1.4.1 用空间向量研究空间直线、平面的垂直（第3课时）（分层作业）-【上好课】高二数学选择性必修第一册同步高效课（人教A版2019）

1.4.1空间中直线、平面的垂直 基础巩固 1．已知三条直线，，的一个方向向量分别为，，，则（    ） A．，但与不垂直 B．，但与不垂直 C．，但与不垂直 D．，，两两互相垂直 2．是空间不共面的四点，且满足，，，为中点，则的形状为（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 3．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E为CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，等于（    ） A． B．1 C．2 D．3 4．在正方体中，是的中点，是棱上一点，且平面平面，则（    ） A． B． C． D．1 5．（多选）给出下列命题，其中是真命题的是（    ） A．若直线的方向向量，直线的方向向量，则与垂直 B．若直线的方向向量，平面的法向量，则 C．若平面，的法向量分别为，，则 D．若平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 6．(多选)长方体中，，，点，分别在棱和上运动（不含端点），若，下列说法正确的是（    ） A． B．的最大值为0 C．面积的最大值为 D．三棱锥的体积不变 7．已知平面的一个法向量，点在平面内，若点在平面内，则 8．设直线l的方向向量为，平面的法向量为，若，则直线l与平面的位置关系为 ；若，则直线l与平面的位置关系为 . 9．如图，在三棱锥 中，平面，，E，F，M分别为AP，AC，PB的中点，求证： 10．如图所示，在正方体中，为与的交点，为的中点，求证：平面．    11．如图，正三棱柱中，分别是棱上的点，.    证明：平面平面. 能力提升 12．正方体的棱长为为棱中点，为正方形内（舍边界）的动点，若，则动点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 13．如图，在棱长为的正方体中，与平面交于点，与平面交于点，点分别在线段上运动，则线段的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14．如图，棱长为2的正方体中，，，，，则下列说法不正确的是（    ） A．时，平面 B．时，四面体的体积为定值 C．时，，使得平面 D．若三棱锥的外接球表面积为，则 15．(多选)如图，已知正方体的棱长为1，P为底面ABCD内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（   ）    A．存在点P，使平面 B．三棱锥的体积为定值 C．若，则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹长为 D．若点P是AD的中点，点Q是的中点，过P，Q作平面平面，则平面截正方体的截面面积为 16．(多选)如图，在正方体中，，点，分别在棱和上运动（不含端点），若，则下列命题正确的是（ ） A． B．平面 C．线段长度的最大值为1 D．三棱锥体积不变 17．正方体的棱长为，分别为上的点，，分别为上的动点．若点在同一球面上，当平面时，该球的表面积为 ． 18．如图，已知棱长为2的正方体A′B′C′D′－ABCD，M是正方形BB′C′C的中心，P是△A′C′D内（包括边界）的动点，满足PM=PD，则点P的轨迹长度为 ． 19．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AB=1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动.求证：无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF. 20．如图，直三棱柱中，，，，侧棱，侧面的两条对角线交点为D，的中点为M．    求证：平面. 21．如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. 求证：平面平面. 拓展延伸 22．已知直三棱柱，，，E为侧棱的中点，过E作平面与平面垂直，当平面与该直三棱柱所成截面为三角形时，顶点与该截面构成的三棱锥体积的最小值为 . 23．如图1，在边长为4的菱形中，，于点，将沿折起到的位置，使，如图2.    (1)求证：平面； (2)判断在线段上是否存在一点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 试卷第8页，共8页 试卷第7页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4.1空间中直线、平面的垂直 基础巩固 1．已知三条直线，，的一个方向向量分别为，，，则（    ） A．，但与不垂直 B．，但与不垂直 C．，但与不垂直 D．，，两两互相垂直 【答案】A 【分析】根据方向向量的数量积可判断，，但不垂直于，故可得正确选项. 【详解】∵， ， ， ∴，与不垂直，，∴，，但不垂直于． 故选：A. 2．是空间不共面的四点，且满足，，，为中点，则的形状为（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】 易知两两互相垂直，根据线面垂直的判定和性质可得，由此可得结果. 