1.4.2用空间向量研究距离问题（第1课时）（教学课件）-【上好课】高二数学选择性必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

第一章 空间向量与立体几何 1.4.2用空间向量研究距离、 角度问题 ·选择性必修第一册· 第1课时 用空间向量研究距离问题 学习目标 一、课程标准要求： 能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题 (参见案例16) 和简单夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 学习目标 1 二、课时目标要求： 向量语言表述空间距离，理解运用向量运算求解空间距离的原理， 培养数学抽象、逻辑推理素养. 能应用空间向量法解决距离问题，培养数学运算素养. 理解空间向量解决立体几何中的问题的“三步曲”. 2 3 引入新知 如图，在蔬菜大棚基地有一条笔直的公路,某人要在点A处，修建一个蔬菜存储库。如何在公路上选择一个点,修一条公路到达A点,要想使这个路线长度理论上最短,应该如何设计？ 新课探究 我们知道，立体几何中的距离问题包括点到直线、点到平面、两条平行直线以及两个平行平面的距离问题等．如何用空间向量解决这些距离问题呢？ 两点间的距离是根本，点到直线的距离和点到平面的距离是基础，其他距离问题都可以转化为这两类距离问题. 下面我们先研究用向量方法求直线l外一点P到直线l的距离. 新课探究 问题1：给定一条直线l和直线l外一点P，如何利用向量方法求点P到直线l的距离. A P Q l 图1.4-16 新课探究 A P Q l 图1.4-16 新课探究 A P Q l 图1.4-16 点到直线的距离公式的向量形式: 给定一条直线l和直线l外一点P， 点P到直线l的距离为： 新课探究 思考：类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？ 两条平行直线之间的距离转化为点到直线的距离. 新课探究 问题3：你能类比点到直线的距离公式的推导过程，推导出点到平面的距离公式吗? 请大家自主探究.探究过程中要注意思考如下问题： Q P l n α A 新课探究 图1.4-17 新课探究 用空间向量求点到平面的距离的步骤: 图1.4-17 第一步 第二步 第三步 第四步 新课探究 图1.4-17 图1.4-16 思考：点到平面的距离公式和点到直线的距离公式区别在哪里?为什么会有这样的区别? 新课探究 图1.4-17 转化 转化 新课探究 空间距离的向量求解小结 点线距、线线距 点面距、线面距、面面距 图1.4-17 图1.4-16 应用新知 例1 根据条件建立空间直角坐标系，用坐标表示相关的点、直线的方向向量和平面的法向量，再利用有关公式，通过坐标运算得出相应的距离． 【分析】 图1.4-18 应用新知 例1 图1.4-18 解： 应用新知 例1 图1.4-18 应用新知 例1 图1.4-18 应用新知 例1 图1.4-18 方法规律 空间向量解决立体几何问题的“三步曲” （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题； （3）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论． 应用新知 问题5: 结合例1,回顾用空间向量解决距离问题的过程,你能总结用向量方法解决立体几何问题的基本步骤吗? 方法规律 应用新知 方法规律 应用新知 应用新知 变式 练习 【解析】 应用新知 变式 练习 应用新知 变式 练习 应用新知 变式 练习 应用新知 变式 练习 能力提升 题型一 求空间两点间的距离问题 例题 能力提升 题型一 求空间两点间的距离问题 解析 能力提升 题型一 求空间两点间的距离问题 解析 方法总结 应用新知 能力提升 题型一 求空间两点间的距离问题 变式训练 能力提升 题型一 求空间两点间的距离问题 解析 能力提升 题型一 求空间两点间的距离问题 解析 能力提升 题型二 空间点到平面距离的几种求解方法 例题 能力提升 题型二 空间点到平面距离的几种求解方法 解析 能力提升 题型二 空间点到平面距离的几种求解方法 解析 能力提升 题型二 空间点到平面距离的几种求解方法 解析 能力提升 题型二 空间点到平面距离的几种求解方法 解析 能力提升 题型二 空间点到平面距离的几种求解方法 解析 能力提升 题型二 空间点到平面距离的几种求解方法 