第一章：空间向量与立体几何（单元测试，提升卷）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

第一章：空间向量与立体几何章末综合检测（提升卷） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．（23-24高二上·天津·期中）点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由空间直角坐标系的性质可知， 点关于平面对称的点的坐标是.故选：A 2．（23-24高二上·安徽阜阳·月考）已知，，若，则实数λ的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【解析】由已知可得，. 又，所以， 即，解得.故选：D. 3．（23-24高二上·重庆·月考）在正方体中，有下列命题：①；②；③与的夹角为.其中正确命题的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解析】①由及正方体棱长与体对角线关系，故，①正确； ②， 而面，面，则，又， ，面，故面， 又面，故，则，②正确； ③设该正方体的棱长为， ， 所以， 因为两个向量的夹角的范围为， 所以与的夹角为，③不正确，故选：C. 4．（天津市和平区2019-2020学年高二下学期期中数学试题）在下列条件中，使与，，一定共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】与，，一定共面的充要条件是， 对于A选项，由于，所以不能得出共面. 对于B选项，由于，所以不能得出共面. 对于C选项，由于，则为共面向量，所以共面. 对于D选项，由得，而， 所以不能得出共面.故选：C 5．（23-24高二下·湖南长沙·月考）在正方体中，点M，N分别是棱和线段上的动点，则满足与垂直的直线MN（    ） A．有且仅有1条 B．有且仅有2条 C．有且仅有3条 D．有无数条 【答案】D 【解析】以正方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系，如图， 设正方体棱长为1， 则， 所以， 若，则， 即，方程有无数组解，故选：D 6．（23-24高二上·安徽滁州·月考）已知正四棱锥的各棱长均相等，点是的中点，点是的中点，则异面直线和所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，相交于点， 根据题意，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 不妨设，则，，则，， ，，， 因为点是的中点，点是的中点， 所以，， 所以，， 则， 所以异面直线和所成角的余弦值是．故选：D． 7．（23-24高二上·湖北武汉·月考）已知正方体的棱长为1，且满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 由空间向量的共面定理可知，点四点共面，即点在平面上， 所以的最小值为点到平面的距离， 由正方体棱长为，可得是边长为的等边三角形， 则，， 由等体积法得，，所以， 所以的最小值为.故选：C 8．（23-24高二上·四川成都·月考）在空间中，定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件： ①，且和构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）； ②的模，（表示向量的夹角）. 在正方体中，有以下四个结论，其中正确的个数是（    ） ①② ③④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】作出正方体，通过化简即可得出结论. 【解析】由题意，设正方体边长为， ①由几何知识得，是全等的等边三角形，且边长为 ∴， ， ， ∴，①正确. ②由几何知识得，， ， ∴ ，② 错误. ③， ∴ ∵右手系叉乘具有方向， ∴，， ∴，③ 错误； ④，，故④ 错误；故选：A. 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高二下·江苏南京·月考）在平行六面体中，记，设，下列结论中正确的是（     ）. A．若点P在直线上，则 B．若点P在直线上，则 C．若点P在平面内，则 D．若点P在平面内，则 【答案】BCD 【解析】对于A，若点P在直线上，则，则， 由于三点共线，故，A错误； 对于B，若点P在直线上，则，而， 结合，得，B正确； 对于C，若点P在平面内，即四点共面， 则由，可知，C正确， 对于D，若点P在平面内，则， 则， 又，则，D正确，故选：BCD 10．（23-24高二上·广东佛山·月考）如图，在圆台中，分别为圆的直径，，圆台的高为为内侧上更靠近的三等分点，以为坐标原点，下底面垂直于的直线为轴，所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则（    ） A．的坐标为 B．的坐标为 C． D．平面的一个法向量为 【答案】AB 【解析】根据空间坐标系，由圆台的高为可直接求得，即A正确； 由可得，所以， 又为内侧上更靠近的三等分点，因此， 所以点的横坐标为，纵坐标， 又平面，所以可得，即B正确； 易知，所以，即C错误； 若平面的一个法向量为，设，则须满足， 而， 所以不是平面的一个法向量，即D错误；故选：AB 11．（23-24高二上·河北石家庄·月考）如图，在四棱锥中，底面，底面为边长为2的菱形，，为对角线的交点，为的中点．则下列说法正确的是（    ） A． B．三棱锥的外接球的半径为 C．当异面直线和所成的角为时， D．点F到平面与到平面的距离相等 【答案】ACD 【解析】在菱形中，过点作直线，由底面，得直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，而， 则， 由，得，则， 对于A，，， 则，于是，A正确； 对于B，由，得三棱锥的外接球截平面所得截面圆圆心为， 则球心在过垂直于平面的直线上，直线，显然球心在线段的中垂面上， 因此，三棱锥的外接球，B错误； 对于C，，由异面直线和所成的角为， 得，整理得， 而，解得，C正确； 对于D，， 设平面与平面的法向量分别为， ，令，得， ，令，得， 而，则点F到平面的距离， 点F到平面的距离，显然，D正确.故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高二上·河南周口·月考）已知直线过点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为 . 【答案】 【解析】因为点，点，所以， 所以点到直线的距离为：， 13．（22-23高二上·江苏常州·期末）已知，，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为与的夹角为钝角，所以且与不共线， 因为，， 所以，且，解得，且， 所以的取值范围是. 14．（23-24高二上·浙江丽水·期末）已知三棱锥的体积为是空间中一点，，则三棱锥的体积是 . 【答案】10 【解析】因为，则， 即， 即，所以， 因为，由空间向量基本定理可知，在平面内存在一点， 使得成立，即， 所以，即，则， 又三棱锥的体积为15，则. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（23-24高二上·河北石家庄·月考）已知向量． (1)求； (2)当时，若向量与垂直，求实数和的值； (3)若向量与向量共面向量，求的值． 【答案】(1)；(2)，；(3) 【解析】（1），， ， ． （2）因为，所以，解得， 因为，且向量与垂直， 所以，，即，． 所以实数和的值分别为和； （3）设， 则，解得，，即， 所以向量与向量，共面． 16．（23-24高二上·广东化州·月考）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，. (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，，求的值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）， ， 故 ∵点E为AD的中点， 故. （2）由题意得， 故， 故 . 