【详解】，，，两两互相垂直， ，平面， 平面，平面， ，为直角三角形. 故选：C. 3．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E为CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，等于（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】建系，根据题意结合空间向量垂直的坐标运算求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1，PA＝a， 则， 设，则， 因为BF⊥PE，则，解得， 即，可知F是AD的中点，故. 故选：B. 4．在正方体中，是的中点，是棱上一点，且平面平面，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，求出两平面的法向量，根据垂直关系得到方程，求出，得到答案. 【详解】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 设，平面的法向量为， 则， 解得，令得， 则， 设平面的法向量为， 则， 令，则，， 故， 由题意得， 解得，故 故选：D 5．（多选）给出下列命题，其中是真命题的是（    ） A．若直线的方向向量，直线的方向向量，则与垂直 B．若直线的方向向量，平面的法向量，则 C．若平面，的法向量分别为，，则 D．若平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 【答案】AD 【分析】根据空间向量数量积的值即可判断A；根据空间向量数量积的值即可判断B；根据两平面法向量之间的关系可判断C；，，利用法向量与上面两向量的数量积可判断D. 【详解】对于A，， 则，所以直线与垂直，故A是真命题； 对于B，，则， 所以或，故B是假命题； 对于C，，所以不成立，故C是假命题； 对于D，易得，， 因为向量是平面的法向量， 所以，即， 得，故D是真命题． 故选：AD. 6．(多选)长方体中，，，点，分别在棱和上运动（不含端点），若，下列说法正确的是（    ） A． B．的最大值为0 C．面积的最大值为 D．三棱锥的体积不变 【答案】AD 【分析】建立直角坐标系，设坐标，根据求出参数之间的关系，在依次判断选项正误. 【详解】   以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立直角坐标系，如图所示. 则设，其中 ， 又，即 对于选项A，，因此，故选项A正确； 对于选项B，，， 因此无最大值，故选项B错误； 对于选项C，，因此面积无最大值，故选项C错误； 对于选项D，,因此三棱锥的体积不变，故选项D正确. 故选：AD. 7．已知平面的一个法向量，点在平面内，若点在平面内，则 【答案】 【分析】利用向量垂直列方程，化简求得 【详解】根据题意可得， 因为平面的一个法向量， 所以，解得， 故答案为： 8．设直线l的方向向量为，平面的法向量为，若，则直线l与平面的位置关系为 ；若，则直线l与平面的位置关系为 . 【答案】 或 【分析】由空间向量的运算求出直线l的方向向量和平面法向量的位置关系，即可求得直线l与平面的位置关系. 【详解】若，则，则共线，则直线l与平面垂直； 若，则，则，又不确定直线l是否在平面内，则或. 故答案为：；或. 9．如图，在三棱锥 中，平面，，E，F，M分别为AP，AC，PB的中点，求证： 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法证明，从而求解； 【详解】以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图： 则由题意得，，，， ， ， ∴，即：， ∴． 10．如图所示，在正方体中，为与的交点，为的中点，求证：平面．    【答案】证明见解析 【分析】要证明平面GBD，只需证明垂直于平面GBD中的两条相交直线．易知，而中的G，O连接后的线段GO与垂直的可能性最大，故不妨尝试证明，由向量的数量积可知只需证明即可· 【详解】如图所示，连接，    设，，，则，，，． 因为， ， ， 所以 ， ， 所以，，即，． 又因为，平面，平面， 所以平面． 11．如图，正三棱柱中，分别是棱上的点，.    证明：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，求解两个平面的法向量，利用法向量证明面面垂直. 【详解】证明：取的中点，连接，    在正三棱柱中，不妨设; 以为原点，分别为轴和轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示， 则,， ； 设平面的一个法向量为， 则，取，则，，即； 设平面的一个法向量为， 则，取，得，，即. 因为，所以平面平面； 能力提升 12．正方体的棱长为为棱中点，为正方形内（舍边界）的动点，若，则动点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 建立空间直角坐标系，设，根据列等式，得到点的轨迹方程，理解方程含义为线段，结合图形得到端点坐标，求解. 【详解】如图建立空间直角坐标系，设，则,, 则，. 