精品解析：山东省青岛市市南区2022-2023学年九年级上学期开学考试数学试题

2022－2023学年度第一学期期末学业水平质量检测 九年级数学 （考试时间：120分钟；满分：120分） 真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！ 本试题共有24道题．其中1－8题为选择题，共24分；9－14题为填空题，共18分；15题为作图题，共4分；16－24题为解答题，共74分．要求所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分） 1. 如图所示的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 如图为最受欢迎的智力游戏之一—三阶魔方，将六个面分别涂有不同颜色的魔方平均分割成27个大小相同的小立方块，从中任取一个小立方块，恰好有两面涂色的概率为（　　） A. B. C. D. 3. 二次函数在平面直角坐标系中的图象如图所示，则图象与x轴的另一个交点的横坐标为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 4 4. 国家统计局发布报告显示，2019年我国单位能耗约为0.571吨标准煤/万元，而2021年我国单位能耗约为0.555吨标准煤/万元．设平均每年单位能耗降低率为x，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 5. 随着光伏发电项目投资成本下降，越来越多的“光伏+”项目正在逐步走进我们的生活．光伏发电不仅能为城市提供清洁能源，还能减少城市污染和能源消耗．如图，长、宽的太阳能电池板与水平面成夹角，经过太阳光的正投影，它在水平面所形成的阴影的面积为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，的顶点分别在单位长度为1的正方形网格的格点上，则的值为（　　） A. B. C. D. 7 如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点，已知与位似，位似中心是原点O，且的面积是面积的4倍，则点A对应点的坐标为（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中大致为（ ） A. B. C. D. 二、（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 9. 方程根是___________． 10 已知，则的值为__________________． 11. 为预防“新冠病毒”，学校对教室喷洒消毒液（含氯消毒剂）进行消杀，资料表明空气中氯含量不低于，才能有效杀灭新冠病毒．如图，喷洒消毒液时教室空气中的氯含量与时间成正比例，消毒液挥发时，与成反比例，则此次消杀的有效作用时间是______min． 12. 将抛物线向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线的解析式为______． 13. 如果关于x的一元二次方程有实数根，那么a的取值范围是______． 14. 如图，在长80米、宽60米的矩形草地上修建两条互相垂直的小路，即，，，且米，米，则小路的面积为________米2． 三、作图题（本题满分4分） 15 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．如图是一块木板下脚料，小明想用这块木板做一个菱形学具；请你帮他在木板上画出以为一个内角且面积最大的菱形． 四、解答题（本题满分74分，共有9道小题） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 中国共产党的助手和后备军—中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务．某校举办了党史宣讲活动庆祝共青团成立一百周年，九年级一班将从报名的5名学生（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名担任党史宣讲员．请利用树状图或列表法求抽取的2名学生中恰有一名男生和一名女生的概率． 18. 某学校为了抓好常态化疫情防控，购进了一批测温仪，如图，测温仪的长，测温距离是，，当测温仪与竖直方向的夹角时，测温仪能够测量的最大高度与最小高度的差值是多少？（参考数据：，，） 19. 将一块长方体蛋糕平均分成3份，若按照如图1方式进行分割，每份的蛋糕胚一样多，但奶油不一样多(①和③奶油多，②奶油少)，那么如何分割，才能使得3份的蛋糕胚和奶油一样多呢？如图2，首先我们可以将蛋糕抽象成矩形，用加粗线条表示有奶油的边，然后将矩形沿其对角线分割并拼成如图3的平行四边形，分别取边、的三等分点、和、，如图4，按、分割成3份(Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ)，此种分法能够保证每份的蛋糕坯一样多，奶油是否一样多，我们只需判断每份中加粗线条的长度和是否相等，请你给出判断并加以证明． 20. 2022年，中国航天迈着大步向浩瀚宇宙不断探索．这一年，神舟十四号载人飞船成功发射．某航模专卖店向航天爱好者推出了“神舟十四号”飞船模型．每个模型的进价是80元，原计划按每个120元销售，每月能售出30个，经调查发现，这种模型每个降价1元，则每月销售量将增加2个．（降价为整元） （1）直接写出每月销售量y（个）与每个降价x（元）的函数关系式； （2）设专卖店销售这种模型每月可获利w元，当每个降价多少元时，每月获得的利润最大？