专题09 三角函数与数列(解答题)-大数据之十年高考数学真题（2015-2024）与优质模拟题（新高考+全国理）

大数据之十年高考真题（2015-2024）与优质模拟题（新高考卷） 专题09三角函数与数列(解答题) 1．【2024年新高考1卷第15题】记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 2．【2024年新高考1卷第19题】设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列． (1)写出所有的，，使数列是可分数列； (2)当时，证明：数列是可分数列； (3)从中一次任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：． 3．【2024年甲卷理科第18题】记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 4．【2024年新高考2卷第15题】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 5．【2023年新课标全国Ⅱ卷第17题】记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 6．【2023年新课标全国Ⅱ卷第18题】已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 7．【2023年新课标全国Ⅰ卷第17题】已知在中，． (1)求； (2)设，求边上的高． 8．【2023年新课标全国Ⅰ卷第20题】设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． (1)若，求的通项公式； (2)若为等差数列，且，求． 9．【2023年高考全国乙卷理第18题】在中，已知，，. (1)求； (2)若D为BC上一点，且，求的面积. 10．【2023年高考全国甲卷理第17题】设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 11．【2022年新课标全国Ⅰ卷第17题】记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 12．【2022年新课标全国Ⅰ卷第18题】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 13．【2022年新课标全国Ⅱ卷第17题】已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且． (1)证明：； (2)求集合中元素个数． 14．【2022年新课标全国Ⅱ卷第18题】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． (1)求的面积； (2)若，求b． 15．【2022年高考全国乙卷理第17题】记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)若，求的周长． 16．【2022年高考全国甲卷理第17题】记为数列的前n项和．已知． (1)证明：是等差数列； (2)若成等比数列，求的最小值． 17．【2021年新课标全国Ⅰ卷第17题】已知数列满足， （1）记，写出，，并求数列的通项公式； （2）求的前20项和. 18．【2021年新课标全国Ⅰ卷第19题】记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，. （1）证明：； （2）若，求. 19．【2021年新课标全国Ⅱ卷第17题】记是公差不为0的等差数列的前n项和，若． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的n的最小值． 20．【2021年新课标全国Ⅱ卷第18题】在中，角、、所对的边长分别为、、，，.． （1）若，求的面积； （2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 21．【2021年高考全国乙卷理第19题】记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列是等差数列; （2）求的通项公式． 22．【2021年高考全国甲卷理第18题】已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列是等差数列：②数列是等差数列；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 23．【2020年新课标全国Ⅱ卷第17题】在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 24．【2020年新课标全国Ⅱ卷第18题】已知公比大于的等比数列满足． （1）求的通项公式； （2）求. 25．【2020年新课标全国Ⅰ卷第18题】已知公比大于的等比数列满足． （1）求的通项公式； （2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和． 26．【2020年新课标Ⅲ卷理科第17题】设数列{an}满足a1=3，． （1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明； （2）求数列{2nan}的前n项和Sn． 27．【2020年新课标Ⅱ卷理科第17题】中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC． （1）求A； （2）若BC=3，求周长的最大值. 28．【2020年新课标Ⅰ卷理科第17题】设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项． （1）求的公比； （2）若，求数列的前项和． 29．【2019年新课标Ⅲ卷理科第18题】的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 30．