专题15 平面解析几何(选择填空题)(第一部分)-大数据之十年高考数学真题（2015-2024）与优质模拟题（新高考+全国理）

大数据之十年高考真题（2015-2024）与优质模拟题（新高考卷） 专题15平面解析几何(选择填空题)(第一部分) 1．【2024年新高考2卷第5题】已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 2．【2023年新课标全国Ⅱ卷第5题】已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（    ）． A． B． C． D． 3．【2023年新课标全国Ⅰ卷第5题】设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 4．【2023年新课标全国Ⅰ卷第6题】过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 5．【2021年新课标全国Ⅰ卷第5题】已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 6．【2021年新课标全国Ⅱ卷第3题】抛物线的焦点到直线的距离为，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 7．【2017年新课标Ⅲ卷理科第5题】已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 8．【2017年新课标Ⅲ卷理科第10题】已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为 A． B． C． D． 9．【2017年新课标Ⅱ卷理科第9题】若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截 得的弦长为2，则的离心率为                       A．2 B． C． D． 10．【2017年新课标Ⅰ卷理科第10题】已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A．16 B．14 C．12 D．10 11．【2016年新课标Ⅲ卷理科第11题】已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为 A． B． C． D． 12．【2016年新课标Ⅱ卷理科第4题】圆的圆心到直线的距离为1，则 A． B． C． D．2 13．【2016年新课标Ⅱ卷理科第11题】已知F1，F2是双曲线E：的左，右焦点，点M在E上，M F1与轴垂直，sin ,则E的离心率为 A． B． C． D．2 14．【2016年新课标Ⅰ卷理科第5题】已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是 A．(–1,3) B．(–1,) C．(0,3) D．(0,) 15．【2016年新课标Ⅰ卷理科第10题】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点.已知|AB|=，|DE|=，则C的焦点到准线的距离为                                  A．8 B．6 C．4 D．2 16．【2015年新课标Ⅱ理科第7题】过三点，，的圆交y轴于M，N两点，则 A．2 B．8 C．4 D．10 17．【2015年新课标Ⅱ理科第11题】已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为 A． B． C． D． 18．【2015年新课标Ⅰ理科第5题】已知是双曲线：上的一点，，是的两个焦点，若，则的取值范围是 A． B． C． D． 19．【2024年新高考1卷第11题】设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（    ） A． B．点在C上 C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点在C上时， 20．【2024年新高考2卷第10题】抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 21．【2023年新课标全国Ⅱ卷第10题】设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（    ）． A． B． C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形 22．【2022年新课标全国Ⅰ卷第11题】已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（    ） A．C的准线为 B．直线AB与C相切 C． D． 23．【2022年新课标全国Ⅱ卷第10题】已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（    ） A．直线的斜率为 B． C． D． 24．【2021年新课标全国Ⅰ卷第11题】已知点在圆上，点、，则（    ） A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于 C．当最小时， D．当最大时， 25．【2021年新课标全国Ⅱ卷第11题】已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（    ） A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 26．【2020年新课标全国Ⅱ卷第10题】已知曲线.（    ） A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B．若m=n>0，则C是圆，其半径为 C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为 D．