专题16 平面解析几何(选择填空题)(第二部分)-大数据之十年高考数学真题（2015-2024）与优质模拟题（新高考+全国理）

大数据之十年高考真题（2015-2024）与优质模拟题（新高考卷） 专题16平面解析几何(选择填空题)(第二部分) 1．【2024年甲卷理科第5题】已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 2．【2024年甲卷理科第12题】已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 3．【2023年高考全国乙卷理第11题】设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（    ） A． B． C． D． 4．【2023年高考全国甲卷理第8题】已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 5．【2023年高考全国甲卷理第12题】设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（    ） A． B． C． D． 6．【2022年高考全国乙卷理第5题】设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 7．【2022年高考全国甲卷理第10题】椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．【2021年高考全国乙卷理第11题】设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．【2021年高考全国甲卷理第5题】已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 10．【2020年新课标Ⅲ卷理科第5题】设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 11．【2020年新课标Ⅲ卷理科第10题】若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（    ） A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+ 12．【2020年新课标Ⅲ卷理科第11题】设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 13．【2020年新课标Ⅱ卷理科第5题】若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 14．【2020年新课标Ⅱ卷理科第8题】设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 15．【2020年新课标Ⅰ卷理科第4题】已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 16．【2020年新课标Ⅰ卷理科第11题】已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 17．【2019年新课标Ⅲ卷理科第10题】双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为 A． B． C． D． 18．【2019年新课标Ⅱ卷理科第8题】若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p= A．2 B．3 C．4 D．8 19．【2019年新课标Ⅱ卷理科第11题】设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为 A． B． C．2 D． 20．【2019年新课标Ⅰ卷理科第10题】已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为 A． B． C． D． 21．【2018年新课标Ⅱ卷理科第12题】已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为 A． B． C． D． 22．【2018年新课标Ⅲ卷理科第6题】直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是 A． B． C． D． 23．【2018年新课标Ⅲ卷理科第11题】设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为 A． B． C． D． 24．【2018年新课标Ⅰ卷理科第8题】设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则= A．5 B．6 C．7 D．8 25．【2018年新课标Ⅰ卷理科第11题】已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|= A． B．3 C． D．4 26．【2018年新课标Ⅱ卷理科第5题】双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A． B． C． D． 27．【2022年高考全国乙卷理第11题】双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 28．【2023年高考全国乙卷理第13题】已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 . 29．【2022年高考全国乙卷理第14题】过四点中的三点的一个圆的方程为 ． 30．【2022年高考全国甲卷理第14题】若双曲线的渐近线与圆相切，则 ． 31．【2021年高考全国乙卷理第13题】已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为 ． 32．【2021年高考全国甲卷理第15题】已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为 ． 33．【2020年新课标Ⅰ卷理科第15题】已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为 . 34．