【2019年新课标Ⅱ卷理科第19题】已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， ，. （1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列； （2）求{an}和{bn}的通项公式. 31．【2019年新课标Ⅰ卷理科第17题】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． （1）求A； （2）若，求sinC． 32．【2018年新课标Ⅱ卷理科第17题】记为等差数列的前项和，已知，．     （1）求的通项公式；     （2）求，并求的最小值． 33．【2018年新课标Ⅲ卷理科第17题】等比数列中，． （1）求的通项公式； （2）记为的前项和．若，求． 34．【2018年新课标Ⅰ卷理科第17题】在平面四边形中，，，，. （1）求； （2）若，求. 35．【2017年新课标Ⅰ卷理科第17题】△ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为 (1)求; (2)若求△ABC的周长. 36．【2017年新课标Ⅲ卷理科第17题】的内角的对边分别为已知. （1）求角和边长； （2）设为边上一点，且,求的面积. 37．【2017年新课标Ⅱ卷理科第17题】的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，面积为2，求． 38．【2016年新课标Ⅲ卷理科第17题】已知数列的前n项和，其中． （Ⅰ）证明是等比数列，并求其通项公式； （Ⅱ）若 ，求． 39．【2016年新课标Ⅱ卷理科第17题】为等差数列的前n项和，且记，其中表示不超过x的最大整数，如. （Ⅰ）求； （Ⅱ）求数列的前1000项和. 40．【2016年新课标Ⅰ卷理科第17题】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求角C；（2）若，，求的周长. 41．【2015年新课标Ⅱ理科第17题】中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，面积是面积的2倍． (1)求； (2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长． 42．【2015年新课标Ⅰ理科第17题】为数列{}的前项和.已知＞0，=. （Ⅰ）求{}的通项公式； （Ⅱ）设 ,求数列{}的前项和. 1．（2024·四川自贡·三模）已知数列的前项和为，且． (1)证明：数列为等差数列； (2)若，，成等比数列，求的最大值． 2．（2024·新疆喀什·三模）已知数列的首项，且满足（）． (1)求证：数列为等比数列； (2)记，求数列的前项和，并证明． 3．（2024·江西新余·二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的面积. (1)求角B； (2)若的平分线交于点D，，，求的长. 4．（2024·山东济南·二模）如图，已知平面四边形中，. (1)若四点共圆，求； (2)求四边形面积的最大值. 5．（2024·山东菏泽·二模）已知在中，的面积为． (1)求角的度数； (2)若是上的动点，且始终等于，记．当取到最小值时，求的值． 6．（2024·山东青岛·二模）已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若，求的最小值. 7．（2024·陕西渭南·二模）已知等比数列的各项均为正数，前n项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前2n项和. 8．（2024·浙江·三模）已知等比数列和等差数列，满足，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)记数列的前项和为，数列的前项和为．证明：． 9．（2024·重庆九龙坡·三模）已知是等差数列的前项和，，数列是公比大于1的等比数列，且，. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求使取得最大值时的值. 10．（2024·湖南长沙·三模）如图，在中，已知为锐角，边上的两条中线相交于点的面积为. (1)求的长度； (2)求的余弦值. 11．（2024·福建泉州·一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，点D是BC上靠近C的三等分点 (1)若的面积为，求AD的最小值； (2)若，求． 12．（2024·四川攀枝花·三模）请在①，②， ③三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，所对的边分别是，已知_____． (1)求角； (2)若，点在边上，为的平分线，求边长的值． 13．（2024·内蒙古·三模）在中，内角的对边分别为，且. (1)求的值； (2)若，证明：为直角三角形. 14．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）在中，记角、、的对边分别为、、，已知． (1)求角； (2)已知点在边上，且，，，求的面积． 15．（2024·江苏无锡·二模）已知正项数列的前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前项和.若对任意的恒成立，求k的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大数据之十年高考真题（2015-2024）与优质模拟题（新高考卷） 专题09三角函数与数列(解答题) 1．【2024年新高考1卷第15题】记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. （2）由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 2．【2024年新高考1卷第19题】设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列． (1)写出所有的，，使数列是可分数列； (2)当时，证明：数列是可分数列； (3)从中一次任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）首先，我们设数列的公差为，则. 