专题10 平面向量-大数据之十年高考数学真题（2015-2024）与优质模拟题（新高考+全国理）

大数据之十年高考真题（2015-2024）与优质模拟题（新高考卷） 专题10平面向量 1．【2024年甲卷理科第9题】设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】C 【详解】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 2．【2024年新高考2卷第3题】已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 故选：B. 3．【2024年新高考1卷第3题】已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以即，故， 故选：D. 4．【2023年新课标全国Ⅰ卷第3题】已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，， 由可得，， 即，整理得：． 故选：D． 5．【2023年高考全国乙卷理第12题】已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，，则由题意可知:， 由勾股定理可得    当点位于直线异侧时或PB为直径时，设， 则： ，则 当时，有最大值.    当点位于直线同侧时，设， 则： ， ，则 当时，有最大值. 综上可得，的最大值为. 故选：A. 6．【2023年高考全国甲卷理第4题】已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为,所以, 即,即,所以. 如图,设, 由题知,是等腰直角三角形, AB边上的高, 所以, , . 故选:D. 7．【2022年新课标全国Ⅰ卷第3题】在中，点D在边AB上，．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为点D在边AB上，，所以，即， 所以． 故选：B． 8．【2022年新课标全国Ⅱ卷第4题】已知向量，若，则（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：,,即,解得, 故选：C 9．【2022年高考全国乙卷理第3题】已知向量满足，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】解：∵， 又∵ ∴9， ∴ 故选：C. 10．【2020年新课标全国Ⅱ卷第3题】在中，D是AB边上的中点，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 故选：C 11．【2020年新课标全国Ⅰ卷第7题】已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 的模为2，根据正六边形的特征， 可以得到在方向上的投影的取值范围是， 结合向量数量积的定义式， 可知等于的模与在方向上的投影的乘积， 所以的取值范围是， 故选：A. 12．【2020年新课标Ⅲ卷理科第6题】已知向量 ，满足， ，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，，. ， 因此，. 故选：D. 13．【2019年新课标Ⅱ卷理科第3题】已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则= A．-3 B．-2 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由，，得，则，．故选C． 14．【2019年新课标Ⅰ卷理科第7题】已知非零向量满足，且，则与的夹角为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B． 15．【2018年新课标Ⅰ卷理科第6题】在△中，为边上的中线，为的中点，则 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据向量的运算法则，可得 ， 所以，故选A. 16．【2018年新课标Ⅱ卷理科第4题】已知向量满足，，则 A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】B 【详解】因为 所以选B. 17．【2017年新课标Ⅲ卷理科第12题】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若，则+的最大值为（   ） A．3 B．2 C． D．2 【答案】A 【详解】如图所示，建立平面直角坐标系. 设, 易得圆的半径，即圆C的方程是， ，若满足， 则，，所以， 设，即，点在圆上， 所以圆心到直线的距离，即，解得， 所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A. 18．【2017年新课标Ⅱ卷理科第12题】已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点， 则，，， 设，则，，， 则 当，时，取得最小值， 故选：． 19．【2016年新课标Ⅲ卷理科第3题】已知向量 , 则ABC= A．30 B．45 C．60 D．120 【答案】A 【详解】由题意，得，所以，故选A． 20．【2016年新课标Ⅱ卷理科第3题】已知向量，且，则m= A．−8 B．−6 C．6 D．8 【答案】D 【详解】∵，又， ∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝8． 故选D． 21．【2015年新课标Ⅰ理科第7题】设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ ∴−=3(−)； ∴=−. 故选A. 22．【2023年新课标全国Ⅱ卷第13题】已知向量，满足，，则 ． 【答案】 【详解】法一：因为，即， 则，整理得， 又因为，即， 则，所以. 法二：设，则， 由题意可得：，则， 整理得：，即. 故答案为：. 23．【2022年高考全国甲卷理第13题】设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 ． 【答案】 【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即， 又，，所以， 所以． 故答案为：． 24．【2021年新课标全国Ⅱ卷第15题】已知向量，，， ． 【答案】 【详解】由已知可得， 因此，. 故答案为：. 25．【2021年高考全国乙卷理第14题】已知向量，若，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以由可得， ，解得． 故答案为：． 26．【2021年高考全国甲卷理第14题】已知向量．若，则 ． 【答案】. 【详解】, ，解得, 故答案为：. 27．【2020年新课标Ⅱ卷理科第13题】已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k= . 【答案】 【详解】由题意可得：， 由向量垂直的充分必要条件可得：， 即：，解得：. 故答案为：． 28．【2020年新课标Ⅰ卷理科第14题】设为单位向量，且，则 . 【答案】 【详解】因为为单位向量，所以 所以 解得： 所以 故答案为： 29．【2019年新课标Ⅲ卷理科第13题】已知为单位向量，且=0，若 ，则 . 【答案】. 【详解】因为，， 所以， ，所以， 所以 ． 30．【2018年新课标Ⅲ卷理科第13题】已知向量，，．若，则 ． 【答案】 【详解】由题可得 ,即 故答案为 31．【2017年新课标Ⅰ卷理科第13题】已知向量与的夹角为60°，||=2，||=1，则| +2 |= . 【答案】 【详解】∵平面向量与的夹角为， ∴. ∴ 故答案为. 32．【2016年新课标Ⅰ卷理科第13题】设向量，且，则m= . 【答案】-2 【详解】由题意得 33．【2015年新课标Ⅱ理科第13题】设向量，不平行，向量与平行，则实数 ． 【答案】 【详解】因为向量与平行，所以，则所以． 1．（2024·河北衡水·三模）已知是单位向量，，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故． ，设与的夹角为， 则，又，故， 故选：A． 2．（2024·广东汕头·三模）已知四边形是平行四边形，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，由，， 得. 故选：A 3．（2024·贵州六盘水·三模）已知点O为的重心，，则（　　） A． B． C．1 D．6 【答案】A 【详解】根据向量加法三角形运算法知（∗）； F为中点，则（∗∗）； 点O为的重心，则， 代入（∗∗）得到，， 代入（∗）得到，， 结合，可得，所以. 故选：A. 4．（2024·山西吕梁·三模）已知等边的边长为1，点分别为的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在中，取为基底， 则， 因为点分别为的中点，, 所以， 所以. 故选：B. 5．（2024·江苏苏州·三模）已知，且在方向上的投影向量为单位向量，则（    ） A．4 B． C． D．6 【答案】B 【详解】由题意可得，所以，即， 所以①， 因为，所以，即， 所以②， ①②可得，即 又在方向上的投影向量为单位向量， 则，即，解得， 则，代入②中可得，解得. 故选：B 6．（2024·四川成都·三模）在矩形中，，，点满足，在平面中，动点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以O为坐标原点（是中点），建立如图所示的直角坐标系， 因为在矩形中，，，，， 所以动点在以O为圆心，1为半径的圆上运动，故设， 则, ， 其中锐角满足，故的最大值为, 故选：A. 7．（2024·重庆九龙坡·三模）已知，，，则向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 由，得， 即，所以， 所以， 又，所以向量的夹角为. 故选：D. 8．（2024·江西新余·二模）已知，，若与的夹角为，则（    ） A．-1 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以， ， ， 因为， 又， 所以， 解得或， 因为，所以， 解得， 所以. 故选：. 9．（2024·广东汕头·三模）已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，动点在上，若定点满足，则（    ） A．的准线方程为 B．周长的最小值为5 C．四边形可能是平行四边形 D．的最小值为 【答案】BD 【详解】对于选项A：因为抛物线的焦点为，准线方程为， 又点满足，则， 整理得，解得或（舍去）， 即抛物线， 所以准线方程为，焦点为，故A错误； 对于选项B：过点作准线的垂线，垂足为， 由抛物线的定义可知， 则周长 ， 当且仅当、、三点共线时取等号， 所以周长的最小值为，故B正确； 对于选项C：过点作的平行线，交抛物线于点， 即，解得，即， 则， 所以四边形不是平行四边形，故C错误； 对于选项D：设，则， 可得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确； 故选：BD 10．