若m=0，n>0，则C是两条直线 27．【2024年新高考1卷第12题】设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ． 28．【2023年新课标全国Ⅱ卷第15题】已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ． 29．【2023年新课标全国Ⅰ卷第16题】已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 30．【2022年新课标全国Ⅰ卷第14题】写出与圆和都相切的一条直线的方程 ． 31．【2022年新课标全国Ⅰ卷第16题】已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是 ． 32．【2022年新课标全国Ⅱ卷第15题】设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ． 33．【2022年新课标全国Ⅱ卷第16题】已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为 ． 34．【2021年新课标全国Ⅰ卷第14题】已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为 . 35．【2021年新课标全国Ⅱ卷第13题】若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程 . 36．【2020年新课标全国Ⅱ卷第14题】斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则= ． 37．【2017年新课标Ⅰ卷理科第15题】已知双曲线：的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线于交、两点，若，则的离心率为 ． 38．【2017年新课标Ⅱ卷理科第16题】已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则 ． 39．【2016年新课标Ⅲ卷理科第16题】已知直线：与圆交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点，若，则 ． 40．【2015年新课标Ⅰ理科第14题】一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 . 1．（2024·河北石家庄·三模）已知双曲线的实半轴长为，其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线在第一象限交于点，与轴交于点，若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·内蒙古·三模）已知椭圆的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·广东汕头·三模）已知椭圆：的两个焦点分别为，，是上任意一点，则下列不正确的是（    ） A．的离心率为 B．的最小值为2 C．的最大值为16 D．可能存在点，使得 5．（2024·山东菏泽·二模）已知分别为椭圆和双曲线的离心率，双曲线渐近线的斜率不超过，则的最大值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（2024·河北衡水·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，过点作直线与渐近线垂直，垂足为点，延长交于点.若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·山东济宁·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，根据双曲线的光学性质可知，过双曲线上任意一点的切线平分.直线过交双曲线的右支于A，B两点，设的内心分别为，若与的面积之比为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．. 8．（2024·山东·模拟预测）已知双曲线的上焦点为，圆的圆心位于轴上，半径为，且与的上支交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·山西太原·三模）已知曲线 ，则下列结论正确的是（   ） A．曲线 可能是直线 B．曲线 可能是圆 C．曲线 可能是椭圆 D．曲线 可能是双曲线 10．（2024·广东茂名·一模）已知圆，则（    ） A．圆的圆心坐标为 B．圆的周长为 C．圆与圆外切 D．圆截轴所得的弦长为3 11．（2024·山西吕梁·三模）已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，两曲线有公共焦点是椭圆与双曲线的一个公共点，，以下结论正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 12．（2024·河北唐山·二模）设抛物线：的焦点为，准线为，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（    ） A． B．以为直径的圆与相切 C．以为直径的圆过坐标原点 D．为直角三角形 13．（2024·山西太原·二模）已知两定点，，动点M满足条件，其轨迹是曲线C，过B作直线l交曲线C于P，Q两点，则下列结论正确的是（    ） A．取值范围是 B．当点A，B，P，Q不共线时，面积的最大值为6 C．当直线l斜率时，AB平分 D．最大值为 14．（2024·广东·二模）抛物线：焦点为F，且过点，斜率互为相反数的直线，分别交于另一点C和D，则下列说法正确的有（    ） A．直线过定点 B．在C，D两点处的切线斜率和为 C．上存在无穷多个点到点F和直线的距离和为6 D．