解析几何：离心率问题专项训练-2025届高三数学一轮复习

解析几何：离心率问题专项训练 考向一 求出、、具体值，进而求离心率 1．（2024·全国I卷）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交于，两点，若，则的离心率为 ． 2．（2024·山东济南·三模）已知是椭圆的左，右焦点，点为椭圆上一点，为坐标原点，为正三角形，则该椭圆的离心率为 . 3．（2024·湖南岳阳·三模）已知双曲线过点，且渐近线方程为，则的离心率为 ． 4．（2023·上海杨浦·一模）若椭圆长轴长为4，则其离心率为 . 5．（2024·甘肃·一模）若曲线，且经过这三点中的两点，则曲线的离心率可能为 .（写出一个即可）. 6．（2023·浙江温州·二模）已知抛物线和椭圆相交于两点，且抛物线的焦点也是椭圆的焦点，若直线过点，则椭圆的离心率是 ． 考向二 构造关于、的齐次方程，进而求离心率 1．（2023·全国I卷）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 2．（2024·山东青岛·一模）已知O为坐标原点，点F为椭圆的右焦点，点A，B在C上，AB的中点为F，，则C的离心率为 ． 3．（2024·广东广州·二模）已知分别是椭圆的右顶点，上顶点和右焦点，若过三点的圆恰与轴相切，则的离心率为 ． 4．（2023·广东广州·三模）已知F是双曲线的右焦点，直线与双曲线E交于A，B两点，O为坐标原点，P，Q分别为，的中点，且，则双曲线E的离心率为 ． 5．（2023·广东深圳·二模）已知椭圆的左､右焦点分别为､，P为椭圆上一点（异于左右顶点），的内切圆半径为r，若r的最大值为，则椭圆的离心率为 . 6．（2024·江苏·一模）设双曲线C：(，)的一个焦点为F，过F作一条渐近线的垂线，垂足为E．若线段EF的中点在C上，则C的离心率为 ． 7．（2023·江苏·二模）设过双曲线左焦点的直线与交于两点，若，且（O为坐标原点），则的离心率为 8．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线与交于点，与轴交于点，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 考向三 离心率范围问题 1．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知是椭圆的左、右焦点，若上存在不同的两点，使得，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南岳阳·二模）已知椭圆的左右焦点分别为，其中，过的直线与椭圆交于两点，若，则该椭圆离心率的取值范围是 ． 3．（2023·浙江杭州·一模）已知椭圆：的左右焦点分别为，，若与椭圆无公共点的直线上存在一点，使得的最大值为，则椭圆离心率的取值范围是 ． 4．（2023·广西·模拟预测）椭圆的右焦点为为椭圆上的一点，与轴切于点，与轴交于两点，若为锐角三角形，则的离心率范围是 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$解析几何：离心率问题专项训练 考向一 求出、、具体值，进而求离心率 1．（2024·全国I卷）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交于，两点，若，则的离心率为 ． 【答案】 【详解】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入 得，即，故，， 又，得，解得，代入得， 故，即，所以. 故答案为： 2．（2024·山东济南·三模）已知是椭圆的左，右焦点，点为椭圆上一点，为坐标原点，为正三角形，则该椭圆的离心率为 . 【答案】 【详解】依题意， 不妨设点在第一象限，则点， 易知， 由椭圆的定义知：， 所以， 所以. 故答案为： 3．（2024·湖南岳阳·三模）已知双曲线过点，且渐近线方程为，则的离心率为 ． 【答案】/ 【详解】当双曲线的焦点在轴上时，其方程为，依题有，方程组无解； 当双曲线的焦点在轴上时，其方程为，依题有，解得， 则. 故答案为：. 4．（2023·上海杨浦·一模）若椭圆长轴长为4，则其离心率为 . 【答案】/ 【详解】椭圆长轴长为4，即，，， 故. 故答案为：. 5．（2024·甘肃·一模）若曲线，且经过这三点中的两点，则曲线的离心率可能为 .（写出一个即可）. 【答案】（或填或） 【详解】当经过点时，得，解得， 此时曲线方程， 此时离心率为； 当经过点时，得，解得， 此时曲线方程， 此时离心率为； 当经过点时，得，解得， 此时曲线方程， 此时离心率为； 故答案为：（或填或）. 6．（2023·浙江温州·二模）已知抛物线和椭圆相交于两点，且抛物线的焦点也是椭圆的焦点，若直线过点，则椭圆的离心率是 ． 【答案】/ 【详解】显然，由对称性易知为双通径， 所以， 所以． 故答案为：. 考向二 构造关于、的齐次方程，进而求离心率 1．