由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列， 故我们可以对该数列进行适当的变形， 得到新数列，然后对进行相应的讨论即可. 换言之，我们可以不妨设，此后的讨论均建立在该假设下进行. 回到原题，第1小问相当于从中取出两个数和，使得剩下四个数是等差数列. 那么剩下四个数只可能是，或，或. 所以所有可能的就是. （2）由于从数列中取出和后，剩余的个数可以分为以下两个部分，共组，使得每组成等差数列： ①，共组； ②，共组. （如果，则忽略②） 故数列是可分数列. （3）定义集合，. 下面证明，对，如果下面两个命题同时成立， 则数列一定是可分数列： 命题1：或； 命题2：. 我们分两种情况证明这个结论. 第一种情况：如果，且. 此时设，，. 则由可知，即，故. 此时，由于从数列中取出和后， 剩余的个数可以分为以下三个部分，共组，使得每组成等差数列： ①，共组； ②，共组； ③，共组. （如果某一部分的组数为，则忽略之） 故此时数列是可分数列. 第二种情况：如果，且. 此时设，，. 则由可知，即，故. 由于，故，从而，这就意味着. 此时，由于从数列中取出和后，剩余的个数可以分为以下四个部分，共组，使得每组成等差数列： ①，共组； ②，，共组； ③全体，其中，共组； ④，共组. （如果某一部分的组数为，则忽略之） 这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含个行，个列的数表以后，个列分别是下面这些数： ，，，. 可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍中除开五个集合，，，，中的十个元素以外的所有数. 而这十个数中，除开已经去掉的和以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数. 这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列是可分数列. 至此，我们证明了：对，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列一定是可分数列. 然后我们来考虑这样的的个数. 首先，由于，和各有个元素，故满足命题1的总共有个； 而如果，假设，则可设，，代入得. 但这导致，矛盾，所以. 设，，，则，即. 所以可能的恰好就是，对应的分别是，总共个. 所以这个满足命题1的中，不满足命题2的恰好有个. 这就得到同时满足命题1和命题2的的个数为. 当我们从中一次任取两个数和时，总的选取方式的个数等于. 而根据之前的结论，使得数列是可分数列的至少有个. 所以数列是可分数列的概率一定满足 . 这就证明了结论. 3．【2024年甲卷理科第18题】记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，解得． 当时，，所以即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）, 所以 故 所以 ， . 4．【2024年新高考2卷第15题】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得， 又，故 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即， 又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式，， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，， 又，故 方法五：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，， 解得，根据二倍角公式，， 又，故 （2）由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得， 故的周长为 5．【2023年新课标全国Ⅱ卷第17题】记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）方法1：在中，因为为中点，，，    则，解得， 在中，，由余弦定理得， 即，解得，则， ， 所以. 方法2：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，由余弦定理得， 即，解得，有，则， ，过作于，于是，， 所以. （2）方法1：在与中，由余弦定理得， 整理得，而，则， 又，解得，而，于是， 所以. 方法2：在中，因为为中点，则，又， 于是，即，解得， 又，解得，而，于是， 所以. 6．【2023年新课标全国Ⅱ卷第18题】已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得，， 所以数列的通项公式是. （2）方法1：由（1）知，，， 当为偶数时，， ， 当时，，因此， 当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 方法2：由（1）知，，， 当为偶数时，， 当时，，因此， 当为奇数时，若，则 ，显然满足上式，因此当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 7．【2023年新课标全国Ⅰ卷第17题】已知在中，． (1)求； (2)设，求边上的高． 【答案】(1) (2)6 【详解】（1）， ，即， 又， ， ， ， 即，所以， . （2）由（1）知，， 由， 由正弦定理，，可得， ， . 8．【2023年新课标全国Ⅰ卷第20题】设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． (1)若，求的通项公式； (2)若为等差数列，且，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），，解得， ， 又， ， 即，解得或（舍去）， . （2）为等差数列， ，即， ，即，解得或， ，， 又，由等差数列性质知，，即， ，即，解得或（舍去） 当时，，解得，与矛盾，无解； 当时，，解得. 综上，. 9．【2023年高考全国乙卷理第18题】在中，已知，，. (1)求； (2)若D为BC上一点，且，求的面积. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由余弦定理可得： ， 则，， . （2）由三角形面积公式可得， 则. 10．【2023年高考全国甲卷理第17题】设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 当时，，即； 当时，，即， 当时，，所以， 化简得：，当时，，即， 当时都满足上式，所以． （2）因为，所以， ， 两式相减得， ， ，即，． 11．【2022年新课标全国Ⅰ卷第17题】记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）∵，∴,∴, 又∵是公差为的等差数列， ∴,∴, ∴当时，， ∴, 整理得：, 即, ∴ ， 显然对于也成立， ∴的通项公式； （2） ∴ 12．【2022年新课标全国Ⅰ卷第18题】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）因为，即， 而，所以； （2）由（1）知，，所以， 而， 所以，即有，所以 所以 ． 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 13．【2022年新课标全国Ⅱ卷第17题】已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且． (1)证明：； (2)求集合中元素个数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【详解】（1）设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证． （2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为． 14．【2022年新课标全国Ⅱ卷第18题】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． (1)求的面积； (2)若，求b． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得，则， 即，由余弦定理得，整理得，则，又， 则，，则； （2）由正弦定理得：，则，则，. 15．【2022年高考全国乙卷理第17题】记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)14 【详解】（1）证明：因为， 所以， 所以， 即， 所以； （2）解：因为， 由（1）得， 由余弦定理可得， 则， 所以， 故， 所以， 所以的周长为. 16．【2022年高考全国甲卷理第17题】记为数列的前n项和．已知． (1)证明：是等差数列； (2)若成等比数列，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【详解】（1）因为，即①， 当时，②， ①②得，， 即， 即，所以，且， 所以是以为公差的等差数列． （2）[方法一]：二次函数的性质 由（1）可得，，， 又，，成等比数列，所以， 即，解得， 所以，所以， 所以，当或时，． [方法二]：【最优解】邻项变号法 由（1）可得，，， 又，，成等比数列，所以， 即，解得， 所以，即有. 则当或时，． 17．【2021年新课标全国Ⅰ卷第17题】已知数列满足， （1）记，写出，，并求数列的通项公式； （2）求的前20项和. 【答案】（1）；（2）. 【详解】解：（1）[方法一]【最优解】： 显然为偶数，则， 所以，即，且， 所以是以2为首项，3为公差的等差数列， 于是． [方法二]：奇偶分类讨论 由题意知，所以． 由（为奇数）及（为偶数）可知， 数列从第一项起， 若为奇数，则其后一项减去该项的差为1， 若为偶数，则其后一项减去该项的差为2． 所以，则． [方法三]：累加法 由题意知数列满足． 所以， ， 则． 所以，数列的通项公式． （2）[方法一]：奇偶分类讨论 ． [方法二]：分组求和 由题意知数列满足， 所以． 所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列； 同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列． 从而数列的前20项和为： ． 18．【2021年新课标全国Ⅰ卷第19题】记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，. （1）证明：； （2）若，求. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【详解】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理， 得， 因为，所以，即． 又因为，所以． （2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理 因为，如图，在中，，① 在中，．② 由①②得，整理得． 又因为，所以，解得或， 当时，（舍去）． 当时，． 所以． [方法二]：等面积法和三角形相似 如图，已知，则， 即， 而，即， 故有，从而． 由，即，即，即， 故，即， 又，所以， 则． [方法三]：正弦定理、余弦定理相结合 由（1）知，再由得． 在中，由正弦定理得． 又，所以，化简得． 在中，由正弦定理知，又由，所以． 在中，由余弦定理，得． 故． [方法四]：构造辅助线利用相似的性质 如图，作，交于点E，则． 由，得． 在中，． 在中． 因为， 所以， 整理得． 又因为，所以， 即或． 下同解法1． [方法五]：平面向量基本定理 因为，所以． 以向量为基底，有． 所以， 即， 又因为，所以．③ 由余弦定理得， 所以④ 联立③④，得． 所以或． 下同解法1． [方法六]：建系求解 以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴， 长为单位长度建立直角坐标系， 如图所示，则． 由（1）知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动． 设，则．⑤ 由知，， 即．