函数与导数：切线问题 专项训练-2025届高三数学一轮复习

函数与导数：切线问题专项训练 考向一 已知切点求切线 1．（2024·全国甲卷（理））设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（  ） A． B． C． D． 2．（2024·河北保定·三模）曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（  ） A． B． C． D． 3．（2024·浙江绍兴·二模）函数在点处的切线与直线平行，则（  ） A． B． C． D． 4．（2024·湖南邵阳·三模）已知曲线在点处的切线与抛物线也相切，则实数的值为（  ） A．0 B． C．1 D．0或1 5．（23-24高二下·山东泰安·阶段练习）若函数的图像在点处的切线恰为直线，则（  ） A．3 B． C．1 D． 6．（2024·广东茂名·一模）曲线在点处的切线与直线平行，则（  ） A． B． C．1 D．2 考向二 已知斜率求切线 1．（2024·全国·模拟预测）函数的图像在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24高三上·内蒙古赤峰·期中）已知，曲线在点处的切线与直线平行，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广西贺州·一模）已知直线与曲线的某条切线平行，则该切线方程为 4．（2024·四川自贡·一模）若曲线的一条切线为，则 . 5．（2024·辽宁·二模）已知函数在点处的切线与直线垂直. (1)求的值； (2)求的单调区间和极值. 考向三 求过某点的切线 1．（2024·广东广州·模拟预测）过原点可以作曲线的两条切线，则这两条切线方程为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（2024·天津和平·二模）过点作曲线的切线，则切点的坐标为 ． 3．（2024·贵州·模拟预测）过点作曲线的切线，请写出切线的方程 . 考向四 已知切线数量求参数 1．（2024·内蒙古·三模）若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·福建福州·模拟预测）若曲线 有且仅有一条过坐标原点的切线，则正数a的值为（ ） A． B． C． D． 3．（2024·辽宁本溪·模拟预测）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·河南信阳·模拟预测）若过点仅可作曲线的两条切线，则的取值范围是 . 考向五 公切线问题 1．（2024·全国I卷）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 2．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若直线是曲线与曲线的公切线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·福建泉州·模拟预测）若曲线与恰有两条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·广东江门·二模）若曲线与曲线存在公切线，则的最大值 . 5．（2024·广东深圳·模拟预测）曲线与的公切线方程为 . 6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数为的导函数. (1)证明：当时，； (2)若与有两条公切线，求a的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$函数与导数：切线问题专项训练 考向一 已知切点求切线 1．（2024·全国甲卷（理））设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 则， 即该切线方程为，即， 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积. 故选：A. 2．（2024·河北保定·三模）曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，则，， 所以曲线在点处的切线方程为. 令，得，令，得， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为. 故选：C 3．（2024·浙江绍兴·二模）函数在点处的切线与直线平行，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的导函数，依题意可得，即可得解． 【详解】，则， 因为函数在点处的切线与直线平行， 所以，解得， 故选：A． 4．（2024·湖南邵阳·三模）已知曲线在点处的切线与抛物线也相切，则实数的值为（   ） A．0 B． C．1 D．0或1 【答案】C 【详解】，， 所以曲线在点处的切线为：，即． 联立与，得，依题意可知，所以或1． 当时，不是抛物线，舍去． 故选：C 5．（23-24高二下·山东泰安·阶段练习）若函数的图像在点处的切线恰为直线，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】D 【详解】函数的导数为， 由题意可得，图像在点处的切线恰为直线， 所以，，解得，， 即． 故选：D． 6．（2024·广东茂名·一模）曲线在点处的切线与直线平行，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】 因为曲线在点处的切线与直线平行， 故曲线在点处的切线的斜率为2， 因为，所以， 所以， 故选：C. 考向二 已知斜率求切线 1．（2024·全国·模拟预测）函数的图像在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】 因为， 所以函数的图像在点处的切线斜率为． 又切线与直线垂直， 所以，即，解得． 故选：A． 2．（23-24高三上·内蒙古赤峰·期中）已知，曲线在点处的切线与直线平行，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，其中，则， 直线的斜率为，由，可得，且，即点， 所以，直线的方程为，即. 故选：B. 3．（2024·广西贺州·一模）已知直线与曲线的某条切线平行，则该切线方程为 【答案】 【详解】，设切点为，则，解得，所以切点为， 故切线方程为，即. 故答案为：. 4．（2024·四川自贡·一模）若曲线的一条切线为，则 . 【答案】 【详解】设切点为， 因为，所以， 所以在处的切线斜率为， 则过该点的切线方程为：， 即，又知切线为：， 故得：，. 故答案为:. 5．（2024·辽宁·二模）已知函数在点处的切线与直线垂直. (1)求的值； (2)求的单调区间和极值. 【答案】(1) (2)单调递减区间为和，单调递增区间为，的极大值为，极小值为. 【详解】（1）因为，所以， 则，因为函数在点处的切线与直线垂直， 故，解得； （2）因为，所以， 令，解得或，令得或，令得， 列表如下： 3 0 + 0 ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 故的单调递减区间为和，单调递增区间为， 的极大值为，极小值为. 考向三 求过某点的切线 1．（2024·广东广州·模拟预测）过原点可以作曲线的两条切线，则这两条切线方程为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【详解】由，得为偶函数， 故过原点作的两条切线一定关于y轴对称． 当时，，则， 设切点为，故，解得或（舍）， 所以切线斜率为1，从而切线方程为． 由对称性知：另一条切线方程为． 故选：A 2．（2024·天津和平·二模）过点作曲线的切线，则切点的坐标为 ． 【答案】 【详解】设切点的坐标为，由，， 所以过切点的切线方程为：， 把代入得：，即， 所以，则切点坐标为：即. 故答案为： 3．（2024·贵州·模拟预测）过点作曲线的切线，请写出切线的方程 . 【答案】或 【详解】设切点为，而， 所以切线的斜率，故切线方程为， 因为切线过点，， 化简可得或，则切点为或， 则代入得切线方程为：或， 故答案为：或. 考向四 已知切线数量求参数 1．（2024·内蒙古·三模）若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在曲线上任取一点，对函数求导，得， 所以曲线在点处的切线方程为. 由题意可知，点在直线上，可得. 令，则. 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，且当时，，当时，， 又直线与曲线的图象有两个交点， 所以的取值范围为. 故选：C 2．（2024·福建福州·模拟预测）若曲线 有且仅有一条过坐标原点的切线，则正数a的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则， 设切点为，则， 所以切线方程为， 又该切线过原点，所以， 整理得①，因为曲线只有一条过原点的切线， 所以方程①只有一个解，故，解得. 故选：A 3．（2024·辽宁本溪·模拟预测）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在曲线上任取一点， ， 所以曲线在点处的切线方程为. 由题意可知，点在直线上，可得， 令函数， 则. 当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 所以. 设， 所以， 所以当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以， 所以， 所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 的图象如图： 由题意可知，直线与的图象有两个交点，则. 故选：B 4．（2024·河南信阳·模拟预测）若过点仅可作曲线的两条切线，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】设切点为：， ， 所以切线方程为， 又因为切线过点， 所以， 即， 令， 则， 令，得或， 当或时，，当时，， ， 当时，则，且； 当时，则， 所以的图象如图所示： 因为过点仅可作曲线的两条切线， 所以与的图象有两个交点， 则 或. 故答案为：. 考向五 公切线问题 1．（2024·全国I卷）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】 【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 2．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若直线是曲线与曲线的公切线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设与曲线相切于点，与相切于点， 由，可得的斜率，所以①， 又由，可得，所以，即②， 又因为③， 将②③代入①中，可得，由③易知，,则④， 将④代入③，可得，则， 令，则，当时，单调递减； 当时，单调递增．所以，当且仅当时取等号， 故，可得，所以， 所以的方程为，即． 故选：B． 3．（2024·福建泉州·模拟预测）若曲线与恰有两条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设曲线切点为，的切点为， 则曲线在点处的切线方程为，即， 同理，在点处的切线方程为， 根据与有两条公切线， 则，所以，化简可得 具有两个交点， 转化为有两个解，构造函数，则， 当，，单调递增；当，，单调递减， 故在时有极大值即为最大值，故， 当时，，当时，， 故的取值范围为， 故选：A 4．（2024·广东江门·二模）若曲线与曲线存在公切线，则的最大值 . 【答案】 【详解】设公切线与曲线切于点，与曲线切于点， 由，得，由，得 则， 所以，所以， 所以，所以， 即，因为，所以， 设，则， 当时，，当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以. 故答案为： 5．（2024·广东深圳·模拟预测）曲线与的公切线方程为 . 【答案】 【详解】设曲线上的切点为，曲线上的切点为. 因为， 则公切线的斜率，所以. 因为公切线的方程为，即， 将代入公切线方程得， 由，得. 令，则， 当时，；当时，0， 故函数在上单调递增，在上单调递减，， 所以， 故公切线方程为，即. 故答案为：. 6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数为的导函数. (1)证明：当时，； (2)若与有两条公切线，求a的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)实数a的取值范围为． 【详解】（1）当时，，， 等价于证明， 令，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增，所以， 所以，即； （2）设一条公切线与切点分别为， 则， 可得切线方程为，， 因为它们是同一条直线，所以， 可得，令， 若与有两条公切线，则与的图象有两个交点， 则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减，所以， 且当时，，当时，，可得的大致图象如下图， 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$