1.4.1 用空间向量研究空间直线、平面的垂直（第3课时）（导学案）-【上好课】高二数学选择性必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

第一章空间向量与立体几何 1.4.1用空间向量研究空间直线、平面的位置关系 第3课时空间中直线、平面的垂直 导学案 一、学习目标 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系，发展数学抽象素养 2.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂直关系的判定定理，培养逻辑推理素养 3.能用向量方法证明空间中直线、平面的垂直关系，培养逻辑推理素养. 二、重点难点 重点：用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系 难点：用向量方法证明空间中直线、平面的垂直关系 三、教学过程 环节一：创设情境，导入新课 上节课学习了空间中直线、平面平行的向量表示，直线的方向向量和平面的法向量的对应关系是什么样的？ 设直线的方向向量分别为,平面的法向量分别为,则： 直线、平面的位置关系 向量的位置关系 向量的运算 使得 使得 问题1：类比空间中直线、平面平行关系的研究方法，你认为可以按怎样的路径研究空间中直线、平面的垂直关系? 环节二：学习新知 问题2：类比空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系? 如图1.4-13(1)，设直线，的方向向量分别为，，则 ． 如图1.4-13(2)，设直线的方向向量为，平面的法向量为，则 ，使得． 如图1.4-13(3)，设平面，的法向量分别为，，则 ． 思考：类比三类平行关系向量表示中蕴含的数学思想，你能归纳三类垂直关系向量表示中的数学思想吗?你能概括一下用向量方法判断直线、平面位置关系的数学思想吗? 用向量表示空间基本图形后，它们的垂直关系就转化为向量方向之间的关系.同类图形(直线与直线、平面与平面)垂直，则它们的方向也垂直；不同类图形(直线与平面)垂直，则它们的方向平行. 总之，对空间直线、平面进行向量表示后，直线、平面位置关系的判断就转化为它们的方向之间关系的判断.这样，在面对具体问题时，我们就可以根据问题的条件，通过向量运算得出向量方向关系的表达式进而判断直线、平面之间的位置关系. 思考：我们随时随地看到向量运算的作用，你同意“向量是躯体，运算是灵魂”“没有运算的向量只能起路标的作用”的说法吗？ 这个问题是要引导学生关注向量的运算在解决几何问题中的作用.有了向量的运算才能研究空间图形的位置关系、度量问题.例如，直线与直线垂直可以用其方向向量的数量积为0表示.这样我们就可以通过向量运算研究空间图形的位置关系.因此我们说向量的作用是通过其运算来体现的，如果没有运算，那么向量仅能表示空间中的点、直线和平面，只是“路标”,无法获得空间图形的几何性质. 环节三：根据新知，简单应用 例1.如图,在四棱锥中,平面,四边形是矩形,,是的中点,点在边上移动.求证:无论点在边上的何处,都有. 证明：(方法1) 以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，则，. ∵在边上， ∴设，∴，. ∵，∴. ∴无论点在边上的何处,都有 (方法2)因为在边上，可设， 所以 于是 = ， 因此. 所以，无论点在边上的何处,都有 反思感悟 利用向量方法证明线线垂直的方法 (1)基向量法: ①取三个不共线的已知向量(通常是它们的模及其两两夹角为已知)为空间的一个基底; ②用基底把两直线的方向向量表示出来; ③利用向量的数量积计算出两直线的方向向量的数量积为0; ④由方向向量垂直得到两直线垂直. (2)坐标法: ①根据已知条件和图形特征,建立适当的空间直角坐标系,正确地写出各点的坐标; ②根据所求出的点的坐标求出两直线方向向量的坐标; ③计算两直线方向向量的数量积为0; ④由方向向量垂直得到两直线垂直. 变式训练 1.在正方体中,E为AC的中点. 求证:(1);(2). 证明 以为原点,所在直线分别为轴，轴，轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则 . (1)∵ ∴ ∴,∴. (2)∵, ∴ ∴,∴. 例2.在棱长为1的正方体中,分别为棱的中点.求证:平面 思路分析： ①不建系,利用基向量法证明与平面内的两个不共线向量都垂直,从而根据线面垂直的判定定理证得结论; ②建立空间直角坐标系,通过坐标运算证明与平面内的两个不共线向量都垂直; ③在建系的前提下,求得平面的法向量,然后说明与法向量共线,从而证得结论. 解：证明：(方法1)因为分别为棱的中点, 所以, 而, 于是, 因此.