2.5.2等腰三角形的轴对称性：等边三角形的性质与判定、直角三角形的性质（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

第2章轴对称图形 2.5.2等腰三角形的轴对称性：等边三角形的性质与判定、直角三角形的性质 苏科版 八年级上册 教学目标 01 理解等边三角形的性质定理 02 理解等边三角形的判定定理 03 理解直角三角形的性质定理 等边三角形的概念与性质 01 课堂引入 如图，在△ABC中，AB=BC=CA，则△ABC为等边三角形。 A C B 三边相等的三角形叫作等边三角形或正三角形。 等边三角形与等腰三角形有何关系？ 等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的一切性质。在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的。 讨论——等边三角形除了具有等腰三角形的一切性质外，还具有什么特殊的性质？ 01 课堂引入 由等边三角形的概念可知：等边三角形的三边相等。 等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴。 01 课堂引入 A C B ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，BA=BC， ∴∠B=∠C，∠A=∠C（等边对等角），∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠A=∠B=∠C=60°。 02 知识精讲 等边三角形的性质定理 于是，我们得到如下定理： 等边三角形的各角都等于60°。 符号语言： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°。 A C B 思考——学习了等腰三角形和等边三角形的概念之后，你能按边的相等情况对三角形进行分类吗？ 02 知识精讲 等腰三角形： 有两边相等的三角形 不等边三角形： 三边都不相等的三角形 等边三角形： 三边相等的三角形 三角形按边分类 03 典例精析 例1、如图，在等边△ABC中，AB=4，BD是AC边上的高，点E在BC的延长线上，∠ACB=2∠E，则BE的长为________。 【分析】∵△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高， ∴BC=AC=AB=4，CD=AC=2（三线合一）， ∵∠ACB=∠E+∠CDE=2∠E， ∴∠CDE=∠E， ∴CE=CD=2（等角对等边）， ∴BE=BC+CE=4+2=6。 6 03 典例精析 例2、如图，△ABC是正三角形（每个内角都相等）。若l1∥l2，∠1=75°，则∠2的大小是________。 【分析】如图，设BC与l2交于点E，AC与l2交于点F， E F ∵△ABC是正三角形， ∴∠C=60°（等边三角形的各角都等于60°）， ∵l1∥l2，∠1=75°，∴∠AFE=∠1=75°， ∴∠CEF=∠AFE-∠C=15°， ∴∠2=180°-∠CEF=165°。 165° 03 典例精析 例3、如图，△ABC是等边三角形，在直线BC的下方有一点D，且DB=DC，连接AD交BC于点E。 (1)求证：AD垂直平分BC； (2)过点D作DF∥AB，AC=5，FC=2，求DF的长。 (2)解：△ABC是等边三角形，AD垂直平分BC， ∴∠BAD=∠CAD=∠BAC（三线合一）， ∵DF∥AB，∴∠ADF=∠BAD=∠CAD，∴DF=AF=AC-FC=5-2=3. (1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC， ∵DB=DC，∴AD垂直平分BC； 等边三角形的判定 01 课堂引入 思考——1.如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形吗？ ∵∠A=∠B，∠B=∠C， ∴AC=BC，AB=AC，（等角对等边） ∴AB=BC=AC， ∴△ABC是等边三角形。 A C B 01 课堂引入 2.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？为什么？ ①若顶角是60°，则两个底角相等，也都是60°， ∴△ABC是等边三角形； ②若一个底角是60°，则另一个底角也是60°，并且顶角也是60°， ∴△ABC是等边三角形； A C B 综上，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 ①三个角都相等的三角形是等边三角形； ②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 02 知识精讲 等边三角形的判定定理 于是，我们得到如下定理： 符号语言： ①∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形； A C B ②∵∠A=60°，AB=AC，∴△ABC是等边三角形； ∵∠B=60°，AB=AC，∴△ABC是等边三角形。 03 典例精析 例1、根据下列条件，不能得到等边三角形的是（　　） A．有两个角是60°的三角形 B．有一个角是60°的等腰三角形 C．有两个角相等的等腰三角形 D．腰长和底边长相等的等腰三角形 C 03 典例精析 例2、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠D，点E在BA的延长线上，连接CE。若∠E=60°，CE平分∠BCD，求证：△BCE为等边三角形。 证明：∵AD//BC，∴∠EAD=∠B， ∵∠B=∠D，∴∠D=∠EAD，∴BE//CD， ∴∠ECD=∠E=60°， 又∵CE平分∠BCD，∴∠BCE=∠ECD=60°， ∴∠EBC=60°，∴∠E=∠B=∠BCE， ∴△BCE为等边三角形（三个角都相等的三角形是等边三角形）。 03 典例精析 例3、已知如图，AB=AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E，且BE∥AC。