1.5.1 全称量词和存在量词 （分层作业） -【上好课】高一数学必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

1.5.1 全称量词和存在量词 分层作业 1、 题型研究 一、全称量词命题与存在量词命题的辨析 【例题1】下列命题：①至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立；②对任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立； ③对任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立；④存在x使x2＋2x＋1＝0成立． 其中是全称命题的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 二、全称量词命题与存在量词命题的真假判断 【例题2】判断下列命题哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假性. (1)对所有的正实数，为正且； (2)存在实数，使得； (3)存在实数对，使得； (4)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 三、由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数 【例题3】若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围是 ． 2、 基础达标 1.下列命题中是真命题的为（ ） A．，使 B．， C．， D．，使 2.已知命题：，，命题：，，则（    ） A．是假命题 B．是真命题 C．是真命题 D．是假命题 3.下列命题中是全称命题并且是真命题的是（    ） A．所有菱形的四条边都相等 B．若为偶数，则为自然数 C．若对任意，则 D．是无理数 4.下列结论中错误的是（    ） A．命题“若，则且”的否命题是“若，则或” B．命题，使得的否定为 C．命题“若，则方程有实根”的逆否命题是真命题 D．若，则使的解是或 5.已知命题，，命题，恒成立，若，至少有一个是假命题，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 6.若命题“，”是真命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7.下列命题中是存在量词命题且为假命题的是（　　） A．， B．所有的正方形都是矩形 C．， D．，使 8.下列命题是全称量词命题的是（    ） A．有些平行四边形是菱形 B．至少有一个整数，使得是质数 C．每个三角形的内角和都是180° D．， 9.设非空集合，满足，则下列选项正确的是（    ） A．，有 B．，有 C．，使得 D．，使得 10.若命题“，使得”是假命题，则实数k的取值范围是 A． B． C． D． 3、 能力提升 1.已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2.已知命题p为“，”．若p为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.下列命题中正确的是（    ） A．命题“”的否定是“” B．若且，则 C．已知，则“”是“”的充分不必要条件 D．命题“若p，则q”的否命题是“若p，则” 4.有下列四个命题：①，；②，；③，，；④，．其中真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（    ） A．∀x∈R，2x＋1>0 B．若2x为偶数 ，则∀x∈N C．所有菱形的四条边都相等 D．π是无理数 6.下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．平行四边形的对边相等 B．同位角相等 C．任何实数都存在相反数 D．存在实数没有倒数 7.若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8.已知，，，，若“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．且 4、 直击高考 1.（22-23高三上·北京朝阳·阶段练习）已知“，”为真命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2.（22-23高三上·陕西安康·阶段练习）若命题“”是真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3.（2022-2023高三下·四川成都·阶段练习）已知命题“”是假命题，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 4.（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)命题：“，使得”是真命题，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.5.1 全称量词和存在量词 分层作业 1、 题型研究 一、全称量词命题与存在量词命题的辨析 【例题1】下列命题：①至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立；②对任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立； ③对任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立；④存在x使x2＋2x＋1＝0成立． 