最大利润是多少？ 21. 如图，平行四边形的对角线、交于点O，E为中点，过点O作交的延长线于H，连接与． （1）求证：； （2）当四边形是怎样的特殊四边形时，四边形为菱形？请说明理由． 22. 如图1，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于和，以为对角线作矩形，点C恰好在反比例函数的图象上． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）如图2，作线段的垂直平分线，交反比例函数图象于点E，连接、，求的面积； （3）如图3，若点D是x轴上一点，则周长的最小值为　 ． 23. 数学上的对称通常是指轴对称、中心对称，以及对称的思想方法．某数学兴趣小组进行折纸活动，来感受图形中的对称思想．如图1，将正方形纸片对折后展开，得到折痕；如图2，将纸片再次折叠，使点落在折痕上，记作点；如图3，连接，得到． （1）请判断：是　 　三角形； 【问题提出】 兴趣小组成员想要进一步找到正方形中最大的等边三角形． 【问题探究】 如图4，小颖认为正方形中最大等边三角形的顶点一定落在正方形的边上，她将图4的沿进行平移，使点与点重合（如图5），再将绕点旋转，使与对角线垂直，延长分别交于点和（如图6），连接，便可得到如图7的最大等边三角形．设正方形的边长为． （2）小丽利用对称的思想，即关于直线对称，从而求得，则　 　．（，，） （3）若不知道角三角函数值，请你换一种方法求的长． 【问题解决】 （4）如图8，已知正六边形中最大的等边三角形边长为，则该正六边形的边长为　 　． 【拓广应用】 （5）纸的长为，宽为，现要在纸中剪一个最大等边三角形．请你在图9中画出示意图（不需尺规作图），并求该最大等边三角形的边长． 24. 如图，已知抛物线交轴于点，（点在点的右侧），交轴于点，其顶点为，连接． （1）求点，，的坐标； （2）求点坐标； （3）若点为抛物线上一点，且，求点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022－2023学年度第一学期期末学业水平质量检测 九年级数学 （考试时间：120分钟；满分：120分） 真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！ 本试题共有24道题．其中1－8题为选择题，共24分；9－14题为填空题，共18分；15题为作图题，共4分；16－24题为解答题，共74分．要求所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分） 1. 如图所示的几何体，它的左视图是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图．用到的知识点为：主视图指从物体的正面看，左视图是指从物体的左面看，俯视图是指从物体的上面看．根据从左面看到的图形是左视图可得答案． 【详解】解：该几何体的左视图为一个长方形，长方形的中间有2条横向的虚线． 故选：D． 2. 如图为最受欢迎的智力游戏之一—三阶魔方，将六个面分别涂有不同颜色的魔方平均分割成27个大小相同的小立方块，从中任取一个小立方块，恰好有两面涂色的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算出两面涂色的小立方块共有12块，再根据概率公式即可求解． 【详解】解：第一层两面涂色的小立方块有4个，第二层两面涂色的小立方块有4个，第三层两面涂色的小立方块有4个，所以两面涂色的小立方块共有12块， 所以从中任取一个小立方块，恰好有两面涂色的概率． 故选：B 【点睛】本题考查了概率公式，熟知概率公式，确定出两面涂色的小立方块的数量是解题关键． 3. 二次函数在平面直角坐标系中的图象如图所示，则图象与x轴的另一个交点的横坐标为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由图象可知二次函数的对称轴为，根据对称性可求得答案． 【详解】解：由图象可知二次函数的对称轴为， 又∵图象与x轴的交点关于对称轴对称，其中一个交点为 故另一个交点为， 故另一交点的横坐标为4， 故选：D． 【点睛】本题是对二次函数的考查，熟练掌握二次函数的图象和对称轴是解决本题的关键． 4. 国家统计局发布报告显示，2019年我国单位能耗约为0.571吨标准煤/万元，而2021年我国单位能耗约为0.555吨标准煤/万元．设平均每年单位能耗降低率为x，则可列方程为（　　） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用增长率的问题可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5. 随着光伏发电项目投资成本下降，越来越多的“光伏+”项目正在逐步走进我们的生活．光伏发电不仅能为城市提供清洁能源，还能减少城市污染和能源消耗．如图，长、宽的太阳能电池板与水平面成夹角，经过太阳光的正投影，它在水平面所形成的阴影的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦函数得出，然后计算面积即可． 【详解】解：在中， ∵，， ∴， ∵， ∴它在水平面所形成的阴影的面积， 故选：C． 【点睛】题目主要考查解三角形的应用，理解题意是解题关键． 6. 如图，的顶点分别在单位长度为1的正方形网格的格点上，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过B作于点D，根据勾股定理得出的值，再利用面积公式求出的值，由可得角的正弦值． 