精品解析：河南省信阳市普通高中2023-2024学年高二下学期期中教学质量检测数学试题

★2024年4月28日 2023-2024学年普通高中高二下学期期中教学质量检测 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1．答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在相应位置. 2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损. 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则可表示不同的值的个数为（ ） A. 10 B. 6 C. 8 D. 9 2. 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 3. 中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音，排成一个没有重复音的五音音列，且商、角不相邻，徵位于羽的左侧，则可排成的不同音列有（ ） A. 18种 B. 24种 C. 36种 D. 72种 4. 已知函数导数为，若，则（ ） A. 26 B. 12 C. 8 D. 2 5. 二项式展开式中的常数项是（ ） A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项 6. 已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），则下面四个图象中，的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 春节档电影《热辣滚烫》通过讲述主人公成长与蜕变，展示了热情与坚韧如何成为人生道路上最强大的动力.它鼓励观众保持对生活的热爱和坚持，相信只要不放弃，就能够找到属于自己的光芒，实现梦想.甲、乙、丙等七人相约到电影院看电影《热辣滚烫》，恰好买到了七张连号的电影票.若甲、乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为（ ） A. 192 B. 240 C. 96 D. 48 8. 若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 在新高考方案中，选择性考试科目有6门，即：物理、化学、生物、政治、历史、地理．某学生想在这6门课程中选三门作为选考科目，根据高校的要求，学生结合自身特长兴趣，他首先要在物理、历史2门科目中选择1门；再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，高考考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．下列说法正确的是( ) A. 若物理必选，则选法总数为 B. 若生物必选，则选法总数为 C. 若化学、生物至少选一门，则选法总数为 D. 若历史必选，政治、地理至少选一门，则选法总数为 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列选项中正确是（ ） A. B. 既有极大值又有极小值 C. 若方程有4个根，则 D. 若，则 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的展开式中项的系数为______． 13. 对于各数互不相等的整数数组（是不小于3的正整数），若对于任意的，，当时有，则称，是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，如数组中的逆序有“2与1”“4与3”，“4与1”，“3与1”，所以整数数组的“逆序数”等于4.若各数互不相等的整数数组的“逆序数”是2，则的“逆序数”是______． 14. 已知曲线在的切线与曲线只有一个公共点，则实数m的值为________； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求函数在上的最大值和最小值. 16. 已知的展开式中第5项的系数与第3项系数之比为， （1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中系数最大的项. 17. 已知，． （1）若，，求的展开式中含的项． （2）令，如果的展开式中含的项的系数为12，那么当，为何值时，含的项的系数取得最小值？ 18. 已知函数. （1）求函数的单调性与极值； （2）若关于方程有两个解，求实数的取值范围. 19. 已知函数在定义域上有两个极值点. （1）求实数的取值范围； （2）若，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ ★2024年4月28日 2023-2024学年普通高中高二下学期期中教学质量检测 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1．答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在相应位置. 2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损. 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则可表示不同的值的个数为（ ） A. 10 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】采用分步乘法计数原理进行分析，第一步先从集合中取一个值，得到对应的情况数，第二步再从集合中取一个值，得到对应的情况数，两次的情况数相乘并分析结果，由此可知可表示不同的值的个数. 【详解】解析：因为从集合中任取一个值共有个不同的值，从集合中任取一个值共有个不同的值， 故可表示个不同的乘法计算，且经检验计算结果均不相同， 所以可表示不同的值有个． 故选：D. 2. 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的定义求解. 【详解】解：因为函数， 所以， 故选：C 3. 中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音，排成一个没有重复音的五音音列，且商、角不相邻，徵位于羽的左侧，则可排成的不同音列有（ ） A. 18种 B. 24种 C. 36种 D. 72种 【答案】C 【解析】 【分析】先排宫、徽、羽三个音节，然后商、角两个音阶插空即可求解. 【详解】解：先将宫、徽、羽三个音节进行排序，且徽位于羽的左侧，有， 再将商、角插入4个空中的2个，有， 所以共有种． 故选：C． 4. 已知函数的导数为，若，则（ ） A. 26 B. 12 C. 8 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求出导函数，进而可得，，即可得解. 【详解】∵， ∴， 所以，解得， ∴， ∴ 故选：D. 5. 二项式的展开式中的常数项是（ ） A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项 【答案】C 【解析】 【分析】求出二项展开式的通项，令的指数为零，求得的值，进而可得出结果. 【详解】二项式的展开式通项为， 令，解得. 因此，二项式的展开式中的常数项是第项. 故选：C. 【点睛】本题考查二项展开式中常数项的求解，考查计算能力，属于基础题. 6. 已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），则下面四个图象中，的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用函数的图象求得函数的单调区间，进而得到正确选项. 【详解】由题给函数的图象，可得 当时，，则，则单调递增； 当时，，则，则单调递减； 当时，，则，则单调递减； 当时，，则，则单调递增； 则单调递增区间为，；单调递减区间为 故仅选项C符合要求. 故选：C 7. 春节档电影《热辣滚烫》通过讲述主人公的成长与蜕变，展示了热情与坚韧如何成为人生道路上最强大的动力.它鼓励观众保持对生活的热爱和坚持，相信只要不放弃，就能够找到属于自己的光芒，实现梦想.甲、乙、丙等七人相约到电影院看电影《热辣滚烫》，恰好买到了七张连号的电影票.若甲、乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为（ ） A. 192 B. 240 C. 96 D. 48 【答案】A 【解析】 【分析】丙坐在七人的正中间，则需列举出甲、乙两人相邻的情况，安排甲乙的顺序，再用排列法计算其他人即可. 【详解】解：丙在正中间（4号位），甲、乙两人只能坐12，23或56，67号位，有4种情况， 考虑到甲、乙的顺序有种情况， 剩下的4个位置其余4人坐，有种情况， 故不同的坐法的种数为. 故选：A. 8. 若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设与直线平行的直线的方程为，当直线与曲线相切，且点为切点时，，两点间的距离最小，根据导数的几何意义求出直线的方程，再利用平行线间的距离公式即可求得结果. 【详解】设与直线平行的直线的方程为， ∴当直线与曲线相切，且点为切点时，，两点间的距离最小， 设切点， ，所以， ，，， 点，直线的方程为， 两点间距离的最小值为平行线和间的距离， 两点间距离的最小值为. 故选：. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 在新高考方案中，选择性考试科目有6门，即：物理、化学、生物、政治、历史、地理．某学生想在这6门课程中选三门作为选考科目，根据高校的要求，学生结合自身特长兴趣，他首先要在物理、历史2门科目中选择1门；再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，高考考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．下列说法正确的是( ) A. 若物理必选，则选法总数为 B. 若生物必选，则选法总数为 C. 若化学、生物至少选一门，则选法总数为 D. 若历史必选，政治、地理至少选一门，则选法总数为 【答案】ABC 【解析】 【分析】A：仅需从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门即可；B：先从物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学3门科目中选择1门；C：先从物理、历史2门科目中选择1门，再分情况从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门：①化学、生物都选；②化学、生物只选其中1门；D：同选项C的选取方式相似． 【详解】对于A，若物理必选，则仅需从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门即可，选法总数，故A正确； 对于B，若生物必选，则先需从物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学3门科目中选择1门，则选法总数为，故B正确； 对于C，若化学、生物至少选一门，则先需从物理、历史2门科目中选择1门，再分情况从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门：①化学、生物都选，则有1种选法；②化学、生物只选其中1门，再从政治、地理两门里面选1门，则有种选法；故选法总数为，故C正确； 对于D，若历史必选，政治、地理至少选一门，则根据选项C的选取方法可知选法总数为+1，故D错误． 故选：ABC. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值法即可求解ABD，由二项式展开式的通项特征即可求解C. 【详解】， 令时，解得，故A正确； 令，解得，故，故B正确； 根据二项式的展开式的通项，， 当时，，故C错误； 令，解得，故， 故，D正确； 故选：ABD． 11. 已知函数，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 既有极大值又有极小值 C. 若方程有4个根，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据对数的运算性质，可判定A正确；求得，得到函数的单调区间，结合极值点的概念，可判定B错误； 作出函数的图象，转化为和的图象有4个交点，可判定C正确；由函数的图象，得到的取值范围，可判定D正确. 【详解】对于A中，由，所以，所以A正确； 对于B中，由函数，可得其定义域为， 且， 当时，；当时，， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得极小值，无极大值，所以B错误； 对于C中，由B项知，函数的最小值为， 当时，；当时，， 把的图象关于轴对称翻折到的左侧，即可得到的图象，如图所示， 方程有4个根等价于函数和的图象有4个交点， 可得，即实数的取值范围为，所以C正确； 对于D中，由， 若，由图象可知，，或， 所以，所以D正确. 