2024—2025学年人教版数学七年级上册培优训练提升课件

核心素养小专题（三）运用乘法的运算律简算 类型一：运用乘法交换律与结合律 1.计算： (1)(-2)×(-0.125)×9×(-8); 解：原式=[(-2)×9]×[(-0.125)×(-8)] =-18. (2品×246×(-9)×异： 解：原式=品×（引×(246×） =-12. 1 (3)(-1.25)×2.5÷5÷×8; 4 解：原式=-×X×4×8 5 =(-×4×匠××8） =-20. (4-0.25)×32x0.125×(-) 解：原式=[(-)×32×引×(-) =(-1)×(-到 ①类型二： 正用分配律 2.计算： (-56)x(传-+： 解：原式=(-56)×十(-56)×(-)+(-56×4 =-15. (2-号+-)() 解：原式=(-号+司)×(-30 =×(-30-3×(-30)+×(-36)-6×(-36) 18 =-18+8+(-9)+2 =-17. 类型三：逆用乘法分配律 3计算： 山4×(-)-3×(-)-6×号： 解：原式=(-引×4-3+0 2×7 =-27. 2-8)×2片-÷(-)： 解：原式=一8××(-8) =4×[-8-(-8)1 =0. (3(-3.85)×(-13)+(-13)×(-6.15)+0.79×7+8× ×0.79: 1515 解：原式=(-13)×(-3.85)+(-6.15)1+0.79×（任+号） =(-13)×(-10)+0.79×1 =130+0.79 =130.79.期末压轴专题(二)　角中的动态探究问题 【方法指导】 旋转型问题是角度中考查得比较多的形式.如果只出现一条射线在旋转.那么我们只需考虑其起点位置.终点位置.与单独的动点问题类似.要注意转折点；如果出现两条射线在旋转.那么我们要与两个动点相联系.考虑清楚是相遇问题还是追及问题.还是多运动组合. 1.【理解新知】如图①.在∠AOB内部画射线OC得到三个角.分别为∠AOC.∠AOB.∠BOC.若这三个角中有一个角是另外一个角的两倍.则称射线OC为∠AOB的“二倍角线”(以上所指的角都是小于或等于180°的角). (1)一个角的平分线 这个角的“二倍角线”(选填“是”或“不是”)； (2)若∠AOB＝60°.射线OC为∠AOB的“二倍角线”.则∠AOC＝ . 是 20°,30°或40° 【解决问题】如图②.已知∠AOB＝60°.射线OP从OA出发以20°/s的速度绕O点逆时针旋转.射线OQ从OB出发以10°/s的速度绕O点顺时针旋转.射线OP.OQ同时出发.当其中一条射线回到出发位置时.整个运动随之停止.设运动的时间为t s.当射线OP.OQ旋转到同一条直线上时.求t的值. 解：【解决问题】 由题意知运动时间的范围是0<t≤18. 分情况讨论如下： ①60＋20t＋10t＝180.解得t＝4； ②60＋20t＋10t＝360.解得t＝10； ③60＋20t＋10t＝360＋180.解得t＝16. 综上所述.t的值为4.10或16. 2.如图.直线DE上有一点O.过点O在直线DE上方作射线OC.∠COE比它的补角大100°.将一直角三角板AOB的直角点放在点O处.一条直角边OA在射线OD上.另一边OB在直线DE上方.将直角三角板绕点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周.设旋转时间为t s. (1)∠COE的度数为 ； (2)若射线OC的位置保持不变.在旋转过程中.是否存在某个时刻.使得∠BOC＝∠BOE？若存在.请求出t的取值.若不存在.请说明理由. 140° 解：(2)存在. ①当OB在直线DE上方时.此时OB平分∠EOC. 因为∠COE＝140°.所以∠BOC＝∠COE＝70°. 当OB没有旋转时.∠BOC＝50°. 所以OB旋转了70°－50°＝20°. 则旋转的时间t＝20÷10＝2(s). ②当OB在直线DE下方时.如图. 因为∠BOE＋∠BOC＋∠COE＝360°.且∠BOC＝∠BOE.即2∠BOE＋ ∠COE＝360°.所以∠BOE＝110°. 所以OB旋转了110°＋90°＝200°. 则旋转时间t＝200÷10＝20(s). 综上所述.当t＝2或20时.∠BOC＝∠BOE. $$核心素养小专题(十一)　线段计算中的思想方法 类型一：利用线段的和差直接计算 【方法指导】 基本方法：AB＝AC＋BC.AC＝AB－BC.BC＝AB－AC. 1.