18.5 相似三角形的判定（第1课时 平行线法、AA判定相似）（教学课件）数学北京版九年级上册

18.5 相似三角形的判定（第1课时） 主讲： 京改版九年级上册 第18章 相似形 复习导入 1.平行线分线段成比例基本事实：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. ∵DE∥BC， C B A E D 2.推论：平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的对应线段成比例. 在△ABC中， ∴ ， 猜想：△ADE与△ABC相似. 学习目标 目标 1 目标 2 1.掌握使用平行法判定三角形相似。 2.掌握使用判定定理来判定两个三角形相似。 自学指导 仔细阅读教材P18---P20。用5分钟的时间看谁又快又好地解决以下问题： 1.可以使用什么方法判定两个三角形相似？ 已知：在△ABC中，DE∥BC，并交AB，AC于点D，E. 求证：△ADE∽△ABC. C B A E D 探究新知 对应角相等，对应边成比例的 两个三角形相似. 如何证明三角形相似？ 定义： 交流 DE∥BC 已满足的条件： 所缺条件： 分析: ∠A=∠A， DF∥AC，FC∥DE， FC = DE 四边形DECF是平行四边形 C B A E D F ∠ADE=∠B，∠AED=∠C， ∴△ADE∽△ABC. ∴∠ADE=∠B， ∠AED=∠C. 证明： ∵ DE∥BC， C B A E D ∵DE∥FC， ∴四边形DECF为平行四边形. 过D做DF∥AC， 交BC于F. F . ∵ DF∥AC， ∴ ∴ ∴ . ∴FC = DE， ∴ = 又∵∠A=∠A， 定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所得的三角形，与原三角形相似. C B A E D ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC. 在△ABC中， 符号语言表述 知识要点 定理： 平行于三角形一边的直线截其他两边所得三角形与原三角形相似. 基本事实推论： 平行于三角形一边的直线截其他两边所得对应线段成比例. 对比 相似 对应线段成比例 基本事实推论： ∵DE∥BC， 在△ABC中， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC. C B A E D 在△ABC中， 符号语言表述 定理： 三角形相似 的判定方法 对比 . ∴， ∴ = 定义 ∵∠A=∠A，∠B=∠ADE， ∠C=∠AED. . ∴△ADE∽△ABC. 判定三角形相似所需条件. 定理 在△ABC中，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC. C B A E D 对比 = 例 在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，图中有几组相似三角形？ 分析：（1）在△ABC中， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC. C B A E D F （2）在△ABC中， ∵EF∥AB，∴△EFC∽△ABC. 典型例题 C B A E D F 解：在△ABC中， △ADE∽△ABC. △EFC∽△ABC. 相似三角形共有三组. △EFC∽△ADE. A l1 l2 l3 l5 l4 D E P B C M 1.平移至如图所示位置时，写出图中的相似三角形. 解：（1）在△MDE中， ∵AP∥DE， ∴△AMP∽△DME. 练一练 (2)在△BMC中， ∵AP∥BC， ∴△AMP∽△BMC. (3)在△BMC中， ∵DE∥BC， ∴△DME∽△BMC. ∴△AMP∽△DME∽△BMC. 1.定义法： 对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形. ∴△ABC∽△A'B'C' ∵∠A=∠A'，∠B=∠B' ，∠C=∠C' 平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三角形相似. 2.平行线法： ∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC 符号语言: 符号语言： 方法回顾 复习已学过的判定两三角形相似的方法 1.观察下面两个三角尺，它们是否相似？ 新知探索 三个角对应相等 b 2b ɑ 2ɑ 三边对应成比例 两个三角形相似 2.作△ABC与△A' B' C ' ,使得∠A=∠A' ,∠B=∠B', 这时它们的第三个角满足∠C=∠C'吗？分别度量这两个三角形的边长,计算三组对应边之比,这两个三角形相似吗？ ∵∠A=∠A'，∠B=∠B' ∴∠C=∠C' AB=6.29cm A'B'=8.67cm BC=4.65cm B'C'=6.41cm AC=7.44cm A'C'=10.24cm ∵∠A=∠A',∠B=∠B,∠C=∠C' ∴△ABC∽△A'B'C' 猜想： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角分别相等，那么，这两个三角形相似． 已知：如图，在△ABC与△A'B'C'中,∠A=∠A',∠B=∠B', 求证:△ABC∽△A'B'C'. 定义法，好像条件不够）...平行线法？ 证明：在AB上截取AD＝A′B′，在AE上截取AE＝A′C′， ∵∠A＝∠A′， ∴△ADE≌△A′B′C′（SAS），∴∠ADE＝∠B′， ∵∠B＝∠B′， ∴∠ADE＝∠B， ∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC， ∴△ABC∽△A'B'C'． D E 分析：在AB上截取AD＝A′B′，在AE上截取AE＝A′C′，可证明△ADE≌△A′B′C′，证明△ADE∽△ABC，进而得出结论． 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形相似． 相似三角形的判定定理 （两角分别相等，两三角形相似） 知识要点 符号语言： ∵∠A=∠A' ，∠B=∠B' ∴△ABC∽△A'B'C'. 例1 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB， 请找出图中的相似三角形，并说明理由. ①三个直角分别相等 ②公共角 分析： 典型例题 △ABC∽△CBD∽△ACD． ∵∠B＝∠B，∠CDB＝∠ACB＝90° ∴△ABC∽△CBD． 同理△ABC∽△ACD． ∴△ABC∽△CBD∽△ACD． 解： 60° 例2 如图，△ABC、△DEF均为等边三角形，点D、E分别在AB、BC上,请找出一个与△DBE相似的三角形，并给予证明. 分析： 60° 60° 60° 60° 60° ∠1＋∠2＝120° ∠3＋∠2＝120° 1 2 3 ∵△ABC和△DEF均为等边三角形, ∴∠B=∠C=∠DEF=60° ∴∠1＋∠2＝120° ∠3＋∠2＝120° ∴∠1=∠3. ∴△DBE∽△ECH. . . , 证明： 1.判断题： (1)所有的正三角形都相似.（ ） (2)有一个锐角对应相等的两个直角三角形是相似三角形. （ ） (3)顶角对应相等的等腰三角形是相似的三角形（ ） (4)有一个角对应相等的等腰三角形是相似的三角形.（ ） √ √ √ × 基础检测 2.如图,∠C=∠D,添加一个条件： 使得△ADE∽△ACB. ∠B=∠E 1.已知：如图，∠ABD=∠C，AD=2，AC=8，求AB的长. 解：∵∠A＝∠A，∠ABD＝∠C， ∴△ADB∽△ABC． ∴，即． 解得：AB＝4（负值已舍去）． ∴AB＝4． 一展身手 挑战自我 1．如图，已知点E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于点F， 求证：△ABF∽△EAD． 证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠BAD＝∠D＝90°， ∴∠DAE+∠BAE＝90°， ∵BF⊥AE于点F， ∴∠ABF+∠BAE＝90°， ∴∠DAE＝∠BAF， ∴△ABF∽△EAD． 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，F是边AB上一点，且CB＝CF，过点A作CF的垂线，交CF的延长线于点D，求证：△ADF∽△ACB． 解：∵CB＝CF， ∴∠B＝∠CFB， ∴∠CFB＝∠AFD， ∵AD⊥CD，∠ACB＝90°， ∴∠D＝∠BCA， ∴△ADF∽△ACB． 课堂小结 判定两三角形相似 2.相似三角形判定定理： 两角分别相等，两三角形相似. 1.平行线法判定两三角形相似：平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三角形相似. 主讲： 感谢聆听 京改版九年级上册 $$