【详解】解：如图，过B作于点D 根据勾股定理得： ∴ ∴ ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了正弦值，勾股定理与网格,三角形的面积等知识点，解题的关键在于构造直角三角形． 7. 如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点，已知与位似，位似中心是原点O，且的面积是面积的4倍，则点A对应点的坐标为（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据位似变换的性质计算即可． 【详解】解：∵等边三角形的顶点， ∴， 过A作轴于C， ∵是等边三角形， ∴ ∴ ∵与位似，位似中心是原点O，且的面积是面积的4倍， ∴与位似为2比1， ∴点A的对应点的坐标是或，即或， 故选：B． 【点睛】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 8. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过二次函数图象分析可得，，，，再利用一次函数和反比例函数的性质对图象逐一进行判断即可得到答案． 【详解】解：由二次函数图象可知，图象开口向下，对称轴在轴左侧，与轴交点在正半轴， ，，， 当时，， 一次函数的图象经过第一、二、四象限，反比例函数的图象位于一、三象限， 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，反比例函数的图像和性质，一次函数的图像和性质，熟练掌握相关函数的性质是解题关键． 二、（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 9. 方程的根是___________． 【答案】0，2 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，根据因式分解法解一元二次方程即可解题． 【详解】解： 解得，， 故答案为：0，2． 10. 已知，则的值为__________________． 【答案】## 【解析】 【分析】先求出，再根据比例的性质即可得． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键． 11. 为预防“新冠病毒”，学校对教室喷洒消毒液（含氯消毒剂）进行消杀，资料表明空气中氯含量不低于，才能有效杀灭新冠病毒．如图，喷洒消毒液时教室空气中的氯含量与时间成正比例，消毒液挥发时，与成反比例，则此次消杀的有效作用时间是______min． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求得正比例函数解析式与反比例函数解析式，进而得出有效作用时间，即可求解． 【详解】解：依题意，时，喷洒消毒液时教室空气中的氯含量与时间成正比例， 设函数解析式为， 将点代入得，，解得：， ∴解析式为，当时，， 当时，与成反比例，设解析式为， 将点代入得，， 解得， ∴解析式为，当时， ∴此次消杀的有效作用时间是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数的应用，根据题意求得解析式是解题的关键． 12. 将抛物线向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位长度所得直线解析式为； 再向下平移1个单位为：． 故答案． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键． 13. 如果关于x的一元二次方程有实数根，那么a的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程定义和根的判别式，根据一元二次方程根的判别式可进行求解． 【详解】解：∵关于x一元二次方程没有实数根， ∴，而且 解得：且； 故答案为：且． 14. 如图，在长80米、宽60米的矩形草地上修建两条互相垂直的小路，即，，，且米，米，则小路的面积为________米2． 【答案】146 【解析】 【分析】由，易得，即可求得的长度，根据平行四边形面积公式即可小路的面积；注意要减去中间小正方形的面积. 【详解】解：如图，过点E作，过点M作，过点F作，垂足分别为， 由题意知：米，米，米. ∵， ， ， ，即， ， 同理可得. 小路的面积为：. 故答案为：146. 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解直角三角形，注意辅助线的应用. 三、作图题（本题满分4分） 15. 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．如图是一块木板下脚料，小明想用这块木板做一个菱形学具；请你帮他在木板上画出以为一个内角且面积最大的菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据对角线互相垂直平分且一条对角线平分一个内角的四边形是菱形． 【详解】解：如图： 菱形即为所求． 【点睛】本题考查了作图的应用和设计，掌握菱形的应用和设计是解题的关键． 四、解答题（本题满分74分，共有9道小题） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】（1）先把三角函数代入，再计算求值； （2）利用公式法求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵，，， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查一元二次方程和特殊角的三角函数，掌握数学的基本运算是解题的关键． 