新课预习衔接：数学广角——优化 （讲义）-2024-2025学年四年级上册数学人教版

数学广角——优化 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 【数字问题知识点归纳】 1．数字问题的主要题型： 数字问题是研究有关数字的特殊结构、特殊关系以及数字运算中变换问题的一类问题，相对来说，难度较大．通常情况下题目会给出某个数各个位数关系，求这个数为多少． 2．核心知识 （1）数字的拆分 是将一个数拆分成几个因数相乘或者相加的形式，经常需要综合应用整除性质、奇偶性质、因式分解、同余理论等． （2）数字的排列与位数关系 解答数字的排列与位数关系时，经常需要借助于首尾数法进行考虑、判断，同时可以利用列方程法、代入法、假设法等一些方法，进行快速求解． 【排队论问题知识点归纳】 1．排队论问题解决方法： 要使等候时间最短，应该从等候时间较少的事情做起． 【烙饼问题知识点归纳】 1．烙饼问题公式： 总时间＝饼数×2÷每锅的可烙的数量×烙每面的时间 当时间算出来不为整数时，采用进一法取近似数．如饼数为4，每一锅的只数为3时，根据公式，4×2÷3×1约＝3分 2．深层意义： 烙饼问题只是一种数学思考的方法．其实这种合理安排时间的问题，就是“优化问题”，也是被数学家华罗庚称作“运筹安排”的问题． 【沏茶问题知识点归纳】 【田忌赛马问题知识点归纳】 1．田忌赛马： 田忌赛马说的是田忌和别人赛马的故事，大概如下：用自己的劣等马对决对手的优等马用自己的优等马对决对手的中等马用自己的中等马对决对手的劣等马这个故事告诉我们一个道理，从管理学角度叫“策划和决策”，策划计划的重要性． 2．深层意义： 通过简单的事例，初步体会运筹思想和对策方法在解决实际问题中的应用，初步培养应用意识，提高解决实际问题的能力．只要能从解决问题的多种方案中寻找出最优的方案，初步体会优化思想的应用． 3．应用举例： 一位镇长想起了田忌赛马的故事．不与强者争一时的长短，而是依据自己的实际，错开优势，以长击短，因此取胜．联想到招商引资，如果也能注意扬长避短，制造“错位”优势，可能还是打破僵局、走向成功的一个高招． 第二部分 典型例题 例题1：温塘游泳馆有两种购票方案，小明一家三口（爸爸、妈妈和小明）打算去游5次，选哪种方案购买合算？ 【答案】方案二购买合算 【详解】15×2×5＋9×5 ＝30×5＋45 ＝150＋45 ＝195（元） 3×5＝15（次） 180＜195 答：选方案二购买合算。 例题2：用一辆大卡车和一辆中卡车运送22吨沙子，大卡车每次只能运5吨，中卡车每次只能运3吨。大卡车和中卡各运送几次恰好把这些沙子运送完？（可以用列表的方法） 【答案】大卡车运2次、中卡车运4次恰好把这些沙子运送完。 【分析】根据两种车每次的运沙量和沙子的总量，利用列表法进行解决即可。 【详解】 大卡车（5吨/次） 中卡车（3吨/次） 总吨数（吨） 2 4 22 大卡车运2次、中卡车运4次恰好把这些沙子运送完。 【点睛】本题考查最优化问题，关键是根据两种车每次的运沙量和沙子的总量，设计合理方案。 例题3：烙饼时，第一面要烙4分钟，第二面要烙2分钟，即烙一张饼需要6分钟。小丽家的平底锅每次只能烙2张饼，她家每天早上需要烙3张饼，最少需要多长时间才能吃上饼？ 【答案】10分钟 【分析】烙3张，先烙第一张与第二张的正面需4分钟，然后烙第一张的反面与第三张的正面需要4分钟，最后烙第二张的反面与第三张的反面需2分钟，烙完3张共需4＋4＋2＝10分钟。 【详解】4＋4＋2＝10（分钟） 答：最少需要10分钟才能吃上饼。 【点睛】在烙饼优化问题中，要统筹安排烙饼的顺序，使锅里始终没有空位，这样才能保证需要的时间最短。 例题4：景深公园“风车节”游园票价规定如下表： 购票人数 1～99 100～199 199以上 票价/（元/人） 28 25 18 现有甲、乙两个旅游团，甲团有86人，乙团有108人。 （1）两个团分开购票，各需要付多少钱？ （2）两个团合起来购票，需要付多少钱？ （3）认真想一想，还费更少的方法有付吗？ 【答案】（1）甲要付2408元，乙要付2700元 （2）4850元 （3）买200张票更合算，只需付3600元 【分析】如果两个团分开购票，甲旅游团每张票28元，乙旅游团每张票25元；两个团合起来购票，总人数194人，票价25元。 【详解】（1）（元） （元） 答：甲旅游团需要付2408元，乙旅游团需要付2700元。 （2）（人） （元） 答：需要付4850元。 （3）可以买200张，虽然有6张浪费，但是票价大幅下降，总费用会更低； （元） 答：最省钱的方案，需要付3600元。 【点睛】本题考查的是方案选择的问题，尤其是在第（3）问中，要进行取舍，虽然多买了票，但是票价更低，也更划算。 第三部分 高频真题 1．用一个平底锅煎饼，每次最多能同时放2张饼，如果煎一张饼需要2分钟（假定正、反面各需1分钟）． （1）煎3张饼至少需要几分钟？ （2）煎5张饼至少需要几分钟？ （3）煎1993张饼至少需要几分钟？ 2．