（2024·江西鹰潭·三模）已知向量，，，则（    ） A．若，则 B．在方向上的投影向量为 C．存在，使得在方向上投影向量的模为1 D．的取值范围为 【答案】ACD 【详解】对于A，若，则， 则，即，所以，故 A正确； 对于B，在方向上的投影向量为，故B错误； 对于C，在方向上的投影向量的模为， 若，则， 即，其中，， 所以， 所以存在，使得在方向上的投影向量的模为1，故C正确. 对于D，, 因为所以，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 11．（2024·广东江门·三模）定义两个非零平面向量的一种新运算，其中表示的夹角，则对于两个非零平面向量，下列结论一定成立的有（  ） A．在上的投影向量为 B． C． D．若，则 【答案】BD 【详解】对于选项A，在上的投影向量为，故选项A错误， 对于选项B，，故选项B正确， 对于选项C，， 显然时，不成立，故选项C错误， 对于选项D，由，所以，则，即，故选项D正确， 故选：BD． 12．（2024·浙江·模拟预测）已知向量，的夹角为 ，且，，则（    ） A． B． C． D．在的方向上的投影向量为 【答案】AB 【详解】，，故A正确； ，所以，故B正确； ，所以， 又因为，所以，故C错误； 在上的投影向量为，故D错误； 故选：AB． 13．（2024·江苏宿迁·三模）在中，角所对的边分别为．若，且边上的中线长为，则（    ） A． B．的取值范围为 C．面积的最大值为 D．周长的最大值为 【答案】AB 【详解】对于A，由，所以, 所以，由正弦定理可得 ，因为，, 可得，化简得，又， .故A正确； 对于B，设，，，根据题意，，， ，化简得，则， ，当且仅当时等号成立，又，， ，，即，故B正确； 对于C，由B，可得，故C错误； 对于D，由前面选项，可得，且，， ，即，令，由，得，解得， 所以三角形周长， 则，令，解得，又，所以在 上单调递减，所以，故D错误. 故选：AB. 14．（2024·湖北武汉·二模）已知点为平面内不同的四点，若，且，则 【答案】 【详解】由得：，即， 又因为，所以, 故答案为：. 15．（2024·陕西·模拟预测）如图是某人设计的正八边形八角窗，若O是正八边形ABCDEFGH的中心，，则 . 【答案】 【详解】 故答案为： 16．（2024·四川遂宁·三模）已知向量，，若，那么m的值为 ． 【答案】2 【详解】解：向量，， 若，则， 即，解得． 故答案为：2 17．（2024·江西·二模）在中，已知，为线段的中点，若，则 ． 【答案】 【详解】根据题意，在中，已知，则， 由于为线段的中点， 则， 又，、不共线，故，， 所以． 故答案为：． 18．（2024·湖北武汉·模拟预测）若平面向量两两夹角相等且，写出的一个可能值为 . 【答案】9（或，答案不唯一） 【详解】当夹角均为时，； 当两两夹角均为时， ，此时. 故答案为：9（或，答案不唯一） 19．（2024·湖南长沙·三模）平面向量 满足：， ，，且 ，，则 . 【答案】/ 【详解】因为，所以， 因为，，， ， 所以， ， 因为， ， 所以. 故答案为：. 20．（2024·重庆·三模）已知正方形ABCD，边长为1，点E是BC边上一点，若，则 . 【答案】 【详解】因为在单位正方形，点是边上一点，又，所以，， 所以. 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大数据之十年高考真题（2015-2024）与优质模拟题（新高考卷） 专题10平面向量 1．【2024年甲卷理科第9题】设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 2．【2024年新高考2卷第3题】已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 3．【2024年新高考1卷第3题】已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 4．【2023年新课标全国Ⅰ卷第3题】已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 5．【2023年高考全国乙卷理第12题】已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．【2023年高考全国甲卷理第4题】已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 7．【2022年新课标全国Ⅰ卷第3题】在中，点D在边AB上，．记，则（    ） A． B． C． D． 8．【2022年新课标全国Ⅱ卷第4题】已知向量，若，则（    ） A． B． C．5 D．6 9．【2022年高考全国乙卷理第3题】已知向量满足，则（    ） A． B． C．1 D．2 10．【2020年新课标全国Ⅱ卷第3题】在中，D是AB边上的中点，则=（    ） A． B． C． D． 11．【2020年新课标全国Ⅰ卷第7题】已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．【2020年新课标Ⅲ卷理科第6题】已知向量 ，满足， ，，则（ ） A． B． C． D． 13．