由点A沿线段AB向点B移动，过点E作AB的垂线l，设，记位于直线l左侧的图形的面积为y，那么y与x的函数关系的图象大致是（    ）      A．   B．   C．   D．   二、多选题 12．（2024高一上·重庆万州·期中）下列函数图像经过变换后，过原点的是（    ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向上平移个单位 D．向下平移个单位 13．（2024高一下·贵州遵义·期末）设函数，存在最小值时，实数的值可能是（    ） A． B． C．0 D．1 14．（2024高三·全国·专题练习）已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 15．（2024高三·全国·对口高考）已知函数，则的值为 . 16．（2024·四川内江·模拟预测）已知函数，则 ． 17．（2024高一下·河南信阳·期中）已知函数，则 ． 18．（2024高三·广东深圳·阶段练习）写出一个满足：的函数解析式为 . 19．（2024高一上·全国·课后作业）已知，则函数 ，= ． 20．（2024高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数，当时，，则的最大值是 ． 四、解答题 21．（2024高一上·江西南昌·阶段练习）根据下列条件，求的解析式. (1)已知 (2)已知 (3)已知是二次函数，且满足 22．（2024高三·全国·专题练习）根据下列条件，求函数的解析式． (1)已知，则的解析式为__________． (2)已知满足，求的解析式． (3)已知，对任意的实数x，y都有，求的解析式． 23．（2024高一上·云南昆明·期末）已知函数. (1)在所给坐标系中作出的简图； (2)解不等式. 24．（2024高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数. (1)求，的值； (2)作出函数的简图； (3)由简图指出函数的值域； 25．（2024高一上·广东深圳·期中）已知. (1)用分段函数的形式表示该函数. (2)画出区间上的的图象； (3)根据图象写出区间上的值域. 26．（2024高一上·广东东莞·阶段练习）给定函数，，. (1)在所给坐标系（1）中画出函数，的大致图象；（不需列表，直接画出.） (2)，用表示，中的较小者，记为，请分别用解析法和图象法表示函数.（的图象画在坐标系（2）中） (3)直接写出函数的值域. 27．（2024高二上·云南·阶段练习）已知函数满足． (1)求的解析式； (2)设函数，若对任意，恒成立，求实数m的取值范围． 28．（2024高一上·安徽宣城·期中）根据下列条件，求的解析式 (1)已知满足 (2)已知是一次函数，且满足； (3)已知满足 29．（2024高一上·河北衡水·阶段练习）某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：①公里以内(含公里)，票价元；②公里以上，每增加公里，票价增加元(不足公里的按公里计算)．如果某条线路的总里程为公里， (1)请根据题意，写出票价与里程之间的函数关系式； (2)画出该函数的图像． 30．（2024高一上·江苏常州·期中）已知函数. （1）若，求实数的值； （2）画出函数的图象并写出函数在区间上的值域； （3）若函数，求函数在上最大值. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1.2函数的表示法12题型分类 一、函数的表示法 (1)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. (2)列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. (3)图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 二、描点法作函数图象的三个步骤 (1)列表：先找出一些有代表性的自变量x的值，再计算出与这些自变量x相对应的函数值f(x)，并用表格的形式表示出来． (2)描点：把第(1)步表格中的点(x，f(x))一一在平面直角坐标系中描出来． (3)连线：用光滑的曲线把这些点按自变量由小到大(或由大到小)的顺序连接起来． 三、函数三种表示法的几点说明 (1)解析法：变量间的对应关系明确，且要注意函数的定义域． (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．比如我们生活中经常遇到的列车时刻表、银行的利率表等．其优点是不需要计算就可以直接看出与自变量相对应的函数值．这种表示法常常被应用到实际生产和生活中去． (3)图象法：函数图象的形状不一定是一条或几条无限长的平滑曲线，也可能是一些点、一些线段、一段曲线等，但不是任何一个图形都是函数图象． 四、分段函数的概念 如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，那么称这样的函数为分段函数. 五、应用函数知识解决实际问题的一般步骤 (1)阅读材料、理解题意； (2)把实际问题抽象为函数问题，并建立相应的函数模型； (3)利用函数知识对函数模型进行分析、研究，得出数学结论； (4)把数学结论(结果)应用到实际问题中，解决实际问题． 六、分段函数的特点 (1)分段函数是一个函数，并非几个函数． (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集． (3)分段函数的值域是各段值域的并集． (4)分段函数的图象要分段来画． 