精品解析：海南省2023-2024学年高二下学期阶段性教学检测（四）数学试题

2023—2024学年海南高二年级阶段性教学检测（四） 数学 1.本试卷满分150分，测试时间120分钟，共4页. 2.考查范围：选择性必修第二册整本书. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知一个数列的通项公式，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】将代入通项公式即可. 【详解】因为为偶数， 所以 故选：C 2. 如图，直线是曲线在处的切线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两点斜率公式可得，即可由导数的几何意义求解. 【详解】由图可知：直线与相切于，且经过， 故， 因此， 故选：A 3. 下列数列的通项公式中，能得到为等差数列的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的定义即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，不为常数，故A错误， 对于B，为常数，故B正确， 对于C, 不为常数，故C错误， 对于D，不为常数，故D错误， 故选：B 4. 已知正项等比数列，若，是方程的两个实数根，则（ ） A. B. 15 C. 20 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系、等比数列的性质即可得出． 【详解】，是方程的两个实数根，， ， 为正项等比数列，． 故选：D 5. 已知是函数的极值点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，根据极值点与导数之间的关系解得，并代入检验. 【详解】由题意可知的定义域为，且， 若是函数的极值点， 则，解得； 若，则， 因为在内单调递减， 可知在内单调递减，且， 当，；当，； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则是函数的极值点，即符合题意； 综上所述：. 故选：B. 6. 已知首项为1的等比数列的前项和为，且成等差数列，则（ ） A. B. 4或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出公比，分和两种情况，根据条件得到方程，求出公比，进而由求和公式即可求解. 【详解】由成等差数列，得， 设公比为，若，此时，此时不满足； 若，则， 故，即， 由于，故，解得或1（舍去）， 所以， 故选：D 7. 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导函数，根据导函数在给定区间上大于等于0恒成立，结合二次函数的零点分布即可求出的取值范围． 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上单调递增， 所以在上恒成立， 所以或， 解得或 综上可得， 故选：A 8. 阿基米德在《抛物线求积法》一书中描述了如何求解抛物线与直线围成的弓形的面积的方法：如图，若抛物线与直线交于，两点，要求弓形部分面积，先构造直线，与抛物线相切于点，得到一级；用同样的方法在切点两旁得到两个二级，；再用同样的方法在切点，两旁得到四个三级三角形……依次下去，通过证明知道每个新构建的三角形的面积都是上一层级三角形面积的，那么求出的面积就可以得出弓形面积.若已知抛物线，直线，则抛物线与直线围成的弓形面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到直线距离以及弦长公式求解一级三角形的面积，再根据三角形面积的数量关系判定每一级三角形的面积构成等比数列，利用等比数列求和进行计算． 【详解】由，设为：， 联立， 由于相切，所以，解得， 故,故， 所以点到直线的距离为， 由， 设，则 所以， 所以， 根据规律，每一级三角形的个数是上一级个数的2倍， 每一级三角形的面积是上一级的面积的， 则第级的所有三角形的面积和， 故经过次分割后得到的所有三角形面积之和为： ． 当时，，故抛物线与直线围成的弓形面积为 故选：C 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列函数求导正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据基本函数的求导公式即可求解BD，根据求导法则以及复合函数的求导法则即可求解AC. 【详解】对于A, 若，则,A正确， 对于B，若，则，B正确， 对于C，若，则，C错误， 对于D，若，则，D错误， 故选：AB 10. 在数列中，如果的每一项与它的后一项的积等于同一个非零常数，则称数列为“等积数列”，非零常数为数列的公积.已知数列是等积数列，且，公积为2，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据等积数列的定义求得通项公式，即可判断可选项. 【详解】对于A，由题可知，对任意的，， 则对任意的，，所以，，故，A对； 对于B，，所以，由A可知，，所以，B对； 对于C，，C错； 对于D，因为，所以，D对. 故选：ABD. 11. 已知函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则下列结论一定成立的是（ ） A. 方程有唯一实数根 B. 在区间上单调递增 C. D. 若且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求出，然后讨论的单调性，即可判断A，B，C选项；对于D选项，使用基本不等式并结合的最小值即可验证. 【详解】设，则，所以恒为常数. 又由于，故. 所以，即. 对于A，由于，故对有，对有. 从而在上递减，在上递增，故，所以方程没有实数根，故A错误； 对于B，前面已经证明在上递增，故B正确； 对于C，前面已经证明，所以，故C正确； 对于D，若，，则， 故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于构造合适的新函数，从而求出已知函数的表达式. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在等差数列中，若，则______. 【答案】4 【解析】 【分析】根据等差数列的下标和性质即可求解. 【详解】在等差数列中，， 所以，则. 故答案为： 13. 海南琼海市潭门湾拥有近八公里长的海岸线和独特的潮汐规律，海域地势平坦.退潮后浅滩纵深两公里，人们可以直接在原来被海水浸漫的地方漫步，造就了“人在海平面行走”的独特景观.假设在该海湾某一固定点处，大海水深（单位：）与零点后的时间（单位：h）之间的关系为，则上午时的水位变化速度为______. 【答案】## 【解析】 【分析】求出函数的导函数，再计算即可得解. 【详解】因为，所以， 所以， 所以上午时的水位变化速度为. 故答案为： 14. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据零点将问题转化为有两个交点，构造函数，由导数求解函数的单调性，即可结合图象求解. 【详解】由有两个零点，故有两个实数根， 记，则， 当和时， ， 当时，， 故在单调递减，在单调递增， 作出函数的图象如下： 由图象可知：当或时，直线与的图象有两个交点， 故实数的取值范围 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数的图象过点，且. （1）求，的值； （2）求函数的极值. 【答案】（1） （2）极大值为，极小值为 【解析】 【小问1详解】 ，. 由题意得解得； 【小问2详解】 由（1）得，， ， 令，解得或， 当时，，则函数单调递增； 当时，，则函数单调递减； 当时，，则函数单调递增， 故当时，有极大值为； 当时，有极小值为. 