同理, 又因为不共线, 所以平面 (方法2)以为原点,分别以所在直线为轴，轴，建立空间直角坐标系. 则 所以，,, 因此,故; 又,故. 又不共线, 所以平面. (方法3)以为原点,分别以所在直线为轴，轴，建立空间直角坐标系. 则 于是, 设平面的法向量为, 所以， 所以，即 取,则,即, 因为 所以, 所以平面. 反思感悟 利用空间向量证明线面垂直的方法 (1)基向量法: ①确定基向量作为空间的一个基底,用基向量表示有关直线的方向向量; ②找出平面内两条相交直线的方向向量,并分别用基向量表示; ③分别计算有关直线的方向向量与平面内相交直线的向量的数量积,根据数量积为0,证得线线垂直,然后由线面垂直的判定定理得出结论. (2)坐标法: 方法一: ①建立空间直角坐标系; ②将直线的方向向量用坐标表示; ③找出平面内两条相交直线,并用坐标表示它们的方向向量; ④分别计算两组向量的数量积,得到数量积为0,证得线线垂直,然后得出线面垂直. 方法二: ①建立空间直角坐标系; ②将直线的方向向量用坐标表示; ③求出平面的法向量; ④证明直线的方向向量与平面的法向量平行,得出线面垂直. 变式训练： 2.如图1.4-14，在平行六面体中，，，求证：直线平面． 分析：根据条件，可以为基底，并用基向量表示和平面，再通过向量运算证明是平面的法向量即可． 证明：设，，，则为空间的一个基底，且，，． 因为，， 所以，． 在平面上，取，为基向量，则对于平面上任意一点，存在唯一的有序实数对，使得 ． 所以． 所以是平面的法向量． 所以平面． 例3：证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． 已知：如图1.4-15，，，求证：． 证明：取直线的方向向量，平面的法向量． 因为，所以是平面的法向量． 因为，而是平面的法向量， 所以．所以． 规律方法： 1.利用空间向量证明面面垂直的方法 (1)利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直，进而转化为线线垂直问题； (2)直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直. 2.向量法证明面面垂直的优越性 主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法很“公式化”. 变式训练： 3.如图，在长方体中，，，是的中点，是的中点．求证：平面平面． .证明：建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，， ，，，． 设是平面的法向量，则，， ，取，则，，． 设)是平面的法向量，则，， ，取，则，，． 又，， ∴平面平面 环节四：新知再认识，能力提升 题型：利用空间向量解决空间中直线、平面垂直的探究性问题. 1.如图所示，在三棱柱中，，，是的中点. (1)用表示向量； (2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)存在，时，. 【详解】（1） （2）假设存在点，使，设， 显然. 因为，所以， 即 . 设，又， 即， 解得， 所以当时，. 规律小结：应用空间向量解答探索性(存在性)问题 立体几何中的存在探究题,解决思路一般有两个: (1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想,找出点或线的位置,并用向量表示出来,然后再加以证明,得出结论; (2)假设所求的点或参数存在,并用相关参数表示相关点,根据线、面满足的垂直、平行关系,构建方程(组)求解,若能求出参数的值且符合该限定的范围,则存在,否则不存在. 变式训练： 1.如图，多面体中，面为正方形，平面，且为棱的中点，为棱上的动点. (1)是否存在点，使得；若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【分析】（1）建立合适空间直角坐标系，将垂直关系转化为向量的数量积为，结合结果进行判断即可. 【详解】 （1）因为平面平面，故， 又四边形为矩形，故，则两两垂直， 以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则，设， 若，则， 即，解得，不满足题意， 故不存在. 2．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，点E，F分别是棱，的中点．    (1) 在截面内是否存在点，使平面，并说明理由． 【分析】（1）由题意可建立相应空间直角坐标系，结合空间向量计算即可得； （2）假设存在，可设，，，，结合空间向量解出、，可得其与假设矛盾，故不存在. 