七、应用函数知识解决实际问题 关键是如何根据题意将实际问题抽象、转化成数学问题，然后通过求解数学问题，最后解决实际问题，这也是数学建模思想在实际问题中的具体应用． （一） 函数表示法 函数的三种表示法的选择和应用的注意点 解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少． 题型1：函数的表示法 1-1．（2024高一上·广东广州·期末）已知函数，分别由下表给出， x 0 1 2 1 2 1 x 0 1 2 2 1 0 则 ；满足的x的值是 ． 【答案】 2 1 【分析】根据列表法给定的函数，x分别取0，1，2依次计算、即可作答. 【详解】依题意，； ，，，， ，，因此当且仅当时，成立， 所以满足的x的值是1. 故答案为：2；1 1-2．（2024高一·全国·课后作业）已知完成某项任务的时间与参加完成此项任务的人数之间满足关系式，当时，；当时，，且参加此项任务的人数不能超过8． （1）写出关于的解析式； （2）用列表法表示此函数； （3）画出此函数的图象． 【答案】（1）函数解析式是（2）详见解析（3）图象见解析 【分析】（1）将， 代入.即可解出关于的解析式. （2）令，2，3，4，5，6，7，8，再求出对应的值，列表即可. （3）根据（2）的表格数据，在直角坐标系中描出即可. 【详解】（1）因为当时，；当时，， 所以，解得， 所以． 又，为正整数，所以此函数的定义域是， 所以所求函数解析式是． （2），2，3，4，5，6，7，8，列表如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 197 100 53 35 （3）此函数的图象如图所示：    【点睛】本题考查函数的表示法：函数的解析式、表格法、图像法，方程组法求函数的解析式，属于基础题. 1-3．（2024高一上·陕西咸阳·阶段练习）如图中的图象所表示的函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分段求解：分别把0≤x≤1及1≤x≤2时的解析式求出即可． 【详解】当0≤x≤1时，设f（x）=kx，由图象过点（1，），得k=，所以此时f（x）=x； 当1≤x≤2时，设f（x）=mx+n，由图象过点（1，），（2，0），得，解得 所以此时f（x）=．函数表达式可转化为：y＝ |x－1|(0≤x≤2) 故答案为B 【点睛】本题考查函数解析式的求解问题，本题根据图象可知该函数为分段函数，分两段用待定系数法求得． 1-4．（2024高一上·安徽黄山·开学考试）已知边长为1的正方形ABCD中，E为CD的中点，动点P在正方形ABCD边上沿运动．设点经过的路程为．的面积为．则与的函数图象大致为图中的（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据题意求与的函数关系式，进而可得结果. 【详解】当动点P在正方形ABCD边上沿运动时， 则的面积为； 当动点P在正方形ABCD边上沿运动时， 则的面积为； 当动点P在正方形ABCD边上沿运动时， 则的面积为； 综上所述：，可知B、C、D错误，A正确. 故选：A. （二） 函数图象的作法及应用 1、画函数图象的两种常用方法 (1)描点法 一般步骤：①列表——先找出一些(有代表性的)自变量x，并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来； ②描点——从表中得到一系列的点(x，f(x))，在坐标平面上描出这些点； ③连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来． (2)变换作图法：常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换等． 2、画函数图象的关注点 ①画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图； ②图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象； ③要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点． 题型2：函数图象的作法及应用 2-1．（2024高三·全国·对口高考）已知函数定义在上的图象如图所示，请分别画出下列函数的图象：    (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 (5)答案见解析 (6)答案见解析 【分析】（1）根据左右平移可得图象； （2）根据上下平移可得图象； （3）根据对称变换可得图象； （4）根据对称变换可得图象； （5）根据翻折变换可得图象； （6）根据翻折变换可得图象. 【详解】（1）将函数的图象向左平移一个单位可得函数的图象，函数的图象如图：    （2）将函数的图象向上平移一个单位可得函数的图象，函数图象如图：    （3）函数的图象与函数的图象关于轴对称，函数图象如图：    （4）函数的图象与函数的图象关于轴对称，函数的图象如图：      （5）将函数的图象在轴上方图象保留，下方的图象沿轴翻折到轴上方可得函数的图象，函数的图象如图：    （6）将函数的图象在轴左边的图象去掉，在轴右边的图象保留，并将右边图象沿轴翻折到轴左边得函数的图象，其图象如图：    2-2．（2024·全国）画出函数的图象． 【答案】见解析 【分析】由的图象与函数图象平移变换求解， 【详解】由图象向左平移一个单位即可， 2-3．（2024高一上·浙江杭州·阶段练习）直线与二次函数交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．以上都有可能 【答案】B 【分析】数形结合判断即可. 