因为，所以， 所以，所以点的轨迹为上底面中的一条线段. 易知点的轨迹所在直线与上底面正方形的边的交点坐标分别为， 所以动点的轨迹长度为 故选：A 13．如图，在棱长为的正方体中，与平面交于点，与平面交于点，点分别在线段上运动，则线段的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建系，分析可知平面，，，结合垂直关系可知，结合范围分析最值即可. 【详解】如图所示：以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 可得， 则，可知， 且，平面，可知：平面， 且平面，可得， 设，即，则， 因为，解得，即； 同理可得：平面，， 则，， 又因为， 则三棱锥为正三棱锥，点为等边的中心， 在中，结合等边三角形可知：， 因为平面，平面，则，可知， 当时，取到最小值； 当时，取到最大值； 综上所述：线段的取值范围为. 故选：C. 14．如图，棱长为2的正方体中，，，，，则下列说法不正确的是（    ） A．时，平面 B．时，四面体的体积为定值 C．时，，使得平面 D．若三棱锥的外接球表面积为，则 【答案】C 【分析】利用线面平行的判定推理判断A；由线面平行确定点到平面的距离是定值判断B；由空间向量数量积的运算律计算判断C；求出外接球半径计算判断D. 【详解】对于A，当时，，即， 而平面，平面，因此平面，A正确； 对于B，正方体中，当时，面积是定值， 又，平面，平面，则平面， 于是点到平面的距离是定值，因此四面体的体积为定值，B正确； 对于C，当时，， 而，则 ，因此不垂直于，不存在，使得平面，C错误； 对于D，显然平面，则三棱锥与以线段为棱的长方体有相同的外接球， 令球半径为，则， 球的表面积，解得，D正确. 故选：C 【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，进而确定球半径求解. 15．(多选)如图，已知正方体的棱长为1，P为底面ABCD内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（   ）    A．存在点P，使平面 B．三棱锥的体积为定值 C．若，则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹长为 D．若点P是AD的中点，点Q是的中点，过P，Q作平面平面，则平面截正方体的截面面积为 【答案】ABC 【分析】根据等体积法可计算出三棱锥的体积，可判断选项B，建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标与向量的坐标，设，根据线面平行的向量表示和垂直得向量数量积为列式，从而判断选项B，C，利用线面垂直的判定定理得平面，再证明四点共面，从而得平面，再由面面平行的性质可得平面截正方体的截面为正六边形，根据正六边形的性质计算面积即可判断选项D. 【详解】对于B，由等体积法，三棱锥的高为， 底面积，所以， 所以三棱锥的体积为定值，B正确； 对于A，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，所以， 若平面，则， 所以，即表示线段， 则当点在线段时，平面， 所以存在点，使得平面，A正确；    对于C，，若， ，即， 所以点的轨迹就是线段， 轨迹长为，C正确； 对于D，如图取中点，连接， 由题可得，平面， 连接，因为，平面， 则，，又，     平面，则平面， 又取中点为，则， 有四点共面，则平面即为平面， 又由两平面平行性质可知，，，， 又都是中点，故是中点，是中点， 则平面截正方体的截面为正六边形， 又正方体棱长为，则， 故截面面积为，D错误. 故选：ABC    16．(多选)如图，在正方体中，，点，分别在棱和上运动（不含端点），若，则下列命题正确的是（ ） A． B．平面 C．线段长度的最大值为1 D．三棱锥体积不变 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量判定线线垂直、线面垂直、计算两点距离，及根据锥体体积公式一一判定选项即可. 【详解】在正方体中，以D为原点，以射线分别为轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图： 则. 设，则， 因为，所以，即. 对于A：，则， 所以，即，故A正确; 对于B：， 即与不垂直，从而与平面不垂直，故B不正确； 对于C：，则， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D：不论点如何移动，点到平面的距离为4，且为定值， 而为定值， 故三棱锥的体积为定值，故D正确. 故选：ACD. 17．正方体的棱长为，分别为上的点，，分别为上的动点．若点在同一球面上，当平面时，该球的表面积为 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设，，利用，可求，作的平行线，分别为，，的中点，连接，可得球心在过的外心且垂直平面的垂线上，连接，设，，利用向量法求得，进而求得球心的坐标，求得球的半径进而可求表面积. 【详解】建立如图1所示的空间直角坐标系，则，，， ，．设，，， 又，则， 解得． 再根据如图2所示，作的平行线，分别为，，的中点，连接， 因为为直角三角形，故的外接球球心在过的外心且垂直平面的垂线上． 