解析 能力提升 题型二 空间点到平面距离的几种求解方法 解析 方法总结 应用新知 方法总结 应用新知 能力提升 题型二 空间点到平面距离的几种求解方法 变式训练 能力提升 题型二 空间点到平面距离的几种求解方法 解析 能力提升 题型二 空间点到平面距离的几种求解方法 解析 能力提升 题型二 空间点到平面距离的几种求解方法 解析 能力提升 题型二 空间点到平面距离的几种求解方法 解析 能力提升 题型二 空间点到平面距离的几种求解方法 解析 能力提升 题型二 空间点到平面距离的几种求解方法 解析 能力提升 题型二 空间点到平面距离的几种求解方法 变式训练 能力提升 题型二 空间点到平面距离的几种求解方法 解析 方法一：等体积法 能力提升 题型二 空间点到平面距离的几种求解方法 解析 方法二：直接法 能力提升 题型二 空间点到平面距离的几种求解方法 解析 方法二：直接法 能力提升 题型二 空间点到平面距离的几种求解方法 变式训练 能力提升 题型二 空间点到平面距离的几种求解方法 解析 能力提升 题型二 空间点到平面距离的几种求解方法 解析 转化法 + 等体积法 能力提升 题型二 空间点到平面距离的几种求解方法 解析 能力提升 题型二 空间点到平面距离的几种求解方法 解析 课堂小结 作业布置 巩固作业：教科书第35页练习第1、3题； 教科书第40页习题第6、7题； 教科书第44页习题第13题. 课后作业答案 教科书第35页练习第1题 课后作业答案 教科书第35页练习第3题 课后作业答案 教科书第40页习题1.4第6题 课后作业答案 教科书第40页习题1.4第7题 课后作业答案 教科书第40页习题1.4第7题 课后作业答案 教科书第44页习题1.4第13题 课后作业答案 教科书第44页习题1.4第13题 ·选择性必修第一册· 本课结束 感谢您的聆听 如图1.4-16，取直线上一点，它的单位方向向量用表示， 这样就用向量表示出了直线的特征. 因为要求点到直线的距离，所以根据点到直线距离的定义， 过点作,点为垂足. 这样，要解决的问题是：利用直线上一点，直线的 单位方向向量以及直线外的点求线段的长度. 追问：如何建立直线的单位方向向量为，直线上的定点，直线外一点 这些条件与线段的联系呢？ 向量及其在直线上的投影向量与之间的关系, 得到.因为，都是定点，所以，与 的夹角都是确定的．于是可求．再利用勾股 定理，可以求出点到直线的距离． 设，则向量在直线上的投影向量． 在中，由勾股定理，得. 其中，为直线的单位方向向量，. 直线的单位方向向量为，直线上的定点，直线上取一点， 进而根据点到直线的距离公式有：即 为两条平行线l与m间的距离. (1)类似于一个点和方向向量确定一条直线，确定一个平面的 条件是什么? (2)类似于通过向量和其在直线上的投影向量，求 点到直线的距离，如何利用向量投影求点到平面的距离? 如图1.4-17，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面的一点. 过点作平面的垂线，交平面于点， 则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是 在直线上的投影向量的长度. 因此． 确定平面的法向量; 选择“参考向量”; 确定“参考向量”向法向量的的投影向量; 求投影向量的模长,得到 在点到直线的距离公式中，投影向量垂直于垂线段; 在点到平面的距离公式中，投影向量与垂线段重合. 这是由给定图形的几何特征所决定的. 问题4:如何求平行于平面的直线到平面的距离?两个平行平面之间的距离呢? ． 如图1.4-18，在棱长为1的正方体中，为线段 的中点，为线段的中点．（1）求点到直线的距离； （2）求直线到平面的距离． 如图1.4-18，在棱长为1的正方体中，为线段 的中点，为线段的中点．（1）求点到直线的距离； （2）求直线到平面的距离． 以为原点，，，所在直线分别为轴、 轴、轴，建立如图1.4-18所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， ，，，． 如图1.4-18，在棱长为1的正方体中，为线段 的中点，为线段的中点．（1）求点到直线的距离； （2）求直线到平面的距离． (1)取，，则，． 所以，点到直线的距离为． 所以，，， ，，． 如图1.4-18，在棱长为1的正方体中，为线段 的中点，为线段的中点．（1）求点到直线的距离； （2）求直线到平面的距离． (2)因为，所以，所以平面． 所以点到平面的距离即为直线到平面的距离． 设平面的法向量为，则， 所以，即，取，则，． 如图1.4-18，在棱长为1的正方体中，为线段 的中点，为线段的中点．（1）求点到直线的距离； （2）求直线到平面的距离． 所以，是平面的一个法向量． 又因为，所以点到平面的距离为 ． 即直线到平面的距离． 点到直线的距离的求法 (1) 在直线上取一点,同时确定直线的单位方向向量; (2) 计算直线上点与已知点对应的向量; (3) 计算在直线上上的投影向量; (4) 由公式求出距离. 求点到平面的距离步骤 (1) 建系：结合图形的特点，建立恰当的空间直角坐标系； (2) 求向量：在坐标系中求出到平面内任一点对应的向量； (3) 求法向量：设出平面的法向量，利用向量垂直的条件转化为求解 方程组，求出法向量； (4) 求距离：代入求点到平面的距离公式计算出答案. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点， 为线段的中点． (1) 求点到直线的距离； (2) 求直线到直线的距离； (2) 求点到平面的距离；(4) 求直线到平面的距离． 建立如图所示的空间直角坐标系，则，， ，，，． 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点， 为线段的中点． (1) 求点到直线的距离； (2) 求直线到直线的距离； (2) 求点到平面的距离；(4) 求直线到平面的距离． （1），，． 设，， 则，， ∴点到直线的距离为． 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点， 为线段的中点． (1) 求点到直线的距离； (2) 求直线到直线的距离； (2) 求点到平面的距离；(4) 求直线到平面的距离． （2），，，． ∴点到直线的距离即为直线到直线的距离， ，．设， ，，∴直线与的距离为． 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点， 为线段的中点． (1) 求点到直线的距离； (2) 求直线到直线的距离； (2) 求点到平面的距离；(4) 求直线到平面的距离． （3）设平面的法向量为， 又，，， 取，则，，，， 又，∴点到平面的距离为． 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点， 为线段的中点． (1) 求点到直线的距离； (2) 求直线到直线的距离； (2) 求点到平面的距离；(4) 求直线到平面的距离． （4），平面，平面， 到面的距离即为点到平面的距离． 又平面的单位法向量，， ∴直线到平面的距离为． 已知长方体中，，点是的中点， 点是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系． （1）写出点的坐标； （2）求线段的长度； （3）设点是线段上的动点，求线段的最小值． （1）根据图中建立的空间直角坐标系，易知点的坐标分别为 ． （2）由空间两点间的距离公式，可得： ， ． （3）在平面上，依题意可设点的坐标为，其中．则 ． 因为，所以当时，线段取得最小值， 为，即．故的最小值为． 计算两点间的距离的两种方法 (1) 向量求模法(基底法) 利用，通过向量运算求；或求两点间的距离，一般用求解． (2) 距离公式法(坐标法) 若，则，此 法适用于求解的图形适宜建立空间直角坐标系时． 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是， 且它们所在的平面互相垂直，活动弹子分别在 正方形对角线和上移动，且和的长 度保持相等，记． (1)求的长； (2)为何值时，的长最小并求出最小值． （1）平面平面，平面平面， ，平面，平面， 则以为坐标原点，为轴建立如图 所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，， ； （2）由（1）知：， 当时，最小，最小值为. 如图，在三棱锥中，， ，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且，求点到平面的距离． （1）因为，为的中点， 所以，且． 连结．因为，， 所以为等腰直角三角形，且，． 由知，．由， ，所以，平面；． （2）［方法一］：【最优解】定义法 作，垂足为． 又由（1）易知平面，从而， 因为，所以平面． 故的长为点到平面的距离． 由题设可知，， ． 所以，． 所以点到平面的距离为． ［方法二］：等积法 设C到平面的距离为h， 由（1）知即为P到平面的距离，且． 又，在中，， 则由余弦定理得， 则，即， 则． 即点C到平面POM的距离为． ［方法三］：向量法 如图，以O为原点，建立直角坐标系， 设，，，， ，，，． 设平面的一个法向量， 则，令，则， 所以，点C到平面的距离为． 求点到平面的距离的常用方法 (1)直接法：过点作平面的垂线，垂足为，把放在某个三 角形中，解三角形求出的长度就是点到平面的距离． (2)转化法：若点所在的直线平行于平面，则转化为直线上某 一个点到平面的距离来求． 求点到平面的距离的常用方法 (3)等体积法：求点面距离可以转化为求三棱锥的高，如四面体中点 到平面的距离，用等体积法求得. (4)向量法：设平面的一个法向量为，是内任意点，则点 到的距离为. 如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面， 分别是的中点，是边长为2的 等边三角形，． (1)证明：； (2)求点到平面的距离． （1）法一: 是等边三角形，且是中点 面，面 面，面，且 面，面 法二：取的中点，则面， 可知两两垂直， 如图以为轴，为轴，为轴， 则，，，； 所以，，则， 即； （2）法一：（等体积法） 由题可知：； 在中，，； 取中点，在中， ， 边上的高为； ； 设点到平面的距离为，则， 解得，即点到平面的距离为． 法二：（向量法） ，，，， 设面的法向量为， ； 设点到面的距离为， 故点到平面的距离为. 如图，在各棱长均为2的正三棱柱中， ，，分别为，，的中点， ，求点到平面的距离. 在正三棱柱中，侧棱垂直底面， 底面，则，. 依题意得，，则 所以的面积. 设点B到平面的距离为h，则由， 得，解得. 取的中点M，连接，. 因为，所以. 因为底面，底面，所以. 因为，平面，所以平面. 过B作于H，平面，则. 因为，平面, 所以平面. 因为，，， 所以点B到平面的距离. 如图所示，在直三棱柱中，， 设为的中点，且. （1）求证：平面平面； （2）求点到平面的距离. （1）因为三棱柱为直三棱柱， 所以平面，平面， 所以，又因为，为的中点， 所以， 因为平面，平面，， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）设交于点，连接，因为， 分别是，的中点，则， 且平面，平面. 所以平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 设该距离为，则由， 得， 所以， 由题意， ，， 所以，所以为直角三角形， 所以， 所以. 在棱长为1的正方体中，点A到平面的距离等于_______； 直线DC到平面的距离等于_____；平面到平面的距离等于______． 【答案】解：在棱长为的正方体中，面， 所以即为点A到平面的距离，故点A到平面的距离为， 因为，面，面，所以面， 所以即为直线DC到平面的距离，故直线DC到 平面的距离为，又平面平面， 所以平面到平面的距离为 如图，在棱长为1的正方体中，求平面与平面的距离． 【详解】如图所示建立空间直角坐标系，， ,设平面的法向量为 ， 则，不妨令，则， 所以， 所以平面与平面间的距离 如图，在棱长为1的正方体中，O为平面的中心， E为BC的中点，求点O到直线的距离． 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 因为， ，所以. 所以点到直线的距离为 如图，四面体OABC的所有棱长都是1，D，E分别是边OA，BC的中点， 连接DE．（1）计算DE的长；（2）求点O到平面ABC的距离． 【详解】（1）因为四面体OABC的所有棱长都是1，所以该四面体为正四面体， ， 而且， 所以， 即，所以DE的长为． 如图，四面体OABC的所有棱长都是1，D，E分别是边OA，BC的中点， 连接DE．（1）计算DE的长；（2）求点O到平面ABC的距离． （2）因为四面体OABC为正四面体，所以点O在平面ABC的射影 为的中心，的外接圆半径为， 所以点O到平面ABC的距离为： ． 如图，已知正方体的棱长为1，E为CD的中点，求点 到平面的距离． 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 设平面的一个法向量为，. 如图，已知正方体的棱长为1，E为CD的中点，求点 到平面的距离． 由令， 则，即. 设点到平面的距离为， 则，即点到平面的距离为. $$