（2023·全国I卷）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 【答案】/ 【详解】方法一： 依题意，设，则， 在中，，则，故或（舍去）， 所以，，则， 故， 所以在中，，整理得， 故. 方法二: 依题意，得，令， 因为，所以，则， 又，所以，则， 又点在上，则，整理得，则， 所以，即， 整理得，则，解得或， 又，所以或（舍去），故. 故答案为：. 2．（2024·山东青岛·一模）已知O为坐标原点，点F为椭圆的右焦点，点A，B在C上，AB的中点为F，，则C的离心率为 ． 【答案】 【详解】由椭圆的对称性可知，垂直于x轴， 又，所以， 所以为等腰直角三角形，故， 所以，即， 所以，整理得， 解得或（舍去）， 故. 故答案为： 3．（2024·广东广州·二模）已知分别是椭圆的右顶点，上顶点和右焦点，若过三点的圆恰与轴相切，则的离心率为 ． 【答案】 【详解】由已知可得：， 线段的垂直平分线方程为，过三点的圆恰与轴相切， 所以圆心坐标为，圆的半径为， 所以经过过三点的圆的圆的方程为， 在圆上，所以， 整理得：，所以，所以， 化为：，由，解得. 故答案为：． 4．（2023·广东广州·三模）已知F是双曲线的右焦点，直线与双曲线E交于A，B两点，O为坐标原点，P，Q分别为，的中点，且，则双曲线E的离心率为 ． 【答案】 【详解】由对称性可知原点是的中点，又、的中点分别为、， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形， , 设 ，解得 ， ，即 ，， ，两边同时除以， 得，又 ， ， .    故答案为：. 5．（2023·广东深圳·二模）已知椭圆的左､右焦点分别为､，P为椭圆上一点（异于左右顶点），的内切圆半径为r，若r的最大值为，则椭圆的离心率为 . 【答案】/. 【详解】设内切圆的圆心为，连接， ， 由题意可得：， 所以当取到最大值时，有最大值，且最大值为， 所以，整理可得：， 两边同时平方可得：， 所以，所以，解得：或（舍去）.    故答案为： 6．（2024·江苏·一模）设双曲线C：(，)的一个焦点为F，过F作一条渐近线的垂线，垂足为E．若线段EF的中点在C上，则C的离心率为 ． 【答案】 【详解】直线EF与渐近线方程联立得解得，， ∴EF中点M的坐标为， 又M点在双曲线上，代入其标准方程，得， 化简得，∴，． 故答案为：． 7．（2023·江苏·二模）设过双曲线左焦点的直线与交于两点，若，且（O为坐标原点），则的离心率为 【答案】 【详解】如图，    设为中点，， 由可知，， 由双曲线的定义可知， ， 由可知， 又为中点，为中点，可知，则, 从而为线段的垂直平分线，， 即 ， 所以，则为正三角形，， 在直角△中，，即，所以 ． 故答案为：． 8．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线与交于点，与轴交于点，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，因为，所以，， 由对称性可得，又，所以， 所以，， 又，所以，，又， 所以由余弦定理， 所以，的离心率. 故选：A. 考向三 离心率范围问题 1．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知是椭圆的左、右焦点，若上存在不同的两点，使得，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，延长交椭圆于，根据椭圆的对称性，得，， 当分别位于的左、右顶点时，有最大值， 又因为不重合，所以，即， 解得， 所以的离心率的取值范围为． 故选：C． 2．（2024·湖南岳阳·二模）已知椭圆的左右焦点分别为，其中，过的直线与椭圆交于两点，若，则该椭圆离心率的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设点，而，则， 由，得，即， 因此点在以为圆心，半径为的圆上，而点在椭圆上，则圆与椭圆有公共点， 由椭圆的几何性质知，即，亦即， 整理得，即，所以椭圆离心率， 故答案为： 3．（2023·浙江杭州·一模）已知椭圆：的左右焦点分别为，，若与椭圆无公共点的直线上存在一点，使得的最大值为，则椭圆离心率的取值范围是 ． 【答案】 【详解】不妨设，，，， 设直线倾斜角为，直线倾斜角为， 则， ， 若的最大值为，则有最小值， 又，当且仅当，即时取等号， 则，即，解得， 又椭圆与直线无公共点，则，所以， 所以椭圆离心率的取值范围是． 故答案为：． 4．（2023·广西·模拟预测）椭圆的右焦点为为椭圆上的一点，与轴切于点，与轴交于两点，若为锐角三角形，则的离心率范围是 . 【答案】 【详解】因为与轴切于点， 所以轴，可设，则，解得， 圆的半径为，又与轴交于两点， ，又因为为锐角三角形，则， ， ，即， 解得， 即椭圆离心率的取值范围为. 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$