四（1）班同学到博物馆开展研学活动。其中学生有50人，教师及家长14人。怎样租车最省钱？ 租车报价单 大车（限20人）：100元/辆 小车（限12人）：80元/辆 3．赵叔叔在某市银行上班，每天要开车到单位（中午不回家），银行附近有两个停车场，收费标准如下： 新华小区 2小时内（含2小时） 共收5元 超过2小时的部分 每小时加收1元 阳光家园 按月收费，每个月500元 （1）在新华小区的停车场停车5小时，需要多少钱？ （2）赵叔叔每周工作5天（其中值班1天），其中4天每天需要停车8小时，值班当天需要多停4小时。如果每个月的工作时间按4周计算，你认为赵叔叔应该选择哪个停车场比较合算？ 4．西点店里卖的面包都是5个一袋或3个一袋的，不拆开零售。已知5个一袋的售价是8元，3个一袋的售价是5元，要给47位同学每人发1个面包最少要花多少钱？ 5．动物园有两种购买门票的方案。 方案一 成人每人30元 儿童每人10元 方案二 团体9人以上（包括9人）每人20元 （1）成人5人，儿童4人，选哪种方案合算？ （2）成人4人，儿童5人，选哪种方案合算？ 6．妈妈用平底锅煎鸡蛋，锅中每次最多煎2个鸡蛋，煎一鸡蛋每面需要2分钟，要煎5个鸡蛋至少需要多少时间？怎样煎？（可用图或表格表示出来） 7．两个油漆工要给9块同样木板的两面刷漆，每人每面刷完需要5分钟，并且两人不能同时给同一块木板刷油漆，全部刷完至少需要多少分钟？ 8．星期天，小明家来了妈妈的几个同事，妈妈妈叫小明给客人烧水沏茶，小明开始做事：洗开水壶用一分钟，烧开水用8分钟，洗茶壶用1分钟，洗茶杯用2分钟，拿茶叶用2分钟，沏茶用1分钟，请你计算一下，小明花多少时间才能让客人尽快喝上茶？ 9．甲、乙、丙、丁四个人过桥，分别需要1分钟，2分钟，5分钟，10分钟．因为天黑，必须借助于手电筒过桥，可是他们总共只有一个手电筒，并且桥的载重能力有限，最多只能承受两个人的重量，也就是说，每次最多过两个人．现在希望可以用最短的时间过桥，你来帮他们安排一下．最短时间是多少分钟呢？ 10．四（1）班和四（2）进行乒乓球比赛，每班各出三个人，每人只能进行一场比赛，共进行3场比赛，赢2场比赛的获胜，四（1）班的三名选手在全校的排名为1、6、12，四（2）班的三名选手在全校的排名为2、7、13，要想四（2）获胜，你将如何安排？ 11．妈妈的好帮手。 妈妈对小林说：我和你王阿姨一起去进货，进的是同一种套装，这种套装有优惠，批发的价格你看我手机上的图片（如下表）。妈妈边翻手机边说，我进了18套，你王阿姨进了35套。 批发数量/套 1~19 20~50 50以上 单价/元 58 55 50 （1）怎样批发最合算？为什么？ （2）钱是你王阿姨替我付的，我要转给她多少钱。 12．一天，妈妈陪奶奶去医院体检，完成下面的体检项目至少需要多长时间？（排队等候及其余时间忽略不计）请你用流程图的形式表示出来，并算出时间。 心电图 5分 彩超 20分 抽血 3分 身高、体重 2分 等待抽血结果 30分 13．小强骑在牛背上过河，共有甲、乙、丙、丁、戊、己六头牛，甲牛过河要1分钟，乙牛过河要2分钟，丙牛过河要3分钟，丁牛过河要4分钟，戊牛过河要5分钟，己牛过河要6分钟。每次只能三头牛过河，要把6头牛都赶到对岸去，最少要几分钟？ 14．薇薇饼屋有一种面包，有三种不同的包装（如下图），四（1）班举办元旦联欢会，有41位同学，每个同学一个面包，怎么买最省钱？需要多少钱？ A包装 1个5元 B包装 3个12元 C包装 24个84元 15．某租船公司一条小船限坐4人，一条大船限坐6人，现有游客28人。 （1）如果每条船都坐满，可以怎样租船？ （2）如果租一条大船35元，租一条小船25元，要花多少钱？ 16．“十一”黄金周，熊猫旅行社推出南山游的两种优惠方案。 A方案：团体10人以上（含10人）每位100元 B方案：成人每位130元，小孩每位70元 如果4位家长带6位孩子去旅游，选哪种方案优惠？应付多少钱？ 17．在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水，已知甲浇了30盆，乙浇了75盆，丙浇了80盆，丁浇了90盆，请问恰好被1个人浇过的花最少有多少盆？ 18．小林和小红玩扑克牌比大小的游戏，每人每次出一张牌，各出 3 次，赢两次者胜．小红有可能获胜吗？如果可能，写出小红获胜的出牌方法． 小林：红桃9     红桃7     红桃5 小红：红桃8     红桃6     红桃3 19．星期天，小华要干完下面这些事，每件事需要的时间都计划好了，并列出了最少时间干完这些事情的示意图，你能把内容填出来吗？ 擦桌子（5分钟）  接水（3分钟）  烧水（25分钟） 拖地（5分钟）    切菜（3分钟）  洗菜（6分钟） 20．五个人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过次传球后，球仍回到甲手中。问：共有多少种传球方式？ 21．旅游团26人到旅馆住宿，住4人房间和3人房间，4人房间120元一间，3人房间100元一间，假如你是旅行团团长，怎么安排房间最省钱？一共要多少元？ 22．小李阿姨要出门，出门之前她要完成以下几件事：整理房间5分钟，把衣服和水放入洗衣机要1分钟，洗衣服自动洗涤要12分钟，擦鞋要3分钟。怎样合理安排，小李阿姨在多少分钟后就可以出发了？ 23．张红和李华两人轮流报数,必须每次只能报1~4中的一个自然数,先报到数字总和为100的人为胜方． 24．元旦放假，茜茜在家里学做饭。她择菜6分钟，洗菜4分钟，淘米2分钟，用电饭煲煮饭要20分钟，切菜4分钟，炒菜6分钟。请你帮她安排一下时间，使她做完这些事情用的时间最短。最短要用多长时间？ 25．乐乐准备为即将下班的妈妈炒一个西红柿鸡蛋，他洗切西红柿用了1分钟，洗葱切葱用了2分钟，敲蛋打蛋用了1分钟，洗锅2分钟，把锅烧热1分钟，将油烧热3分钟，炒西红柿鸡蛋4分钟，乐乐烧好这道菜花了14分钟，请你巧妙安排，设计出一个顺序，使烧好这道菜的时间最短。 26．黑板上写着一排相连的自然数1，2，3，…，51，甲、乙两人轮流划掉连续的3个数。规定在谁划过之后另一人再也划不成了，谁就算取胜。问：甲有必胜的策略吗？ 27．大美、小美、阿美三个人住在同一间宿舍，宿舍只有一张书桌和一张梳妆台。三个人每天都要在书桌上整理书包用时5分钟，在梳妆台上梳头发用时5分钟。书桌和梳妆台每次只能一个人使用，请问：最少经过多长时间所有人都能完事？ 28．4位老师带30名学生去参观植物园．怎样买票最合算？ 成人票：8元/人 学生票：4元/人 团体票（10人及以上）：5元/人． 29．我们学校安排2位老师带领98名学生租车到思源学校参观科技展览，每辆面包车限乘12人，租金120元，每辆小轿车限乘4人，租金25元，怎么租车最省钱？需多少钱？ 30．复印7张文字资料，正反面都要复印．如果一次最多放2张，那么你认为最少要复印多少次？你是怎么安排的？ 31．星期六，爸爸送小明去学校参加课外活动，他还要去菜市场买菜． 上面是他们行走路线和所用时间，他们办完这些事回到家，至少需要多长时间？ 32．四年级2位教师带40位同学参观爱国主义主题展览，哪种方案购门票合算？ 33．大客车限乘30人，租金是500元，小客车限乘20人，租金是350元。两名老师带着258名学生租车旅游，怎样租车最省钱？ 34．旅行社推出“××风景区一日游”的两种出游价格方案。 方案一： 成人每人150元，儿童每人60元。 方案二： 团体5人以上，每人100元。 （1）成人6人，儿童4人，怎样购票合算？ （2）成人4人，儿童6人，怎样购票合算？ 35．明明计划暑假练习游泳，了解到游泳馆的价目单如下： （1）如果明明买月卡，至少游几次才能比单次票更省钱？ （2）如果明明在七月份每天游泳一次，购买月卡的话相当于每次多少钱？ 票种 价格 单次票 28元 月卡（当月使用，次数不限） 279元 36．李阿姨用一只小平底锅煎鸡蛋，每次最多能煎2个，如果煎1个鸡蛋需要2分钟（正、反面各1分钟），那么煎9个鸡蛋至少需要多少分钟？ 37．某景区游船出租租金如下表 船型 限坐人数 每条船的租金 大船 6人 36元 小船 4人 28元 张老师和王老师带领44名同学一起去划船，怎样租船最省钱？最少需要花多少钱？ 38．有3名老师带领43名学生去青龙山公园划船，大船限乘6人，租金10元，小船限乘4人，租金8元。请你设计最便宜的租船方案。 39．星期天，明明在家做家务。擦桌子要用2分钟，电热水壶烧开水要用20分钟，拖地要用12分钟，整理房间要用5分钟，洗水壶、接水共用了3分钟。要想用最短的时间做完这些事情，怎样安排合理呢？做完这些事情，最少要用几分钟？ 40．我早晨起床要做这样几件事：穿衣，刷牙，洗脸，整理房间，热馒头，吃早点，穿衣需要3分钟，刷牙洗脸要4分钟，整理房间要5分钟，热馒头要10分钟，吃早点6分钟，为了尽快做完这些事，应怎样安排？这样安排，她用了多少分钟？ 41．学校文印室需要复印7张资料，正反面都要复印．如果复印机一次最多能放2张，那么至少要复印多少次？怎么安排的？ 42．烤面包的架子上最多只能放两个面包，烤一个面包（两面都烤）需要 4 分钟，那么烤 13 个面包最少需要多少分钟？ 43．做家务。 洗碗 收拾客厅 拿衣服去洗 拖地 洗衣机洗衣服 晾衣服 3分钟 8分钟 1分钟 10分钟 26分钟 3分钟 星期天，小兰要做完这些事情，应该怎样安排用时最少？最少要多长时间？ 44．四年级和三年级进行跳绳比赛，每个年级出3人，且每个年级3人的成绩都分别为每分钟跳200个左右、每分钟跳150个左右、每分钟跳100个左右。如何安排比赛顺序，才有可能使四年级获胜？ 参考答案： 1．（1）3分钟；（2）5分钟；（3）1993分钟． 【分析】（1）若先把两张饼煎至熟，势必在煎第三张饼时，锅中只有一只饼而造成浪费，所以应把两只饼的两面错开煎． （2）煎5张饼，先拿出3张饼，按照3张饼的煎法求解，剩下的再按照2张一组求解，据此解答即可． （3）煎1993张饼，先拿出3张，按照三张饼的煎法进行求解，剩下的1990张，按照每两张一组进行求解． 【详解】（1）煎3张饼需要的时间是： 设3张饼为A，B，C，第一次：放A的正面和B的正面，第二次：放A的反面和C的正面，第三次：放B的反面和C的反面，共需3分钟； （2）煎5张饼需要的时间是： 先拿出3张饼来煎，共需3分钟，剩下的2张饼同时煎需要2分钟； 5张饼一共：3+2=5（分钟） （3）煎1993张饼需要的时间是： 先拿出3张饼来煎，共需3分钟，剩下的1990张，按2张一组来煎，两张饼同时煎需要2分钟； 1993张共需要： （1993-3）÷2×2+3 =1990+3 =1993（分钟） 答：煎1993张饼至少需要3983分钟． 2．租用2辆大车和2辆小车最省钱 【分析】根据题意，先求出总共的人数，然后发现租2辆大车、租2辆小车的时候刚好没有空位，即这样最省钱，据此计算出所需要的费用，代入数据计算。 【详解】租用2辆大车和2辆小车最省钱： 总人数：50＋14＝64（人） 租2辆大车的费用：100×2＝200（元） 租2辆大车乘坐人数：20×2＝40 （人） 租2辆小车的费用：80×2＝160 （元） 租2辆小车乘坐人数：12×2＝24 （人） 租2辆大车和2辆小车乘坐总人数为：40＋24＝ 64（人） 即租2辆大车和2辆小车乘坐总人数等于四（1）班全体师生家长总人数， 租2辆大车和2辆小车所需要的费用为：200＋160＝360（元） 答：租用2辆大车和2辆小车最省钱。 3．（1）8元； （2）新华小区 【分析】（1）首先应支付2小时内的5元，其次超出部分为3小时，需要支付3×1＝3（元），最后利用加法求出在新华小区的停车场停车5小时，需要多少钱； （2）利用（1）的方法，先求出赵叔叔日常工作日每天在新华小区应付的停车费，以及值班当天需要付的停车费。再利用4乘每个工作日需要付的停车费，加上每个值班日需要付的停车费，求出他一周的停车费。最后，将一周停车费乘4，求出一个月在新华小区的停车费。将这个数据和在阳光家园的停车月租做对比，选出更合算的方案即可。 【详解】（1）5＋（5－2）×1 ＝5＋3×1 ＝5＋3 ＝8（元） 答：在新华小区的停车场停车5小时，需要8元。 （2）5＋（8－2）×1 ＝5＋6 ＝11（元） 5＋（8＋4－2）×1 ＝5＋10 ＝15（元） （11×4＋15）×4 ＝（44＋15）×4 ＝59×4 ＝236（元） 236＜500 答：我认为赵叔叔应选择新华小区来停车更合算。 【点睛】本题考查了梯度定价，解本类题目时，先计算出各个价格段的费用，再利用加法求出总价。 4．76元 【分析】5个一袋的每袋8元，则每个8÷5＝1.6元，3个一袋的每袋5元，则每个5÷3≈1.67元，即每袋五个的每个的单价较便宜。由于不能打零售，因此应尽量两种包装搭配正好为47个，且尽量多买每袋5个的最省钱；由于47＝35＋12＝5×7＋3×4，因此买7袋五个的，4袋3个的最省钱，需花8×7＋5×4＝76元。 【详解】8÷5＝1.6元，5÷3≈1.67元，每袋5个的每个的单价较便宜。 所以尽量两种包装搭配正好为47个，且尽量多买每袋5个的最省钱； 由于47＝35＋12＝5×7＋3×4 因此买7袋5个的，4袋3个的最省钱， 需花8×7＋5×4＝76（元）。 答：买7袋5个的，4袋3个的最省钱；共用76元钱。 【点睛】通过分析每种包装每支的单价得出应尽量两种包装搭配正好为47个，且尽量多买每袋5个的最省钱是完成本题的关键。 5．（1）方案二最合算；（2）方案一最合算。 【分析】根据票价×人数＝总价，求出买成人票和儿童票所花的钱数，分别按照两种不同的方案算出成人和儿童购票花的总钱数，然后再比较即可。 【详解】（1）方案一：5×30＋4×10＝150＋40＝190（元） 方案二：（5＋4）×20＝9×20＝180（元） 190＞180 答：按方案二方法购票更合算。 （2）方案一：4×30＋5×10＝120＋50＝170（元） 方案二：（4＋5）×20＝9×20＝180（元） 170＜180 答：按方案一方法购票更合算。 6．10分钟，列表见解析 【详解】应先往锅中放入两枚鸡蛋，反正两面需要2×2=4（分钟） 剩下的3个蛋，先煎熟一面后拿出一枚，再放入另一枚，当再煎熟一面时把熟的一枚拿出来，再放入早拿出的那枚，使两枚并同时熟， 共需2×3=6（分钟） 所以要共需要4+6=10（分钟） 把五个鸡蛋分别编号为①②③④⑤，列表如下： 次数 鸡蛋编号 需要的时间 第一次 ①正②正 2分钟 第二次 ①反②反 2分钟 第三次 ③正④正 2分钟 第四次 ③反⑤正 2分钟 第五次 ④反⑤反 2分钟 答：煎5个鸡蛋至少需要10分钟．   【点睛】根据题干，先煎2个，因为每面需要2分钟，所以煎完2个蛋需要2×2=4分钟，剩下的3个蛋，若先把两枚鸡蛋煎至熟，势必在煎第三个时，锅中只有一个鸡蛋而造成浪费，所以应把两个蛋的两面错开煎． 7．45分钟 【解析】略 8．10分钟 【分析】首先要洗开水壶，才能烧水，烧水的时候可以洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶，水烧开后才能够沏茶。 【详解】第一步：洗开水壶，需要1分钟； 第二步：烧开水，同时洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶，需要8分钟； 第三步：沏茶，需要1分钟； （分钟） 答：最少10分钟，可以喝上茶。 【点睛】在解决时间优化的问题时，可以同时进行的一定要同时进行，这样时间是最短的。 9．17分钟 【详解】甲和乙先过桥（2分钟） 甲送回电筒（1分钟） 丙和丁过桥（10分钟） 乙送回电筒（2分钟） 甲和乙再过桥（2分钟） 最短时间：2+1+10+2+2=17（分钟） 10．让全校的排名为13的选手与全校的排名为1的选手进行比赛；让全校的排名为7的选手与全校的排名为12的选手进行比赛；让全校的排名为2的选手与全校的排名为6的选手进行比赛。 【分析】根据题意可知，在全校的排名第1的选手比全校的排名第2的选手厉害，1＜13；7＜12；2＜6，要想四（2）获胜，则四（2）要赢2场比赛，依此安排比赛即可。 【详解】根据分析可知，要想四（2）获胜，让全校的排名为13的选手与全校的排名为1的选手进行比赛；让全校的排名为7的选手与全校的排名为12的选手进行比赛；让全校的排名为2的选手与全校的排名为6的选手进行比赛。 【点睛】熟练掌握优化问题的计算是解答此题的关键。 11．（1）两个人一起进货最划算；理由见解析。 （2）若是分开结账，应该转给王阿姨1044元，若是一起批发，应该转给王阿姨900元。 【分析】（1）根据图中信息可知，批发不同数量的衣服，价格也不同，批发量越多衣服就越便宜。王阿姨和小林妈妈批发衣服的数量加起来为18＋35＝53批发超过50件，衣服为50元一套，再计算出两个人单独批发需要的价钱，两者相互比较即可得出答案。 （2）因为批发衣服可以有两种方案，故分别计算出不同方案小林妈妈花了多少钱，即可计算出需要转给王阿姨多少钱。 【详解】（1）两个人一起进货最划算。理由如下： 两人单独结算需： 58×18＋55×35 ＝1044＋1925 ＝2969（元） 两人一起结算需： （18＋35）×50 ＝53×50 ＝2650（元） 2968元＞2650元 答：两个人一起批发最划算。 （2）若是两个人分开结账，应该转给王阿姨：18×58＝1044（元） 若是一起批发，应该转给王阿姨：18×50＝900（元） 答：若是分开结账，应该转给王阿姨1044元，若是一起批发，应该转给王阿姨900元。 【点睛】本题考查合理优化的问题，关键读懂图表信息中寻找最优策略。 12．33分钟；抽血→等待抽血结果（身高、体重→心电图→彩超） 【分析】要使需要的时间最短，应先抽血，然后在等待抽血结果的同时，可完成做心电图、彩超、测身高、体重这三项任务。则一共需3＋30分钟。 【详解】3＋30＝33（分钟） 答：完成下面的体检项目至少需要33分钟；抽血→等待抽血结果（身高、体重→心电图→彩超）。 【点睛】本题考查优化问题，要想时间最短，应合理安排各项任务之间的顺序，注意同时进行的两项任务应互不干扰。 13．14分钟 【分析】因为6头牛过河，每次只能赶3头牛，所以需要三次； 骑甲赶戊和己，再骑甲回，需6＋1＝7分钟； 再骑甲赶丙和丁，再骑甲回，需4＋1＝5分钟； 最后骑甲赶乙需2分钟； 把以上时间加起来即可得把6头牛都赶到对岸去的最少时间。 【详解】6＋1＋4＋1＋2 ＝7＋4＋1＋2 ＝11＋1＋2 ＝12＋2 ＝14（分钟） 答：要把6头牛都赶到对岸去，最少要14分钟。 【点睛】此题要抓住回来的路上，尽量骑着用时少的牛回来，才能使来回的路上所用的总时间最少，再根据每头牛过河的时间及所用的时间差进行搭配是完成本题的关键。 14．买1个C包装，5个B包装和2个A包装；154元 【分析】要知道怎么买最省钱，可以先算出A包装、B包装、C包装哪种的单价最便宜，在不多买的前提下尽量买单价便宜的，这样买最省钱。据此解答。 【详解】84÷24＝3（元）……12（元） 12÷3＝4（元） 3＜4＜5 24×2＝48（个） 48＞41 41－24＝17（个） 3×6＝18（个） 18＞17 17÷3＝5（组）……2（个） 方案一：买2个C包装 84×2＝168（元） 方案二：买1个C包装，6个B包装 84＋6×12 ＝84＋72 ＝156（元） 方案三：买1个C包装，5个B包装，2个A包装 84＋5×12＋5×2 ＝84＋60＋10 ＝144＋10 ＝154（元） 168元＞156元＞154元 答：买1个C包装，5个B包装和2个A包装的面包最省钱，需要154元。 【点睛】本题主要考查优化问题，解决此题的关键是要尽量不要多买，根据个数列出方案，进行比较。 15．（1）可以租4条大船，1条小船；或7条小船；或4条小船，2条大船 （2）170元 【分析】（1）只要小船限坐人数乘小船条数，加大船限坐人数乘大船条数的和等于28人即可； （2）选取（1）中的一个方案进行计算即可。 【详解】（1）28＝6×4＋4×1＝4×7＝6×2＋4×4 可以租4条大船，1条小船；或7条小船；或2条大船，4条小船。 答：可以租4条大船，1条小船；或7条小船；或4条小船，2条大船。 （2）如果租2条大船，4条小船。 35×2＋25×4 ＝70＋100 ＝170（元） 答：要花170元钱。（答案不唯一） 【点睛】本题考查学生的发散思维，同一问题有几种方案解决。 16．B方案；940元 【分析】根据题意可知，A方案：购买团体票，B方案：成人和小孩分开买票；4位成人和6位小孩，再分别计算出A方案与B方案需要的钱数，比较即可知道哪种方案更优惠。 【详解】A方案： （4＋6）×100 ＝10×100 ＝1000（元） B方案： 4×130＋6×70 ＝520＋420 ＝940（元） 1000＞940 答：选B方案优惠些，应付940元钱。 【点睛】本题主要考查了“优化问题”的解题方法，分别计算出成人、小孩分开买票与购买团体票需要的钱数，再选出最合算的方案。 17．27盆 【解析】甲浇了30盆，乙浇了75盆，丙浇了80盆，丁浇了90盆，总共浇水275次，要使得恰好被1个人浇过的花最少，那么被浇4次的花也需要尽量多，也就是30盆。 【详解】（次） 100盆花共被浇水275次； （次） 平均每盆被浇2.75次； 为了让被浇1次的花最多，我们也需要被浇4次的花尽量多，为30盆； （次） 那么余下70盆共被浇155次； 平均每盆被浇（次） 说明需要一些花被浇3次才可以．我们假设70盆都被浇3次，那么多出（次） 每盆花少浇2次变为被浇1次，最多可以变为： （次） 所以本题答案为27盆； 答：恰好被1个人浇过的花最多有27盆。 【点睛】这不是一道单纯的包含与排除问题，本题涉及较复杂的“最不利原则”理论，平均数理论，以及鸡兔同笼理论。 18．有可能 小林 红桃9 红桃7 红桃5 小红 红桃3 红桃8 红桃6 获胜方 小林 小红 小红 【解析】略 19．见详解 【分析】先接水3分钟，然后烧水25分钟，烧水的同时可以擦桌子、拖地、切菜、洗菜，5＋5＋3＋6＝19（分钟），没有超过25分钟；那么最少的时间就是将接水的3分钟，加上烧水的25分钟即可；据此解答。 【详解】根据分析如图： 20．种 【分析】每次传球有4种方式，那么传n次就有4n种传球方法，可以列举出传1次、传2次、传3次球后，球回到每个人手中的可能性，找规律求解。 【详解】（种） 经过4次传球，一共256种可能； 传1次 传2次 传3次 传4次 传5次 … 甲 0 4 12 52 204 … 乙 1 3 13 51 205 … 丙 1 3 13 51 205 … 丁 1 3 13 51 205 … 戊 1 3 13 51 205 … 合计 4 16 64 256 1024 … 答：经过次传球后，球仍回到甲手中的传球方法有52种。 【点睛】本题考查的是归纳递推计数问题，这种类型的归纳递推计数问题被称为“传球模型”。 21．住5个4人房间和2个3人房间；800元 【分析】4人房间120元一间，3 人房间100元一间，因此4人房间比3人房间便宜，要使住房最便宜，应尽量先满足住4人间，剩下的人住三人间，并且使每间房间都住满。 【详解】26÷4＝6（间）……2（人） 6—1＝5（间） 120×5＝600（元）   4＋2＝6（人）   6÷3＝2（间） 2×100＝200（元）   600＋200＝800（元） 答：住5个4人房间和2个3人房间最省钱，一共需要800元。 【点睛】熟练掌握优化问题的计算是解答此题的关键。 22．13分钟 【分析】先把衣服和水放入洗衣机，当洗衣机自动洗涤衣服时，再去整理房间和擦鞋；这样安排，所用时间最短。 【详解】1＋12＝13（分钟） 答：小李阿姨在13分钟后就可以出发了。 【点睛】本题主要考查了优化问题。如何统筹安排时间，要兼顾使事情能够顺利完成，但又不至于相互干扰是解决本题的关键。 23．要想获胜,就要后报,且每次要报到5的倍数,也就是对方报几,就用5减去几,然后去报． 【详解】略 24．22分钟 【分析】先淘米，再用电饭煲煮饭，煮饭的同时可以择菜、洗菜、切菜、炒菜；将淘米和煮饭的时间相加就是最短要用的时间；据此解答。 【详解】茜茜先淘米，用时2分钟，然后用电饭煲煮饭，用时20分钟，在煮饭的同时择菜、洗菜、切菜、炒菜。 2＋20＝22（分钟） 答：最短要用22分钟。 【点睛】优化问题注意先观察做事情的顺序；考虑哪些事情可以同时做；写出做事情的顺序；计算所需时间。 25．见详解 【分析】要使用的时间最少，那么能同时做的事情就应同时做，把锅烧热的同时可以洗切西红柿，将油烧热的同时可以洗葱切葱、敲蛋打蛋，依此解答即可。 【详解】要使烧好这道菜的时间最短，应这样安排：洗锅2分钟，把锅烧热1分钟（洗切西红柿），将油烧热3分钟（烧热锅的油同时可洗葱切葱和敲蛋打蛋），炒4分钟，共用10分钟。 【点睛】熟练掌握优化问题的计算是解答此题的关键。 26．甲必能获胜 【分析】题目规定必须是划掉连续的3个数，所以当不存在连续的3个数时，就不能继续划了，游戏到此结束。 【详解】可以先把中间25，26，27这三个数划去，就将1到51这51个数分成了两组，每组有24个数； 这样，只要乙在某一组里有数字可划，那么甲在另一组里相对称的位置上就总有数字可划； 因此，若甲先划，且按上述策略进行，则甲必能获胜。 【点睛】本题考查的是必胜策略的问题，对于此类问题，先要判断先手还是后手，然后分析具体如何操作才能确保获胜。 27．15分钟 【分析】为了保证做完这些事情用的时间最少，三位同学要分开进行，如：大美使用书桌，同时小美使用梳妆台，要用5分钟；然后阿美使用书桌，同时大美使用梳妆台，要用5分钟；最后小美使用书桌，同时阿美使用梳妆台，再用5分钟；据此三个人做完这些事共用了3个5分钟，即15分钟。 【详解】可如下安排（安排方法不唯一）： 书桌使用次序：大美、阿美、小美； 梳妆台使用次序：小美、大美、阿美。 3×5＝15（分钟） 答：最少经过15分钟所有人都能完事。 【点睛】两样事情同时进行，每次完成两个人，用5分钟，这样就能使事情完成的时间最短。 28．购买10张团体票和24张儿童票最便宜，需要146元 【分析】方法一：分开购买，即购买4张成人票和30张学生票，分别求出需要的钱数再相加；方法二：全部购买团体票，一共需要购买4+30=34张团体票，由此求出需要的钱数；方法三，4位老师和6名学生购买团体票，剩下的学生购买儿童票，分别求出需要的钱数，再相加；然后比较三种方法需要的钱数，即可求解． 【详解】方法一：购买4张成人票和30张学生票； 8×4+4×30 =32+120 =152（元） 方法二：全部购买团体票； （30+4）×5 =34×5 =170（元） 方法三：购买10张团体票，剩下的购买儿童票： 10﹣4=6（张） 30﹣6=24（张） 10×5+24×4 =50+96 =146（元） 146＜152＜170 运用方法三最便宜． 答：购买10张团体票和24张儿童票最便宜，需要146元． 29．25辆小轿车；625元 【分析】根据题意可知，共有2＋98＝100人参加参观科技展览。每辆面包车限乘12人，租金120元，每人平均120÷12＝10（元）。每辆小轿车限乘4人，租金25元，每人平均25÷4＝6（元）……1（元）。满座时租小轿车省钱，所以尽量租小轿车，用总人数除以每辆小轿车限乘人数，得到最多的小轿车数量，再结合余数判断是否租面包车，据此解答。 【详解】120÷12＝10（元） 25÷4＝6（元）……1（元） 6＜10，则尽量多的租小轿车。 （2＋98）÷4 ＝100÷4 ＝25（辆） 则租25辆小轿车最省钱。 25×25＝625（元） 答：租25辆小轿车最省钱，需要625元。 【点睛】对于解决方案问题，注意题目中蕴含的条件和数据，通过具体的计算，找出最优化的方案。 30．7次 【详解】设共有A，B，C，D，E，F，G，7张资料，正反面分别用1和2表示；每次印2张的一面，逐步进行求解。 解：设共有A，B，C，D，E，F，G，7张资料，正反面分别用1和2表示。 第一次 A1和B1； 第二次 A2和C1； 第三次 B2和C2； 第四次 D1和E1； 第五次 D2和F1； 第六次 G1和E2； 第七次 G2和F2； 一共需要印7次。 31．72分钟 【详解】妈妈先骑车带着圆圆去中心广场，然后圆圆步行去学校；妈妈骑车去菜市场买菜，妈妈买完菜后，骑车去学校接圆圆，两人再一起回家。 圆圆：8＋13＋40＋3＋8＝72（分钟）     妈妈：8＋5＋40＋5＋3＋3＋8＝72（分钟） 32．方案一更合算 【分析】已知四年级2位教师带40位同学参观爱国主义主题展览，就是2个成人40个学生，把方案一和方案二需要多少钱分别计算出来在进行比较。 【详解】方案一为：60×2＋35×40 ＝120＋1400 ＝1520（元） 方案二为：40×42＝1680（元） 1680元＞1520元 答：方案一购门票更合算。 【点睛】本题考查了学生分析问题的能力，算出两个方案的总价是解答此题的关键。 33．8辆大客车和1辆小客车 【分析】根据题意可知，分别求出大客车和小客车的每人租金，再比较租哪种更合适，在保证坐满的前提下，尽量多租租金便宜的车。 【详解】大客车的每人租金：500÷30＝16（元）……20（元） 小客车的每人租金：350÷20＝17（元）……10（元） 16＜17 则租大客车更合适。 （258＋2）÷30 ＝260÷30 ＝8（辆）……20（人） 则需要租8辆大客车。剩余的20人正好租1辆小客车，此时所有的车全部坐满。 答：租8辆大客车和1辆小客车最省钱。 【点睛】分别求出大客车和小客车的每人租金，再进行比较，找出最划算的租车方式。注意剩下的人也需要租一辆车。 34．（1）成人6人，儿童4人按方案二购需票合算。 （2）成人4人，儿童6人按方案一购需票合算。 【分析】本题可根据每小题中成人与儿童数量及两种不同的方案分别进行分析计算： 已知方案一：成人每人150元，儿童每人60元； 方案二：团体5人以上，每人100元。 【详解】（1）方案一需花： 150×6＋60×4 ＝900＋240 ＝1140（元） 方案二需花：（4＋6）×100 ＝10×100 ＝1000（元） 1000元＜1140元 即成人6人，儿童4人按方案二购需票合算。 （2）方案一需花： 4×150＋60×6 ＝600＋360 ＝960（元） 方案二需花：10×100＝1000（元） 960元＜1000元 即成人4人，儿童6人按方案一购需票合算。 【点睛】本题的关键是根据不同情况选择合适的方案，选择价格最低的方案。 35．（1）10次 （2）9元 【分析】（1）根据积除以一个因数等于另外一个因数，拿月卡的价格除单次票的价格得到的次数＋1即可得到游几次更省钱。 （2）7月是大月，有31天，每天去即为31次，月卡的价格÷次数即可以得到每次去花多少钱。 【详解】（1）279÷28＝9（次）……27（元） 9＋1＝10（次） 10×28＝280（元），280元＞279元 答：至少需要游10次才能比单次票更省钱。 （2）279÷31＝9（元） 答：平均每次9元。 36．9分钟 【分析】前3次煎6只蛋，用2×3＝6分钟，剩下的3个蛋可以这样煎：先煎2个的正面；煎熟后拿出第一个，放入第三个，煎第二个的反面和第三个的正面；煎熟后第二个就熟了，再煎第一个和第三个的反面，用了3分钟，共用了6＋3＝9分钟，据此即可解答。 【详解】前3次煎6只蛋，用2×3＝6分钟，剩下3个： 第一次：放①的正面和②的正面， 第二次：放①的反面和③的正面， 第三次：放②的反面和③的反面，共用3分钟。 全部时间：6＋3＝9（分钟）； 答：煎9只蛋最少要用9分钟。 【点睛】解决此类问题的方法是使效率最大化，即锅能放满就尽量放满，不做无用工。 37．租7条大船和1条小船；280元 【分析】因为大船每人租金为：36÷6＝6（元）；小船每人租金为：28÷4＝7（元），所以尽量租用大船且尽量满载最省钱。由此根据总人数及船的限坐人数，通过调整使之满座或空座数最少，然后进行分析计算即可。 【详解】36÷6＝6（元） 28÷4＝7（元） 6＜7，尽量多的租大船。 2＋44＝46（人） 46÷6＝7（条）……4（人） 剩余4人正好租1条小船。 36×7＋28×1 ＝252＋28 ＝280（元） 答：租7条大船和1条小船最省钱，最少需要花280元。 【点睛】本题考查优化问题，关键是明确尽量多的租大船且尽量满载最省钱。 38．租用7条大船和1条小船；租金最少 【分析】分别求出坐大船和小船每人的钱数，然后比较是坐大船便宜还是坐小船便宜，再设计方案时尽量租便宜的，而且不留空位。 【详解】10÷6≈1（元）……4（元） 8÷4＝2（元） 2＞1 所以尽可能租用大船，而且不能有空座； 43＋3＝46（人） 46÷6＝7（条）……4（人） 租用7条大船，还有4人不能上船，其余4人租1条小船。 答：租用7条大船和1条小船，租金最少。 【点睛】解答此题的关键是，在设计方案时，要尽量考虑使用租金少的船，而且又不留空位，只有这样才能保证租金最省。 39．应当先洗水壶、接水，然后用电热水壶烧开水，同时擦桌子、拖地、整理房间；23分钟 【分析】根据题意，洗水壶、接水→电热水壶烧开水（同时擦桌子、拖地、整理房间）；据此计算时间即可。 【详解】3＋20＝23（分钟） 答：要想用最短的时间做完这些事情，应当先洗水壶、接水，然后用电热水壶烧开水，同时擦桌子、拖地、整理房间。做完这些事情，最少要用23分钟。 【点睛】本题考查优化问题。解决此题的关键是明确做事顺序，然后再进一步解答。 40．最少需要19分钟 【分析】先穿衣服需要3分钟，热馒头需要10分钟，同时可以刷牙洗脸、整理房间，这样可以节约4+5=9分钟，再吃早点需要6分钟，据此即可求出最短时间． 【详解】根据题干分析可得：先先穿衣服需要3分钟，再热馒头需要10分钟，同时可以刷牙洗脸、整理房间，这样可以节约4+5=9分钟，最后吃早餐需要6分钟， 所以最少需要3+10+6=19（分钟）， 答：最少需要19分钟． 41．至少要复印7次, 前4张资料，每2张一印，需要印4次；后3张交叉印，需要印3次，共需要印7次 42．26分钟 43．拿衣服去洗，洗衣机洗衣服的同时洗碗，收拾客厅，拖地，最后晾衣服，30分钟 【分析】根据题干，先拿衣服去洗需要1分钟，用洗衣机洗衣服需要26分钟，同时，可以洗碗、收拾客厅、拖地，可以节约3＋8＋10＝21分钟，最后再晾衣服3分钟，由此进行合理安排，即可解决问题。 【详解】根据分析可得： 应这样安排这些事情：先拿衣服去洗需要1分钟，然后洗衣机洗衣服需要26分钟，洗衣服的同时可以洗碗3分钟，收拾客厅8分钟，拖地10分钟，最后晾衣服3分钟。 最少时间：1＋26＋3 ＝27＋3 ＝30（分钟） 答：拿衣服去洗，洗衣机洗衣服的同时洗碗，收拾客厅，拖地，最后晾衣服这样安排用时最少，最少要30分钟。 【点睛】此题属于合理安排时间问题，奔着每道程序不相互矛盾冲突，又能节约时间的思想进行设计。 44．见详解 【分析】可用“田忌赛马”的方法进行安排选手，即是用上对中，中对下，下对上。进行比赛，据此解答。 【详解】 三年级 四年级 本场获胜 第一次 200个左右 100个左右 三年级 第二次 150个左右 200个左右 四年级 第三次 100个左右 150个左右 四年级 【点睛】此题考查最佳对策问题，结合田忌赛马的故事分析是解题的关键。 学科网（北京）股份有限公司 $$