17. 中国共产党的助手和后备军—中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务．某校举办了党史宣讲活动庆祝共青团成立一百周年，九年级一班将从报名的5名学生（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名担任党史宣讲员．请利用树状图或列表法求抽取的2名学生中恰有一名男生和一名女生的概率． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图，共有20种等可能的结果，其中抽取的2名学生中恰有一名男生和一名女生的结果有12种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有20种等可能的结果，其中抽取的2名学生中恰有一名男生和一名女生的结果有12种， ∴抽取的2名学生中恰有一名男生和一名女生的概率为． 【点睛】此题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 18. 某学校为了抓好常态化疫情防控，购进了一批测温仪，如图，测温仪的长，测温距离是，，当测温仪与竖直方向的夹角时，测温仪能够测量的最大高度与最小高度的差值是多少？（参考数据：，，） 【答案】温仪能够测量的最大高度与最小高度的差值是 【解析】 【分析】根据题中条件先求出，同理再求出，即可得到答案． 【详解】解：∵测温仪与竖直方向的夹角， ∴， ∵， ∵，， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． ∴温仪能够测量的最大高度与最小高度的差值是． 【点睛】本题考查了解直角三角形，灵活运用题目条件是解题关键． 19. 将一块长方体蛋糕平均分成3份，若按照如图1方式进行分割，每份的蛋糕胚一样多，但奶油不一样多(①和③奶油多，②奶油少)，那么如何分割，才能使得3份的蛋糕胚和奶油一样多呢？如图2，首先我们可以将蛋糕抽象成矩形，用加粗线条表示有奶油的边，然后将矩形沿其对角线分割并拼成如图3的平行四边形，分别取边、的三等分点、和、，如图4，按、分割成3份(Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ)，此种分法能够保证每份的蛋糕坯一样多，奶油是否一样多，我们只需判断每份中加粗线条的长度和是否相等，请你给出判断并加以证明． 【答案】此种分法能够保证奶油一样多，理由见解析 【解析】 【分析】设与交于点，与交于点，过点作交于点，根据题意可得，，则Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ区域均为平行四边形，易通过证明，，得到，以此即可证明． 【详解】解：此种分法能够保证奶油一样多． 证明：设与交于点，与交于点，过点作交于点，如图， 四边形为平行四边形，、为边的三等分点，、为边三等分点， ∴，， 四边形、、均为平行四边形， ∵， ， 四边形为平行四边形，， ， 在和， ， ， ， 同理可证明， 则， ， ， 即此种分法能够保证奶油一样多． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，理清题意，正确作出辅助线，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 20. 2022年，中国航天迈着大步向浩瀚宇宙不断探索．这一年，神舟十四号载人飞船成功发射．某航模专卖店向航天爱好者推出了“神舟十四号”飞船模型．每个模型的进价是80元，原计划按每个120元销售，每月能售出30个，经调查发现，这种模型每个降价1元，则每月销售量将增加2个．（降价为整元） （1）直接写出每月销售量y（个）与每个降价x（元）的函数关系式； （2）设专卖店销售这种模型每月可获利w元，当每个降价多少元时，每月获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）y＝30+2x （2）每个降价12或13元时，每月获得的利润最大，最大利润是1512元 【解析】 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）利用配方法求出二次函数最值即可得出答案． 【小问1详解】 根据题意得：； 【小问2详解】 设每个降价元， 根据题意得，， 当每个降价12或13元时，每月获得的利润最大，最大利润是1512元． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系． 21. 如图，平行四边形的对角线、交于点O，E为中点，过点O作交的延长线于H，连接与． （1）求证：； （2）当四边形是怎样的特殊四边形时，四边形为菱形？请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）矩形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由证明即可； （2）先证四边形是平行四边形，得，，再证四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：当四边形是矩形时，四边形为菱形，理由如下： 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形． 【点睛】本题考查了菱形的判定、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 22. 