【2019年新课标Ⅲ卷理科第15题】设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为 . 35．【2019年新课标Ⅰ卷理科第16题】已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为 ． 36．【2018年新课标Ⅲ卷理科第16题】已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则 ． 1．（2024·内蒙古包头·三模）设O为坐标原点，，为椭圆C：的左，右两个焦点，点R在C上，点是线段上靠近点的三等分点，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·内蒙古赤峰·二模）设点 P是椭圆 上一点, 分别为椭圆C的左、右焦点, 且的重心为G，若 则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·内蒙古赤峰·三模）已知圆 圆则两圆的公切线条数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．（2024·青海海南·二模）已知曲线，圆，若A，B分别是M，N上的动点，则的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D． 5．（2024·四川内江·三模）设是椭圆的两个焦点，点P在椭圆C上，若为直角三角形，则的面积为（    ） A． B．1或 C． D．1或 6．（2024·四川自贡·三模）设，分别为双曲线（，）的上，下焦点，过点的直线与的一条渐近线交于点，若轴，且点到的距离为，则 的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·四川成都·三模）已知双曲线（，）的左焦点为，点为坐标原点，点为双曲线渐近线上一点且满足，过作轴的垂线交渐近线于点，已知，则其离心率为（    ） A．2 B． C． D． 8．（2024·内蒙古·三模）设，是双曲线：的两条渐近线，若直线与直线关于直线对称，则双曲线的离心率的平方为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·四川成都·三模）双曲线的两个焦点为、，对称中心为O，在的一条渐近线上取一点M，使得等于C的半实轴长，当的最小角取最大值时，的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 10．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知椭圆：的左、右两个顶点为，，点，，是的四等分点，分别过这三点作斜率为的一组平行线，交椭圆于，，…，，则直线，，…，，这6条直线的斜率乘积为（    ） A． B． C．8 D．64 11．（2024·陕西商洛·三模）已知抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，点满足，其中为坐标原点，直线交于另一点，直线交于另一点，记的面积分别为，则 ．（结果用表示） 12．（2024·陕西榆林·三模）在中，，则面积的最大值为 . 13．（2024·陕西西安·三模）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线的左支于A，B两点，，，则双曲线的离心率为 ． 14．（2024·陕西渭南·二模）若点A在焦点为F的抛物线上，且，点P为直线上的动点，则的最小值为 . 15．（2024·西藏拉萨·二模）已知双曲线与有相同的渐近线，且直线过双曲线的焦点，则双曲线的标准方程为 . 16．（2024·四川成都·三模）设为抛物线 的焦点，过的直线与相交于两点，过点作的切线，与轴交于点，与轴交于点，则(其中为坐标原点) 的值为 17．（2024·四川眉山·三模）已知球的半径为3，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，其半径分别为，若，两圆的公共弦的中点为，则 . 18．（2024·内蒙古包头·一模）设抛物线的焦点为F，过F且斜率为2的直线l与C交于P、Q两点，则 . 19．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）双曲线的一条渐近线上的点关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点F，则双曲线C的离心率为 . 20．（2024·广西·二模）已知分别是双曲线的左､右焦点，是的左支上一点，过作角平分线的垂线，垂足为为坐标原点，则 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大数据之十年高考真题（2015-2024）与优质模拟题（新高考卷） 专题16平面解析几何(选择填空题)(第二部分) 1．【2024年甲卷理科第5题】已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【详解】由题意，设、、， 则，，， 则，则. 故选：C. 2．【2024年甲卷理科第12题】已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【详解】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得 ，即，令得， 故直线恒过，设，圆化为标准方程得：， 设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小， ，此时.    故选：C 3．【2023年高考全国乙卷理第11题】设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则的中点， 可得， 因为在双曲线上，则，两式相减得， 所以. 对于选项A： 可得，则， 联立方程，消去y得， 此时， 所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误； 对于选项B：可得，则， 联立方程，消去y得， 此时， 所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误； 对于选项C：可得，则 由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线， 所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误； 对于选项D：，则， 联立方程，消去y得， 此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确； 故选：D. 4．