连接，根据球心到球面上任何一点的距离都相等，故，故， 由题可设，，所以， 又，所以，解得， 所以，所以， 所以球的表面积为． 故答案为：. 18．如图，已知棱长为2的正方体A′B′C′D′－ABCD，M是正方形BB′C′C的中心，P是△A′C′D内（包括边界）的动点，满足PM=PD，则点P的轨迹长度为 ． 【答案】 【分析】利用空间直角坐标系可知，平面A′C′D内的P满足， PM=PD的P满足，则可得，P是△A′C′D内（包括边界），则，点P的轨迹线段． 【详解】如图建立空间直角坐标系，则 设平面的法向量 则有，令，则 则 设，则 ∵，则 又∵PM=PD，则 整理得： 联立方程，则 可得，可得 当时，，当时， 在空间中，满足PM=PD的P为过MD的中点且与MD垂直的平面 两个平面的公共部分为直线，即点P的轨迹为平面A′C′D，则 故答案为：． 19．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AB=1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动.求证：无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF. 【答案】证明见解析. 【分析】本题建立空间直角坐标系，求出两直线的方向向量，求数量积即可判断. 【详解】证明：(方法1)以A为原点，以AD，AB，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设AD=a， 则A(0，0，0)，P(0，0，1)，B(0，1，0)，C(a，1，0)， 于是F. ∵E在BC上，∴设E(m，1，0)，∴=(m，1，-1)，. ∵=0，∴PE⊥AF. ∴无论点E在边BC上何处，总有PE⊥AF. (方法2)因为点E在边BC上，可设=λ， 于是=()·)=+λ)·() =+λ+λ)=(0-1+1+0+0+0)=0， 因此. 故无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF. 【点睛】本题考查空间线线垂直的判定，是中档题. 20．如图，直三棱柱中，，，，侧棱，侧面的两条对角线交点为D，的中点为M．    求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法证明直线与平面内的两条相交直线垂直，从而根据直线与平面垂直的判定定理即可证明. 【详解】   由已知，直三棱柱中，， 所以以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 所以，，， 因为，所以，即， 因为，所以，即， 而，且平面， 所以平面. 21．如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. 求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】如图，以为原点，分别以，为轴，轴，过作平行线为轴，建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用空间向量证明即可. 【详解】证明：如图，以为原点，分别以，为轴，轴，过作平行线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，因为，所以， 所以，即， 所以，， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以， 平面的法向量为，则， 令，则，所以， 所以， 所以， 所以平面平面. 拓展延伸 22．已知直三棱柱，，，E为侧棱的中点，过E作平面与平面垂直，当平面与该直三棱柱所成截面为三角形时，顶点与该截面构成的三棱锥体积的最小值为 . 【答案】 【分析】利用空间向量法来计算动点坐标关系，从而去解决平面问题. 【详解】分别以所在直线为轴，轴，轴 则 ， 设平面的法向量， 则，得， 设平面，与平面交于点， 则，点，由，得，即， 当平面经过直线并绕着直线旋转时， 平面与平面的交线绕着点旋转， 当交线与线段，都相交时，与正方体所成截面为三角形， 令平面与平面的交线交于点，交于点， 设，， 则， ， 由三点共线，得，， 所以，因此，所以 故答案为：. 23．如图1，在边长为4的菱形中，，于点，将沿折起到的位置，使，如图2.    (1)求证：平面； (2)判断在线段上是否存在一点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)在线段上不存在一点，使平面平面，理由见解析 【分析】（1）首先证明平面，即可得到，再由，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，设，，求出平面、平面的法向量，根据得到方程，解得，即可判断. 【详解】（1），， ， ，，平面， 平面，平面， ， ，，平面， 平面； （2）由题意，以，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，， ，， 所以， 设平面的一个法向量为，则， 令， 则， 设，，则，， 设平面的法向量为，则，取， 平面平面， ，解得， ， 在线段上不存在一点，使平面平面．    试卷第24页，共26页 试卷第25页，共26页 学科网（北京）股份有限公司 $$