⑥ 联立⑤⑥解得或（舍去），， 代入⑥式得， 由余弦定理得． 19．【2021年新课标全国Ⅱ卷第17题】记是公差不为0的等差数列的前n项和，若． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的n的最小值． 【答案】(1)；(2)7. 【详解】(1)由等差数列的性质可得：，则：， 设等差数列的公差为，从而有：， ， 从而：，由于公差不为零，故：， 数列的通项公式为：. (2)由数列的通项公式可得：，则：， 则不等式即：，整理可得：， 解得：或，又为正整数，故的最小值为. 20．【2021年新课标全国Ⅱ卷第18题】在中，角、、所对的边长分别为、、，，.． （1）若，求的面积； （2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，且. 【详解】（1）因为，则，则，故，， ，所以，为锐角，则， 因此，； （2）显然，若为钝角三角形，则为钝角， 由余弦定理可得， 解得，则， 由三角形三边关系可得，可得，，故. 21．【2021年高考全国乙卷理第19题】记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列是等差数列; （2）求的通项公式． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【详解】（1）[方法一]： 由已知得,且，, 取,由得, 由于为数列的前n项积， 所以, 所以， 所以, 由于 所以，即,其中 所以数列是以为首项，以为公差等差数列; [方法二]【最优解】： 由已知条件知    ① 于是．       ② 由①②得．     ③ 又，       ④ 由③④得． 令，由，得． 所以数列是以为首项，为公差的等差数列． [方法三]：   由，得，且，，． 又因为，所以，所以． 在中，当时，． 故数列是以为首项，为公差的等差数列． [方法四]：数学归纳法   由已知，得，，，，猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且． 下面用数学归纳法证明． 当时显然成立． 假设当时成立，即． 那么当时，． 综上，猜想对任意的都成立． 即数列是以为首项，为公差的等差数列． （2） 由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列， , , 当n=1时，, 当n≥2时,,显然对于n=1不成立, ∴. 22．【2021年高考全国甲卷理第18题】已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列是等差数列：②数列是等差数列；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】证明过程见解析 【详解】选①②作条件证明③： [方法一]：待定系数法+与关系式 设，则， 当时，； 当时，； 因为也是等差数列，所以，解得； 所以，，故. [方法二] ：待定系数法 设等差数列的公差为d，等差数列的公差为， 则，将代入， 化简得对于恒成立． 则有，解得．所以． 选①③作条件证明②： 因为，是等差数列， 所以公差， 所以，即， 因为， 所以是等差数列. 选②③作条件证明①： [方法一]：定义法 设，则， 当时，； 当时，； 因为，所以，解得或； 当时，，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列； 当时，，不合题意，舍去. 综上可知为等差数列. [方法二]【最优解】：求解通项公式 因为，所以，，因为也为等差数列，所以公差，所以，故，当时，，当时，满足上式，故的通项公式为，所以，，符合题意. 23．【2020年新课标全国Ⅱ卷第17题】在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】详见解析 【详解】［方法一］【最优解】：余弦定理 由可得：，不妨设， 则：，即. 若选择条件①： 据此可得：，，此时. 若选择条件②： 据此可得：， 则：，此时：，则：. 若选择条件③： 可得，，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在. ［方法二］：正弦定理 由，得． 由，得，即， 得．由于，得．所以． 若选择条件①： 由，得，得． 解得．所以，选条件①时问题中的三角形存在，此时． 若选择条件②： 由，得，解得，则． 由，得，得． 所以，选条件②时问题中的三角形存在，此时． 若选择条件③： 由于与矛盾，所以，问题中的三角形不存在． 24．【2020年新课标全国Ⅱ卷第18题】已知公比大于的等比数列满足． （1）求的通项公式； （2）求. 【答案】（1）；（2） 【详解】(1) 设等比数列的公比为q(q>1)，则， 整理可得：， ， 数列的通项公式为：. (2)由于：，故： . 25．【2020年新课标全国Ⅰ卷第18题】已知公比大于的等比数列满足． （1）求的通项公式； （2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得解得，或(舍)， 所以，所以数列的通项公式为. （2）［方法一］：规律探索 由于，所以 对应的区间为，则； 对应的区间分别为，则，即有2个1； 对应的区间分别为，则，即有个2； 对应的区间分别为，则，即有个3； 对应的区间分别为，则，即有个4； 对应的区间分别为，则，即有个5； 对应的区间分别为，则，即有37个6． 所以． ［方法二］【最优解】： 由题意，，即，当时，． 当时，，则 ． ［方法三］： 由题意知，因此，当时，；时，；时，；时，；时，；时，；时，． 所以 ． 所以数列的前100项和． 26．【2020年新课标Ⅲ卷理科第17题】设数列{an}满足a1=3，． （1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明； （2）求数列{2nan}的前n项和Sn． 【答案】（1），，，证明见解析；（2）. 【详解】（1） ［方法一］【最优解】：通性通法 由题意可得，，由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即． 证明如下： 当时，成立； 假设时，成立. 那么时，也成立. 