当C，D都在A点左侧时，面积的最大值为 15．（2024·黑龙江牡丹江·一模）设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为 ． 16．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知圆，点，点为圆上的一个动点（异于点），若点在以AB为直径的圆上，则到轴距离的最大值为 . 17．（2024·湖北武汉·二模）已知动点的轨迹方程为，其中，则的最小值为 . 18．（2024·湖北黄冈·三模）已知抛物线的焦点为,，是抛物线上关于其对称轴对称的两点，若，为坐标原点，则点的横坐标为 . 19．（2024·山东·一模）如图，在中，已知，其内切圆与AC边相切于点D，且，延长BA到E，使，连接CE，设以E，C为焦点且经过点A的椭圆的离心率为，以E，C为焦点且经过点A的双曲线的离心率为，则的取值范围是 ． 20．（2024·湖北黄石·三模）如图，已知过抛物线（）的焦点的直线与抛物线交于两点，过点A作抛物线的准线的垂线，垂足为，抛物线的准线与轴交于点，为坐标原点，记，，分别为，，的面积.若，则直线的斜率为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大数据之十年高考真题（2015-2024）与优质模拟题（新高考卷） 专题15平面解析几何(选择填空题)(第一部分) 1．【2024年新高考2卷第5题】已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】A 【详解】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A 2．【2023年新课标全国Ⅱ卷第5题】已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 将直线与椭圆联立，消去可得， 因为直线与椭圆相交于点，则，解得， 设到的距离到距离，易知， 则，， ，解得或（舍去）， 故选：C. 3．【2023年新课标全国Ⅰ卷第5题】设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，因此，而，所以. 故选：A 4．【2023年新课标全国Ⅰ卷第6题】过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为， 因为，则， 可得， 则， ， 即为钝角， 所以； 法二：圆的圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为，连接， 可得，则， 因为 且，则， 即，解得， 即为钝角，则， 且为锐角，所以； 方法三：圆的圆心，半径， 若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意； 若切线斜率存在，设切线方程为，即， 则，整理得，且 设两切线斜率分别为，则， 可得， 所以，即，可得， 则， 且，则，解得. 故选：B.      5．【2021年新课标全国Ⅰ卷第5题】已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 【答案】C 【详解】由题，，则， 所以（当且仅当时，等号成立）． 故选：C． 6．【2021年新课标全国Ⅱ卷第3题】抛物线的焦点到直线的距离为，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【详解】抛物线的焦点坐标为， 其到直线的距离：， 解得：(舍去). 故选：B. 7．【2017年新课标Ⅲ卷理科第5题】已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由椭圆的标准方程为，可得，即， 因为双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，所以双曲线中，半焦距， 又因为双曲线满足，即， 又由，即，解得，可得， 所以双曲线的方程为. 故选：A． 8．【2017年新课标Ⅲ卷理科第10题】已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为， 直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即， 整理可得，即即， 从而，则椭圆的离心率， 故选A. 9．【2017年新课标Ⅱ卷理科第9题】若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截 得的弦长为2，则的离心率为                       A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】由几何关系可得，双曲线的渐近线方程为，圆心到渐近线距离为，则点到直线的距离为， 即，整理可得，双曲线的离心率．故选A． 10．【2017年新课标Ⅰ卷理科第10题】已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】A 【详解】设，直线的方程为，联立方程，得，∴，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知 ，当且仅当（或）时，取等号. 11．【2016年新课标Ⅲ卷理科第11题】已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图取与重合，则由直线同理由,故选A. 12．【2016年新课标Ⅱ卷理科第4题】圆的圆心到直线的距离为1，则 A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】由配方得，所以圆心为，因为圆的圆心到直线的距离为1，所以，解得，故选A. 13．