1.4.2用空间向量研究距离问题（第1课时）（教学设计）-【上好课】高二数学选择性必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

第一章 空间向量与立体几何 1.4.2用空间向量研究距离、角度问题 第1课时 用空间向量研究距离问题 一、教材分析 在基础教育阶段涉及的距离问题主要有：两点间距离，点到直线距离，平行线之间距离，点到平面距离，直线到平面距离，平行平面之间距离，异面直线之间的距离 (选修).计算距离可以用综合几何方法，也可以用解析几何方法，还可以用向量方法. 距离问题是培养学生直观想象、逻辑推理和数学运算素养的很好的载体.本节涉及的距离问题主要有：点到直线的距离，平行线之间的距离，点到平面的距离，直线到平面的距离，平行平面之间的距离等. 分析上述距离的内容，可以得到如下认识： （1）垂直反映了距离的本质，因此借助勾股定理可以直观地研究距离问题. （2）无论是对于平面还是直线，法向量都是反映垂直方向的最为直观的表达形式，因此利用法向量可以刻画表示“距离”的线段的方向. 法向量的方向和法向量上投影向量的长度既体现了几何直观，又提供了代数定量刻画，因此利用法向量和向量投影可以研究距离问题. 由此可见，投影向量的几何意义和代数表示，不仅为研究立体几何的距离问题提供了便利，而且还提供了研究距离的方法. 在研究距离问题时，参考向量、它的投影向量、二者的差，构成直角三角形，这样，利用勾股定理，结合空间向量的运算，距离问题也就迎刃而解. 运用向量运算求解空间距离的原理的推导主要是培养学生的逻辑推理素养，将空间距离的向量语言表述应用于立体几何问题则培养学生的直观想象、数学运算素养.通过对立体几何问题的解决，使得学生首先会用表达式、并通过练习实现学生达到熟练掌握运算方法、技巧的能力. 二、学情分析 学生在必修课程中已经接触过立体几何中的距离问题，在选择性必修一前面的学习中已经学习了投影向量的概念和几何意义.从综合几何法到空间向量法，是两种截然不同的思维体系.向量方法有别于综合几何方法. 综合几何方法是借助图形直观，从公理、定义和定理等出发，通过逻辑推理解决几何问题；而向量方法则是用向量表示几何元素，通过向量运算得到几何问题的解决.本节中两种距离表达式的推导都使用到了投影向量的概念以及几何意义，投影向量本身对于学生的理解就存在着一定的困难，现在又要以这个困难的问题去推导其他的结论，更加的提升了这部分内容学习的抽象度，对学生有一定的挑战. 此外，用向量方法解决立体几何中的问题，需要综合运用向量知识和其他数学知识，通过建立立体图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为向量问题，这对学生的直观想象、数学运算、逻辑推理等数学学科核心素养要求较高. 对于立体几何中的向量方法，要在解决具体问题的基础上，归纳概括出用空间向量解决立体几何中的问题的“三步曲”，并在解决立体几何中的问题时不断体会、理解进而掌握向量方法. 用空间向量研究距离问题，教学时首先引导学生用向量的方法求点到直线的距离，提示学生将空间中点到直线的距离问题转化到平面问题中去解决，利用勾股定理推导出点到直线的距离的向量表示。求两条平行直线之间的距离，可以引导学生类比点到直线的距离的求法，将其转化为点到直线的距离来求。求点到平面的距离，可以引导学生类比点到直线的距离的求法，利用投影向量得到点到平面的距离的向量表示，加深对向量方法的理解.然后通过实例教学，总结出利用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” 三、教学目标 （一）课程标准要求 ①能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量。 ②能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系。 ③能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理。 ④能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题(参见案例16)和简单夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 （二）课时目标要求 （1）向量语言表述空间距离，理解运用向量运算求解空间距离的原理，培养数学抽象、逻辑推理素养； （2）能应用空间向量法解决距离问题，培养数学运算素养； （3）理解空间向量解决立体几何中的问题的“三步曲”． 四、重点难点 教学重点：利用投影向量统一研究空间距离问题. 教学难点：利用投影向量研究直线外一点到直线的距离、平面外一点到平面的距离的推理过程. 五、教学过程 环节一：创设情境，导入新课 情境一：数学问题情境 已知直线的单位方向向量为,是直线上一个定点，是直线外一点，请大家回忆我们之前学过的投影向量的概念，思考能否将到直线的距离转化为向量的投影问题，进而我们就可以利用向量方法研究距离问题呢? 【设计意图】：通过问题引入，激发学生的学习兴趣，为新知的探究做好准备. 情境二：生活情境 如图，在蔬菜大棚基地有一条笔直的公路,某人要在点A处，修建一个蔬菜存储库。如何在公路上选择一个点,修一条公路到达A点,要想使这个路线长度理论上最短,应该如何设计？ 设计意图：从生活情境问题中引入空间中点到直线的距离问题，实现课题引入，强化学习目标，为学习新知做好心理准备. 