【详解】直线为的纵坐标为，图像为一条与轴平行的直线， 设二次函数为， 当时，；开口向上，图像与直线一定有一个交点，如图：    当时，如如；开口向下，图像与直线一定有一个交点，如图：      故选：B 2-4．（2024高一·江苏·专题练习）作出下列函数图象： (1)且； (2)． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【分析】（1）分析函数特征，再描点作出图象. （2）分析函数特征，描出几何特殊点，借助二次函数作出图象. 【详解】（1）由于且，则， 所以函数且的图象为直线上的5个孤立点，如图： （2）函数，则当时，；当时，；当时，， 所以函数的图象是抛物线在的部分，如图： 2-5．（2024高二下·上海杨浦·阶段练习）设均为非零实数，则直线和在同一坐标系下的图形可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】假设每个选项中的一次函数图象正确，可得的正负，由此可确定二次函数的开口方向和对称轴位置，可排除得到最终结果. 【详解】对于A，若图象正确，则，， 开口方向向上，对称轴为，与图象符合，A正确； 对于B，若图象正确，则，， 开口方向向下，与图象不符，B错误； 对于C，若图象正确，则，， 开口方向向上，与图象不符，C错误； 对于D，若图象正确，则，， 开口方向向上，与图象不符，D错误. 故选：A. （三） 函数解析式的求法 函数解析式的求法 求函数解析式，关键是对基本方法的掌握，常用方法有配凑法、换元法、待定系数法、解方程(组)法、赋值法等． (1)配凑法：将形如f(g(x))的函数的表达式配凑为关于g(x)的表达式，并整体将g(x)用x代换，即可求出函数f(x)的解析式．如由f(x＋1)＝(x＋1)2可得f(x)＝x2. (2)换元法：将函数f(g(x))中的g(x)用t表示，则可求得x关于t的表达式，并将最终结果中的t用x代换，即可求得函数f(x)的解析式． (3)待定系数法：将已知类型的函数以确定的形式表达，并利用已知条件求出其中的参数，从而得到函数的解析式． 一次函数解析式为y＝ax＋b(a≠0)，二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (4)解方程(组)法：采用解方程或方程组的方法，消去不需要的函数式子，得到f(x)的表达式，这种方法也称为消去法． (5)赋值法：利用恒等式将特殊值代入，求出特定函数的解析式．这种方法灵活性强，必须针对不同的类型选取不同的特殊值． 题型3：配凑法 3-1．（2024高一上·江苏扬州·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】运用拼凑法，将等式右边整理成关于的式子，再整体换元即得. 【详解】因故 故答案为： 3-2．（2024高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数满足：，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过化简即可得出函数的解析式. 【详解】因为，∴， 故选：A. 3-3．（2024高一上·浙江金华·期末）已知，则（    ） A．6 B．3 C．11 D．10 【答案】C 【解析】利用拼凑法求出解析式，即可得出所求. 【详解】， ， . 故选：C. 3-4．（2024高一上·甘肃庆阳·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】利用配凑法求函数的解析式即可. 【详解】因为， 所以， 故答案为： 题型4：换元法 4-1．（2024高一上·浙江·期中）已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用换元法求函数解析式，注意定义域. 【详解】令，则， 所以， 综上，. 故选：B 4-2．（2024·重庆·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法令求解析式即可． 【详解】令，则，且，则， 可得， 所以. 故选：B. 4-3．（2024高一上·重庆·期中）已知，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法求解即可. 【详解】因为，， 令，则，， 所以，， 故，， 故选：C 4-4．（2024高三·全国·专题练习）已知，求. 【答案】， 【分析】利用立方和公式将函数变形，令，利用基本不等式求出的取值范围，最后利用换元法计算可得. 【详解】因为， 令，当时，当且仅当，即时取等号， 当时，当且仅当，即时取等号， 所以，则，， ，. 题型5：待定系数法 5-1．（2024高一上·福建厦门·阶段练习）已知是一次函数，且，则 . 【答案】 【分析】设，再代入求解即可. 【详解】设，因为， 则，，故，. 所以. 故答案为： 5-2．（2024高一上·湖南衡阳·期末）已知二次函数满足． (1)求的解析式． (2)求在上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，则，利用换元法代入可求得的解析式； （2）由（1）可得函数的解析式，结合二次函数的性质分析可得答案. 【详解】（1）令，则， ，∴. （2）因为， 所以的图象对称轴为，在上递减，在上递增， ∴，， 即的值域为. 5-3．（2024高一上·广西桂林·期中）若，且，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】应用换元法求函数解析式即可. 【详解】因为,,则 设即 则,即 所以 故选:. 5-4．（2024高三·全国·对口高考）若二次函数满足，且，则的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，根据得到，再根据得到，，从而得到函数的解析式. 【详解】设，， ∵，则， 又∵， 令，则，∴，即，， 令，则，，即，， ∴，，. 故选：D. 题型6：方程组法 6-1．（2024高一上·山西·阶段练习）已知函数满足，求的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】构造方程求出的解析式，再求的值. 【详解】 故选：B 6-2．（2024高三·全国·专题练习）已知，求的解析式 【答案】 【分析】用方程组的方法求解即可. 【详解】因为， 用替换得， 消去，解得，即. 6-3．（2024高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数的定义域为R，对任意均满足：则函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用方程组法求解析式即可. 【详解】由，可得①， 又②，①＋②得：，解得， 故选：A． 题型7：赋值法 7-1．（2024高三上·江苏扬州·开学考试）写出满足的函数的解析式 ． 【答案】 【分析】利用赋值法可得函数解析式. 【详解】中，令，得； 令得，故， 则． 故答案为：． 7-2．（2024高一上·江西抚州·阶段练习）已知函数对一切的实数，，都满足，且. （1）求的值； （2）求的解析式； （3）求在上的值域. 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）令，则即可求； （2）令代入式子即可求解的解析式； （3）由（2）知，根据二次函数性质即可求解． 【详解】（1）令则 （2）令则； （3）对称轴为， ， ． 7-3．（2024高三·全国·专题练习）定义在R上的函数f(x)满足，并且对任意实数x，y都有，求的解析式. 【答案】 【分析】对进行赋值，解方程求得的解析式. 【详解】对任意实数，，， 令，得，即， 又，所以. 7-4．（2024高一·全国·专题练习）已知函数满足：对一切实数、，均有成立，且.求函数的表达式. 【答案】. 【分析】根据所给关系对于合理赋值后求出，再令可得解. 【详解】由已知等式， 令，，得． 又，所以． 再令，可得，即． 因此，函数的表达式为． （四） 分段函数的定义域、值域 分段函数定义域、值域的求法 (1)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集； (2)分段函数的值域是各段函数值域的并集． 题型8：求分段函数的定义域 8-1．（2024高一上·山西太原·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对分段函数的定义域的理解可得. 【详解】由， 得函数的定义域为. 故选：C. 8-2．（2024高一上·福建福州·期中）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】求出两个函数定义域以及化简对应关系.若两个函数定义域相同且对应关系相同，则这两个函数相同，进而判断答案. 【详解】对A，的定义域为R，的定义域为，则A错误； 对B，和的定义域均为R，且，则B正确； 对C，的定义域为，的定义域为R，则C错误； 对D，的定义域为，的定义域为R，则D错误. 故选：B. 8-3．（2024高一上·河北邯郸·阶段练习）下列四个函数：① ；②；③ ；④ ．其中定义域与值域相同的函数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据函数解析式分别求得每个函数的定义域和值域，即可判断出答案. 【详解】①的定义域和值域均为R, ②,定义域为 ，∴值域为，定义域与值域相同； ③的定义域为R，值域为 ， 定义域与值域不相同； ④的定义域为R，当时，； 当时，，则函数值域为R, 故函数定义域与值域相同， 所以函数定义域与值域相同的函数是①②④，共有3个． 故选：C． 题型9：求分段函数的值域 9-1．（2024高一上·云南保山·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分段求解值域，再取并集即可. 【详解】当时，； 当时，； 当时，， 所以函数的值域为. 故选:A. 9-2．（2024·上海嘉定·二模）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】利用绝对值的定义化简函数解析式，结合不等式的性质，可得答案. 【详解】由函数， 当时，；当时，. 综上所述，函数的值域为. 故答案为：. 9-3．（2024高一上·内蒙古通辽·期末）已知函数的最大值为m，的最小值为n，则 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质分别求出两段函数的最值，从而可得函数的最大值和最小值，即可得解. 【详解】当时，， 所以此时， 当时，， 所以此时， 综上所述，，即， 所以. 故答案为：. 9-4．（2024高二下·北京大兴·阶段练习）函数的最小值是 . 【答案】 【分析】根据分段函数，分别求两段函数的最小值，比较后，即可求解. 【详解】当时，的单调递减，， 当，，， 所以函数的最小值为. 故答案为： （五） 分段函数求值问题 1、求分段函数函数值的步骤 (1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间． (2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止． 2、已知分段函数值求字母取值的步骤 (1)先对字母的取值范围分类讨论． (2)然后代入到不同的解析式中． (3)通过解方程求出字母的值． (4)检验所求的值是否在所讨论的区间内． 题型10：分段函数求值问题 10-1．（2024高一·全国·课后作业）已知函数． （1）求的值； （2）画出函数的图象． 【答案】（1）；（2）图象见解析. 【解析】（1）利用函数的解析式由内到外可逐层计算出的值； （2）根据函数的解析式可画出该函数的图象. 【详解】（1），，则； （2）函数的图象如下图所示： 10-2．（2024高一上·广东汕头·期中）已知函数 (1)求，，； (2)若，求的值． 【答案】(1)3，2，4 (2)或3 【分析】（1）根据自变量的范围代入进行求值即可； （2）分段解方程即可求解. 【详解】（1）因为， 所以． 因为，所以． 又， 所以． （2）经观察可知，否则． 若，令，得，符合题意； 若，令，得，符合题意． 故的值为或3． 10-3．（2024高一上·广西梧州·阶段练习）已知函数. (1)求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)2； (2)或2 【分析】（1）根据的取值范围求出对应的函数值，再将函数值代入相应的解析式即可求得. （2）对自变量分情况讨论，令函数值等于，求出对应的，再根据自变量的取值范围即可确定的值. 【详解】（1） ， （2） 当时，，解得，不成立； 当时，，解得或，成立； 当时，，解得成立. 综上，的值为或2. 题型11：分段函数与不等式的综合 11-1．（2024高一上·全国·课后作业）已知,则使成立的的取值范围是（　  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】（方法1）分别在时，解不等式，在时，解不等式，再求并集得答案. （方法2）在同一坐标轴中画的图象，虚线，则函数图象在虚线及以上的部分中的取值范围，即不等式的解集，从而得答案. 【详解】（方法1）当时，不等式可化为，解得，又，所以； 当时，，不等式可化为，解得， 又，所以. 综上，使不等式成立的的取值范围是. 故选: A. （方法2）函数的图象如图所示，虚线表示，函数图象在虚线及以上的部分中的取值范围即不等式的解集. 由图可知，的取值范围就是点的横坐标与点的横坐标之间的范围. 在中，令，得，所以点的横坐标为. 在中，令，得（舍去）或， 所以点的横坐标为，所以使不等式成立的的取值范围是. 故选：A. 11-2．（2024高一上·重庆万州·阶段练习）函数，若关于的不等式的解集 . 【答案】 【分析】原不等式等价于或，分别解出对应不等式即可得出结果. 【详解】由题意得原不等式等价于或，解得或， 即关于的不等式的解集为： 故答案为： 11-3．（2024高一下·河北衡水·阶段练习）设，则不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别在和的情况下解一元二次不等式即可. 【详解】当时，由得：，解得：或，； 当时，由得：，解得：，； 不等式的解集是. 故选：A. 11-4．（2024·全国·模拟预测）已知函数. (1)求的最小值； (2)若对任意恒成立，求k的取值范围. 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）由题意分别画出三个函数的图象，即可分析出的图象，通过图象可得最小值； （2）设，可知恒过点，作图并分类讨论，结合条件根据图象，求出k的取值范围. 【详解】（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数，，的图象，如图1所示， 由，解得或； 由，解得或. 由图象易得， 结合图象可知，当时，取得最小值， 即. （2）设，则恒过点， 因为，所以记， 由（1）知，的图象如图2所示， 当时，，即， 所以，不等式恒成立. 当时，易知直线AM的斜率， 由图象可知，根据恒成立， 可得，解得，所以， 综上所述，k的取值范围是. （六） 分段函数图象的画法 作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． 注：(1)判断分段函数的图 象，分段判断，宏观把握. (2)画分段函数的图象，首先确定函数是否已经确为分段函数，然后再分段画出，分点处的虚实情况用空心点和实心点标出. 题型12：分段函数图象及应用 12-1．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数 (1)在坐标系中作出函数的图象； (2)若时函数值等于，求a的取值集合． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）直接根据函数解析式得出函数性质，作图即可. （2）根据分段函数性质对分类讨论，列出方程即可求解. 【详解】（1）函数的图象如下图所示： （2）当时，，可得：； 当时，，可得：； 当时，，可得； 综上所述，a的取值构成集合为. 12-2．（2024高一上·陕西榆林·阶段练习）设函数．    (1)将函数写成分段函数的形式并画出其图象； (2)写出函数的单调区间和值域． 【答案】(1)，图象见解析 (2)单调递增区间为，单调递减区间为，值域为 【分析】（1）去掉绝对值符号将函数写成分段函数，再画出函数图象； （2）结合函数图象得到函数的单调区间与最小值，即可求出函数的值域. 【详解】（1）因为， 所以， 所以的图象如下所示：    （2）由（1）中函数图象可知，的单调递增区间为，单调递减区间为， 又，所以的值域为. 12-3．（2024·山东济宁·模拟预测）已知函数，其中[x]表示不超过的最大整数，例如 (1)将的解析式写成分段函数的形式; (2)请在如图所示的平面直角坐标系中作出函数的图象; (3)根据图象写出函数的值域. 【答案】(1). (2)作图见解析 (3). 【分析】(1)根据已知条件给的新定义，可以将函数分为三段，分别求解析式即可. (2)根据写出的分段函数画图. (3)由图像就可以观察出函数的值域. 【详解】（1）当时，所以 当时，，所以 当时，，所以. 综上， （2）函数的图象如图所示. （3）由图象，得函数的值域为. 12-4．（2024高一上·云南昆明·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，， (1)求函数的解析式，并作出简图； (2)求函数在区间上的值域. 【答案】(1)，作图见解析； (2). 【分析】（1）利用奇函数定义求出时，再用分段函数表示出即可. （2）当时，求出，利用换元法结合对勾函数性质求出值域. 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，且当时，， 当时，，则，而， 所以，函数的图象，如图： （2）由（1）得，， 令，，则， 函数在上单调递减，在上单调递增， 则，，于是， 所以函数在区间上的值域为. 12-5．（2024高二下·海南海口·期末）已知函数，.若，则 ；若函数的图象与的图象有3个公共点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用分段函数的定义直接计算可得第一空；作出两个函数的图象，利用数形结合分类讨论即得. 【详解】若，则，显然， 则； 如图所示作出的大致图象， 易知过原点，要满足题意需与有两个交点， 当过时，此时，不满足题意， 当时，与只一个交点， 数形结合可知，当的斜率介于时满足题意，即. 故答案为：；. 一、单选题 1．（2024高一上·重庆万州·期中）将函数的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位长度，所得的函数图象对应的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据函数图象变换的知识求得正确答案. 【详解】函数的图象向左平移1个单位得到， 再向下平移3个单位长度得到. 故选：C 2．（山东省2023-2024学年高三上学期普通高校招生（春季）考试第一次校际联考数学试题）如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈(路线为)，则小明到点的直线距离与他从点出发后运动的时间之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据距离随与时间的增长的变化增减情况即可判定. 【详解】小明沿走时，与点的直线距离保持不变， 沿走时，随时间增加与点的距离越来越小， 沿走时，随时间增加与点的距离越来越大. 故选：D. 3．（2024高一上·福建宁德·期中）函数的图象大致形状是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题为分段函数图像判断，写出分段函数，可根据特殊点进行判断. 【详解】函数的定义域为， ，排除BC选项，，排除D选项. 故选：A 4．（2024高一上·福建）如图，点在边长为1的正方形的边上运动，是的中点，则当沿运动时，点经过的路程与的面积的函数的图象的形状大致是（    ）    A．   B．   C．  D．   【答案】A 【分析】先分点在上时，点在上时，点在上时求得函数，再利用函数的性质来判断． 【详解】当点在上时：， 当点在上时： ， 当点在上时：， 由函数可知，有三段直线，又当点在上时是减函数，如下图：    故选：A． 5．（2024高三上·北京大兴·期中）如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度（单位：米/分钟）与时间（单位：分钟）的关系．若定义“速度差函数”为无人机在时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图像为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据速度差函数的定义，分四种情况，分别求得函数解析式，从而得到函数图像. 【详解】由题意可得，当时，无人机做匀加速运动，，“速度差函数”； 当时，无人机做匀速运动，，“速度差函数”； 当时，无人机做匀加速运动，，“速度差函数”； 当时，无人机做匀减速运动，“速度差函数”，结合选项C满足“速度差函数”解析式， 故选：C. 6．（2024·湖北·一模）已知函数，则函数的图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可知 图像与的图像关于轴对称，由 的图像即可得出结果. 【详解】因为，所以 图像与的图像关于轴对称， 由解析式，作出的图像如图 . 从而可得图像为D选项. 故选：D. 7．（2024高二下·吉林长春·期末）已知函数无最大值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意作出函数的图象，根据二次函数的性质，数形结合判断临界点即可求解. 【详解】解：由题可知，当时，，其对称轴为， 当时，函数有最大值为， 当时，函数有最大值为， 当时，，在单调递减，故， 因为函数无最大值，故当时，需满足，解得，不符合题意， 当时，需满足，解得，（舍去）. 综上，实数a的取值范围是. 故选：D. 8．（2024高一上·辽宁辽阳·期中）函数的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将函数写成分段函数，再根据特殊值判断即可. 【详解】解：因为，且， ，故符合题意的只有A. 故选：A 9．（2024·河北唐山·模拟预测）已知函数，若的最小值为1，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】讨论分段函数各段上的函数性质，结合分类讨论研究函数最小值，进而确定的情况下有满足要求的情况，再比较两分段上最小值列不等式求参数范围. 【详解】由，则，仅当时等号成立， 所以，在上递减，且最小值为， 对于在上，当时；当时，无最小值； 显然，时的最小值不为1，不合题意； 所以，此时必有，可得. 故选：B 10．（2024高一·全国·期末）某校要召开学生代表大会，规定各班每人推选一名代表，当班人数除以的余数大于时，再增选一名代表，则各班推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数，如，）可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令班级人数的个位数字为，则（），结合题意讨论写出对应值，由取整函数的定义写出函数关系式. 【详解】设班级人数的个位数字为，令，（）， 当时，，当时，， 综上，函数关系式为. 故选：B. 11．（2024高一上·广西柳州·期中）如图，是边长为2的等边三角形，点E由点A沿线段AB向点B移动，过点E作AB的垂线l，设，记位于直线l左侧的图形的面积为y，那么y与x的函数关系的图象大致是（    ）      A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】建立关于的关系式，分为点在中点左侧和右侧分类讨论，结合函数图象变化情况即可求解． 【详解】因为是边长为2的等边三角形， 所以当时，设直线与交点为， 当点在中点左侧时，，， 此时函数为开口向上的二次函数；此时可排除BC， 当点在中点右侧时，， 此时左侧部分面积为：， 此时函数为开口向下d额二次函数，此时可排除A， 故选：D 故选：D．    二、多选题 12．（2024高一上·重庆万州·期中）下列函数图像经过变换后，过原点的是（    ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向上平移个单位 D．向下平移个单位 【答案】AC 【分析】 先求得变换后的解析式，然后将原点坐标代入验证即可. 【详解】向右平移个单位得到，当时，，函数图像过原点，选项A正确；.. 向左平移个单位得到，当时，，函数图像不过原点，选项B错误； 向上平移个单位得到，当时，，函数图像过原点，选项C正确； 向下平移个单位得到，当时，，函数图像不过原点，选项D错误. 故选：AC 13．（2024高一下·贵州遵义·期末）设函数，存在最小值时，实数的值可能是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】ABC 【分析】根据函数解析式，分、、三种情况讨论，当时根据二次函数的性质只需函数在断点处左侧的函数值不小于右侧的函数值即可； 【详解】解：因为， 若，当时在上单调递增，当时，此时函数不存在最小值； 若，则，此时，符合题意； 若，当时在上单调递减， 当时， 二次函数对称轴为，开口向上，此时在上单调递增， 要使函数存在最小值，只需，解得， 综上可得. 故选：ABC 14．（2024高三·全国·专题练习）已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】设，代入列方程组求解即可. 【详解】设， 由题意可知， 所以，解得或， 所以或. 故选：AD. 三、填空题 15．（2024高三·全国·对口高考）已知函数，则的值为 . 【答案】7 【分析】根据函数的解析式，代入，逐次计算，即可求解. 【详解】由题意，函数， 则. 故答案为：. 16．（2024·四川内江·模拟预测）已知函数，则 ． 【答案】 【分析】由分段函数解析式计算函数值即可. 【详解】， 所以 故答案为：. 17．（2024高一下·河南信阳·期中）已知函数，则 ． 【答案】63 【分析】先计算，再计算的值即可. 【详解】因为，所以． 故答案为：63． 18．（2024高三·广东深圳·阶段练习）写出一个满足：的函数解析式为 . 【答案】 【分析】赋值法得到，，求出函数解析式. 【详解】中，令，解得， 令得，故， 不妨设，满足要求. 故答案为： 19．（2024高一上·全国·课后作业）已知，则函数 ，= ． 【答案】 11 【分析】利用换元法可求出，进一步可得. 【详解】令，则， 所以，所以， 所以. 故答案为：；. 20．（2024高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数，当时，，则的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】分别求得和时对应的自变量的值，结合的图象可确定的取值范围，由此可得结果. 【详解】令，解得：；令，解得：； 图象如下图所示， 由图象可知：，，. 故答案为：. 四、解答题 21．（2024高一上·江西南昌·阶段练习）根据下列条件，求的解析式. (1)已知 (2)已知 (3)已知是二次函数，且满足 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用换元求解，令，然后表示出，代入化简即可； （2）利用方程组法求解，再构造一个关于的方程，然后解方程组可求得结果； （3）利用待定系数法求解，令，然后由已知条件列方程组求解. 【详解】（1）令，则，， 所以由， 得， 所以； （2）由， 得， 所以， 所以， 解得； （3）由题意设， 因为，所以， 因为， 所以， 所以， 所以，得， 所以. 22．