【2016年新课标Ⅱ卷理科第11题】已知F1，F2是双曲线E：的左，右焦点，点M在E上，M F1与轴垂直，sin ,则E的离心率为 A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】由已知可得，故选A. 14．【2016年新课标Ⅰ卷理科第5题】已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是 A．(–1,3) B．(–1,) C．(0,3) D．(0,) 【答案】A 【详解】由题意知：双曲线的焦点在轴上，所以，解得，因为方程表示双曲线，所以，解得，所以的取值范围是，故选A． 15．【2016年新课标Ⅰ卷理科第10题】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点.已知|AB|=，|DE|=，则C的焦点到准线的距离为                                  A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【详解】如图，设抛物线方程为，交轴于点，则，即点纵坐标为，则点横坐标为，即，由勾股定理知，，即，解得，即的焦点到准线的距离为4，故选C.    16．【2015年新课标Ⅱ理科第7题】过三点，，的圆交y轴于M，N两点，则 A．2 B．8 C．4 D．10 【答案】C 【详解】由已知得，，所以，所以，即为直角三角形，其外接圆圆心为AC中点，半径为长为，所以外接圆方程为，令，得，所以，故选C． 17．【2015年新课标Ⅱ理科第11题】已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设双曲线方程为，如图所示，，，过点作轴，垂足为，在中，，，故点的坐标为，代入双曲线方程得，即，所以，故选D． 18．【2015年新课标Ⅰ理科第5题】已知是双曲线：上的一点，，是的两个焦点，若，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题知，，所以==，解得，故选A. 19．【2024年新高考1卷第11题】设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（    ） A． B．点在C上 C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点在C上时， 【答案】ABD 【详解】对于A：设曲线上的动点，则且， 因为曲线过坐标原点，故，解得，故A正确. 对于B：又曲线方程为，而， 故. 当时，， 故在曲线上，故B正确. 对于C：由曲线的方程可得，取， 则，而，故此时， 故在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C错误. 对于D：当点在曲线上时，由C的分析可得， 故，故D正确. 故选：ABD. 20．【2024年新高考2卷第10题】抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 【答案】ABD 【详解】A选项，抛物线的准线为， 的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径， 故准线和相切，A选项正确； B选项，三点共线时，即，则的纵坐标， 由，得到，故， 此时切线长，B选项正确； C选项，当时，，此时，故或， 当时，，，， 不满足； 当时，，，， 不满足； 于是不成立，C选项错误； D选项，方法一：利用抛物线定义转化 根据抛物线的定义，，这里， 于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题， ，中点，中垂线的斜率为， 于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得， ，即的中垂线和抛物线有两个交点， 即存在两个点，使得，D选项正确. 方法二：（设点直接求解） 设，由可得，又，又， 根据两点间的距离公式，，整理得， ，则关于的方程有两个解， 即存在两个这样的点，D选项正确. 故选：ABD 21．【2023年新课标全国Ⅱ卷第10题】设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（    ）． A． B． C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形 【答案】AC 【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点， 所以，则A选项正确，且抛物线的方程为. B选项：设， 由消去并化简得， 解得，所以，B选项错误. C选项：设的中点为，到直线的距离分别为， 因为， 即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确. D选项：直线，即， 到直线的距离为， 所以三角形的面积为， 由上述分析可知， 所以， 所以三角形不是等腰三角形，D选项错误. 故选：AC.    22．【2022年新课标全国Ⅰ卷第11题】已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（    ） A．C的准线为 B．直线AB与C相切 C． D． 【答案】BCD 【详解】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误； ，所以直线的方程为， 联立，可得，解得，故B正确； 设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点， 所以，直线的斜率存在，设其方程为，， 联立，得， 所以，所以或，， 又，， 所以，故C正确； 因为，， 所以，而，故D正确. 故选：BCD 23．【2022年新课标全国Ⅱ卷第10题】已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（    ） A．