【2019年新课标Ⅱ卷理科第3题】已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则= A．-3 B．-2 C．2 D．3 14．【2019年新课标Ⅰ卷理科第7题】已知非零向量满足，且，则与的夹角为 A． B． C． D． 15．【2018年新课标Ⅰ卷理科第6题】在△中，为边上的中线，为的中点，则 A． B． C． D． 16．【2018年新课标Ⅱ卷理科第4题】已知向量满足，，则 A．4 B．3 C．2 D．0 17．【2017年新课标Ⅲ卷理科第12题】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若，则+的最大值为（   ） A．3 B．2 C． D．2 18．【2017年新课标Ⅱ卷理科第12题】已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　 A． B． C． D． 19．【2016年新课标Ⅲ卷理科第3题】已知向量 , 则ABC= A．30 B．45 C．60 D．120 20．【2016年新课标Ⅱ卷理科第3题】已知向量，且，则m= A．−8 B．−6 C．6 D．8 21．【2015年新课标Ⅰ理科第7题】设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是 A． B． C． D． 22．【2023年新课标全国Ⅱ卷第13题】已知向量，满足，，则 ． 23．【2022年高考全国甲卷理第13题】设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 ． 24．【2021年新课标全国Ⅱ卷第15题】已知向量，，， ． 25．【2021年高考全国乙卷理第14题】已知向量，若，则 ． 26．【2021年高考全国甲卷理第14题】已知向量．若，则 ． 27．【2020年新课标Ⅱ卷理科第13题】已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k= . 28．【2020年新课标Ⅰ卷理科第14题】设为单位向量，且，则 . 29．【2019年新课标Ⅲ卷理科第13题】已知为单位向量，且=0，若 ，则 . 30．【2018年新课标Ⅲ卷理科第13题】已知向量，，．若，则 ． 31．【2017年新课标Ⅰ卷理科第13题】已知向量与的夹角为60°，||=2，||=1，则| +2 |= . 32．【2016年新课标Ⅰ卷理科第13题】设向量，且，则m= . 33．【2015年新课标Ⅱ理科第13题】设向量，不平行，向量与平行，则实数 ． 1．（2024·河北衡水·三模）已知是单位向量，，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·广东汕头·三模）已知四边形是平行四边形，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·贵州六盘水·三模）已知点O为的重心，，则（　　） A． B． C．1 D．6 4．（2024·山西吕梁·三模）已知等边的边长为1，点分别为的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·江苏苏州·三模）已知，且在方向上的投影向量为单位向量，则（    ） A．4 B． C． D．6 6．（2024·四川成都·三模）在矩形中，，，点满足，在平面中，动点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·重庆九龙坡·三模）已知，，，则向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·江西新余·二模）已知，，若与的夹角为，则（    ） A．-1 B．1 C． D． 9．（2024·广东汕头·三模）已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，动点在上，若定点满足，则（    ） A．的准线方程为 B．周长的最小值为5 C．四边形可能是平行四边形 D．的最小值为 10．（2024·江西鹰潭·三模）已知向量，，，则（    ） A．若，则 B．在方向上的投影向量为 C．存在，使得在方向上投影向量的模为1 D．的取值范围为 11．（2024·广东江门·三模）定义两个非零平面向量的一种新运算，其中表示的夹角，则对于两个非零平面向量，下列结论一定成立的有（  ） A．在上的投影向量为 B． C． D．若，则 12．（2024·浙江·模拟预测）已知向量，的夹角为 ，且，，则（    ） A． B． C． D．在的方向上的投影向量为 13．（2024·江苏宿迁·三模）在中，角所对的边分别为．若，且边上的中线长为，则（    ） A． B．的取值范围为 C．面积的最大值为 D．周长的最大值为 14．（2024·湖北武汉·二模）已知点为平面内不同的四点，若，且，则 15．（2024·陕西·模拟预测）如图是某人设计的正八边形八角窗，若O是正八边形ABCDEFGH的中心，，则 . 16．（2024·四川遂宁·三模）已知向量，，若，那么m的值为 ． 17．（2024·江西·二模）在中，已知，为线段的中点，若，则 ． 18．（2024·湖北武汉·模拟预测）若平面向量两两夹角相等且，写出的一个可能值为 . 19．（2024·湖南长沙·三模）平面向量 满足：， ，，且 ，，则 . 20．（2024·重庆·三模）已知正方形ABCD，边长为1，点E是BC边上一点，若，则 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$