（2024高三·全国·专题练习）根据下列条件，求函数的解析式． (1)已知，则的解析式为__________． (2)已知满足，求的解析式． (3)已知，对任意的实数x，y都有，求的解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)利用换元法或者配凑法求解析式； (2)构造方程组即可求解析式； (3)令即可求得解析式. 【详解】（1）方法一（换元法）：令，则，． 所以， 所以函数的解析式为． 方法二（配凑法）：． 因为，所以函数的解析式为． （2）将代入，得， 因此，解得． （3）令，得， 所以，即． 23．（2024高一上·云南昆明·期末）已知函数. (1)在所给坐标系中作出的简图； (2)解不等式. 【答案】(1)图像见解析 (2) 【分析】（1）直接画出对应二次函数和反比例函数的图像即可； （2）分段函数分段解不等式即可. 【详解】（1）的简图如下： ； （2）由已知得或， 解得或， 即不等式的解集为． 24．（2024高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数. (1)求，的值； (2)作出函数的简图； (3)由简图指出函数的值域； 【答案】(1)， (2)函数的简图见解析. (3) 【分析】（1）直接利用分段函数解析式求解函数值. （2）根据函数类型及性质作函数简图. （3）由简图直接看出函数的值域. 【详解】（1）由， ∴， . （2）简图如图所示： （3）简图可知函数的值域为 25．（2024高一上·广东深圳·期中）已知. (1)用分段函数的形式表示该函数. (2)画出区间上的的图象； (3)根据图象写出区间上的值域. 【答案】(1) (2)作图见解析 (3) 【分析】(1)根据绝对值分类讨论即可表示为分段函数； (2)根据二次函数图象性质作出图象； (3)根据图象确定函数最小值、最大值即可求值域. 【详解】（1）当时，，当时，， 所以. （2）根据二次函数的图象性质，作图如下， （3）由图象可知，当或时，函数有最小值为， 当时，函数有最大值为， 所以区间上的值域为. 26．（2024高一上·广东东莞·阶段练习）给定函数，，. (1)在所给坐标系（1）中画出函数，的大致图象；（不需列表，直接画出.） (2)，用表示，中的较小者，记为，请分别用解析法和图象法表示函数.（的图象画在坐标系（2）中） (3)直接写出函数的值域. 【答案】(1)图象见解析. (2)，图象见解析. (3). 【分析】（1）根据函数的解析式，在坐标系中分别描出5个点，再将各点连接起来，即可得，的大致图象； （2）根据函数的定义，结合（1）所得图象写出解析式，进而画出的图象. （3）由（2）所得图象直接写出的值域. 【详解】（1） -2 -1 0 1 2 -6 0 2 0 -6 -6 -3 0 3 6 ∴函数，的大致图象如下图示： （2）由，可得或，结合（1）的图象知： ，则的图象如下： （3）由（2）所得图象知：的值域为. 27．（2024高二上·云南·阶段练习）已知函数满足． (1)求的解析式； (2)设函数，若对任意，恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将“”代入等式，消去解出； （2）将条件转化为对任意恒成立，求出在上的最大值，可得m的取值范围. 【详解】（1）由， 得， 消去得，所以． （2）由，得，即对任意恒成立， 令，， 当时，取得最大值86， 所以实数m的取值范围为． 28．（2024高一上·安徽宣城·期中）根据下列条件，求的解析式 (1)已知满足 (2)已知是一次函数，且满足； (3)已知满足 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用换元法即可求解； （2）设，然后结合待定系数法即可得解； （3）由题意可得，利用方程组思想即可得出答案. 【详解】（1）解：令，则， 故， 所以； （2）解：设， 因为， 所以， 即， 所以，解得， 所以； （3）解：因为①， 所以②， ②①得， 所以. 29．（2024高一上·河北衡水·阶段练习）某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：①公里以内(含公里)，票价元；②公里以上，每增加公里，票价增加元(不足公里的按公里计算)．如果某条线路的总里程为公里， (1)请根据题意，写出票价与里程之间的函数关系式； (2)画出该函数的图像． 【答案】(1)； (2)作图见解析. 【分析】（1）根据给定条件，分段求出函数关系式作答. （2）由（1）中函数式，作出函数图象即可作答. 【详解】（1）依题意，令x为里程数（单位：公里），为行驶x公里的票价（单位：元）， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 所以票价与里程之间的函数关系式为. （2）由（1）得函数的图象，如下： 30．（2024高一上·江苏常州·期中）已知函数. （1）若，求实数的值； （2）画出函数的图象并写出函数在区间上的值域； （3）若函数，求函数在上最大值. 【答案】（1）或；（2）图象答案见解析，值域为；（3）. 【分析】（1）讨论的范围根据分段函数解析式可求解； （2）根据分段函数解析式即可画出，计算出端点值，结合图象即可得出值域； （3）可得，讨论和两种情况根据二次函数的性质求解. 【详解】（1）当时，得， 当时，得， 由上知或. （2）图象如下图： ， 由图象知函数的值域为. （3）当时，， 配方得, 当，即时，， 当，即时，， 综上，. 【点睛】思路点睛：求二次函数在闭区间的最值的思路； （1）二次函数开口向上时，求函数的最大值，讨论对称轴和的大小求解； （2）二次函数开口向上时，求函数的最小值，讨论对称轴在三个区间的范围求解. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$