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的展开式中项的系数为______． 【答案】 【解析】 【分析】由，写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】因为， 其中展开式的通项为，， 所以的展开式中含项为， 所以的展开式中项的系数为. 故答案为： 13. 对于各数互不相等的整数数组（是不小于3的正整数），若对于任意的，，当时有，则称，是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，如数组中的逆序有“2与1”“4与3”，“4与1”，“3与1”，所以整数数组的“逆序数”等于4.若各数互不相等的整数数组的“逆序数”是2，则的“逆序数”是______． 【答案】13 【解析】 【分析】利用组合计数问题，结合排除法求解即得. 【详解】在各数互不相等的正数数组（是不小于2的正整数）中任取2个数， 这2个数要么“顺序”，要么“逆序”（当时有），因此“顺序数”与“逆序数”的和为， 各数互不相等的正数数组的“逆序数”是2，则其“顺序数”为， 显然数组的“逆序数”等于数组的“顺序数”， 所以的“逆序数”是13. 故答案为：13 14. 已知曲线在的切线与曲线只有一个公共点，则实数m的值为________； 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用导数几何意义，求得曲线在的切线方程为，结合直线与相切求得切点，代入切线方程，即可求解. 【详解】由函数，可得，所以且， 所以曲线在的切线方程为， 由函数单调递增，且，又， 结合对数型函数图象，要使得切线与只有一个公共点， 则直线与相切，切点为，可得，解得， 则，所以切点为， 将切点代入直线，可得，解得. 故答案：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求函数在上的最大值和最小值. 【答案】（1）递增区间为，；递减区间为 （2）最大值为59，最小值为-49 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域，然后求导，解不等式，得到单调区间； （2）根据函数的单调性求出极值和端点值，比较后确定最值. 【小问1详解】 的定义域为R，且. 解得或，所以递增区间为，； 解得，所以递减区间为. 【小问2详解】 由（1）可知，的变化如下表 x -3 （-3，-1） -1 （-1，1） 1 （1，3） 3 + 0 - 0 + -49 单调递增 极大值11 单调递减 极小值-1 单调递增 59 所以函数在上的最大值为59，最小值为-49. 16. 已知的展开式中第5项的系数与第3项系数之比为， （1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中系数最大的项. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）根据二项展开式的通项公式，得到展开式的第项为，根据题意，列出方程求解，得出，再令，即可得出结果； （2）先设第项系数最大，即最大，由此列出不等式组求解，得出，即可确定结果. 【详解】（1）二项式的展开式的第项为， 因为展开式中第5项的系数与第3项系数之比为， 即，则，即，解得； 则， 令，得； 所以常数项为第三项，； （2）设第项系数最大，即最大， 即，则，即，解得， 又，， 即系数最大的项为第8项，. 【点睛】本题主要考查求二项展开式的常数项，考查求系数最大的项，熟记二项式定理即可，属于常考题型. 17. 已知，． （1）若，，求的展开式中含的项． （2）令，如果的展开式中含的项的系数为12，那么当，为何值时，含的项的系数取得最小值？ 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）依题意可得，利用二项式展开式的通项计算可得； （2）依题意可得，从而表示出的系数，再转化为的二次式，即可求出，为何值时，系数取得最小值. 【小问1详解】 当，时，，， ， 其中展开式的通项为，； 展开式的通项为，； 的展开式中含的项为； 【小问2详解】 ， 的展开式中含的项的系数为， ，即， 此时的系数为 ，， 当，时，的项的系数取得最小值． 18. 已知函数. （1）求函数的单调性与极值； （2）若关于的方程有两个解，求实数的取值范围. 【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减，极大值为，无极小值；（2）. 【解析】 【分析】（1）对函数 求导，利用导数的性质即可判断单调区间和极值； （2）构造函数，将原方程转化为函数的零点问题，再分类讨论即可. 【详解】（1）依题意，， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 故当时，函数的极大值为 ，无极小值； （2）令，得. 当时，，则在上单调递增. 因此函数至多只有一个零点，不符合题意， 当时，由，得， 因此在上是单调递增，在上是单调递减，所以. 一方面，当从右边趋近于0时， 趋向于 ； 当x趋向于 时，， 因此，趋向于； 另一方面，由，得，即， 因此，， 很明显在上是单调递增且， 根据题意得：，所以. 即方程有且只有一个大于1的正实根. 设，由（ 开口向下）且， 对称轴为 ，得，解得. 所以实数的取值范围是； 综上，在单调递增，单调递减，极大值=-1，无极小值， . 【点睛】本题第二小问难度较大，将等式转化为函数后，要讨论函数的图像这个程序需要注意， 因为函数的图形可能存在渐近线，如果存在就要求出渐近线的方程， 求 的极值点并由极值点推断m的范围的技巧需要学习和掌握. 19. 已知函数在定义域上有两个极值点. （1）求实数的取值范围； （2）若，求值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，然后利用判别式以及韦达定理求解； （2）计算，然后代入的值计算整理后构造函数，求导，利用函数单调性来求解. 【小问1详解】 由已知， 因为函数在定义域上有两个极值点， 所以，解得， 所以实数的取值范围为； 【小问2详解】 由（1）得，， 即两个极值点为方程的两根， 则， 所以 代入得 ，其中， 则，得， 设， 则，当时，， 即在上单调递增，又， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$