求证：△ABC是等边三角形。 证明：∵AB=AC，点D是BC的中点， ∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，（三线合一） ∵AB平分∠DAE，∴∠BAE=∠BAD=∠CAD， ∵BE∥AC，AE⊥BE，∴∠EAC=∠E=90°， ∴∠BAD=∠CAD=∠EAC=30°，∴∠BAC=60°， ∴△ABC是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）。 直角三角形的性质 01 课堂引入 操作——如图，剪一张直角三角形纸片。 A D B C 把纸片按照上图所示的方法折叠，再把纸片展开并连接CD，你有什么发现？ 4个小直角三角形全等 CD=AD=BD=AB 01 课堂引入 ∵∠BCD=∠B， ∴DB=DC（等角对等边）， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD=∠A（等角的余角相等）， ∴DA=DC（等角对等边）， ∴DA=DB=DC，即CD是斜边AB上的中线，且CD=AB。 如图，在Rt△ABC中，∠ACB是直角，∠B是锐角。在∠ACB内作∠BCD=∠B，CD与AB相交于点D。 A D B C 02 知识精讲 直角三角形的性质定理 于是，我们得到如下定理： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 A D B C 符号语言： ∵∠ACB=90°，AD=BD， ∴CD=AB。 交流——试说出“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个命题的逆命题，并判断它是真命题还是假命题。 逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形，它是真命题。 证明如下： 02 知识精讲 如图，在△ABC中，AD=BD=CD。 证明：∵AD=CD，BD=CD， ∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCD，（等边对等角） ∵∠A+∠B+∠ACB=180°， ∴∠ACD+∠BCD+∠ACB=180°， ∴2∠ACB=180°，即∠ACB=90°， ∴△ABC是直角三角形。 A D B C 02 知识精讲 02 知识精讲 直角三角形的性质定理的逆命题 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 思考——如图，在Rt△ABC中，如果∠A=30°，那么BC与AB有怎样的数量关系？试证明你的结论。 02 知识精讲 A B C D BC=AB 证明：如图，取AB中点D，连接CD， ∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=60°， ∵AD=BD，∴CD=BD=AB （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， ∴△BCD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）， ∴BC=BD=AB。 02 知识精讲 直角三角形的性质 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 注意：①该性质只适用于含30°角的直角三角形，非直角三角形或一般直角三角形不能使用； ②使用时，要找准30°的角所对的直角边，点明斜边。 03 典例精析 例1、如图，一架6米长的梯子AB斜靠在竖直的墙OA上，OB在地面上，M为AB的中点，当梯子的上端A沿墙壁下滑时，OM的长度将（　　） A．变大 B．变小 C．不变 D．不能确定 C 03 典例精析 例2、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D，AB=4，则AD的长为________。 【分析】∵∠ACB=90°，∠B=30°， ∴∠A=60°，AC=AB=×4=2 （在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）， ∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∴∠ACD=30°， ∴AD=AC=×2=1 （在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）。 1 03 典例精析 例3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是斜边AB的中点，DE平分∠ADC，BC=4，∠A=30°，则DE的长是________。 【分析】∵∠ACB=90°，点D是AB的中点， ∴AD=CD=AB（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， 又∵DE平分∠ADC，∴DE⊥AC（三线合一），即∠AED=90°， ∵∠A=30°，∴DE=AD，BC=AB=4 （在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）， ∴AB=8，AD=AB=4，DE=AD=2。 2 课后总结 等边三角形的概念： 三边相等的三角形叫作等边三角形。 等边三角形的性质： ①三边相等（概念）； ②各角都等于60°（定理）。 等边三角形的判定： ①三边（概念）； ②三个角都相等的三角形是等边三角形（定理）； ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形（定理）。 三角形按边分类： 课后总结 直角三角形性质： ①性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 ②在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 2.5.2等腰三角形的轴对称性：等边三角形的性质与判定、直角三角形的性质 苏科版 八年级上册 谢谢观看 $$