【详解】（1）由平面，、平面， 故、，又底面为正方形，故， 即、、两两垂直， 故可以为坐标原点，的方向为轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设，则，，，，，，， 假设截面内存在点满足条件， 设，，，， 有，，， 所以， 因为平面，所以， 所以，解得， 这与假设矛盾，所以不存在点，使平面． 3．如图，在多面体中，是边长为4的等边三角形，，，，点为的中点，平面平面． （1）求证：平面 （2）线段上是否存在一点，使得二面角为直二面角？若存在，试指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，为线段上靠近点的八等分点. 【分析】（1）根据题目条件证明平面，从而得到//，得出//平面; （2）建立空间直角坐标系，假设存在点，计算平面和平面的法向量，使法向量数量积为零，然后求解，根据的值确定点的位置. 【详解】解：（1）因为，是边长为4的等边三角形， 所以， 所以是等腰直角三角形，． 又点为的中点，所以． 因为平面平面，平面平面， 所以平面． 因为，， 所以，， 所以与都是直角三角形， 故，． 又， 所以平面， 所以． 因为平面，平面， 所以平面． （2）连接，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设存在，使得二面角为直二面角，易知，且． 设平面的法向量为， 则由，， 得，令，得，， 故． 设平面的法向量为， 则由，， 得，令，得，， 故． 由，得，故． 所以当为线段上靠近点的八等分点时，二面角为直二面角． 环节五：凝练升华，课堂小结 问题4：回顾本节课的学习内容，回答下列问题 (1)用向量方法解决空间直线、平面位置关系的基本步骤是怎样的? (2)回顾本节课的学习过程，在数学思想方法上你有什么新的认识? 环节六：布置作业，应用迁移 巩固作业：教科书第33页练习第1题 教科书第42-43页习题1.4第5、8、11题 巩固作业答案： 教科书第33页练习第1题 1.已知是直线l的方向向量，是平面的法向量． （1）若，求a，b的关系式； （2）若，求a，b的值． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由得，所以，即，整理得； （2）由得，所以，解得，. 教科书第42页习题1.4第5题 如图，在正方体中，点E在BD上，且；点F在上，且． 求证：（1）； （2）． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【详解】解：（1）如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为，则，，，因为，，所以，，所以，，所以，所以 （2）由（1）可知，所以，所以 教科书第43页习题1.4第8题 如图，四面体ABCD的每条棱长都等于a，M，N分别是AB，CD的中点．求证：，． 【答案】证明见解析 【详解】由题意可知，三个向量两两间的夹角为， 因为M，N分别是AB，CD的中点， 所以, 则 ， 所以，同理可证. 教科书第43页习题1.4第11题 如图，在长方体中，，，E是CD的中点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则，，， 所以，， 所以，，所以，， 因为，平面． 所以平面． 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章空间向量与立体几何 1.4.1用空间向量研究空间直线、平面的位置关系 第3课时空间中直线、平面的垂直 导学案 一、学习目标 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系，发展数学抽象素养 2.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂直关系的判定定理，培养逻辑推理素养 3.能用向量方法证明空间中直线、平面的垂直关系，培养逻辑推理素养. 二、重点难点 重点：用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系 难点：用向量方法证明空间中直线、平面的垂直关系 三、教学过程 环节一：创设情境，导入新课 上节课学习了空间中直线、平面平行的向量表示，直线的方向向量和平面的法向量的对应关系是什么样的？ 设直线的方向向量分别为,平面的法向量分别为,则： 直线、平面的位置关系 向量的位置关系 向量的运算 问题1：类比空间中直线、平面平行关系的研究方法，你认为可以按怎样的路径研究空间中直线、平面的垂直关系? 环节二：学习新知 问题2：类比空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系? 思考：类比三类平行关系向量表示中蕴含的数学思想，你能归纳三类垂直关系向量表示中的数学思想吗?你能概括一下用向量方法判断直线、平面位置关系的数学思想吗? 思考：我们随时随地看到向量运算的作用，你同意“向量是躯体，运算是灵魂”“没有运算的向量只能起路标的作用”的说法吗？ 环节三：根据新知，简单应用 例1.如图,在四棱锥中,平面,四边形是矩形,,是的中点,点在边上移动.求证:无论点在边上的何处,都有. 反思感悟 利用向量方法证明线线垂直的方法 (1)基向量法: ①取三个不共线的已知向量(通常是它们的模及其两两夹角为已知)为空间的一个基底; ②用基底把两直线的方向向量表示出来; ③利用向量的数量积计算出两直线的方向向量的数量积为0; ④由方向向量垂直得到两直线垂直. (2)坐标法: ①根据已知条件和图形特征,建立适当的空间直角坐标系,正确地写出各点的坐标; ②根据所求出的点的坐标求出两直线方向向量的坐标; ③计算两直线方向向量的数量积为0; ④由方向向量垂直得到两直线垂直. 变式训练 1.在正方体中,E为AC的中点. 求证:(1);(2). 例2.在棱长为1的正方体中,分别为棱的中点.求证:平面 反思感悟 利用空间向量证明线面垂直的方法 (1)基向量法: ①确定基向量作为空间的一个基底,用基向量表示有关直线的方向向量; ②找出平面内两条相交直线的方向向量,并分别用基向量表示; ③分别计算有关直线的方向向量与平面内相交直线的向量的数量积,根据数量积为0,证得线线垂直,然后由线面垂直的判定定理得出结论. (2)坐标法: 方法一: ①建立空间直角坐标系; ②将直线的方向向量用坐标表示; ③找出平面内两条相交直线,并用坐标表示它们的方向向量; ④分别计算两组向量的数量积,得到数量积为0,证得线线垂直,然后得出线面垂直. 方法二: ①建立空间直角坐标系; ②将直线的方向向量用坐标表示; ③求出平面的法向量; ④证明直线的方向向量与平面的法向量平行,得出线面垂直. 变式训练： 2.如图1.4-14，在平行六面体中，，，求证：直线平面． 例3：证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． 已知：如图1.4-15，，，求证：． 规律方法： 1.利用空间向量证明面面垂直的方法 (1)利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直，进而转化为线线垂直问题； (2)直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直. 2.向量法证明面面垂直的优越性 主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法很“公式化”. 变式训练： 3.如图，在长方体中，，，是的中点，是的中点．求证：平面平面． 环节四：新知再认识，能力提升 题型：利用空间向量解决空间中直线、平面垂直的探究性问题. 1.如图所示，在三棱柱中，，，是的中点. (1)用表示向量； (2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由. 变式训练： 1.如图，多面体中，面为正方形，平面，且为棱的中点，为棱上的动点. (1)是否存在点，使得；若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 2．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，点E，F分别是棱，的中点．    (1) 在截面内是否存在点，使平面，并说明理由． 3．如图，在多面体中，是边长为4的等边三角形，，，，点为的中点，平面平面． （1）求证：平面 （2）线段上是否存在一点，使得二面角为直二面角？若存在，试指出点的位置；若不存在，请说明理由． 环节五：凝练升华，课堂小结 问题4：回顾本节课的学习内容，回答下列问题 (1)用向量方法解决空间直线、平面位置关系的基本步骤是怎样的? (2)回顾本节课的学习过程，在数学思想方法上你有什么新的认识? 环节六：布置作业，应用迁移 巩固作业：教科书第33页练习第1题 教科书第42-43页习题1.4第5、8、11题 巩固作业答案： 教科书第33页练习第1题 1.已知是直线l的方向向量，是平面的法向量． （1）若，求a，b的关系式； （2）若，求a，b的值． 教科书第42页习题1.4第5题 如图，在正方体中，点E在BD上，且；点F在上，且． 求证：（1）； （2）． 教科书第43页习题1.4第8题 如图，四面体ABCD的每条棱长都等于a，M，N分别是AB，CD的中点．求证：，． 教科书第43页习题1.4第11题 如图，在长方体中，，，E是CD的中点．求证：平面． 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$