综上，函数的极大值为，极小值为. 16. 设数列的前项和为，满足. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据和的关系求解即可； （2）先求出的通项，再利用错位相减的方法求和即可. 【小问1详解】 ，. 当时，，解得， 当时，， . 数列是以3为首项，3为公比的等比数列， . 【小问2详解】 ， ， ， 两式相减得， ， 即. 17. 突破技术封锁、打破国外技术垄断，实现高水平科技自立自强，正是企业坚持独立自主的一种重要体现.我国某企业为突破技术难题，组织多个科研团队，加大对某项电子产品的研发投入.已知该项电子产品年产量不低于1万件且不高于8万件，根据以往数据显示，每年研发投入固定费用为万元，每生产万件增加投入万元，且生产的都能销售完，预计2024年销售收入（单位：万元）与销量（单位：万件）之间满足关系式. （1）写出该企业2024年的利润（单位：万元）关于该产品的销量的函数解析式； （2）该产品2024年的销量目标定为多少万件时，该企业能从中获利最大?最大利润为多少? 【答案】（1）， （2）2024年的销量目标定为3万件时，该企业能从中获利最大，最大利润为17万元 【解析】 【分析】（1）根据利润的含义即可由销售额减去投入求解， （2）求导，由单调性即可求解最值. 【小问1详解】 由题意得，生产该产品的投入为万元， 所以， 其中. 【小问2详解】 ， 令，得或3， 当时，，在单调递增； 当时，在单调递减， 当时，取得最大值. 该产品2024年的销量目标定为3万件时，该企业能从中获利最大，最大利润为17万元. 18. 设数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为恒成立，求实数的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用与间的关系，得到，再利用累积法，即可求出结果； （2）根据（1）中结果得到，利用裂项相消法得到，即可求出结果. 【小问1详解】 因为①，所以当时，②， 由①②得到，整理得到， 又，所以，得到， 所以当时，， 当，满足，所以. 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 因为，且，所以是关于的递增数列，由恒成立，得到， 所以实数的最小值为. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有两个极值点，证明：. 【答案】（1） （2） 由题意得有两个不等正根，不妨设， 令，得. 设，则， 令，则， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，， . ，， 令，则. 当时，，， 当时，，， 在上单调递增. ，，. 又，故，所以， 设， 则当时在单调递减， 当时，在单调递增，故当，故 易知，. 令，则， 在上单调递减，， ，， ，而，. 【解析】 【分析】（1）对求导，利用导数的几何意义可得切线斜率，再求出，利用点斜式可得切线方程； （2）由已知可得有两个不等正根，，不妨设，参变量分离，构造新函数，利用导数求出，的取值范围，求出，，构造函数，利用导数求出，的范围，从而证得不等式成立． 【小问1详解】 当时，，， ，，切线方程为， 即. 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年海南高二年级阶段性教学检测（四） 数学 1.本试卷满分150分，测试时间120分钟，共4页. 2.考查范围：选择性必修第二册整本书. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知一个数列的通项公式，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 2. 如图，直线是曲线在处的切线，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列数列的通项公式中，能得到为等差数列的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知正项等比数列，若，是方程的两个实数根，则（ ） A. B. 15 C. 20 D. 25 5. 已知是函数的极值点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知首项为1的等比数列的前项和为，且成等差数列，则（ ） A. B. 4或 C. D. 7. 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 阿基米德在《抛物线求积法》一书中描述了如何求解抛物线与直线围成的弓形的面积的方法：如图，若抛物线与直线交于，两点，要求弓形部分面积，先构造直线，与抛物线相切于点，得到一级；用同样的方法在切点两旁得到两个二级，；再用同样的方法在切点，两旁得到四个三级三角形……依次下去，通过证明知道每个新构建的三角形的面积都是上一层级三角形面积的，那么求出的面积就可以得出弓形面积.若已知抛物线，直线，则抛物线与直线围成的弓形面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列函数求导正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 在数列中，如果的每一项与它的后一项的积等于同一个非零常数，则称数列为“等积数列”，非零常数为数列的公积.已知数列是等积数列，且，公积为2，设，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则下列结论一定成立的是（ ） A. 方程有唯一实数根 B. 在区间上单调递增 C. D. 若且，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在等差数列中，若，则______. 13. 海南琼海市潭门湾拥有近八公里长的海岸线和独特的潮汐规律，海域地势平坦.退潮后浅滩纵深两公里，人们可以直接在原来被海水浸漫的地方漫步，造就了“人在海平面行走”的独特景观.假设在该海湾某一固定点处，大海水深（单位：）与零点后的时间（单位：h）之间的关系为，则上午时的水位变化速度为______. 14. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围是______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数的图象过点，且. （1）求，的值； （2）求函数的极值. 16. 设数列的前项和为，满足. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 17. 突破技术封锁、打破国外技术垄断，实现高水平科技自立自强，正是企业坚持独立自主的一种重要体现.我国某企业为突破技术难题，组织多个科研团队，加大对某项电子产品的研发投入.已知该项电子产品年产量不低于1万件且不高于8万件，根据以往数据显示，每年研发投入固定费用为万元，每生产万件增加投入万元，且生产的都能销售完，预计2024年销售收入（单位：万元）与销量（单位：万件）之间满足关系式. （1）写出该企业2024年的利润（单位：万元）关于该产品的销量的函数解析式； （2）该产品2024年的销量目标定为多少万件时，该企业能从中获利最大?最大利润为多少? 18. 设数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为恒成立，求实数的最小值． 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有两个极值点，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $