精品解析：河北省承德市重点高中联校2023-2024学年高一下学期第三次月考数学试题

高一数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第五章，必修第二册第六章､第七章. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. 14 B. 5 C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，满足，，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 7. 若．则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上恰有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数．则下列命题是真命题的是（ ） A. B. C. D. 若是关于的方程的根．则 10. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则A的大小可能为（ ） A. B. C. D. 11. 在中，角的对边分别为，点是的内心.若，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 若（）在复平面内所对应的点在第一象限，则整数______． 13. 已知某扇形的周长为10，圆心角为2，则该扇形的半径为__________，该扇形的面积为__________. 14. 莫利定理，也称为莫雷角三分线定理，是由英国数学家法兰克·莫利于1899年左右发现的一个几何定理.该定理的内容如下：将任意三角形的三个内角三等分，则靠近某边的两条三分角线相交得到一个交点，这样的三个交点可以构成一个等边三角形.这个三角形常被称作莫利正三角形.如图，在等腰直角中，是的莫利正三角形，则的边长为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，满足，，且与的夹角为． （1）求及的值； （2）若，求的值． 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，． （1）求a，c； （2）若，求AD的长． 17. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）求在上的值域； （3）求不等式的解集． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，，，，AD与BC交于点M． （1）设，试用，表示，； （2）E为线段BD上的一个动点，若的面积等于四边形ABDC面积的一半，求此时的坐标． 19. 折纸是一项玩法多样的活动．通过折叠纸张，可以创造出各种各样的形状和模型，如动物、花卉、船只等．折纸不仅是一种艺术形式，还蕴含了丰富的数学知识．在纸片中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为，． （1）证明：． （2）若，求的值． （3）在（2）的条件下，若，D是AB的中点，现需要对纸片做一次折叠，使C点与D点重合，求折叠后纸片重叠部分的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第五章，必修第二册第六章､第七章. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. 14 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数代数形式的加减法化简，再判断其虚部即可. 【详解】因为， 所以， 所以的虚部为. 故选：B 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的加法减法运算即可求解. 【详解】原式． 故选：A. 3. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数图象变换规律求解判断即可. 【详解】因为将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象， 所以. 故选：B 4. 下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由平面向量基底的条件：不共线的非零向量，然后结合向量平行的坐标表示检验各选项. 【详解】因为零向量不能作为基底，所以A错误． 因为，所以与共线，B错误． 因为，所以与不共线，可以作为表示它们所在平面内所有向量的基底，C正确． 因为，所以与共线，D错误． 故选：C 5. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求角，再利用余弦定理可得答案. 【详解】根据题意可得， 则，． 故选：B 6. 已知向量，满足，，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的投影向量求出，再利用夹角公式计算即得. 【详解】由在上的投影向量为，得，即，则， 由，得，因此，而， 所以． 故选：B 7. 若．则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由辅助角公式和两角和与差的正弦公式化简已知式可得，则，即可求出答案. 【详解】因为 ， 所以， ，即， 所以，可得． 故选：D. 8. 已知函数在上恰有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合余弦型函数的图象与性质计算即可得. 【详解】由，得， 则根据题余弦函数性质可得，解得. 故选：C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数．则下列命题是真命题的是（ ） A. B. C. D. 若是关于的方程的根．则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用共轭复数的定义结合复数的乘法可判断A选项；利用复数的除法可判断B选项；利用复数的模长公式可判断C选项；利用韦达定理可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A对； 对于B选项，因为，故，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，由题意可知，关于的方程的两虚根分别为、， 由韦达定理可得，可得，故，D对. 故选：ACD. 10. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则A的大小可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用余弦定理和倍角公式得出或，结合角的范围及函数值可得答案. 【详解】依题可得，即，则或， 因为，所以或或． 故选：ACD 11. 在中，角的对边分别为，点是的内心.若，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】先由平面向量的数量积得，再结合余弦定理即可求出，于是由，结合半角公式和诱导公式即可推出的取值范围，即可得解. 【详解】因为， 所以， 则由余弦定理得， 整理得， 所以由余弦定理，当且仅当时，等号成立， 又为三角形的内角， 所以，， 又且，所以， 因为点是的内心，故，分别为，的角平分线， 所以， 则， 因为，所以，即，故符合题意的有ABC. 故选：ABC 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 若（）在复平面内所对应的点在第一象限，则整数______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据对应的点所在象限列出限制条件得出答案. 【详解】由题意可得解得．因为，所以． 故答案为: 1 13. 已知某扇形的周长为10，圆心角为2，则该扇形的半径为__________，该扇形的面积为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设该扇形的半径为，然后根据题意结合弧长公式可求出扇形的半径，从而可求出扇形的面积. 【详解】设该扇形的半径为，则，解得， 得该扇形的面积为. 故答案为：， 14. 莫利定理，也称为莫雷角三分线定理，是由英国数学家法兰克·莫利于1899年左右发现的一个几何定理.该定理的内容如下：将任意三角形的三个内角三等分，则靠近某边的两条三分角线相交得到一个交点，这样的三个交点可以构成一个等边三角形.这个三角形常被称作莫利正三角形.如图，在等腰直角中，是的莫利正三角形，则的边长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出、，在中利用正弦定理求出，同理可得，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】在等腰直角中，， 所以， 在中，，，， 由正弦定理得， 同理可得，，， 所以， 即等边的边长为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，满足，，且与的夹角为． （1）求及的值； （2）若，求的值． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】（1）由数量积的定义和模长的计算求出结果即可； （2）由向量垂直时数量积为零和数量积的运算律求出结果即可. 【小问1详解】 因为，，与的夹角为， 所以， 则 ． 【小问2详解】 由，得， 即， 得， 解得． 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，． （1）求a，c； （2）若，求AD的长． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】（1）由同角的三角函数关系，正弦定理，余弦定理解出即可； （2）方法一直接用余弦定理解出即可；方法二先由向量的线性运算得到，然后利用模长的计算结合数量积的定义式求出AD的长. 【小问1详解】 在中，， 则． 由正弦定理得，解得． 由，解得或（舍去）． 【小问2详解】 方法一． 因为，所以． 由余弦定理可得， 故，即AD的长为． 方法二． 因为， 所以， 所以 ， 故，即AD的长为． 17. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）求在上的值域； （3）求不等式的解集． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先由图像振幅得到A值，再由距离为，求出，再代入，取到最小值即可得. （2）根据，得出范围，借助正弦图像即可得值域. （3）代入，用二倍角公式化简不等式，借助余弦函数图像即可. 【小问1详解】 由图可得． 因为，所以． 当时，取得最小值，所以，， 得，． 因为，所以，所以． 【小问2详解】 由，得，所以， 所以，即在上的值域为． 【小问3详解】 即， 得，则， 解得， 故的解集为． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，，，，AD与BC交于点M． （1）设，试用，表示，； （2）E为线段BD上的一个动点，若的面积等于四边形ABDC面积的一半，求此时的坐标． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的基底运算及三点共线可求答案； （2）先求四边形的面积得出三角形的面积，得出，进而得到坐标. 【小问1详解】 由题意可得，， 因为，，所以， 因为，， 所以，，， 所以． ． 设，，其中，． 因为，所以， 所以解得 故． 【小问2详解】 因为四边形ABDC的面积为， 所以的面积为3． 设，则，解得， 则． 19. 折纸是一项玩法多样的活动．通过折叠纸张，可以创造出各种各样的形状和模型，如动物、花卉、船只等．折纸不仅是一种艺术形式，还蕴含了丰富的数学知识．在纸片中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为，． （1）证明：． （2）若，求的值． （3）在（2）的条件下，若，D是AB的中点，现需要对纸片做一次折叠，使C点与D点重合，求折叠后纸片重叠部分的面积． 【答案】（1） 由正弦定理可得，则． （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和三角形面积公式可证结论； （2）代入，利用和差角公式可得答案； （3）先由余弦定理求出，再利用余弦定理求出，结合三角形面积公式可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 将代入， 得， 即， 所以，即． 【小问3详解】 由余弦定理得，即，解得， 则． 设折痕为线段EF，其中E在BC上，F在AC上，设，， 则，，，． 在中，由余弦定理得， 解得． 在中，由余弦定理得， 解得． 重叠部分的面积为的面积，． 因为，所以． 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $