考点巩固卷18 椭圆方程及其性质(六大考点)-2025年高考数学一轮复习考点通关卷（新高考通用）

考点巩固卷18 椭圆方程及其性质(六大考点) 考点01：椭圆的定义（妙用） 结论1： 椭圆第一定义 结论2：标准方程 由定义即可得到椭圆标准方程 结论3： 椭圆第二定义 1．已知复数满足，则复数在复平面内所对应的点的轨迹为（    ） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 2．设O为坐标原点，，为椭圆C：的左，右两个焦点，点R在C上，点是线段上靠近点的三等分点，若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，，分别为的内心和重心，则（    ） A．0 B．1 C． D．3 4．已知椭圆的左､右焦点分别为，若经过的弦满足，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的射线分别与椭圆和圆相交于点，过点作，垂足为为坐标原点，则（    ） A． B． C．2 D． 6．已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线与交于点，与轴交于点，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，过点和上顶点A的直线交于另外一点，若，且的面积为，则实数的值为（    ） A．3 B． C．3或7 D．或7 8．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且满足,延长线交椭圆于另一点，，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 9．设，是椭圆（）的左、右焦点，过的直线与交于，两点，若，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，其右顶点为A，若椭圆上一点P，使得，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 考点02：椭圆的焦点三角形问题 椭圆焦点为，，P为椭圆上的点，，则； 证明：设 推论及应用：（注意：r为内切圆半径） ①三角形（直角）等面积法：如上图，当时，有； ，． ②任意角度的三角形等面积法：． ③最大面积、最大顶角考点：当点P位于椭圆的短轴顶点时，取最大值，根据等面积法，此时． ④直角顶点的处理技巧：当时，取得最大值，若，则，；同理可得，若，则，；若，则，． ⑤直角顶点个数考点，当时，有四个点P存在；当时，有两个点P存在；当时，无点P存在。 注意：与的区别，不一定为顶点. 11．已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，O为坐标原点，M，N为C上两个动点，且，面积的最大值为，过O作直线MN的垂线，垂足为H，则（   ） A． B． C．1 D． 12．已知点 分别是椭圆 的左、右焦点，是上一点，的内切圆的圆心为，则椭圆 的标准方程是（   ） A． B． C． D． 13．单位向量，向量满足，若存在两个均满足此条件的向量，使得，设，在起点为原点时，终点分别为.则的最大值（    ） A． B． C．4 D．2 14．已知是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且线段的中点在以为直径的圆上，则三角形的面积为（   ） A．1 B． C． D．8 15．已知椭圆（）的两焦点分别为、．若椭圆上有一点P，使，则的面积为（    ） A． B． C． D． 16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上.若，则的面积为（    ） A．2 B．4 C．8 D．9 17．已知椭圆的两个焦点为，，点，为上关于坐标原点对称的两点，，的面积记为，且，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与交于两点，若，则下列结论错误的是（    ） A． B．的面积等于 C．的离心率等于 D．直线的斜率为 19．已知椭圆的左，右焦点分别为，，点在椭圆上，为的内心，记，的面积分别为，且满足，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 20．已知分别是椭圆的左、右焦点，在上，在轴上，，以为直径的圆过，且的面积为，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 考点03：椭圆的简单几何性质 椭圆的简单几何性质 离心率：椭圆焦距与长轴长之比：. （） 当越接近1时，越接近，椭圆越扁； 当越接近0时，越接近0，椭圆越接近圆； 当且仅当时，图形为圆，方程为 1、与椭圆共焦点的椭圆方程可设为： 2、有相同离心率：（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上） 3、椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）： （1）； （2），，； （3）,，； 21．椭圆的长轴长与焦距之差等于（    ） A． B． C． D． 22．已知点在圆上运动，点为椭圆的右焦点与上顶点，则最小值为（    ） A． B． C． D． 23．若椭圆的离心率为，则该椭圆的焦距为（    ） A． B． C．或 D．或 24．设点分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好有4个，则实数的值可以是（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 25．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，且，的面积为，则椭圆的焦距为（    ） A． B． C．6 D．12 26．已知椭圆：的左、右两个顶点为，，点，，是的四等分点，分别过这三点作斜率为的一组平行线，交椭圆于，，…，，则直线，，…，，这6条直线的斜率乘积为（    ） A． B． C．8 D．64 27．已知椭圆 的左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，若的内心为，连接并延长交轴于点，且，则椭圆的短轴长为（    ） A．2 B． C． D． 28．已知椭圆的左顶点为A，左焦点为为该椭圆上一点且在第一象限，若射线上存在一点，使得，线段的垂直平分线与射线交于点，则（    ） A．1 B．2 C． D． 29．设椭圆的离心率是椭圆的离心率的倍，则的长轴长为（    ） A．1 B． C．2 D． 30．已知椭圆的离心率，上顶点的坐标为，右顶点为为上横坐标为1的点，直线与轴交于点为坐标原点，则（    ） A．1 B． C． D． 考点04：求椭圆离心率及取值范围 1、离心率是圆锥曲线的核心概念，求离心率的值或取值范围即寻求间的等量关系和不等关系并结合求解．该类问题往往是数学知识的交汇点，数学思想和方法的综合点，往往有两种题型，即显示约束条件和隐藏约束条件．两种解题方向，即以形为主的解题方向，注意结合平面几何知识求解；以数为主的解题方向，要注意方程和不等式的联系． 2、与椭圆焦点三角形有关的问题有意考查椭圆的定义、正弦定理或余弦定理、三角形边的关系、面积公式、基本不等式等，其中包含关于的等量关系和不等关系，借此可确定离心率的值或取值范围． 31．设分别为椭圆的左，右焦点，为椭圆上一点，直线与以为圆心、为半径的圆切于点为坐标原点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 32．点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于两点，若是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线l与椭圆相交于A、B两点，与y轴相交于点C．连接，．若O为坐标原点，，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 34．已知椭圆C： （）的左、右焦点分别为，，P为C上一点，满足，以C的短轴为直径作圆O，截直线的弦长为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 35．已知是椭圆的左、右焦点，若上存在不同的两点，使得，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 36．已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 37．已知椭圆的左焦点为，直线与C分别交于两点（A在x轴上方），与y轴交于点为坐标原点．若，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 38．已知椭圆的左、右焦点分别为，点A，B在上，直线倾斜角为，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 39．已知为椭圆上一点，分别为其左、右焦点，为坐标原点，，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 40．已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于另一点，若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 考点05：椭圆的中点弦问题 中点弦问题：若直线与椭圆交于两点，为中点，则用点差法处理 结论1： 证明：设 41．若椭圆的中心在原点，焦点在轴，一个焦点为，直线与椭圆相交所得弦的中点坐标为，则这个椭圆的方程为 . 42．已知F是椭圆C：（）的左焦点，是椭圆C过F的弦，的垂直平分线交x轴于点P.若，且P为的中点，则椭圆C的离心率为 . 43．已知正方形的四个顶点均在椭圆上，的两个焦点分别是的中点，则的离心率是 . 44．已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，过的直线交E于A，B两点，是线段的中点，且，则E的方程为 ． 45．已知，分别为椭圆：的两个焦点，右顶点为，为的中点，且，直线与交于，两点，且的周长为28，则椭圆的短轴长为 . 46．已知圆在椭圆的内部，为上的一个动点，过作的一条切线，交于另一点，切点为，若当为的中点时，直线的倾斜角恰好为，则该椭圆的离心率 . 47．已知椭圆，平行于轴的直线与交于点，平行于轴的直线与交于点，直线与直线在第一象限交于点，且，，，，若过点的直线与交于点，且点为的中点，则的方程为 ． 48．已知O为坐标原点，点F为椭圆的右焦点，点A，B在C上，AB的中点为F，，则C的离心率为 ． 49．设О为坐标原点，A为椭圆C：上一个动点，过点A作椭圆C内部的圆E：的一条切线，切点为D，与椭圆C的另一个交点为B，D为AB的中点，若OD的斜率与DE的斜率之积为2，则C的离心率为 . 50．已知椭圆的右焦点为是的中点，若椭圆上到点的距离最小的点有且仅有一个，则椭圆的离心率的取值范围为 . 考点06：椭圆中过原点的向量积问题 椭圆与直线相交于两点，O为坐标原点，求 解：设 将代入得： 将（1）（2）代入（3）得： 注意：椭圆与直线相交于两点，为坐标原点，且，或（以AB线段为直径的圆过坐标原点O），设原点到直线的距离为，则。 由于 故： 51．已知椭圆的焦点分别是，，点在椭圆上，且 (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线 与椭圆交于，两点，且，求实数的值和的面积. 52．已知椭圆为其左焦点，在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程. (2)若A，B是椭圆C上不同的两点，O为坐标原点，若，是否存在某定圆始终与直线相切？若存在，求出该定圆的方程；若不存在，请说明理由. 53．已知O为坐标原点，椭圆的离心率为，且经过点． (1)求椭圆C的方程； (2)直线l与椭圆C交于A，B两点，直线的斜率为，直线的斜率为，且，求的取值范围． 54．已知P为椭圆短轴上的一个顶点，，为的左、右焦点，且的面积为，椭圆的焦距为2． (1)求椭圆的方程； (2)设直线l为圆的切线，且l与相交于A，B两点，求的取值范围（O为坐标原点）． 55．已知椭圆的短轴长为2，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于，两点，若（为坐标原点），求实数的值． 56．已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为M，，且原点O到直线的距离为. （1）求椭圆C的方程： （2）已知斜率为的直线l交椭圆C于A、B两点，求的取值范围. 57．已知双曲线C： ＝1(a，b>0)的左、右焦点分别为F1(-c，0)，F2(c，0)，其中c>0， M(c，3)在C上，且C的离心率为2. （1）求C的标准方程； （2）若O为坐标原点，∠F1MF2的角平分线l与曲线D： ＝1的交点为P，Q，试判断OP与OQ是否垂直，并说明理由. 58．设定圆，动圆过点且与圆相切，记动圆圆心的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）直线与曲线有两个交点，，若，证明：原点到直线的距离为定值． 59．定义：已知椭圆，把圆称为该椭圆的协同圆.设椭圆的协同圆为圆(为坐标系原点)，试解决下列问题： （1）写出协同圆圆的方程； （2）设直线是圆的任意一条切线，且交椭圆于两点，求的值； （3）设是椭圆上的两个动点，且，过点作，交直线于点，求证：点总在某个定圆上，并写出该定圆的方程. 60．已知､分别为椭圆左右焦点，为椭圆上一点，满足轴，，且椭圆上的点到左焦点的距离的最大值为. （1）求椭圆的方程； （2）若过点的直线交椭圆于，两点，(其中为坐标原点)，与直线平行且与椭圆相切的两条直线分别为､，若与两直线间的距离为，求直线的方程. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 考点巩固卷18 椭圆方程及其性质(六大考点) 考点01：椭圆的定义（妙用） 结论1： 椭圆第一定义 结论2：标准方程 由定义即可得到椭圆标准方程 结论3： 椭圆第二定义 1．已知复数满足，则复数在复平面内所对应的点的轨迹为（    ） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【答案】C 【分析】由，可得其几何意义为任意一点到点于的距离和为，符合椭圆定义，即可得到答案. 【详解】设， 因为， 所以， 其几何意义为任意一点到点于的距离和为， 又点和之间的距离小于，符合椭圆定义， 所以复数在复平面内所对应的点的轨迹为椭圆. 故选：C. 2．设O为坐标原点，，为椭圆C：的左，右两个焦点，点R在C上，点是线段上靠近点的三等分点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则由题意可表示出、，结合垂直性质与在上计算即可得点横坐标，再利用两点间距离公式即可得解. 【详解】设，由题意可得，则， 则，， 由，则， 由在上，则有，即， 即有，整理得， 即，故或， 由可知，不符，故舍去，即有， 则. 故选：C. 3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，，分别为的内心和重心，则（    ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】设，，则，由已知，利用切线的性质和椭圆的焦半径公式得，得，由，得，则，得，又，所以. 【详解】 设，，则， 因为椭圆，则， ，， 由切线的性质和椭圆的焦半径公式得 ， 则， 由， 即，即， 所以，则， 又， 所以. 故选：A. 4．已知椭圆的左､右焦点分别为，若经过的弦满足，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，根据椭圆的定义可得，由，根据余弦定理可得，再由离心率公式求解即可. 【详解】    由题可知， 所以，解得， 由 得， 整理得， 所以. 故选：A. 5．已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的射线分别与椭圆和圆相交于点，过点作，垂足为为坐标原点，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据题意，得到，由椭圆的定义得到，则，得到为的中点，结合中位线定理，即可求解. 【详解】由椭圆，可得，则， 又由圆可化为，可得圆心，半径，则， 根据椭圆的定义，可得，则， 因为，可得为的中点， 又因为为的中点，可得. 故选：C. 6．已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线与交于点，与轴交于点，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据条件求各边的长及，再在中用余弦定理求得与的关系，即可得解. 【详解】设，因为，所以，， 由对称性可得，又，所以， 所以，， 又，所以，，又， 所以由余弦定理， 所以，的离心率. 故选：A. 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，过点和上顶点A的直线交于另外一点，若，且的面积为，则实数的值为（    ） A．3 B． C．3或7 D．或7 【答案】D 【分析】设，利用余弦定理分析可得，再结合面积关系可得或，分别代入分析即可. 【详解】由题意可知：， 因为，则，，， 设， 在中，由余弦定理可得， 即，解得， 又因为，则， 解得，可得或， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得，符合题意； 综上所述：实数的值为或7. 故选：D. 8．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且满足,延长线交椭圆于另一点，，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义可得，，再利用勾股定理，列出方程，求出的值，从而得到椭圆方程. 【详解】因为点在椭圆上，延长线交椭圆于另一点，且， 所以，，则，由于， 所以，即，解得， 所以，则， 则，， 所以椭圆方程为， 故选：C 9．设，是椭圆（）的左、右焦点，过的直线与交于，两点，若，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，，根据椭圆的定义及勾股定理求出、，即可求出、，再由余弦定理求出与的关系，即可求出离心率. 【详解】不妨设，，，则，． 又，所以，化简得， 显然，所以，解得，，所以，， 故，解得，故的离心率为． 故选：D 10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，其右顶点为A，若椭圆上一点P，使得，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求得、，再由正弦定理以及椭圆的定义，可算得与的关系，进而求出椭圆的离心率. 【详解】 由题意，， ， ， 由正弦定理得，又， 所以，，又， 可得，所以椭圆的离心率. 故选：B. 考点02：椭圆的焦点三角形问题 椭圆焦点为，，P为椭圆上的点，，则； 证明：设 推论及应用：（注意：r为内切圆半径） ①三角形（直角）等面积法：如上图，当时，有； ，． ②任意角度的三角形等面积法：． ③最大面积、最大顶角考点：当点P位于椭圆的短轴顶点时，取最大值，根据等面积法，此时． ④直角顶点的处理技巧：当时，取得最大值，若，则，；同理可得，若，则，；若，则，． ⑤直角顶点个数考点，当时，有四个点P存在；当时，有两个点P存在；当时，无点P存在。 注意：与的区别，不一定为顶点. 11．已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，O为坐标原点，M，N为C上两个动点，且，面积的最大值为，过O作直线MN的垂线，垂足为H，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】依题意当在椭圆短轴的顶点时面积取得最大值，即可求出椭圆方程，当直线的斜率存在时，设其方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，由，可得，及，从而得到，从而得到，在根据数量积的坐标表示计算可得. 【详解】依题意当在椭圆短轴的顶点时面积取得最大值，又， 所以，解得，所以，则椭圆方程为， 当直线的斜率存在时，设其方程为，，， 由，消去整理得， 在的条件下，可知，， 又，所以，即， 即，即， 所以， 所以，所以， 当直线的斜率不存在时，则为与轴的交点， 又，根据对称性可知， 设，则（或）， 所以，则，所以， 又，，所以，， 所以. 故选：D 12．已知点 分别是椭圆 的左、右焦点，是上一点，的内切圆的圆心为，则椭圆 的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式，结合椭圆的定义求解即得. 【详解】依题意，设椭圆的方程为，由在上，得， 显然的内切圆与直线相切，则该圆半径为1，而， 又，于是，，因此，解得， 所以椭圆 的标准方程是. 故选：B 13．单位向量，向量满足，若存在两个均满足此条件的向量，使得，设，在起点为原点时，终点分别为.则的最大值（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】B 【分析】设，，整理得，可知点在椭圆上，设关于点的对称点为，分析可知三点共线，结合椭圆性质分析求解. 【详解】由题意不妨设，，则， 因为，则，整理得， 可知向量的终点的轨迹为椭圆，且为椭圆的右焦点， 可知点在椭圆上，设关于点的对称点为， 因为，则， 可得，由可知三点共线， 设， 因为为线段的中点，则， 当且仅当为短轴顶点时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：B. 14．已知是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且线段的中点在以为直径的圆上，则三角形的面积为（   ） A．1 B． C． D．8 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义得到为等腰三角形，进而求等腰三角形的面积即可. 【详解】设的中点为M，则， 于是，又， 则为等腰三角形， ． 故选：C． 15．已知椭圆（）的两焦点分别为、．若椭圆上有一点P，使，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点在椭圆上得出定义表达式，运用余弦定理，联立求得的值，再运用三角形面积公式即得. 【详解】 如图，不妨设，由点在椭圆上可得：①， 由余弦定理可得：，化简得：②， 由①式两边平方再减去②式，得：， 于是的面积为. 故选：D. 16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上.若，则的面积为（    ） A．2 B．4 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据题意，由椭圆的定义，得到，再由勾股定理得，联立方程组，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】如图所示，椭圆，可得，则， 因为点在椭圆上，可得， 又由，可得, 联立方程组，可得， 所以的面积为. 故选：B.    17．已知椭圆的两个焦点为，，点，为上关于坐标原点对称的两点，，的面积记为，且，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出辅助线，根据题意得到四边形为矩形，故，求出，再根据，利用勾股定理得到，得到，再根据上存在关于坐标原点对称的两点，使得，得到，计算即可得到离心率范围. 【详解】连接，，由题意得，，， 又，所以四边形为矩形，故， 所以，故， 又，由勾股定理得， 即，则， 故，即， 故，， 解得， 又上存在关于坐标原点对称的两点，，使得， 故，所以，即， 所以，，解得， 综上，的离心率的取值范围是. 故选：C. 18．已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与交于两点，若，则下列结论错误的是（    ） A． B．的面积等于 C．的离心率等于 D．直线的斜率为 【答案】D 【分析】由线段比例关系以及椭圆定义可得，借助勾股定理逆定理判断A；由割补法求出三角形面积判断B；求出直线的斜率并计算的离心率判断CD. 【详解】由，不妨设，则， 又，则有，由椭圆定义得， 因此，即点为椭圆的上顶点或下顶点，如图，    显然，则，A正确； 于是为等腰直角三角形，且，则的面积为： ，B正确； ，直线的斜率，有，D错误， 椭圆离心率，C正确. 故选：D 19．已知椭圆的左，右焦点分别为，，点在椭圆上，为的内心，记，的面积分别为，且满足，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内切圆的性质以及椭圆的定义，即可求出本题答案. 【详解】设，内切圆半径为， ，即， 所以，即， 又，. 故选：B. 20．已知分别是椭圆的左、右焦点，在上，在轴上，，以为直径的圆过，且的面积为，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 设,表示出的面积，结合向量关系以及垂直关系，求出点，借助椭圆的定义求解即可. 【详解】 结合题意可得：，，设， 则由的面积为，得①， 由，得②． 连接以为直径的圆过，③． 由②③得， 结合①得， ， ，故椭圆的标准方程为， 故选：B． 考点03：椭圆的简单几何性质 椭圆的简单几何性质 离心率：椭圆焦距与长轴长之比：. （） 当越接近1时，越接近，椭圆越扁； 当越接近0时，越接近0，椭圆越接近圆； 当且仅当时，图形为圆，方程为 1、与椭圆共焦点的椭圆方程可设为： 2、有相同离心率：（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上） 3、椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）： （1）； （2），，； （3）,，； 21．椭圆的长轴长与焦距之差等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的标准方程求出，再求长轴长与焦距之差. 【详解】由题得，，所以，， 所以长轴长，焦距， 所以长轴长与焦距之差等于． 故选：B 22．已知点在圆上运动，点为椭圆的右焦点与上顶点，则最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意知，且圆在椭圆内，则确定与圆相切时取得最小值，即可求解. 【详解】由题意知，，且圆在椭圆内， 当与圆相切时，取得最小值， 此时， 所以， 所以的最小值为. 故选：A 23．若椭圆的离心率为，则该椭圆的焦距为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分焦点在轴或轴两种情况，求椭圆的离心率，求解参数，再求椭圆的焦距. 【详解】若椭圆的焦点在轴，则离心率，得，此时焦距， 若椭圆的焦点在轴，则离心率，得，此时焦距， 所以该椭圆的焦距为或. 故选：D 24．设点分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好有4个，则实数的值可以是（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】设 ，表示向量 ，由条件可得，，结合对称性列不等式，求的范围，由此可得结论.. 【详解】因为点分别为椭圆的左、右焦点； 所以 ， 设 则， 由可得， 又因为在椭圆上，即， 所以， 由对称性可得，要使得成立的点恰好是个，则 解得， 所以的值可以是. 故选：B. 25．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，且，的面积为，则椭圆的焦距为（    ） A． B． C．6 D．12 【答案】B 【分析】由椭圆的定义结合题意可求出，，再利用余弦定理及椭圆的离心率求得的值，根据所得条件选择合适的公式计算三角形的面积，可求出，即可得答案. 【详解】由已知条件及椭圆的定义可得， 故，， 设，因为椭圆的离心率为，所以， 由余弦定理可得， 则，故的面积为，故， 则，故椭圆的焦距为. 故选：B． 26．已知椭圆：的左、右两个顶点为，，点，，是的四等分点，分别过这三点作斜率为的一组平行线，交椭圆于，，…，，则直线，，…，，这6条直线的斜率乘积为（    ） A． B． C．8 D．64 【答案】A 【分析】椭圆上任意一点坐标为，以及椭圆的对称性可得. 【详解】如图，    左右顶点的坐标分别为，设椭圆上任意一点坐标为， 且P不与A、B重合， 则， 又在椭圆上，故，所以， 则， 所以 同理可得 ∴直线这6条直线的斜率乘积 故选：A. 27．已知椭圆 的左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，若的内心为，连接并延长交轴于点，且，则椭圆的短轴长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】合理构建图形，利用角平分线定理和等比定理得到，再求短轴长度即可. 【详解】 如图，连接在和中， 利用角平分线定理可得 由等比定理可得从而. 故椭圆的短轴长为，故B正确. 故选：B 28．已知椭圆的左顶点为A，左焦点为为该椭圆上一点且在第一象限，若射线上存在一点，使得，线段的垂直平分线与射线交于点，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】先利用椭圆的定义及线段间的关系得到，再利用等腰三角形三线合一的性质得到点与点重合，根据椭圆的性质计算即可. 【详解】 设该椭圆的右焦点为，连接，则， 设， 易得，所以， 所以， 又，所以，所以， 则对任意的点，线段的垂直平分线必过点， 所以点与点重合，所以. 故选:B. 29．设椭圆的离心率是椭圆的离心率的倍，则的长轴长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据离心率公式求得椭圆和椭圆离心率，列式求解求得，进而可得解. 【详解】因为椭圆， 所以椭圆离心率为， 椭圆的离心率， 则由题意可知，解得. 所以的长轴长为. 故选：D. 30．已知椭圆的离心率，上顶点的坐标为，右顶点为为上横坐标为1的点，直线与轴交于点为坐标原点，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得椭圆的方程为，不妨设且，求得，得出直线的方程，求得的坐标，即可求解. 【详解】由题意知，椭圆的离心率，可得，即， 又由椭圆的上顶点的坐标为，可得， 因为，可得，所以椭圆的方程为， 又因为点为上横坐标为1的点，不妨设且， 将点代入椭圆的方程，可得，可得，即， 因为点为椭圆的右顶点，可得，所以， 则直线的方程为，令，可得，即， 所以. 故选：D. 考点04：求椭圆离心率及取值范围 1、离心率是圆锥曲线的核心概念，求离心率的值或取值范围即寻求间的等量关系和不等关系并结合求解．该类问题往往是数学知识的交汇点，数学思想和方法的综合点，往往有两种题型，即显示约束条件和隐藏约束条件．两种解题方向，即以形为主的解题方向，注意结合平面几何知识求解；以数为主的解题方向，要注意方程和不等式的联系． 2、与椭圆焦点三角形有关的问题有意考查椭圆的定义、正弦定理或余弦定理、三角形边的关系、面积公式、基本不等式等，其中包含关于的等量关系和不等关系，借此可确定离心率的值或取值范围． 31．设分别为椭圆的左，右焦点，为椭圆上一点，直线与以为圆心、为半径的圆切于点为坐标原点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线与圆相切，利用勾股定理可以求出的长度，进而通过，可以得到的长度，再次应用勾股定理，求出的长度，最后根据为椭圆上一点，运用椭圆的定义，结合椭圆离心率公式进行求解即可. 【详解】由题意，，， 因为直线与以为圆心、为半径的圆切， 所以， 因此由勾股定理可知， 又，所以，因此， 由勾股定理可得， 根据椭圆定义，， . 故选：B 32．点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于两点，若是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴可设，代入椭圆方程可求得圆的半径，根据为锐角三角形，可构造关于的齐次不等式，进而配凑出离心率，解不等式即可求得结果. 【详解】圆与轴相切于焦点，轴，可设， 在椭圆上，，解得：，圆的半径为； 作轴，垂足为， ，， 为锐角三角形，，， ，即，解得：， 即椭圆离心率的取值范围为. 故选：D. 33．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线l与椭圆相交于A、B两点，与y轴相交于点C．连接，．若O为坐标原点，，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角形面积关系得出，再由勾股定理及椭圆定义求出，利用余弦定理及求解即可. 【详解】设，由 可得，由于与等高， 所以，    又，，∴， 又，∴， 在中，， ∵， 在中，， 化简可得，解得， 故选：A． 34．已知椭圆C： （）的左、右焦点分别为，，P为C上一点，满足，以C的短轴为直径作圆O，截直线的弦长为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取弦的中点D，连接，求出，结合椭圆定义即可求解． 【详解】如图，取弦的中点D，连接，则，即，因为， 所以，因为O为的中点，所以D是的中点，所以， 因为，所以OD垂直平分弦，因为，， 所以，所以， 由椭圆定义可得，， 所以，解得，， 所以离心率为， 故选：A． 35．已知是椭圆的左、右焦点，若上存在不同的两点，使得，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量关系结合椭圆的对称性， 找到当分别位于的左、右顶点时，有最大值，求出离心率的取值范围. 【详解】如图，延长交椭圆于，根据椭圆的对称性，得，， 当分别位于的左、右顶点时，有最大值， 又因为不重合，所以，即， 解得， 所以的离心率的取值范围为． 故选：C． 36．已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据离心率和焦距可得，进而可得，即可得方程. 【详解】由题意可知：，可得， 则，所以该椭圆的方程为. 故选：C. 37．已知椭圆的左焦点为，直线与C分别交于两点（A在x轴上方），与y轴交于点为坐标原点．若，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过及直线的斜率计算出，在中，由余弦定理可得，最后根据椭圆的定义计算离心率. 【详解】由题意可知，直线l过点F，如图所示， 所以，而， 所以． 由 ． 解得． 设C的右焦点为， 在中，由余弦定理可得 ， 解得． 由椭圆的定义知， 则C的离心率． 故选：D． 38．已知椭圆的左、右焦点分别为，点A，B在上，直线倾斜角为，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆焦半径公式求出，结合条件列式运算得解. 【详解】根据题意，，所以直线的倾斜角为， 由椭圆焦半径公式得，， ，，即， 化简得，. 故选：D. 39．已知为椭圆上一点，分别为其左、右焦点，为坐标原点，，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律、余弦定理，结合椭圆的定义求解即得. 【详解】令，显然点不在x轴上，， 则， 由余弦定理得， 因此，而， 于是，整理得，则， 所以的离心率为. 故选：C 40．已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于另一点，若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出各点坐标，利用点差法得到斜率的表达式，化简即可得到离心率的值. 【详解】直线经过原点，设，，. . 又，，两式相减，得. ，.离心率为. 故选：B. 考点05：椭圆的中点弦问题 中点弦问题：若直线与椭圆交于两点，为中点，则用点差法处理 结论1： 证明：设 41．若椭圆的中心在原点，焦点在轴，一个焦点为，直线与椭圆相交所得弦的中点坐标为，则这个椭圆的方程为 . 【答案】 【分析】设椭圆的方程为，联立方程组，得到，根据题意，列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】因为椭圆的一个焦点为，可得，则， 可设椭圆的方程为， 设直线与椭圆相交所得弦的端点为， 因为相交所得弦的中点坐标为，所以， 联立方程组，整理得， 易得，则，可得，解得， 所以椭圆的方程为. 故答案为：. 42．已知F是椭圆C：（）的左焦点，是椭圆C过F的弦，的垂直平分线交x轴于点P.若，且P为的中点，则椭圆C的离心率为 . 【答案】 【分析】如图，设椭圆的右焦点为，连接，过点作交于，则点为中点，设由题得（1）和，把代入（1）即得解. 【详解】 如图，设椭圆的右焦点为，连接，过点作交于，则点为中点. 设. 所以点是中点， 因为, 所以 由椭圆的定义得 在直角中，， 所以 （1） 在直角中， 所以. 把代入（1）得 故答案为：. 43．已知正方形的四个顶点均在椭圆上，的两个焦点分别是的中点，则的离心率是 . 【答案】 【分析】由题意，将代入椭圆方程，得，结合正方形性质可得，即可得齐次式，即可求得答案. 【详解】不妨设为椭圆的左、右焦点，由题意知轴，轴， 且经过椭圆焦点，， 则，将代入椭圆方程，得， 故，由，得， 结合，得，即， 解得（负值舍）， 故的离心率是， 故答案为： 44．已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，过的直线交E于A，B两点，是线段的中点，且，则E的方程为 ． 【答案】 【分析】根据中点关系可得平行，进而可得，根据向量的坐标运算即可求解. 【详解】由于是线段的中点，是线段的中点， 所以,故, 设椭圆焦距为，则，将代入椭圆方程可得， 故，因此, 是线段的中点，所以，故， ， 由得， 故，解得， 又，故，， 故椭圆方程为， 故答案为： 45．已知，分别为椭圆：的两个焦点，右顶点为，为的中点，且，直线与交于，两点，且的周长为28，则椭圆的短轴长为 . 【答案】 【分析】根据垂直平分线的性质，结合椭圆的焦点三角形，可得，利用的数量积为0，即可求解. 【详解】由，为的中点，所以是的垂直平分线，所以, 所以的周长为， ，所以， 由于，所以， 故答案为： 46．已知圆在椭圆的内部，为上的一个动点，过作的一条切线，交于另一点，切点为，若当为的中点时，直线的倾斜角恰好为，则该椭圆的离心率 . 【答案】 【分析】根据直线的倾斜角结合圆的方程确定切点的坐标为或，分别求解方程，代入椭圆后，利用为的中点确定关系，即可求得椭圆离心率. 【详解】如图， 圆的圆心为，半径 因为直线的倾斜角为，所以直线方程为，即 所以，解得或，所以切点的坐标为或 又直线与圆相切，所以，则 ①当，则直线为，即，设， 所以，恒成立 所以，因为为的中点，所以，即 所以椭圆的离心率； ②当，则直线为，即，设， 所以，恒成立 所以，因为为的中点，所以，即（舍）； 综上，椭圆的离心率. 故答案为：. 47．已知椭圆，平行于轴的直线与交于点，平行于轴的直线与交于点，直线与直线在第一象限交于点，且，，，，若过点的直线与交于点，且点为的中点，则的方程为 ． 【答案】 【分析】设，根据已知条件求出，根据点坐标，即可求出、，由此即可确定椭圆的方程，方法一：利用点差法求出直线斜率，即可求出的方程；方法二：点斜式设出直线方程，直曲联立得，利用韦达定理表示出，结合即可求出进而求出的方程. 【详解】设，由，，，， 得，， 所以，所以，，代入的方程得， 解得，故的方程为． 解法一  易知的斜率存在且不为0，设， 则，，两式相减得， 由点为的中点得，， 则的斜率为，所以的方程为，即． 解法二  易知的斜率存在且不为，设的方程为， 代入的方程并整理得，需满足， 设，因为点为的中点，所以， 解得，所以的方程为，即． 故答案为： 48．已知O为坐标原点，点F为椭圆的右焦点，点A，B在C上，AB的中点为F，，则C的离心率为 ． 【答案】 【分析】先结合图形求得，代入椭圆方程构造齐次式，然后可解. 【详解】由椭圆的对称性可知，垂直于x轴， 又，所以， 所以为等腰直角三角形，故， 所以，即， 所以，整理得， 解得或（舍去）， 故. 故答案为： 49．设О为坐标原点，A为椭圆C：上一个动点，过点A作椭圆C内部的圆E：的一条切线，切点为D，与椭圆C的另一个交点为B，D为AB的中点，若OD的斜率与DE的斜率之积为2，则C的离心率为 . 【答案】 【分析】设，，，根据点差法可得，由题意可知，则，进而可求得椭圆的离心率. 【详解】设，，，则，. 将A，B代入C，得两式相减，得， 所以，即. 由：可知，圆E与y轴相切，如图. 由题意可知，不妨设OD的斜率为，且. ,是等腰三角形，， ，所以. 由OD的斜率与DE的斜率之积为2，可得，解得（负值舍去）. 所以，所以，即. 所以，所以， 所以C的离心率为. 故答案为：. 50．已知椭圆的右焦点为是的中点，若椭圆上到点的距离最小的点有且仅有一个，则椭圆的离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意，结合椭圆的对称性得到右顶点到的距离最小，再利用两点距离公式与二次函数的性质得到，从而得解. 【详解】因为椭圆的右焦点， 而是的中点，则 因为椭圆C上到点的距离最小的点有且仅有一个， 又无论该点是在轴上方还是下方，由于椭圆的对称性都会有2个最小点， 而左右顶点中，右顶点更靠近点， 所以右顶点到的距离最小， 设是椭圆上的点，， ， 对于，其开口向上，对称轴为，定义域为， 要使在处取得最小值， 则在上单调递减， 所以，即，则， 又，所以. 故答案为：. 考点06：椭圆中过原点的向量积问题 椭圆与直线相交于两点，O为坐标原点，求 解：设 将代入得： 将（1）（2）代入（3）得： 注意：椭圆与直线相交于两点，为坐标原点，且，或（以AB线段为直径的圆过坐标原点O），设原点到直线的距离为，则。 由于 故： 51．已知椭圆的焦点分别是，，点在椭圆上，且 (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线 与椭圆交于，两点，且，求实数的值和的面积. 【答案】(1)(2)或； 【分析】（1）根据所给条件求出，，，即可得到椭圆方程；（2）联立直线方程，根据根与系数的关系及，列出方程求出值，由点到直线的距离公式以及弦长公式，计算得到三角形的面积. 【详解】（1）设椭圆的标准方程为，由题意可知 ，解得，所以椭圆的标准方程为 （2）设，， 联立，消去，可得， ，则或， 由韦达定理可得：，， 所以， 因为，，即， 所以，解得：或， 经检验满足，所以的值为或， 当时，直线方程为，原点到直线的距离， 因为， 所以 所以 当，由对称性可得， 所以的面积为 52．已知椭圆为其左焦点，在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程. (2)若A，B是椭圆C上不同的两点，O为坐标原点，若，是否存在某定圆始终与直线相切？若存在，求出该定圆的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)(2)存在定圆始终与直线相切. 【分析】（1）待定系数法求解椭圆方程；（2）先考虑直线斜率不存时，直线AB的方程，再考虑斜率存在时，设出直线AB的方程，利用得到的关系式，再利用点到直线距离公式得到原点到直线AB的距离为定值，验证斜率不存在时是否符合，最后求出答案. 【详解】（1）由题意得：，故， 又在椭圆上，故 联立得：，故， 椭圆方程为 （2）当直线AB斜率不存在时，因为， 不妨设直线OA，OB的斜率分别为1，-1， 联立y=x与，解得：， 求得：直线AB为 当直线AB斜率存在时，设直线AB： 联立得：， 设， 则， 因为， 所以 所以， 由原点到直线AB的距离， 存在定圆始终与直线相切， 显然当直线斜率不存在时，满足要求， 综上：存在定圆始终与直线相切 53．已知O为坐标原点，椭圆的离心率为，且经过点． (1)求椭圆C的方程； (2)直线l与椭圆C交于A，B两点，直线的斜率为，直线的斜率为，且，求的取值范围． 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）由椭圆的离心率及点在椭圆上，列方程组求椭圆参数，即可得椭圆C的方程； （2）讨论直线斜率的存在性，设及l为，联立椭圆方程，应用判别式求t、k的关系，结合韦达定理及已知条件求t的范围，再应用向量数量积的坐标表示得到关于t的关系式，进而其范围，注意直线斜率不存在时的值. 【详解】（1）由题意，，又，解得． 所以椭圆C为. （2）设， 若直线l的斜率存在，设l为，联立， 消去y得：，， 则，又， 故且，即，则，又， 所以， 整理得，则且恒成立． ， 又，且，故. 当直线l的斜率不存在时，，又，又，解得，则． 综上，的取值范围为． 54．已知P为椭圆短轴上的一个顶点，，为的左、右焦点，且的面积为，椭圆的焦距为2． (1)求椭圆的方程； (2)设直线l为圆的切线，且l与相交于A，B两点，求的取值范围（O为坐标原点）． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）因为椭圆的焦距为2，则可得出c的值，再由三角形面积公式可求得b的值，进而求得的值，进而求得椭圆的标准方程；（2）由于直线l为圆的切线，注意讨论直线l的斜率存在情况，先确定一般情况下的取值范围，再确定特殊情况下的值，最后整合两种情况下的范围，即取两者的并集，最终得到的取值范围． 【详解】（1）依题意，， 所以． 在中，， 解得，所以， 所以椭圆的方程为； （2）设，， 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，联立 整理得， 则，则， 则 ． 又直线l为圆的切线， 则，即， 则 ． 又，于是； 当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为，则，， ． 综上， 55．已知椭圆的短轴长为2，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于，两点，若（为坐标原点），求实数的值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据条件可得，解出即可. （2）设，，联立直线与椭圆的方程消元，然后韦达定理可得、，然后由可算出答案. 【详解】（1）设焦距为，由已知得 解得，， 故椭圆的方程为． （2）设，， 联立得． ，，， ， 因为，所以， 所以， 即， 解得， 即实数的值为． 56．已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为M，，且原点O到直线的距离为. （1）求椭圆C的方程： （2）已知斜率为的直线l交椭圆C于A、B两点，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】(1)由椭圆对称性求出直线MF1的斜率，写出其方程，利用点到直线距离求出b即可得解； (2)设出直线l的纵截距m，写出直线l的方程，联立直线l与椭圆C的方程组，借助韦达定理求出两交点的横、纵坐标积即可作答. 【详解】（1）由题设条件及椭圆对称性知，，而，则，如图： 直线：，即，由点到直线距离公式得，则b=1， 点，即椭圆半焦距，于是有， 所以曲线C的方程为； （2）设直线l的纵截距为m，则l的方程为， 由消去y化简整理得， 因为直线l交椭圆于A，B两点，从而有，解得， 设，则有，， ， 则， 所以的取值范围. 57．已知双曲线C： ＝1(a，b>0)的左、右焦点分别为F1(-c，0)，F2(c，0)，其中c>0， M(c，3)在C上，且C的离心率为2. （1）求C的标准方程； （2）若O为坐标原点，∠F1MF2的角平分线l与曲线D： ＝1的交点为P，Q，试判断OP与OQ是否垂直，并说明理由. 【答案】（1）；（2）OP与OQ不垂直，答案见解析． 【分析】（1）利用点在曲线上和离心率，解出，进而得出双曲线方程； （2）利用角平分线定理求出点坐标，联立直线与曲线D的方程，由根与系数的关系，结合平面向量的数量积得出结论． 【详解】（1）由题意得，即，解得，又，可得，故双曲线C的标准方程为； （2）设角平分线与轴交于点，根据角平分线性质可得， ，， 设，联立方程，可得 ， 即OP与OQ不垂直． 58．设定圆，动圆过点且与圆相切，记动圆圆心的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）直线与曲线有两个交点，，若，证明：原点到直线的距离为定值． 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】（1）由可得点的轨迹方程； （2）讨论斜率存在和不存在，直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理表示再与点到直线的距离联立可得答案. 【详解】（1）∵点在圆内， ∴圆内切于圆， ∴， 所以点轨迹是以，为焦点的椭圆，且，，从而， ∴点的轨迹的方程为. （2）设，， 若直线斜率存在，设， 联立， 整理得：， ，，① ∵， ∴，① 化简得， 即， 故原点到直线的距离为， 若直线斜率不存在，设， 联立， 解得，，代入①化简得， 即原点到直线的距离为， 综上所述，原点到直线的距离为定值. 59．定义：已知椭圆，把圆称为该椭圆的协同圆.设椭圆的协同圆为圆(为坐标系原点)，试解决下列问题： （1）写出协同圆圆的方程； （2）设直线是圆的任意一条切线，且交椭圆于两点，求的值； （3）设是椭圆上的两个动点，且，过点作，交直线于点，求证：点总在某个定圆上，并写出该定圆的方程. 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析，定圆的方程为. 【分析】（1）由协同圆的定义，结合椭圆方程的参数写出协同圆圆的方程； （2）讨论直线的斜率存在和不存在两种情况：斜率不存在时，直接求出交点坐标，利用向量数量积的坐标表示求；斜率存在时，设联立椭圆方程，由切线的性质确定判别式符号，应用根与系数关系、向量数量积的坐标表示求； （3）设，则，讨论有一条直线的斜率不存在和两条直线的斜率都存在，分别求，，，由等面积法求，即可证结论，并写出定圆方程. 【详解】（1）由椭圆，知. 根据协同圆的定义，可得该椭圆的协同圆为圆. （2）设，则. 直线为圆的切线，分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论： ①当直线的斜率不存在时，直线. 若，由，解得，此时. 若，同理得：. ②当直线的斜率存在时，设. 由，得，有，又直线是圆的切线，故，可得. ∴，则，而. ∴，即. 综上，恒有. （3）是椭圆上的两个动点且，设，则. 直线：有一条直线的斜率不存在和两条直线的斜率都存在两种情况讨论. 若直线的斜率不存在，即点在轴上，则点在轴上，有. ∴，，且， 由，解得. 若直线的斜率都存在，设，则. 由，得，有；同理，得. 于是，. 由，可得. 因此，总有，即点在圆心为坐标原点，半径为的圆上. ∴该定圆的方程为圆. 60．已知､分别为椭圆左右焦点，为椭圆上一点，满足轴，，且椭圆上的点到左焦点的距离的最大值为. （1）求椭圆的方程； （2）若过点的直线交椭圆于，两点，(其中为坐标原点)，与直线平行且与椭圆相切的两条直线分别为､，若与两直线间的距离为，求直线的方程. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由条件可得、，解出即可； （2）设直线，，，联立直线与椭圆的方程消元，韦达定理可得、，然后由可求出，直线､的方程分别为､，与椭圆的方程联立消元，然后利用可得，然后利用与两直线间的距离可求出. 【详解】（1）由题意可得，即， 而由椭圆上的点到左焦点的距离的最大值为 可得，即， ， 解得，， 椭圆的方程. （2）由点可设直线，且，， 联立直线和椭圆方程组，得， 整理得：， 则， 又 于是有， 解得， 所以点. 设直线､的方程分别为､，与椭圆联立 可得， 于是， 解得， 而直线､间的距离为， 解得， 故直线的方程为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$