直线的斜率为 B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为， 代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确； 对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得， 设，则，则，代入抛物线得，解得，则， 则，B错误； 对于C，由抛物线定义知：，C正确； 对于D，，则为钝角， 又，则为钝角， 又，则，D正确. 故选：ACD. 24．【2021年新课标全国Ⅰ卷第11题】已知点在圆上，点、，则（    ） A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于 C．当最小时， D．当最大时， 【答案】ACD 【详解】圆的圆心为，半径为， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误； 如下图所示： 当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知， ，，由勾股定理可得，CD选项正确. 故选：ACD. 25．【2021年新课标全国Ⅱ卷第11题】已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（    ） A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 【答案】ABD 【详解】圆心到直线l的距离， 若点在圆C上，则，所以， 则直线l与圆C相切，故A正确； 若点在圆C内，则，所以， 则直线l与圆C相离，故B正确； 若点在圆C外，则，所以， 则直线l与圆C相交，故C错误； 若点在直线l上，则即， 所以，直线l与圆C相切，故D正确. 故选：ABD. 26．【2020年新课标全国Ⅱ卷第10题】已知曲线.（    ） A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B．若m=n>0，则C是圆，其半径为 C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为 D．若m=0，n>0，则C是两条直线 【答案】ACD 【详解】对于A，若，则可化为， 因为，所以， 即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确； 对于B，若，则可化为， 此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确； 对于C，若，则可化为， 此时曲线表示双曲线， 由可得，故C正确； 对于D，若，则可化为， ，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确； 故选：ACD. 27．【2024年新高考1卷第12题】设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ． 【答案】 【详解】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入 得，即，故，， 又，得，解得，代入得， 故，即，所以. 故答案为： 28．【2023年新课标全国Ⅱ卷第15题】已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ． 【答案】（中任意一个皆可以） 【详解】设点到直线的距离为，由弦长公式得， 所以，解得：或， 由，所以或，解得：或． 故答案为：（中任意一个皆可以）． 29．【2023年新课标全国Ⅰ卷第16题】已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 【答案】/ 【详解】方法一： 依题意，设，则， 在中，，则，故或（舍去）， 所以，，则， 故， 所以在中，，整理得， 故. 方法二: 依题意，得，令， 因为，所以，则， 又，所以，则， 又点在上，则，整理得，则， 所以，即， 整理得，则，解得或， 又，所以或（舍去），故. 故答案为：. 30．【2022年新课标全国Ⅰ卷第14题】写出与圆和都相切的一条直线的方程 ． 【答案】或或 【详解】[方法一]： 显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为， 于是， 故①，于是或， 再结合①解得或或， 所以直线方程有三条，分别为，， 填一条即可 [方法二]： 设圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径， 则，因此两圆外切， 由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意； 又由方程和相减可得方程， 即为过两圆公共切点的切线方程， 又易知两圆圆心所在直线OC的方程为， 直线OC与直线的交点为， 设过该点的直线为，则，解得， 从而该切线的方程为填一条即可 [方法三]： 圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切， 如图， 当切线为l时，因为，所以，设方程为 O到l的距离，解得，所以l的方程为， 当切线为m时，设直线方程为，其中，， 由题意，解得， 当切线为n时，易知切线方程为， 故答案为：或或. 31．【2022年新课标全国Ⅰ卷第16题】已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是 ． 【答案】13 【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：， 判别式， ∴， ∴ ， 得， ∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为. 故答案为：13. 32．