环节二：学习新知 问题1:立体几何中有哪些距离问题？ 师生活动：立体几何中的距离问题包括点到直线、点到平面、两条平行直线以及两个平行平面的距离问题等，前面已经在学习空间向量的坐标运算时学习了两点间的距离． 追问：你认为可以如何研究这些距离问题？ 师生活动：教师进一步引导学生将上述距离问题归为两类，并由学生交流、讨论得出研究的路径：两点间的距离是根本，点到直线的距离和点到平面的距离是基础，其他距离问题都可以转化为这两类距离问题. 【设计意图】：明确研究内容和研究思路，将距离问题归类，引导学生研究其中最基本的问题,明晰要素，向量表示，探究点到直线的距离 下面我们先研究用向量方法求直线外一点到直线的距离. 问题2：给定一条直线和直线外一点,如何用向量的方法求点到直线的距离? 师生活动：用向量法解决几何问题，首先要明确图形的几何特征、到底要解决什么问题，再用向量的语言描述这些特征和问题.这里，有直线和直线外一点两个几何要素.直线由一个点和一个方向唯一确定，这就是直线的几何特征. 如图1.4-16，取直线上一点，它的单位方向向量用表示，这样就用向量表示出了直线的特征.因为要求点到直线的距离，所以根据点到直线距离的定义，过点作,点为垂足.这样，要解决的问题是：利用直线上一点，直线的单位方向向量以及直线外的点求线段的长度. 追问：如何建立直线的单位方向向量为，直线上的定点，直线外一点这些条件与线段的联系呢？ 师生活动：向量及其在直线上的投影向量与之间的关系,得到. 因为，都是定点，所以，与的夹角都是确定的．于是可求．再利用勾股定理，可以求出点到直线的距离． 设，则向量在直线上的投影向量． 在中，由勾股定理，得. 思考 类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？ 师生活动:教师先引导学生将两条平行直线之间的距离转化为点到直线的距离. 即：直线的单位方向向量为，直线上的定点，直线上取一点，则进而求得在直线上的投影向量的表达式,进而在中,由勾股定理得点到直线的距离公式 【设计意图】:让学生感悟转化思想,化未知为已知.为后续把直线与平面间的距离、两个平行平面间的距离转化为点到平面的距离,在思想方法上作铺垫. 问题3：你能类比点到直线的距离公式的推导过程，推导出点到平面的距离公式吗? 请大家自主探究.探究过程中要注意思考如下问题： (1)类似于一个点和方向向量确定一条直线，确定一个平面的条件是什么? (2)类似于通过向量和其在直线上的投影向量，求点到直线的距离，如何利用向量投影求点到平面的距离? 师生活动：如图1.4-17，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面的一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度．因此． 梳理成果,得出用空间向量求点到平面的距离的步骤: 第一步,确定平面的法向量; 第二步,选择“参考向量”; 第三步,确定“参考向量”向法向量的的投影向量; 第四步,求投影向量的模长,得到 思考：点到平面的距离公式和点到直线的距离公式区别在哪里?为什么会有这样的区别? 师生活动：在点到直线的距离公式中，投影向量垂直于垂线段;在点到平面的距离公式中，投影向量与垂线段重合.这是由给定图形的几何特征所决定的. 【设计意图】:类比点到直线距离的研究过程,合作探究,得到点到平面的距离公式,让学生进一步体会平面的法向量在刻画平面、求距离中的作用.在求解点到平面的距离的过程中,平面的法向量的方向和法向量上投影向量的长度既体现了图形直观,又提供了代数定量刻画.在这个过程中,向量与起点无关的自由性也为求距离带来了便利. 问题4:如何求平行于平面的直线到平面的距离?两个平行平面之间的距离呢? 师生活动:通过学生回答,把问题转化为求平面外一点到平面的距离,由此得到求距离问题的统一公式. 设计意图:师生共析,将平行于平面的直线到平面的距离和两个平行平面间的距离转化为点到平面的距离,得到统一的向量表达式,进一步体会转化的思想. 环节三：根据新知，简单应用 例1.如图1.4-18，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点． （1）求点到直线的距离； （2）求直线到平面的距离． 分析：根据条件建立空间直角坐标系，用坐标表示相关的点、直线的方向向量和平面的法向量，再利用有关公式，通过坐标运算得出相应的距离． 解：以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图1.4-18所示的空间直角坐标系，则，，，，，， 所以，，，，，． （1）取，，则，． 所以，点到直线的距离为． （2）因为，所以，所以平面．所以点到平面的距离即为直线到平面的距离． 设平面的法向量为，则， 所以，即，取，则，． 所以，是平面的一个法向量． 又因为， 所以点到平面的距离为． 即直线到平面的距离． 设计意图:通过典型例题,使学生巩固并逐步掌握利用向量方法求空间距离的方法,体会向量方法在解决距离问题中的作用,渗透用空间向量解决立体几何问题的一般过程. 问题5.:结合例1,回顾用空间向量解决距离问题的过程,你能总结用向量方法解决立体几何问题的基本步骤吗? 与用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”类似，我们可以得出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”： （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题； （3）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论． 师生活动:学生先讨论回答,师生共同归纳,得到“三步曲”. 设计意图:结合例1,以及以前的一些用空间向量解决立体几何的问题,梳理出“三步曲”,体会向量方法是解决立体几何问题的普适性方法. 方法规律： 1.点到直线的距离的求法 (1)在直线上取一点,同时确定直线的单位方向向量; (2)计算直线上点与已知点对应的向量; (3)计算在直线上上的投影向量; (4)由公式求出距离. 2.求点到平面的距离步骤 (1)建系：结合图形的特点，建立恰当的空间直角坐标系 (2)求向量：在坐标系中求出到平面内任一点对应的向量； (3)求法向量：设出平面的法向量，利用向量垂直的条件转化为求解方程组，求出法向量； (4)求距离：代入求点到平面的距离公式计算出答案 变式训练： 1．如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点． （1）求点到直线的距离；（2）求直线到直线的距离； （3）求点到平面的距离；（4）求直线到平面的距离． 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，． （1），，． 设，，则，， ∴点到直线的距离为． （2），，，． ∴点到直线的距离即为直线到直线的距离，，． 设，，，∴直线与的距离为． （3）设平面的法向量为，又，， ，取，则，，， ，又， ∴点到平面的距离为． （4），平面，平面， 到面的距离即为点到平面的距离． 又平面的单位法向量，， ∴直线到平面的距离为． 环节四：新知再认识，能力提升 题型一：求空间两点间的距离问题. 例：已知长方体中，，点是的中点，点是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系． （1）写出点的坐标； （2）求线段的长度； （3）设点是线段上的动点，求线段的最小值． 【答案】（1）点的坐标分别为； （2），；（3）线段的最小值为． 【详解】（1）根据图中建立的空间直角坐标系，易知点的坐标分别为． （2）由空间两点间的距离公式，可得，． （3）在平面上，依题意可设点的坐标为，其中． 则． 因为，所以当时，线段取得最小值，为，即． 故的最小值为． 规律小结： 计算两点间的距离的两种方法 (1)向量求模法(基底法) 利用，通过向量运算求；或求两点间的距离，一般用求解． (2)距离公式法(坐标法) 若，则，此法适用于求解的图形适宜建立空间直角坐标系时． 变式训练： 1.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记． (1)求的长； (2)为何值时，的长最小并求出最小值． 【答案】(1)；(2)当时，取得最小值. 【详解】 解：（1）平面平面，平面平面，，平面，平面， 则以为坐标原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，， ； （2）由（1）知：， 当时，最小，最小值为. 题型二：空间点到平面距离的几种求解方法 例．如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且，求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【详解】（1）因为，为的中点， 所以，且． 连结．因为，， 所以为等腰直角三角形，且，． 由知，． 由，， 所以，平面；． （2）［方法一］：【最优解】定义法 作，垂足为．又由（1）易知平面，从而， 因为，所以平面． 故的长为点到平面的距离． 由题设可知，，． 所以，． 所以点到平面的距离为． ［方法二］：等积法 设C到平面的距离为h，由（1）知即为P到平面的距离，且．又，在中，， 则由余弦定理得， 则，即， 则． 即点C到平面POM的距离为． ［方法三］：向量法 如图，以O为原点，建立直角坐标系，设，，，，，，，． 设平面的一个法向量， 则，令，则， 所以，点C到平面的距离为． 求点到平面的距离的常用方法 (1)直接法：过点作平面的垂线，垂足为，把放在某个三角形中，解三角形求出的长度就是点到平面的距离． (2)转化法：若点所在的直线平行于平面，则转化为直线上某一个点到平面的距离来求． (3)等体积法：求点面距离可以转化为求三棱锥的高，如四面体中点到平面的距离，用等体积法求得. (4)向量法：设平面的一个法向量为，是内任意点，则点到的距离为. 变式训练： 1．如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，分别是的中点，是边长为2的等边三角形，． (1)证明：； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）法一:是等边三角形，且是中点 面，面 面，面，且 面 面 法二：取的中点，则面，可知两两垂直， 如图以为轴，为轴，为轴，则，，，； 所以，，则，即； （2）法一：由题可知：； 在中，，； 取中点，在中，， 边上的高为； ； 设点到平面的距离为，则， 解得，即点到平面的距离为． 法二：，，，， 设面的法向量为，； 设点到面的距离为， 故点到平面的距离为. 2．如图，在各棱长均为2的正三棱柱中，，，分别为，，的中点，，求点到平面的距离. 【答案】( 【详解】（方法一）在正三棱柱中，侧棱垂直底面，底面，则，. 依题意得，，则， 所以的面积. 设点B到平面的距离为h，则由， 得，解得. （方法二）取的中点M，连接，. 因为，所以. 因为底面，底面，所以. 因为，平面，所以平面. 过B作于H，平面，则. 因为，平面,所以平面. 因为，，， 所以点B到平面的距离. 3．如图所示，在直三棱柱中，，设为的中点，且. (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，平面， 所以，又因为，为的中点，所以， 因为平面，平面，，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2） 设交于点，连接，因为，分别是，的中点，则， 且平面，平面. 所以平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 设该距离为，则由，得， 所以，由题意， ，，所以， 所以为直角三角形，所以， 所以. 环节五：凝练升华，课堂小结 问题4：回顾本节课的学习内容，回答下列问题 (1)在推导点到直线、点到平面的距离公式的过程中，最关键的步骤是什么?对此你有什么体会? (2)用向量方法解决几何问题的基本程序和步骤是怎样的? 师生活动：先由学生独立思考、作答，再由教师进行归纳. 【设计意图】：本节课得出的距离公式，都是在抽象的几何条件下，用向量表示确定空间基本图形的要 素，以投影向量为桥梁建立相关元素之间的联系，推导出相应的结果，这个过程对学生的抽象思维要求较 高.通过课堂小结，使学生再次对“给定一条直线”“给定直线外的一个点”“给定一个平面和平面外的一个 点”的几何含义及其向量表示进行回顾，并对这些条件下延伸的结果，例如“参考向量”与法向量的关系、法 向量与投影向量的关系等进行再认识.在此基础上，进一步提炼用向量方法解决距离问题的过程与方法，使学生形成用向量方法研究距离问题的完整认识，进一步体会用向量方法解决立体几何问题的一般步骤. 环节六：布置作业，应用迁移 巩固作业：教科书第35页练习第1、3题 教科书第40页习题第6、7题 教科书第44页习题第13题 巩固作业答案： 教科书第35页练习第1题 在棱长为1的正方体中，点A到平面的距离等于__________；直线DC到平面的距离等于_________；平面到平面的距离等于__________． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】根据点面距、线面距、面面距的定义及正方体的性质计算可得； 【详解】解：在棱长为的正方体中，面，所以即为点A到平面的距离，故点A到平面的距离为，因为，面，面，所以面，所以即为直线DC到平面的距离，故直线DC到平面的距离为，又平面平面，所以平面到平面的距离为 故答案为：，， 教科书第35页练习第3题 如图，在棱长为1的正方体中，求平面与平面的距离． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，计算平面的法向量为，再由可得解. 【详解】 如图所示建立空间直角坐标系， ， 设平面的法向量为 ， 则，不妨令，则， 所以， 所以平面与平面间的距离 教科书第40页习题1.4第6题 如图，在棱长为1的正方体中，O为平面的中心，E为BC的中点，求点O到直线的距离． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间坐标系，求解直线的单位方向向量，结合勾股定理进行求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 因为， 所以. 所以点到直线的距离为. 教科书第40页习题1.4第7题 如图，四面体OABC的所有棱长都是1，D，E分别是边OA，BC的中点，连接DE． （1）计算DE的长； （2）求点O到平面ABC的距离． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用基底表示出向量，再根据向量数量积求长度的方法即可求出； （2）由该几何体特征可知，点O在平面ABC的射影为的中心，即可求出． 【详解】（1）因为四面体OABC的所有棱长都是1，所以该四面体为正四面体， ，而且，所以，即，所以DE的长为． （2）因为四面体OABC为正四面体，所以点O在平面ABC的射影为的中心， 的外接圆半径为，所以点O到平面ABC的距离为． 教科书第44页习题1.4第13题 如图，已知正方体的棱长为1，E为CD的中点，求点到平面的距离． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间坐标系，求解平面的法向量，结合点到平面的距离公式求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 设平面的一个法向量为， . 由 令，则，即. 设点到平面的距离为， 则，即点到平面的距离为. 环节七板书设计1.4.2空间中的距离问题 1.点线距（线线距（平行线间的）） 例1. 2.点面距 ①线面距（线面平行） ②面面距 例3. 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$