则对任意的，都有成立； ［方法二］：构造法 由题意可得，．由得．，则，两式相减得．令，且，所以，两边同时减去2，得，且，所以，即，又，因此是首项为3，公差为2的等差数列，所以． ［方法三］：累加法 由题意可得，． 由得，即，，……．以上各式等号两边相加得，所以．所以．当时也符合上式．综上所述，． ［方法四］：构造法 ，猜想．由于，所以可设，其中为常数．整理得．故，解得．所以．又，所以是各项均为0的常数列，故，即． （2）由（1）可知， ［方法一］：错位相减法 ，① ，② 由①②得： ， 即. ［方法二］【最优解】：裂项相消法 ，所以． ［方法三］：构造法 当时，，设，即，则，解得． 所以，即为常数列，而，所以． 故． ［方法四］： 因为，令，则 ， ， 所以． 故． 27．【2020年新课标Ⅱ卷理科第17题】中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC． （1）求A； （2）若BC=3，求周长的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）由正弦定理可得：， ， ，. （2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式 由余弦定理得：， 即. （当且仅当时取等号）， ， 解得：（当且仅当时取等号）， 周长，周长的最大值为. [方法二]：正弦化角（通性通法） 设，则，根据正弦定理可知，所以，当且仅当，即时，等号成立．此时周长的最大值为． [方法三]：余弦与三角换元结合 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由余弦定理得，即．令，得，易知当时，， 所以周长的最大值为． 28．【2020年新课标Ⅰ卷理科第17题】设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项． （1）求的公比； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）设的公比为，为的等差中项， ， ； （2）设的前项和为，， ，① ，② ①②得， ， . 29．【2019年新课标Ⅲ卷理科第18题】的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) ;(2). 【详解】(1) [方法一]【最优解：利用三角形内角和为结合正弦定理求角度】 由三角形的内角和定理得， 此时就变为． 由诱导公式得，所以． 在中，由正弦定理知， 此时就有，即， 再由二倍角的正弦公式得，解得． [方法二]【利用正弦定理解方程求得的值可得的值】 由解法1得， 两边平方得，即． 又，即，所以， 进一步整理得， 解得，因此． [方法三]【利用正弦定理结合三角形内角和为求得的比例关系】 根据题意，由正弦定理得， 因为，故， 消去得． ，，因为故或者， 而根据题意，故不成立，所以， 又因为，代入得，所以. (2) [方法一]【最优解：利用锐角三角形求得C的范围，然后由面积函数求面积的取值范围】 因为是锐角三角形，又，所以， 则． 因为，所以，则， 从而，故面积的取值范围是． [方法二]【由题意求得边的取值范围，然后结合面积公式求面积的取值范围】 由题设及（1）知的面积． 因为为锐角三角形，且， 所以即 又由余弦定理得，所以即， 所以，故面积的取值范围是． [方法三]【数形结合，利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】 如图，在中，过点A作，垂足为，作与交于点． 由题设及（1）知的面积，因为为锐角三角形，且， 所以点C位于在线段上且不含端点，从而， 即，即，所以， 故面积的取值范围是．      30．【2019年新课标Ⅱ卷理科第19题】已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， ，. （1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列； （2）求{an}和{bn}的通项公式. 【答案】（1）见解析；（2），． 【详解】(1)由题意可知，，，， 所以，即， 所以数列是首项为、公比为的等比数列，， 因为， 所以，数列是首项、公差为的等差数列，． (2)由(1)可知，，， 所以，． 31．【2019年新课标Ⅰ卷理科第17题】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． （1）求A； （2）若，求sinC． 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）， 即：， 由正弦定理可得：， ， ，. （2）[方法一]正弦定理+两角和差正余弦 由（1）知，，所以由， 得， 整理得，即． 又，所以，即， 则． [方法二]正弦定理+方程思想 由，得， 代入， 得， 整理得，则． 由，得， 所以． [方法三]余弦定理 令．由，得． 将代入中，可得， 即，解得或（舍去）． 所以， 从而． [方法四]摄影定理 因为，所以， 由射影定理得， 所以． 32．【2018年新课标Ⅱ卷理科第17题】记为等差数列的前项和，已知，．     （1）求的通项公式；     （2）求，并求的最小值． 【答案】（1）；（2），最小值为–16． 【详解】（1）[方法一]：【通性通法】【最优解】 公式法 设等差数列的公差为，由得，，解得：，所以． [方法二]：函数+待定系数法 设等差数列通项公式为，易得，由，即，即，解得：，所以． （2）[方法1]：邻项变号法 由可得．当，即，解得，所以的最小值为， 所以的最小值为． [方法2]：函数法 由题意知，即， 所以的最小值为，所以的最小值为． 33．【2018年新课标Ⅲ卷理科第17题】等比数列中，． （1）求的通项公式； （2）记为的前项和．若，求． 【答案】（1）或 . （2）. 【详解】（1）设的公比为，由题设得． 由已知得，解得（舍去），或． 故或． （2）若，则．由得，此方程没有正整数解． 若，则．由得，解得． 综上，． 34．【2018年新课标Ⅰ卷理科第17题】在平面四边形中，，，，. （1）求； （2）若，求. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）［方法1］：正弦定理＋平方关系 在中，由正弦定理得，代入数值并解得．又因为，所以，即为锐角，所以． ［方法2］：余弦定理 在中，，即，解得：，所以， ． ［方法3］：【最优解】利用平面几何知识 如图，过B点作，垂足为E，，垂足为F．在中，因为，，所以．在中，因为，则． 所以． ［方法4］：坐标法 以D为坐标原点，为x轴，为y轴正方向，建立平面直角坐标系（图略）． 设，则．因为，所以． 从而，又是锐角，所以，． （2）［方法1］：【通性通法】余弦定理 在，由（1）得，， ，所以． ［方法2］：【最优解】利用平面几何知识 作，垂足为F，易求，，，由勾股定理得． 35．【2017年新课标Ⅰ卷理科第17题】△ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为 (1)求; (2)若求△ABC的周长. 【答案】(1)(2) . 【详解】（1）由题设得，即. 由正弦定理得. 故. （2）由题设及（1）得，即. 所以，故. 由题设得，即. 由余弦定理得，即，得. 故的周长为. 36．【2017年新课标Ⅲ卷理科第17题】的内角的对边分别为已知. （1）求角和边长； （2）设为边上一点，且,求的面积. 【答案】（1），；（2）. 【详解】（1），，由余弦定理可得，即，即，解得（舍去）或，故. (2)，，，，，. 37．【2017年新课标Ⅱ卷理科第17题】的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，面积为2，求． 【答案】（1）；（2）2． 【详解】（1），∴，∵， ∴，∴，∴； （2）由（1）可知， ∵，∴， ∴， ∴． 38．【2016年新课标Ⅲ卷理科第17题】已知数列的前n项和，其中． （Ⅰ）证明是等比数列，并求其通项公式； （Ⅱ）若 ，求． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【详解】（Ⅰ）由题意得，故，，. 由，得，即.由，得，所以. 因此是首项为，公比为的等比数列，于是. （Ⅱ）由（Ⅰ）得.由得，即. 解得. 39．【2016年新课标Ⅱ卷理科第17题】为等差数列的前n项和，且记，其中表示不超过x的最大整数，如. （Ⅰ）求； （Ⅱ）求数列的前1000项和. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）1893. 【详解】（Ⅰ）设的公差为，据已知有，解得 所以的通项公式为 （Ⅱ）因为 所以数列的前项和为 40．【2016年新课标Ⅰ卷理科第17题】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求角C；（2）若，，求的周长. 【答案】（1）（2） 【详解】（1）根据正弦定理把化成，利用和角公式可得从而求得角；（2）根据三角形的面积和角的值求得，由余弦定理求得边得到的周长. 试题解析：（1）由已知可得 （2） 又 ， 的周长为 41．【2015年新课标Ⅱ理科第17题】中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，面积是面积的2倍． (1)求； (2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长． 【答案】（1）；（2）,1 【详解】（1），， ∵，，∴． 由正弦定理可知. （2）∵，， ∴． 设，则， 在△与△中，由余弦定理可知， ， ， ∵，∴， ∴，解得， 即． 42．【2015年新课标Ⅰ理科第17题】为数列{}的前项和.已知＞0，=. （Ⅰ）求{}的通项公式； （Ⅱ）设 ,求数列{}的前项和. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【详解】解：（I）由an2+2an＝4Sn+3，可知an+12+2an+1＝4Sn+1+3 两式相减得an+12﹣an2+2（an+1﹣an）＝4an+1， 即2（an+1+an）＝an+12﹣an2＝（an+1+an）（an+1﹣an）， ∵an＞0，∴an+1﹣an＝2， ∵a12+2a1＝4a1+3， ∴a1＝﹣1（舍）或a1＝3， 则{an}是首项为3，公差d＝2的等差数列， ∴{an}的通项公式an＝3+2（n﹣1）＝2n+1：（Ⅱ）∵an＝2n+1， ∴bn（），∴数列{bn}的前n项和Tn（）（）. 1．（2024·四川自贡·三模）已知数列的前项和为，且． (1)证明：数列为等差数列； (2)若，，成等比数列，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）数列满足①， 当时，有②， ①②可得：， 即， 变形可得， 故数列是以为等差的等差数列； （2）由（1）可知数列是以为等差的等差数列， 若，，成等比数列，则有， 即，解得， 所以， 所以单调递减，又当时，，当时，，当时，， 故当或时，取得最大值， 且． 2．（2024·新疆喀什·三模）已知数列的首项，且满足（）． (1)求证：数列为等比数列； (2)记，求数列的前项和，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【详解】（1）由得， 又，所以是首项为2，公比为2的等比数列． （2）由（1）知，，所以 所以， 当时，单调递增，故． 3．（2024·江西新余·二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的面积. (1)求角B； (2)若的平分线交于点D，，，求的长. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）在中，，而， 即，所以， 由余弦定理得，所以. （2）在中，由等面积法得， 即， 即 所以. 4．（2024·山东济南·二模）如图，已知平面四边形中，. (1)若四点共圆，求； (2)求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）在中，由余弦定理得： ， 在中，由余弦定理得： ， 因为四点共圆，所以，因此， 上述两式相加得：，所以（负值已舍去）. （2）由（1）得：， 化简得， 则①， 四边形的面积 ， 整理得， 则② ①②相加得：， 即， 由于， 所以当且仅当时，取得最小值， 此时四边形的面积最大，由，解得， 故四边形面积的最大值为. 