【2022年新课标全国Ⅱ卷第15题】设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：关于对称的点的坐标为，在直线上， 所以所在直线即为直线，所以直线为，即； 圆，圆心，半径， 依题意圆心到直线的距离， 即，解得，即； 故答案为： 33．【2022年新课标全国Ⅱ卷第16题】已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为 ． 【答案】 【详解】[方法一]：弦中点问题：点差法 令的中点为，设，，利用点差法得到， 设直线，，，求出、的坐标， 再根据求出、，即可得解； 解：令的中点为，因为，所以， 设，，则，， 所以，即 所以，即，设直线，，， 令得，令得，即，， 所以， 即，解得或（舍去）， 又，即，解得或（舍去）， 所以直线，即； 故答案为： [方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法 解：由题意知，点既为线段的中点又是线段MN的中点， 设，，设直线，，， 则，，，因为，所以 联立直线AB与椭圆方程得消掉y得 其中， ∴AB中点E的横坐标,又，∴ ∵，，∴,又，解得m=2 所以直线，即 34．【2021年新课标全国Ⅰ卷第14题】已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为 . 【答案】 【详解】抛物线： ()的焦点, ∵P为上一点，与轴垂直， 所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为, 不妨设, 因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧， 又， 因为，所以, ， 所以的准线方程为 故答案为：. 35．【2021年新课标全国Ⅱ卷第13题】若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程 . 【答案】 【详解】解：由题可知，离心率，即， 又，即，则， 故此双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 36．【2020年新课标全国Ⅱ卷第14题】斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则= ． 【答案】 【详解】∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为， 又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为： 代入抛物线方程消去y并化简得， 解法一：解得    所以 解法二： 设，则, 过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示. 故答案为： 37．【2017年新课标Ⅰ卷理科第15题】已知双曲线：的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线于交、两点，若，则的离心率为 ． 【答案】 【详解】如图所示，    由题意可得|OA|=a，|AN|=|AM|=b， ∵∠MAN=60°， ∴|AP|=b， ∴|OP|=． 设双曲线C的一条渐近线y=x的倾斜角为θ，则tan θ=． 又tan θ=， ∴，解得a2=3b2， ∴e=． 答案： 38．【2017年新课标Ⅱ卷理科第16题】已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则 ． 【答案】6 【详解】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作与点，与点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，故． 39．【2016年新课标Ⅲ卷理科第16题】已知直线：与圆交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点，若，则 ． 【答案】4 【详解】因为，且圆的半径为，所以圆心到直线的距离为，则由，解得，代入直线的方程，得，所以直线的倾斜角为，由平面几何知识知在梯形中，． 故答案为4 40．【2015年新课标Ⅰ理科第14题】一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 . 【答案】 【详解】设圆心为（，0），则半径为，则，解得，故圆的方程为. 1．（2024·河北石家庄·三模）已知双曲线的实半轴长为，其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设双曲线的上焦点为，由题意可得，可求，由已知可求，可求渐近线方程. 【详解】设双曲线的上焦点为， 双曲线的渐近线方程为， 由点到直线的距离公式可得， 又双曲线的实半轴长为，所以， 所以双曲线的渐近线方程为，即. 故选：B. 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线在第一象限交于点，与轴交于点，若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可求得的坐标为，进而可求的的斜率. 【详解】为的中点，过点作垂直于轴于点为的中位线， 则的坐标为，而，则直线的斜率为. 故选：C． 3．（2024·内蒙古·三模）已知椭圆的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的方程，结合离心率的定义和求法，列出方程，即可求解. 【详解】由椭圆，可得，，则， 所以，解得. 故选：B. 4．（2024·广东汕头·三模）已知椭圆：的两个焦点分别为，，是上任意一点，则下列不正确的是（    ） A．的离心率为 B．的最小值为2 C．的最大值为16 D．可能存在点，使得 【答案】D 【分析】求出椭圆的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆的性质逐项分析计算即可. 