【2023年高考全国甲卷理第8题】已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，则， 解得， 所以双曲线的一条渐近线为， 则圆心到渐近线的距离， 所以弦长. 故选：D 5．【2023年高考全国甲卷理第12题】设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】方法一：设，所以， 由，解得：， 由椭圆方程可知，， 所以，，解得：， 即，因此． 故选：B． 方法二：因为①，， 即②，联立①②， 解得：， 而，所以， 即． 故选：B． 方法三：因为①，， 即②，联立①②，解得：， 由中线定理可知，，易知，解得：． 故选：B． 6．【2022年高考全国乙卷理第5题】设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】由题意得，，则， 即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为， 不妨设点在轴上方，代入得，， 所以. 故选：B 7．【2022年高考全国甲卷理第10题】椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】[方法一]：设而不求 设，则 则由得：， 由，得， 所以，即， 所以椭圆的离心率，故选A. [方法二]：第三定义 设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知： 故， 由椭圆第三定义得：， 故 所以椭圆的离心率，故选A. 8．【2021年高考全国乙卷理第11题】设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，由，因为 ，，所以 ， 因为，当，即 时，，即 ，符合题意，由可得，即 ； 当，即时， ，即，化简得， ，显然该不等式不成立． 故选：C． 9．【2021年高考全国甲卷理第5题】已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，由双曲线的定义可得， 所以，； 因为,由余弦定理可得， 整理可得，所以，即. 故选：A 10．【2020年新课标Ⅲ卷理科第5题】设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为直线与抛物线交于两点，且， 根据抛物线的对称性可以确定，所以， 代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为， 故选：B. 11．【2020年新课标Ⅲ卷理科第10题】若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（    ） A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+ 【答案】D 【详解】设直线在曲线上的切点为，则， 函数的导数为，则直线的斜率， 设直线的方程为，即， 由于直线与圆相切，则， 两边平方并整理得，解得，（舍）， 则直线的方程为，即. 故选：D. 12．【2020年新课标Ⅲ卷理科第11题】设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【详解】，，根据双曲线的定义可得， ，即， ，， ，即，解得， 故选：A. 13．【2020年新课标Ⅱ卷理科第5题】若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为，则圆的半径为， 圆的标准方程为. 由题意可得， 可得，解得或， 所以圆心的坐标为或， 圆心到直线的距离均为； 圆心到直线的距离均为 圆心到直线的距离均为； 所以，圆心到直线的距离为. 故选：B. 14．【2020年新课标Ⅱ卷理科第8题】设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【详解】 双曲线的渐近线方程是 直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点 不妨设为在第一象限，在第四象限 联立，解得 故 联立，解得 故 面积为： 双曲线 其焦距为 当且仅当取等号 的焦距的最小值： 故选：B. 15．【2020年新课标Ⅰ卷理科第4题】已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得. 故选：C. 16．【2020年新课标Ⅰ卷理科第11题】已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的方程可化为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离． 依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而 ， 当直线时，， ，此时最小． ∴即 ，由解得， ． 所以以为直径的圆的方程为，即 ， 两圆的方程相减可得：，即为直线的方程． 故选：D. 17．【2019年新课标Ⅲ卷理科第10题】双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由． ， 又P在C的一条渐近线上，不妨设为在上， ，故选A． 18．【2019年新课标Ⅱ卷理科第8题】若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p= A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】D 【详解】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D． 19．【2019年新课标Ⅱ卷理科第11题】设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为 A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】设与轴交于点，由对称性可知轴， 又，为以为直径的圆的半径， 为圆心． ，又点在圆上， ，即． ，故选A． 20．【2019年新课标Ⅰ卷理科第10题】已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得． 所求椭圆方程为，故选B． 法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B． 21．【2018年新课标Ⅱ卷理科第12题】已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c, 由斜率为得，， 由正弦定理得, 所以， 故选：D. 22．【2018年新课标Ⅲ卷理科第6题】直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线分别与轴，轴交于，两点 ,则 点P在圆上 圆心为（2，0），则圆心到直线距离 故点P到直线的距离的范围为 则 故答案选A. 23．【2018年新课标Ⅲ卷理科第11题】设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知 在中， 在中, 故选B. 24．【2018年新课标Ⅰ卷理科第8题】设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则= A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【详解】根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为， 与抛物线方程联立，消元整理得：， 解得，又， 所以， 从而可以求得，故选D. 25．【2018年新课标Ⅰ卷理科第11题】已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|= A． B．3 C． D．4 【答案】B 【详解】根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为， 从而得到，所以直线的倾斜角为或， 根据双曲线的对称性，设其倾斜角为， 可以得出直线的方程为， 分别与两条渐近线和联立， 求得， 所以，故选B. 26．【2018年新课标Ⅱ卷理科第5题】双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A. 27．【2022年高考全国乙卷理第11题】双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用 情况一   M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B， 所以，因为，所以在双曲线的左支， ，， ，设，由即，则， 选A 情况二 若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支， 所以，， ，设， 由，即，则， 所以，即， 所以双曲线的离心率 选C [方法二]：答案回代法 特值双曲线 ， 过且与圆相切的一条直线为， 两交点都在左支,， ， 则， 特值双曲线， 过且与圆相切的一条直线为， 两交点在左右两支，在右支，， ， 则， [方法三]： 依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为， 若分别在左右支， 因为，且，所以在双曲线的右支， 又，，， 设，， 在中，有， 故即， 所以， 而，，，故， 代入整理得到，即， 所以双曲线的离心率 若均在左支上， 同理有，其中为钝角，故， 故即， 代入，，，整理得到：， 故，故， 故选：AC. 三、单选题 28．【2023年高考全国乙卷理第13题】已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 . 【答案】 【详解】由题意可得：，则，抛物线的方程为， 准线方程为，点到的准线的距离为. 故答案为：. 29．【2022年高考全国乙卷理第14题】过四点中的三点的一个圆的方程为 ． 【答案】或或或． 【详解】[方法一]：圆的一般方程 依题意设圆的方程为， （1）若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； （2）若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； （3）若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； （4）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即； 故答案为：或 或 或． [方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心） 设 （1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为， 则，所以圆的方程为； （2）若圆过三点， 设圆心坐标为，则，所以圆的方程为； （3）若圆过 三点，则线段的中垂线方程为，线段 的中垂线方程 为，联立得 ，所以圆的方程为； （4）若圆过三点，则线段的中垂线方程为， 线段中垂线方程为 ，联立得，所以圆的方程为． 故答案为：或 或 或． 30．【2022年高考全国甲卷理第14题】若双曲线的渐近线与圆相切，则 ． 【答案】 【详解】解：双曲线的渐近线为，即， 不妨取，圆，即，所以圆心为，半径， 依题意圆心到渐近线的距离， 解得或（舍去）． 故答案为：． 31．【2021年高考全国乙卷理第13题】已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为 ． 【答案】4 【详解】由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得（舍去），，故焦距. 故答案为：4. 32．【2021年高考全国甲卷理第15题】已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为 ． 【答案】 【详解】因为为上关于坐标原点对称的两点， 且，所以四边形为矩形， 设，则， 所以， ，即四边形面积等于. 故答案为：. 33．【2020年新课标Ⅰ卷理科第15题】已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为 . 【答案】2 【详解】联立，解得，所以. 依题可得，，，即，变形得，, 因此，双曲线的离心率为. 故答案为：． 34．【2019年新课标Ⅲ卷理科第15题】设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为 . 【答案】 【详解】由已知可得， 又为上一点且在第一象限,为等腰三角形， ．∴． 设点的坐标为，则， 又，解得， ，解得（舍去）， 的坐标为． 35．【2019年新课标Ⅰ卷理科第16题】已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为 ． 【答案】2. 【详解】如图，    由得又得OA是三角形的中位线，即由，得则有， 又OA与OB都是渐近线，得又，得．又渐近线OB的斜率为，所以该双曲线的离心率为． 36．【2018年新课标Ⅲ卷理科第16题】已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则 ． 【答案】2 【详解】［方法一］：点差法 设，则，所以 所以， 取AB中点,分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为 因为,， 因为为AB中点，所以平行于x轴， 因为M(-1,1)，所以，则即． 故答案为：2. ［方法二］：【最优解】焦点弦的性质 记抛物线的焦点为F，因为，则以为直径的圆与准线相切于点M，由抛物线的焦点弦性质可知，所以． ［方法三］： 焦点弦性质+韦达定理 记抛物线的焦点为F，因为，则以为直径的圆与准线相切于点M，记中点为N，则，设，代入中，得，所以，得，所以． ［方法四］：【通性通法】暴力硬算 由题知抛物线的焦点为，设直线的方程为，代入中得，设，则，同理有，由，即．又，所以，得． ［方法五］：距离公式+直角三角形的性质 设直线为，与联立得，则从而，可得的中点，所以． 又由弦长公式知． 由得，解得，所以． ［方法六］：焦点弦的性质应用 由题可知，线段为抛物线的焦点弦，，由于以抛物线的焦点弦为直径的圆必与准线相切，又点M恰为抛物线准线上的点，因此，以为直径的圆必与准线相切于点M． 过点M作平行于轴的直线交于点N，则N为圆心． 设，则． 又因为，所以联立解得．将的值代入中求得． 因为抛物线C的焦点，所以． 1．（2024·内蒙古包头·三模）设O为坐标原点，，为椭圆C：的左，右两个焦点，点R在C上，点是线段上靠近点的三等分点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则由题意可表示出、，结合垂直性质与在上计算即可得点横坐标，再利用两点间距离公式即可得解. 【详解】设，由题意可得，则， 则，， 由，则， 由在上，则有，即， 即有，整理得， 即，故或， 由可知，不符，故舍去，即有， 则. 故选：C. 2．（2024·内蒙古赤峰·二模）设点 P是椭圆 上一点, 分别为椭圆C的左、右焦点, 且的重心为G，若 则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，再由求解． 【详解】如图所示： 由椭圆的定义知，，而，得， 而，得， 在中，由余弦定理得，， 所以， 得， 根据三角形的重心性质，可知，，故， 所以， 故选：B 3．（2024·内蒙古赤峰·三模）已知圆 圆则两圆的公切线条数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】确定两圆的位置关系后可得公切线条数． 【详解】圆标准方程为， 则已知两圆圆心分别为，半径分别为， 圆心距为， 因此两圆外切，它们有三条公切线， 故选：B． 4．（2024·青海海南·二模）已知曲线，圆，若A，B分别是M，N上的动点，则的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据题意可得曲线M的方程为，设出，利用两点间距离公式并由二次函数性质可求得，进而利用点与圆的位置关系求解即可. 【详解】根据题意，曲线， 则曲线M上的点到点和距离之和为， 根据椭圆定义知曲线M的是以和为焦点的椭圆， 其中，则，所以曲线M的的方程为， 设点满足且，可得， 圆的圆心为，半径为1， 则， 又函数在单调递减，所以， 所以的最小值是. 故选：C 5．（2024·四川内江·三模）设是椭圆的两个焦点，点P在椭圆C上，若为直角三角形，则的面积为（    ） A． B．1或 C． D．1或 【答案】D 【分析】分以及两种情况分别进行求解即可求出结果. 【详解】因为，所以， 若（当时，面积一样），则，， 所以； 若，设，则，所以， 故，符合题意； 综上：的面积为1或. 故选：D 6．（2024·四川自贡·三模）设，分别为双曲线（，）的上，下焦点，过点的直线与的一条渐近线交于点，若轴，且点到的距离为，则 的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先表示出双曲线的渐近线方程与焦点坐标，依题意求出点坐标，即可求出直线的方程，再由点到直线的距离公式及得到、的关系，即可求出离心率. 【详解】双曲线的渐近线方程为，上焦点，下焦点， 由，解得，不妨取， 则直线的方程为，即， 又点到的距离为，则， 即，又，所以，即， 所以离心率. 故选：B 7．（2024·四川成都·三模）已知双曲线（，）的左焦点为，点为坐标原点，点为双曲线渐近线上一点且满足，过作轴的垂线交渐近线于点，已知，则其离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设两点的坐标，然后利用两点间距离公式列方程求解即可. 【详解】 ，故点在的垂直平分线上， 则点的横坐标为，且过作轴的垂线交渐近线于点， 故设点， 不妨设均在上，则， ，， ，即，， ，故离心率为. 故选：D. 8．（2024·内蒙古·三模）设，是双曲线：的两条渐近线，若直线与直线关于直线对称，则双曲线的离心率的平方为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设的倾斜角为，分为和，由两角差与和的正切公式由求出，即可求出，进而求出双曲线的离心率的平方. 【详解】由题可知经过第二、四象限，经过第一、三象限，设的倾斜角为. 当时，则，即，， 即，所以. 当时，，即，， 即，所以. 综上，双曲线的离心率的平方为. 故选：C. 9．（2024·四川成都·三模）双曲线的两个焦点为、，对称中心为O，在的一条渐近线上取一点M，使得等于C的半实轴长，当的最小角取最大值时，的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】作垂直于轴，垂足为，利用渐近线斜率求出，然后由结合重要不等式可得取得最大值时，由公式可得. 【详解】如图，不妨设焦点在轴上，为坐标原点，点在渐近线， 因为，所以，所以， 作垂直于轴，垂足为， 因为，所以， 所以，， 则， 当且仅当时取等号，此时取得最大值， 所以． 故选：B    10．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知椭圆：的左、右两个顶点为，，点，，是的四等分点，分别过这三点作斜率为的一组平行线，交椭圆于，，…，，则直线，，…，，这6条直线的斜率乘积为（    ） A． B． C．8 D．64 【答案】A 【分析】椭圆上任意一点坐标为，以及椭圆的对称性可得. 【详解】如图，    左右顶点的坐标分别为，设椭圆上任意一点坐标为， 且P不与A、B重合， 则， 又在椭圆上，故，所以， 则， 所以 同理可得 ∴直线这6条直线的斜率乘积 故选：A. 11．（2024·陕西商洛·三模）已知抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，点满足，其中为坐标原点，直线交于另一点，直线交于另一点，记的面积分别为，则 ．（结果用表示） 【答案】 【分析】设直线的方程为，联立抛物线方程结合韦达定理有，同理，从而，同理，结合三角形面积公式即可得解. 【详解】 由题意知，又，所以． 显然直线的斜率不为0，设直线的方程为， 由，得，所以． 显然直线的斜率不为0，设，直线的方程为， 由得，所以， 又，所以， 设，同理可得， 所以． 故答案为：. 12．（2024·陕西榆林·三模）在中，，则面积的最大值为 . 【答案】3 【分析】由已知，设，可得，所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（除去点，），则当时，面积取最大值，求出即可. 【详解】 取中点，以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系， 因为，故， 设，则, 整理得， 所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（除去点，）， 则当时，面积取最大值， 此时. 故答案为：3. 13．（2024·陕西西安·三模）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线的左支于A，B两点，，，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】设，，在中，利用余弦定理求出，再根据双曲线的定义即可求出，再在中，利用余弦定理即可得解. 【详解】由题可设，， 由余弦定理可得， 即，解得， 因为，所以，即， 在中，，，， 所以， 即，解得， 则所求双曲线的离心率为． 故答案为：． 14．（2024·陕西渭南·二模）若点A在焦点为F的抛物线上，且，点P为直线上的动点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先求得点的坐标，再求得关于直线的对称点，借助三点共线求得的最小值. 【详解】抛物线的焦点，准线，设， 则，解得，显然，不妨设， 关于直线的对称点为，则 因此，当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 15．（2024·西藏拉萨·二模）已知双曲线与有相同的渐近线，且直线过双曲线的焦点，则双曲线的标准方程为 . 【答案】 【分析】抓住共渐近线即渐近线斜率一样，焦点与有关，结合可解. 【详解】设双曲线的半焦距为，直线过双曲线的焦点，所以双曲线的右焦点为， 所以.因为的渐近线方程为，所以. 结合，解得，所以双曲线的标准方程为. 故答案为：. 16．（2024·四川成都·三模）设为抛物线 的焦点，过的直线与相交于两点，过点作的切线，与轴交于点，与轴交于点，则(其中为坐标原点) 的值为 【答案】/ 【分析】设直线的方程为，，联立方程，利用韦达定理求出，再根据导数的几何意义求出过点作的切线的方程，即可求出两点的坐标，进而可得出答案. 【详解】由抛物线 ，得， 设直线的方程为，， 联立，消得， 则， 由，得， 所以过点作的切线的斜率为， 故切线方程为，即， 令，则，令，则， 即， 则， 所以. 故答案为：. 17．（2024·四川眉山·三模）已知球的半径为3，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，其半径分别为，若，两圆的公共弦的中点为，则 . 【答案】1 【分析】首先根据几何关系说明四边形是矩形，再根据圆和三角形的几何性质，即可求解. 【详解】，，并且两圆垂直， 因为，且，，， 所以，又因为， 所以，同理， 所以四边形是平行四边形，， 则四边形是矩形， 如图，设两圆的公共弦的一个端点为点， 设，则在中，， 在中，，在中，，联立得， 所以在中，，所以. 故答案为：1 18．（2024·内蒙古包头·一模）设抛物线的焦点为F，过F且斜率为2的直线l与C交于P、Q两点，则 . 【答案】 【分析】由题意求出直线l的方程，联立方程组，由抛物线的焦点弦公式求解即可. 【详解】抛物线的焦点为， 过F且斜率为2的直线l方程为：，设，， 联立得：，则， 所以. 故答案为：. 19．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）双曲线的一条渐近线上的点关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点F，则双曲线C的离心率为 . 【答案】2 【分析】 由点在渐近线上可求得，再根据双曲线的性质计算离心率即可. 【详解】由点在双曲线的一条渐近线上，可得， 记坐标原点为，则，即． 因为，所以，故双曲线的离心率为． 故答案为：2 20．（2024·广西·二模）已知分别是双曲线的左､右焦点，是的左支上一点，过作角平分线的垂线，垂足为为坐标原点，则 . 【答案】2 【分析】根据双曲线的定义求解． 【详解】双曲线的实半轴长为， 延长交直线于点，由题意有，， 又是中点，所以， 故答案为：2.    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$