其中是全称命题的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】B 【详解】试题分析：①和④中用的是存在量词“至少有一个”“ 存在”，属特称命题；②和③用的是全程量词“任意的”，属全程命题，所以B正确 考点：全程命题，特称命题 二、全称量词命题与存在量词命题的真假判断 【例题2】判断下列命题哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假性. (1)对所有的正实数，为正且； (2)存在实数，使得； (3)存在实数对，使得； (4)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】（1）根据全称量词的定义可得命题为全称量词命题，取，可得命题为假命题； （2）根据全存在量词的定义可得命题为存在量词命题，根据判别式可得命题为真命题； （3）根据全存在量词的定义可得命题为存在量词命题，取实数对，可得命题为真命题； （4）根据全称量词的定义可得命题为全称量词命题，根据角平分线的性质可得命题为真命题. 【详解】（1）为全称量词命题，且为假命题，如取，则不成立. （2）为存在量词命题，且为真命题，因为判别式. （3）为存在量词命题，且为真命题，如取实数对，则成立. （4）为全称量词命题，且为真命题，根据角平分线的性质可判断. 三、由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数 【例题3】若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先由题意得到，恒成立，推出，求解，即可得出结果. 【详解】因为命题“，使得”为假命题， 所以，恒成立， 所以只需，解得. 故答案为 【点睛】本题主要考查由命题的真假求参数的问题，熟记一元二次不等式恒成立的判定条件即可，属于常考题型. 2、 基础达标 1.下列命题中是真命题的为（ ） A．，使 B．， C．， D．，使 【答案】B 【分析】对于A，通过解不等式判断，对于B，由一个数的平方非负判断，对于C，举例判断，对于D，解方程判断. 【详解】对于A，由，得，所以不存在自然数使成立，所以A错误， 对于B，因为时，，所以，所以B正确， 对于C，当时，，所以C错误， 对于D，由，得，所以D错误， 故选：B 2.已知命题：，，命题：，，则（    ） A．是假命题 B．是真命题 C．是真命题 D．是假命题 【答案】C 【分析】先判断命题是真命题，命题是假命题，再利用复合命题判断命题的真假得解. 【详解】当时，，所以命题是真命题； 命题：，，是假命题. 所以A. 是真命题；    B. 是假命题；C. 是真命题；    D. 是真命题. 故选：C 3.下列命题中是全称命题并且是真命题的是（    ） A．所有菱形的四条边都相等 B．若为偶数，则为自然数 C．若对任意，则 D．是无理数 【答案】A 【分析】根据全称命题的概念以及全称命题的真假判断方法即可求解. 【详解】B选项，为假命题； C选项，是假命题，不成立； D选项，是真命题，但不是全称命题． 故选：A 4.下列结论中错误的是（    ） A．命题“若，则且”的否命题是“若，则或” B．命题，使得的否定为 C．命题“若，则方程有实根”的逆否命题是真命题 D．若，则使的解是或 【答案】B 【解析】利用四种命题的否命题判断A的正误；命题的否定判断B的正误；四种命题的逆否关系判断C正误，利用二次不等式解集判断D正误 【详解】“若m2+n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”，满足命题的否命题的形式，A正确； 命题，使得的正确否定, B正确； 命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m＝0,△＝1+4m>0，故原命题是真命题，则逆否命题是真命题，故C准确 利用二次不等式解法若，则使的解是或，D准确 故选：B 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，以及四种命题的真假关系的判断，比较基础． 5.已知命题，，命题，恒成立，若，至少有一个是假命题，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意可判断命题为真命题，所以可得命题必定为假命题，进而得到参数的取值范围； 【详解】因为，中至少有一个为假命题，而命题，为真命题； 所以命题必定为假命题，所以，解得或. 又命题，为真命题，所以，于是. 故选：B. 【点睛】本题考查全称命题真假性的判断、复合命题真假性求参数取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 6.若命题“，”是真命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分离参数，将问题转化为，恒成立，结合基本不等式求解最值即可得解. 【详解】若命题“，”是真命题， 则，，即恒成立， ，当且仅当时等号成立， ∴，即实数的取值范围是. 故选：C． 【点睛】此题考查根据全称命题的真假求参数的取值范围，利用分离参数，将问题转化为求函数最值求解范围，需要注意等价变形. 7.下列命题中是存在量词命题且为假命题的是（　　） A．， B．所有的正方形都是矩形 C．， D．，使 【答案】C 【分析】根据各选项命题的描述判断是否为存在量词命题及其真假即可. 【详解】A：命题为存在量词命题，当时，，故为真命题； B：命题为全称量词命题，不是存在量词命题； C：命题为存在量词命题，，，故为假命题； D：命题为存在量词命题，当时，，故为真命题. 故选：C 8.下列命题是全称量词命题的是（    ） A．有些平行四边形是菱形 B．至少有一个整数，使得是质数 C．每个三角形的内角和都是180° D．， 【答案】C 【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的定义即可得到答案. 【详解】根据全称量词和存在量词命题的定义可知，A，B，D是存在量词命题，C是全称量词命题． 故选：C. 9.设非空集合，满足，则下列选项正确的是（    ） A．，有 B．，有 C．，使得 D．，使得 【答案】B 【分析】利用元素与集合的关系和集合间的包含关系对选项逐一判断即可． 【详解】，， 当⫋时，，使得，故A错误； ，，必有，即，必有，故B正确； 由B正确，得，必有，，使得错误，即C错误； 当时，不存在，使得，故D错误， 综上只有B是正确的． 故选：B． 10.若命题“，使得”是假命题，则实数k的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意先找到等价命题“,都有恒成立”，再求即可. 【详解】命题“，使得”是假命题等价于“,都有恒成立”是真命题,所以即,解得: . 故选:B. 【点睛】本题主要考查了特称命题的否定与恒成立问题,属于简单题型. 3、 能力提升 1.已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，解不等式即可求出答案. 【详解】因为命题“，使”是假命题， 所以恒成立，所以， 解得， 故实数的取值范围是． 故选：B． 2.已知命题p为“，”．若p为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为命题“，”为真命题，令，利用二次函数的性质求解. 【详解】解：因为命题p“，”为假命题， 所以命题“，”为真命题， 令，其对称轴为， 当，即时，，解得，此时； 当，即时，，解得，此时无解； 当，即时，，即，此时， 综上：实数a的取值范围是， 故选：B 3.下列命题中正确的是（    ） A．命题“”的否定是“” B．若且，则 C．已知，则“”是“”的充分不必要条件 D．命题“若p，则q”的否命题是“若p，则” 【答案】C 【分析】对于A：全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，直接判断； 对于B：验证进行判断； 对于C：分充分性和必要性分别判断； 对于D：利用否命题直接判断. 【详解】命题“”的否定是“”，所以A不正确； 若且，则恒成立，所以B不正确； 因为，所以时，，即由能推出， 而时，即，得或，所以由不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件，所以C正确； 命题“若p，则q”的否命题是“若，则”，所以D不正确. 故选：C． 【点睛】要证明一个命题为真命题，需要严格的证明；要判断一个命题为假命题，举一个反例就可以了. 4.有下列四个命题：①，；②，；③，，；④，．其中真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】逐一判断全称量词命题或存在量词命题的真假即可判断作答. 【详解】对于①，，，则，①是真命题； 对于②，因时，，，②是假命题； 对于③，因，，即，③是假命题； 对于④，因当且仅当或时，，而，且，④是假命题， 所以真命题的序号是①，共1个． 故选：A 5.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（    ） A．∀x∈R，2x＋1>0 B．若2x为偶数 ，则∀x∈N C．所有菱形的四条边都相等 D．π是无理数 【答案】C 【分析】根据全称命题的定义及真假命题的判断，依次判断可得答案． 【详解】对A，是全称量词命题，但不是真命题,故A不正确； 对B，是假命题，也不是全称量词命题，故B不正确； 对C，是全称量词命题，也是真命题，故C正确； 对D，是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确.故选C. 故选：C 【点睛】本题考查了全称命题的定义及命题真假的判断，属于基础题. 6.下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．平行四边形的对边相等 B．同位角相等 C．任何实数都存在相反数 D．存在实数没有倒数 【答案】D 【分析】利用全程量词和存在量词的定义，找出命题中对应的量词即可得出ABC为全称量词命题，D选项为存在量词命题. 【详解】根据全称量词和存在量词的定义可知， A选项，“平行四边形的对边相等”是所有的平行四边形性质，是全称量词命题； B选项，“同位角相等”是所有的同位角都相等，是全称量词命题； C选项，“任何实数都存在相反数”中的“任意”是全称量词，故其为全称量词命题； D选项，“存在实数没有倒数”中的“存在”为存在量词，其为存在量词命题. 故选：D 7.若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得“，”是真命题，根据求出参数的取值范围. 【详解】因为“，”为假命题， 所以“，”是真命题， 即方程有实数根，则，解得， 即实数的取值范围是． 故选：A． 8.已知，，，，若“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．且 【答案】C 【分析】分类讨论为真和为真时，的取值，进而利用集合的交集关系，即可求解 【详解】若p真，则；若q真，则或．又因为“p且q”是真命题，所以或． 故选：C． 4、 直击高考 1.（22-23高三上·北京朝阳·阶段练习）已知“，”为真命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，分离参数，借助二次函数求出最小值即得. 【详解】“，”为真命题，则“，”为真命题， 而，当且仅当时取等号，则， 所以实数a的取值范围为. 故选：A 2.（22-23高三上·陕西安康·阶段练习）若命题“”是真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全称命题为真，结合不等式恒成立分类讨论，即可求得的取值范围. 【详解】若命题“”是真命题， 则当时，不等式为对恒成立； 当时，要使得不等式恒成立，则，解得 综上，的取值范围为. 故选：D. 3.（2022-2023高三下·四川成都·阶段练习）已知命题“”是假命题，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当命题为真时，由且可得，故命题为假时，，故选C． 4.（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)命题：“，使得”是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，根据，分类求参数即可； （2）命题是真命题即，先求时，的取值范围或， 进而可得时的取值范围. 【详解】（1）若，满足，此时，即， 当时，要使，则，即，即， 综上实数的取值范围为. （2）命题：“，使得”是真命题，等价于， 若时， 当，满足，此时，即， 当时，， 若，则满足或， 即或， 综上若，得或， 则当时，即实数的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$