【详解】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，的离心率，A正确； 对于B，由，得，因此，B正确； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，当不在x轴上时，， ，当且仅当取等号， 当在x轴上时，，上述不等式成立，因此最大为，D错误. 故选：D 5．（2024·山东菏泽·二模）已知分别为椭圆和双曲线的离心率，双曲线渐近线的斜率不超过，则的最大值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据椭圆与双曲线的几何性质，求出，令，结合，即可求解. 【详解】由椭圆的离心率， 双曲线的离心率，可得， 令，因为双曲线的渐近线的斜率不超过，即， 则此时，即， 则的最大值是. 故选：B. 6．（2024·河北衡水·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，过点作直线与渐近线垂直，垂足为点，延长交于点.若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设的左焦点为，由双曲线的定义，得，又，，在中，由余弦定理可得，结合可得，求得答案. 【详解】设为坐标原点，则，从而. 设的左焦点为，连接，由双曲线的定义，得. 在中，由余弦定理，得，解得. 由，得，解得， 所以. 故选：B. 7．（2024·山东济宁·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，根据双曲线的光学性质可知，过双曲线上任意一点的切线平分.直线过交双曲线的右支于A，B两点，设的内心分别为，若与的面积之比为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．. 【答案】C 【分析】利用切线长定理求得直线的方程，再借助双曲线的切线方程求出点的横坐标，结合面积关系求解即得. 【详解】令圆切分别为点，则， ，令点，而， 因此，解得，又，则点横坐标为，同理点横坐标为， 即直线的方程为，设，依题意，直线的方程分别为： ，，联立消去得：， 整理得，令直线的方程为， 于是，即点的横坐标为， 因此，所以双曲线的离心率. 故选：C 8．（2024·山东·模拟预测）已知双曲线的上焦点为，圆的圆心位于轴上，半径为，且与的上支交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出圆的方程与双曲线方程联立，可得，进而可得，利用两点间距离公式求出，并利用不等式方法求出其最小值. 【详解】由题可知．设圆，，. 联立，得，则， 因此，故. 因为，所以，同理可得. 故. 又，且，故，，从而. 所以 . 当时，有，，此时． 所以的最小值是. 故选：B. 9．（2024·山西太原·三模）已知曲线 ，则下列结论正确的是（   ） A．曲线 可能是直线 B．曲线 可能是圆 C．曲线 可能是椭圆 D．曲线 可能是双曲线 【答案】ACD 【分析】因为，由的符号和取值结合对应方程的特点，结合条件逐项判断可得答案. 【详解】因为，所以. 对于A，当时，曲线：为直线，故A正确； 对于B，如果曲线是圆，则，矛盾，故曲线不可能是圆，故B错误； 对于C，当时，曲线可化为，且，表示焦点在轴上的椭圆，故C正确； 对于D，当时，曲线为焦点在轴上的双曲线，故D正确. 故选：ACD. 10．（2024·广东茂名·一模）已知圆，则（    ） A．圆的圆心坐标为 B．圆的周长为 C．圆与圆外切 D．圆截轴所得的弦长为3 【答案】BC 【分析】根据圆C和圆M的方程得它们的圆心和半径即可求解判断ABC，对于D求出圆C上横坐标为0的点的纵坐标即可判断. 【详解】对于AB，圆的方程可化为， 可得圆心的坐标为，半径为，则周长为，可知错误，正确； 对于，由，为两圆半径之和，可知正确； 对于，令，可得，解得或3， 可得圆截轴所得的弦长为4，可知错误. 故选：BC. 11．（2024·山西吕梁·三模）已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，两曲线有公共焦点是椭圆与双曲线的一个公共点，，以下结论正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据焦距相等可判断A；根据椭圆和双曲线定义，结合余弦定理整理可判断B；根据B中变形可判断C；由B中结论，结合的范围可判断D. 【详解】根据题意，设， 对于A中，因为椭圆与双曲线有公共焦点，可得，所以， 即，所以A错误； 对于B中，不妨设点P在第一象限，由椭圆和双曲线的定义，可得， 所以， 又由余弦定理得， 可得， 所以，所以B正确； 对于C中，由，可得，所以C正确； 对于D中，因为，所以， 由可得，所以，所以D正确. 故选：BCD. 12．（2024·河北唐山·二模）设抛物线：的焦点为，准线为，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（    ） A． B．以为直径的圆与相切 C．以为直径的圆过坐标原点 D．为直角三角形 【答案】AC 【分析】设过点的直线为，联立直线和抛物线的方程求出可判断A；以为直径的圆的圆心为和半径，再求出圆心到准线的距离为，即可判断B；求出圆心到坐标原点的距离为，可判断C；取特列可判断D. 【详解】设过点的直线为， 对于A，联立，得， ，， 所以，故A正确； 对于B，因为 ，， 所以，的中点为，所以以为直径的圆的圆心为， 又， 设圆的半径为，则， 所以， 又圆心到准线的距离为， 而，因为，所以， 所以以为直径的圆与相离，故B错误； 对于C，圆心到坐标原点的距离为， ， 所以，所以， 所以以为直径的圆过坐标原点，故C正确； 对于D，因为联立，得， 若，则上述方程为，解得：或， 取，则，则， 取，则，则， 又抛物线过焦点，所以，， ， 所以不为直角三角形，故D错误. 故选：AC. 13．（2024·山西太原·二模）已知两定点，，动点M满足条件，其轨迹是曲线C，过B作直线l交曲线C于P，Q两点，则下列结论正确的是（    ） A．取值范围是 B．当点A，B，P，Q不共线时，面积的最大值为6 C．当直线l斜率时，AB平分 D．最大值为 【答案】ACD 【分析】分析可知曲线C是以为圆心，半径的圆.对于A：根据圆的性质分析求解；对于B：设，联立方程，利用韦达定理可得，即可得面积最大值；对于C：利用韦达定理可得，进而分析角度关系即可；对于D：根据AB平分，结合切线分析求解即可. 【详解】设， 因为，即，整理可得， 可知曲线C是以为圆心，半径的圆. 对于选项A：因为，可知点B在曲线C内，且直线l与曲线C必相交， 且，则的最大值为，最小值为， 所以取值范围是，故A正确； 设， 联立方程，消去x可得， 则. 对于选项B：可得， 令，则， 可得， 因为在内单调递增，则的最小值为， 即，则， 可得的面积， 所以面积的最大值为，故B错误； 对于选项C：因为， 又因为， 则， 即，可知，所以AB平分，故C正确； 对于选项D：因为AB平分，则， 可知当与曲线C相切时，取到最大值， 此时，且为锐角，则， 即的最大值为，则的最大值为， 所以最大值为，故D正确； 故选：ACD. 14．（2024·广东·二模）抛物线：焦点为F，且过点，斜率互为相反数的直线，分别交于另一点C和D，则下列说法正确的有（    ） A．直线过定点 B．在C，D两点处的切线斜率和为 C．上存在无穷多个点到点F和直线的距离和为6 D．当C，D都在A点左侧时，面积的最大值为 【答案】BCD 【分析】对于A，代入已知点求得抛物线：，不妨设，，，联立抛物线方程结合韦达定理可用表示出各个点的坐标，从而表示出直线方程即可判断，对于B，求导并代入的值（用表示）即可判断；对于C，结合抛物线定义只需判断关于的方程的解的个数即可；对于D，求出三角形面积表达式，进一步构造函数，利用导数求出最值即可得解. 【详解】对于A，因为抛物线：过点，所以，解得， 所以抛物线：，设点关于抛物线对称轴即轴的对称点为点，则， 因为斜率互为相反数，不妨设， 则， 联立与抛物线：，化简并整理得， ， 设， 则， 所以，同理， 直线的方程为：， 整理得 ， 即直线的方程为：，这条直线的斜率是定值， 随着的变化，这条可能直线会平行移动， 不妨取，此时的方程依次是， 显然这两条直线是平行的，它们不会有交点，这就说明直线过定点是错误的，故A错误； 对于B，对求导，可得，从而在C，D两点处的切线斜率和为，故B正确； 对于C，设上存在点到点F和直线的距离和为6， 由抛物线定义可知，，其中为点到直线的距离， 注意到当时，恒有成立， 这意味着上存在无穷多个点到点F和直线的距离和为6，故C正确； 对于D，设与交与点，联立直线的方程：与直线的方程：， 解得，即点的坐标为， 设面积为， 则, 注意到C，D都在A点左侧时，意味着，且，从而的取值范围为， 从而， 设，则， 所以当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以面积的最大值为. 故选：BCD. 15．（2024·黑龙江牡丹江·一模）设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据向量的共线关系可得，即可由斜率公式得斜率表达式，结合基本不等式即可求解最值. 【详解】解：根据题意可设，，， 又，，， ，，， ， 当且仅当，即时，等号成立， 直线的斜率的最大值为． 故答案为：． 16．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知圆，点，点为圆上的一个动点（异于点），若点在以AB为直径的圆上，则到轴距离的最大值为 . 【答案】 【分析】设，则AB中点，当在上方，且轴时，到轴距离取得最大值，由此即可得解. 【详解】设，则， 则AB中点， 当在上方，且轴时，到轴距离取得最大值， 此时，设到轴距离为，则， 设，则，则， 所以当，即时，取得最大值， 即到轴距离的最大值为. 故答案为：. 17．（2024·湖北武汉·二模）已知动点的轨迹方程为，其中，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】令，由，，转化为，进行求解. 【详解】令，则且， 则 ，当且仅当取等号. 故答案为： 18．（2024·湖北黄冈·三模）已知抛物线的焦点为,，是抛物线上关于其对称轴对称的两点，若，为坐标原点，则点的横坐标为 . 【答案】/ 【分析】由题可知，，故，写出对应的坐标计算即可求解点的横坐标. 【详解】 因为抛物线的焦点为，则， 又因为，是抛物线上关于其对称轴对称的两点， 设，因为， 则， 所以， 解得（舍）或.即点的横坐标为， 故答案为： 19．（2024·山东·一模）如图，在中，已知，其内切圆与AC边相切于点D，且，延长BA到E，使，连接CE，设以E，C为焦点且经过点A的椭圆的离心率为，以E，C为焦点且经过点A的双曲线的离心率为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设分别是与圆的切点，设，利用椭圆，双曲线的定义分切求出的表达式，进而可得的表达式，然后求出的取值范围即可的解. 【详解】如图以的中点为原点直角坐标系，设分别是与圆的切点，由圆的切线性质得， 设，所以，， 在中，， 以为焦点经过点的双曲线的离心率为， 以为焦点经过点的椭圆的离心率为， 则， 在中，设，所以，， 由余弦定理可得， 所以，所以，得， 由对勾函数的单调性可得函数在上单调递增， 所以. 故答案为：. 20．（2024·湖北黄石·三模）如图，已知过抛物线（）的焦点的直线与抛物线交于两点，过点A作抛物线的准线的垂线，垂足为，抛物线的准线与轴交于点，为坐标原点，记，，分别为，，的面积.若，则直线的斜率为 . 【答案】 【分析】设直线倾斜角为，，可得，，，用表示，结合题意运算求解即可. 【详解】设直线倾斜角为，， 可知：， 且，解得， 则， 同理可得， 可知：， ， ， 因为，则， 整理得，解得或， 且，则，可得， 所以直线的斜率为. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$