如图1，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于和，以为对角线作矩形，点C恰好在反比例函数的图象上． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）如图2，作线段的垂直平分线，交反比例函数图象于点E，连接、，求的面积； （3）如图3，若点D是x轴上一点，则周长的最小值为　 ． 【答案】（1）一次函数，反比例函数表达式 （2） （3）+1 【解析】 【分析】（1）将和代入可得k和b的值，从而得出点C的坐标，即可解决问题； （2）利用割补法求出的面积即可； （3）作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于，此时的周长最小，根据勾股定理求出的长，从而得出答案． 【小问1详解】 解：将和代入得， ， 解得， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴一次函数，反比例函数表达式； 【小问2详解】 解：由题意知， ∴； 【小问3详解】 ：由题意知， ∴； （3）作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于，此时的周长最小， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴周长的最小值为+， 故答案为：． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式、矩形的性质、轴对称−最短路线问题，熟练掌握轴对称−最短路线问题是解题的关键． 23. 数学上的对称通常是指轴对称、中心对称，以及对称的思想方法．某数学兴趣小组进行折纸活动，来感受图形中的对称思想．如图1，将正方形纸片对折后展开，得到折痕；如图2，将纸片再次折叠，使点落在折痕上，记作点；如图3，连接，得到． （1）请判断：是　 　三角形； 【问题提出】 兴趣小组成员想要进一步找到正方形中最大的等边三角形． 【问题探究】 如图4，小颖认为正方形中最大等边三角形的顶点一定落在正方形的边上，她将图4的沿进行平移，使点与点重合（如图5），再将绕点旋转，使与对角线垂直，延长分别交于点和（如图6），连接，便可得到如图7的最大等边三角形．设正方形的边长为． （2）小丽利用对称的思想，即关于直线对称，从而求得，则　 　．（，，） （3）若不知道角的三角函数值，请你换一种方法求的长． 【问题解决】 （4）如图8，已知正六边形中最大的等边三角形边长为，则该正六边形的边长为　 　． 【拓广应用】 （5）纸的长为，宽为，现要在纸中剪一个最大等边三角形．请你在图9中画出示意图（不需尺规作图），并求该最大等边三角形的边长． 【答案】（1）等边； （2）； （3）； （4）； （5）最大等边三角形的边长是． 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可知：进而得到，再利用等边三角形的判定即可解答； （2）根据余弦的定义得到，进而解得的值； （3）根据等腰直角三角形的性质及勾股定理即可解答； （4）画出图形，由锐角三角函数列出算式即可得到正六边形的边长； （5）画出图形，由锐角三角函数列出算式即可得到最大等边三角形的边长； 【小问1详解】 解：如图： 由折叠可知， ∴， ∴， 又， ∴是等边三角形， 故答案为：等边； 【小问2详解】 解：如图： 在中，， ∴即， 解得 故答案为： 【小问3详解】 解：如图： ∵关于直线对称， ∴，是等腰直角三角形， 设，则， 在中， ∴， 解得或（小于，舍去）， ∴ 【小问4详解】 解：如图： 是正六边形中最大边长的等边三角形，过作于， ∵， ∴由对称性可得， ∵， ∴， 在中， ， ∴即， 解得， ∴正六边形的边长为， 故答案为： 【小问5详解】 解：如图： 即为最大等边三角形，过作， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴即， 解得 ∴最大等边三角形的边长是． 【点睛】本题考查了四边形的综合应用，翻转变换，锐角三角函数，勾股定理，等边三角形，掌握翻折的性质并灵活应用是解题的关键． 24. 如图，已知抛物线交轴于点，（点在点的右侧），交轴于点，其顶点为，连接． （1）求点，，的坐标； （2）求点坐标； （3）若点为抛物线上一点，且，求点坐标． 【答案】（1），， （2）顶点的坐标为 （3）点的坐标为 【解析】 【分析】（1）根据坐标轴上的点的坐标的特征，分别令和即可求出点，，的坐标； （2）将抛物线的一般式化为顶点式，即可得到顶点的坐标； （3）过点作轴于，过点作轴于，设，可得，，再证明，可得，即，变形得，即，解得的值，即可写出点的坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线， 令，则， ∴， 令，则， 解得，或， ∴，． 【小问2详解】 解：∵抛物线， ∴顶点的坐标为． 【小问3详解】 解：过点作轴于，过点作轴于， 设， ∵，， ∴，，，， ∵轴，轴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得或（舍去）， ∴， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查了求坐标轴上的点的坐标、利用二次函数的顶点式求顶点坐标和二次函数的图象与相似三角形判定和性质的综合，熟练掌握坐标轴上的点的坐标的特征和二次函数的顶点式，理解题意并作出辅助线是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$