17．（23-24高二上·四川成都·月考）如图：三棱柱中，，是的中点． (1)求的长； (2)若点是棱所在直线上的点，设，当时，求实数的值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）， 因为， 所以， 则， 所以的长为； （2）， 因为，所以， 即，即，解得. 18．（23-24高二上·山东淄博·月考）如图所示的几何体中，平面平面为等腰直角三角形，，四边形为直角梯形，.    (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点满足，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，. 【解析】（1）四边形是平行四边形，. 平面平面平面. （2）取的中点为. 平面平面平面，平面平面, 平面. 以点为坐标原点，分别以直线为轴，轴建立空间直角坐标系， 则轴在平面内, ， ，， . 设平面的法向量为 即 令，则. ， . 又平面的法向量为平面， ∴. ∴在线段上存在点，使平面，且的值是. 19．（23-24高二上·四川绵阳·月考）如图1，在中，，，分别为边，的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，.    (1)求证：平面； (2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上一动点满足，判断是否存在，使二面角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)存在， 【解析】（1）因为，分别为，的中点，所以. 因为，所以，所以. 又，，平面， 所以平面. （2）因为，，，所以，，两两垂直. 以为坐标原点，所在直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 依题意有，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量， 则有 令，得，，所以是平面的一个法向量. 因为， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）假设存在，使二面角的正弦值为， 即使二面角的余弦值为. 由（2）得，， 所以，，. 易得平面的一个法向量为. 设平面的法向量， ，解得， 令，得，则是平面的一个法向量. 由图形可以看出二面角的夹角为锐角，且正弦值为， 故二面角的余弦值为， 则有， 即，解得，. 又因为，所以. 故存在，使二面角的正弦值为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章：空间向量与立体几何章末综合检测（提升卷） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．（23-24高二上·天津·期中）点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·安徽阜阳·月考）已知，，若，则实数λ的值为（    ） A． B． C． D．2 3．（23-24高二上·重庆·月考）在正方体中，有下列命题：①；②；③与的夹角为.其中正确命题的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（天津市和平区2019-2020学年高二下学期期中数学试题）在下列条件中，使与，，一定共面的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·湖南长沙·月考）在正方体中，点M，N分别是棱和线段上的动点，则满足与垂直的直线MN（    ） A．有且仅有1条 B．有且仅有2条 C．有且仅有3条 D．有无数条 6．（23-24高二上·安徽滁州·月考）已知正四棱锥的各棱长均相等，点是的中点，点是的中点，则异面直线和所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·湖北武汉·月考）已知正方体的棱长为1，且满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·四川成都·月考）在空间中，定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件： ①，且和构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）； ②的模，（表示向量的夹角）. 在正方体中，有以下四个结论，其中正确的个数是（    ） ①② ③④ A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高二下·江苏南京·月考）在平行六面体中，记，设，下列结论中正确的是（     ）. A．若点P在直线上，则 B．若点P在直线上，则 C．若点P在平面内，则 D．若点P在平面内，则 10．（23-24高二上·广东佛山·月考）如图，在圆台中，分别为圆的直径，，圆台的高为为内侧上更靠近的三等分点，以为坐标原点，下底面垂直于的直线为轴，所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则（    ） A．的坐标为 B．的坐标为 C． D．平面的一个法向量为 11．（23-24高二上·河北石家庄·月考）如图，在四棱锥中，底面，底面为边长为2的菱形，，为对角线的交点，为的中点．则下列说法正确的是（    ） A． B．三棱锥的外接球的半径为 C．当异面直线和所成的角为时， D．点F到平面与到平面的距离相等 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高二上·河南周口·月考）已知直线过点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为 . 13．（22-23高二上·江苏常州·期末）已知，，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是 . 14．（23-24高二上·浙江丽水·期末）已知三棱锥的体积为是空间中一点，，则三棱锥的体积是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（23-24高二上·河北石家庄·月考）已知向量． (1)求； (2)当时，若向量与垂直，求实数和的值； (3)若向量与向量共面向量，求的值． 16．（23-24高二上·广东化州·月考）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，. (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，，求的值. 17．（23-24高二上·四川成都·月考）如图：三棱柱中，，是的中点． (1)求的长； (2)若点是棱所在直线上的点，设，当时，求实数的值． 18．（23-24高二上·山东淄博·月考）如图所示的几何体中，平面平面为等腰直角三角形，，四边形为直角梯形，. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点满足，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 19．（23-24高二上·四川绵阳·月考）如图1，在中，，，分别为边，的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，. (1)求证：平面； (2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上一动点满足，判断是否存在，使二面角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$