5．（2024·山东菏泽·二模）已知在中，的面积为． (1)求角的度数； (2)若是上的动点，且始终等于，记．当取到最小值时，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）设，则，又，因此， 由为的内角，所以. （2）由（1）知，，又，则，因此， 在中，由正弦定理得，即， 在中，由正弦定理得， ， 显然，则有，因此当时，取到最小值， 此时，即， 所以的值. 6．（2024·山东青岛·二模）已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若，求的最小值. 【答案】(1)； (2)5. 【详解】（1）数列中，，，当时，， 则，由，得， 当为正奇数时，数列是首项为3，公差为4的等差数列， 则，即， 当为偶奇数时，数列是首项为5，公差为4的等差数列， 则，即，即， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，显然数列是首项为，公比的等比数列， 则，由，得，整理得， 而数列是递增数列，，因此， 所以的最小值为5. 7．（2024·陕西渭南·二模）已知等比数列的各项均为正数，前n项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前2n项和. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）设等比数列的公比为，由及， 得， 解得，于是，即， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，， 所以 . 8．（2024·浙江·三模）已知等比数列和等差数列，满足，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)记数列的前项和为，数列的前项和为．证明：． 【答案】(1)，． (2)证明见解析 【详解】（1）等比数列满足，，所以单调递增， 设的公比为，等差数列的公差为，依题意可得， 解得或（舍去）， 所以，． （2）由（1）可得， 所以 所以， 故， 又，， 即， 所以 ． 9．（2024·重庆九龙坡·三模）已知是等差数列的前项和，，数列是公比大于1的等比数列，且，. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求使取得最大值时的值. 【答案】(1)， (2)或 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则，解得， 所以， 设等比数列的公比为， 则，解得， 所以； （2）由（1）得， 则， ， 当时，， 当时，， 当时，， 所以当或时，取得最大值. 10．（2024·湖南长沙·三模）如图，在中，已知为锐角，边上的两条中线相交于点的面积为. (1)求的长度； (2)求的余弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题知，，所以， 又因为，所以或.因为为锐角，所以. 在中，由余弦定理知， 整理得，解得. （2）因为， 所以，， 在中，由勾股定理得：，， 所以在中，由余弦定理得. 所以的余弦值为. 11．（2024·福建泉州·一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，点D是BC上靠近C的三等分点 (1)若的面积为，求AD的最小值； (2)若，求． 【答案】(1)2 (2)． 【详解】（1）由已知及正弦定理可得：（※）， ，所以， 代入（※）可得：，又因为， 所以， 由己知得：，所以， 故， 当且仅当时等号成立． 所以AD的最小值为2； （2）设，则． 在中，由正弦定理得：，即， 在中，由正弦定理得：，即， 将上面两式相比，得：， 即． 12．（2024·四川攀枝花·三模）请在①，②， ③三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，所对的边分别是，已知_____． (1)求角； (2)若，点在边上，为的平分线，求边长的值． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）选①，因为， 则由余弦定理可得， 整理可得，由余弦定理可得， 可得，因为，所以； 选②，， 所以， 整理可得：， 因为， 所以，因为，可得； 选③，，可得， 可得， 因为，所以，可得； （2）在中，， 可得，记为①， 又，记为②， 由①②可得， 解得或（舍去）， 所以边长． 13．（2024·内蒙古·三模）在中，内角的对边分别为，且. (1)求的值； (2)若，证明：为直角三角形. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由， 可得， 所以， 所以， 则，即. （2）证明：由（1）可得. 又，所以， 即， 故， 所以， 即， 因为，所以为锐角， 解得（负值舍去），即， 所以为直角三角形. 14．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）在中，记角、、的对边分别为、、，已知． (1)求角； (2)已知点在边上，且，，，求的面积． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1），由正弦定理可得 ， ， ， ，， ； （2）设，，，或4， 当时，，，此时三角形为正三角形， 当时，，， 满足，此时三角形为直角三角形，． 15．（2024·江苏无锡·二模）已知正项数列的前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前项和.若对任意的恒成立，求k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）①，且， 当时，代入①得； 当时，.② ①-②得，整理得， 因为，所以，所以数列为等差数列，公差为1，所以. （2），，③ ，④ ③-④得， 所以，所以，且，化简得， 令，所以， 所以的最大值为，所以. 所以的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$