如图.B.C为线段AD上两点.AB＝6.BC＝4.CD＝2.则AD＝ .BD＝ . 12 6 2.如图.已知线段AB＝20.C是AB上的一点.D为CB上的一点.E为DB的中点.DE＝3.若CE＝8.求AC的长. 解：因为E为DB的中点. 所以BE＝DE＝3. 所以BC＝CE＋BE＝11. 所以AC＝AB－BC＝9. 3.如图.已知线段AD＝6 cm.线段AC＝BD＝4 cm.E.F分别是线段AB.CD的中点.求线段EF的长. 解：因为BC＝AC＋BD－AD.AD＝6. AC＝BD＝4.所以BC＝2. AB＝AD－BD＝2.CD＝AD－AC＝2. 因为E.F分别为AB.CD的中点. 所以BE＝AB＝1.CF＝CD＝1. 所以EF＝BE＋BC＋CF＝4 cm. 类型二：方程思想 模型1：两条线段之间的关系 【方法指导】 条件：AD＝nAC.BD＝a. 方法：设AC＝x.则AD＝nx. 结论：AB＝ nx＋a. 4.如图.已知线段AB.CD的公共部分BD＝AB＝CD.线段AB.CD的中点E.F之间的距离是10 cm.求AB.CD的长. 解：设BD＝x.则AB＝3x.CD＝4x.AC＝6x. 因为E.F分别为AB.CD的中点. 所以AE＝AB＝1.5x.CF＝CD＝2x. 所以EF＝AC－AE－CF＝2.5x. 所以2.5x＝10.解得x＝4. 所以AB＝12 cm.CD＝16 cm. 模型2：多条线段之间的关系 【方法指导】 条件：AC∶CD∶DB＝a∶b∶c. 方法：设AC＝ax.CD＝bx.DB＝cx. 结论：AD＝(a＋b)x.BC＝(b＋c)x. AB＝(a＋b＋c)x. 5.如图.线段AB上有两点P.Q.点P将AB分成两部分.AP∶PB＝2∶3.点Q将AB也分成两部分.AQ∶QB＝4∶1.且PQ＝3 cm.求AP.QB的长. 解：设AP＝2x.则PB＝3x.AB＝5x. 因为AQ∶QB＝4∶1. 所以AQ＝4x.QB＝x. 所以PQ＝PB－QB＝2x. 因为PQ＝3 cm.所以2x＝3.所以x＝1.5. 所以AP＝3 cm.QB＝1.5 cm. 6.如图.已知B.C两点把线段AD分成2∶5∶3三部分.M为AD的中点.BM＝6 cm.求CM和AD的长. 解：设AB＝2x.BC＝5x.CD＝3x. 则AD＝AB＋BC＋CD＝10x. 因为M是AD的中点.所以AM＝MD＝AD＝5x. 所以BM＝AM－AB＝5x－2x＝3x. 因为BM＝6 cm.所以3x＝6.解得x＝2. 故CM＝MD－CD＝2x＝4(cm).AD＝10x＝20(cm). 类型三：分类讨论思想 【方法指导】 条件：点C在射线AB上. 方法：点的位置不确定.需要对点C的位置进行分类讨论： (1)如图①.当点C在线段AB上时.AC＝AB－BC； (2)如图②.当点C在线段AB的延长线上.AC＝AB＋BC. 7.已知A.B.C三点共线.且线段AB＝16.D是BC的中点.AD＝12.5.求BC的长. 解：①若C点在AB之间.如图. 则BD＝16－12.5＝3.5. 又因为D是BC的中点. 所以BC＝2BD＝7； ②若C点在BA延长线上.如图. 则BD＝AB＋AD＝28.5. 因为D是BC中点. 所以BC＝2BD＝57. 综上所述.BC的长为7或57. 类型四：整体思想(双中点问题) 【方法指导】 条件：如图.如果点C在线段AB所在的直线上.M.N分别是AC.BC的中点. 结论：MN＝AB. 8.如图.C为线段AB上一点.D是线段AC的中点.E为线段CB的中点. (1)若AC＝6 cm.BC＝4 cm.则DE＝ cm； (2)若AB＝a.试探求DE的长度； (3)若点C在线段AB的延长线上.且满足AC－BC＝b.D.E分别为AC.BC的中点.你能猜想DE的长度吗？直接写出结论.并说明理由. 5 解：(2)a. (3)DE＝b. 答图 理由：如答图.因为D.E分别是AC.BC的中点.AC＝AB＋BC. 所以CD＝AC.CE＝BC. 所以DE＝CD－CE＝AC－BC＝b. 9.【问题情境】如图.已知点B.C在线段AD上. 【特例感知】 (1)如果AD＝18.BC＝12.M是AB的中点.N是CD的中点.求线段MN的长度； 【类比发现】 (2)在(1)中.如果AD＝a.BC＝b.其他条件不变.那么MN＝ (用含a.b的式子表示)； 【拓展应用】 (3)若线段AD被点B.C分成了2∶4∶3三部分.且AB的中点M和CD的中点N之间的距离是26 cm.求MD的长. 解：(1)因为AD＝18.BC＝12. 所以AB＋CD＝AD－BC＝6. 因为M是AB中点.N是CD中点. 所以MB＝AB.CN＝CD. 所以MB＋CN＝AB＋CD＝3. 所以MN＝MB＋BC＋CN＝15. (3)设AB.BC.CD的长分别为2x.4x.3x. 则AD＝9x. 由(2)中结论得4x＋9x＝26×2. 解得x＝4. 所以MD＝8x＝32(cm). 类型五：数形结合思想 【方法指导】 如图.数轴上A.B两点对应的数分别为a.b. (1)若C为线段AB的中点.则点C对应的数为. (2)点P从点A出发.以1个单位长度/s的速度沿数轴正方向运动.点Q从点B出发.以2个单位长度/s的速度沿数轴负方向运动.设运动时间为t s.则 ①点P对应的数为a＋t； ②点Q对应的数为b－2t； ③PQ＝|(b－2t)－(a＋t)|. 10.如图.M是线段AB上一点.且AB＝10 cm.C.D两点分别从M.B同时出发以1 cm/s.3 cm/s 的速度沿直线BA向左运动.运动方向如箭头所示(C在线段AM上.D在线段BM上). (1)当点C.D运动了2 s.求这时AC＋MD的值； 解：当点C.D运动了2 s时. CM＝2 cm.BD＝6 cm. 因为AB＝10 cm. 所以AC＋MD＝AB－CM－BD＝2(cm). (2)若点C.D运动时.总有MD＝3AC.求AM的长. 解：因为C.D两点的速度分别为1 cm/s.3 cm/s.所以BD＝3CM. 又因为MD＝3AC. 所以BD＋MD＝3CM＋3AC. 即BM＝3AM. 所以AM＝AB＝2.5 cm. 11.如图.数轴上A.B两点对应的有理数分别为12和18.点P从点A出发.以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动.点Q同时从原点O出发.以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动.设运动时间为t s. (1)当点P在线段AB上时.用含t的式子填空：BP＝ .AQ＝ ； (2)当t＝2时.求PQ的值； (3)当PQ＝AB.求t的值. 6－t 12－2t 解：(2)当t＝2 时. 点P对应的有理数为12＋2＝14.点Q对应的有理数为2×2＝4. 所以PQ＝14－4＝10. (3)t s时.点P对应的有理数为12＋t. 点Q对应的有理数为2t. 所以PQ＝|12＋t－2t|＝|12－t|. 所以PQ＝AB＝(18－12)＝×6＝3. 所以|12－t|＝3. 解得t＝9或15. 所以t的值为9或15. $$核心素养小专题(五)　整式化简中的逻辑推理 1.老师出了这样一道题：“当a＝2 024.b＝－2 025时.计算(2a3－3a2b－2ab2)－(a3－2ab2＋b3)＋(3a2b－a3＋b3)的值.”但在计算过程中.同学甲错把“a＝2 024”写成“a＝－2 024”.而同学乙错把“b＝－2 025”写成“b＝－20.25”.可他们的运算结果都是正确的.请找出其中的原因.并说明理由. 解：原因是该多项式的值与字母a.b的取值无关. 理由：原式＝2a3－3a2b－2ab2－a3＋2ab2－b3＋3a2b－a3＋b3＝0. 即多项式的值与a.b的取值无关. 所以即使甲、乙两同学将a.b的值抄错了.也不会改变运算结果. 2.小希在计算多项式A减多项式2b2－3b－5时.因一时疏忽忘了将两个多项式用括号括起来.得到的结果是b2＋3b－1. (1)求这个多项式A； (2)这两个多项式相减的正确结果为 ； (3)当b＝－1时.则(2)中结果的值为 . b2＋9b＋9 1 解：(1)由题知A－2b2－3b－5＝b2＋3b－1所以A＝b2＋3b－1＋2b2＋3b＋5＝3b2＋6b＋4. 3.已知整式A＝2(x＋y)－(⊕x－y).其中数字“⊕”被污染. (1)若将“⊕”猜测成3.请化简整式A； (2)小红说：“整式A的值只与y有关.”根据小红的说法.求出“⊕”代表的数字. 解：(1)由题意.得 A＝2(x＋y)－(3x－y)＝2x＋2y－3x＋y＝－x＋3y. (2)设“⊕”代表的数字为a.则 A＝2(x＋y)－(ax－y) ＝2x＋2y－ax＋y＝(2－a)x＋3y. 因为整式A的值只与y有关.所以2－a＝0. 所以a＝2.即“⊕”代表的数字为2. 4.已知一个两位数.它的十位上的数字是a.个位上的数字是b. (1)写出这个两位数； (2)若a≠b.把这个两位数十位上的数字与个位上的数字对调.得到一个新的两位数.则原两位数与新两位数的和能被11整除吗？为什么？其差又一定是哪个数的倍数？为什么？ 解：(1)这个两位数为10a＋b. (2)由题意得.这两个数的和为(10a＋b)＋(10b＋a)＝11a＋11b＝11(a＋b). 因为a.b都是整数.所以a＋b也是整数. 所以这两个数的和能被11整除. 同理.两个数的差为9(a－b). 因为a.b都是整数.所以a－b也是整数. 所以这两个数的差一定是9的倍数. $$核心素养小专题（二）有理数加减法的运算技巧 ○技巧一：把正数和负数分别结合相加 1计算： (1)(-23)+48+(-41)+32; 解：原式=(-23-41)+(48+32)=-64+80=16. (2)0.36+(-7.4)+0.5+(-0.6)+0.14. 解：原式=(0.36十0.5+0.14)+(-7.4-0.6)=1+(-8)=-7. ○技巧二：相反数结合法 2.计算： (1)(-2.48)+(+4.33)+(-7.52)+(-4.33) 解：原式=[(+4.33)+(-4.33)1+[(-2.48)+(-7.52)1 =0+(-10) =-10. 2+()+号+(-1)+(-) 解：原式=(-1》+()(》+ =0+(-1)+5 ①技巧三：同分母结合法 3计算： 0+日+ 93 解：原式=（←子-）+(--)+(+) =-1+(一1)+1 =-1. 2)-6-4号-（-3)-(+2) 解：原式=一G店-专+3号-2号 =(-6+3)+(4号-2) =-2+(-7 ○技巧四：凑整结合法 4计算： (1)3.5-4.6+3.5-2.4; 解：原式=(3.5+3.5)-(4.6+2.4) =7-7 =0. 2)-2+(+)+(-05)-(-1) 解：原式=-2+名05+日 =(-20.5)+(8+1 =-3十2 =-1. 6-0.751+(-3)-(-025)+乱+7 解：原式=0.75-3+0,25++日 =(0.75+025)-3+(G+0 =-1.核心素养小专题(六)　整式中的规律探究 类型一：用整式表示图形排列规律 1.观察下列图形给出的四个点阵.s表示每个点阵中的点的个数.按照图形中的点的个数变化规律.猜想第n个点阵中的点的个数s＝ . 4n－3 2.下列图形是按一定规律排列的.则2 024个图形中“ ”的个数为 . 6 073 3.下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成的.其中第①个图形中面积为1的正方形有9个.第②个图形中面积为1的正方形有14个.….按此规律.则第 个图形中面积为1的正方形的个数为2 024. 404 类型二：用整式表示数式规律 4.已知a1＝－.a2＝.a3＝－.a4＝.a5＝－.….则a8＝ . 5.有一列数：a1.a2.a3.a4.….an－1.an.若a1＝2×2－1.a2＝2×3－2.a3＝2×4－3.a4＝2×5－4.a5＝2×6－5.….则a2 024的值是 . 2 026 6.观察下列一串单项式的特点： x2y.－x2y2.x2y3.－x2y4.…. (1)请照此规律写出第8个单项式.它是几次单项式？ (2)试猜想第n个单项式是什么？它的系数和次数分别为什么？ 解：(1)－x2y8.它是10次单项式. (2)(－1)n＋1x2yn.系数为(－1)n＋1.次数为(n＋2). 类型三：整式求值在探究规律中的应用 7.你能很快计算出2 0152吗？为了解决这个问题.我们来考察个位为5的自然数的平方.任意一个个位为5的自然数都可以写成10n＋5的形式.于是原题即为求(10n＋5)2的值.n为自然数.分析n＝1.n＝2.n＝3.….从中探索其规律.并归纳、猜想. (1)通过计算.探索规律： 152＝100×1×(1＋1)＋25； 252＝100×2×(2＋1)＋25； 352＝100×3×(3＋1)＋25； 452＝100×4×(4＋1)＋25； 652＝ ； 100×6×(6＋1)＋25 (2)从(1)小题结果.归纳、猜想： (10n＋5)2＝ ； (3)根据上面的归纳、猜想.请计算出2 0152的值为 . 100×n×(n＋1)＋25 4 060 225 $$核心素养小专题(十二)　角度计算中的思想方法 类型一：直接计算 1.如图.∠AOD＝70°.∠COD＝20°.OB是∠AOC的平分线.求∠AOB的度数. 解：因为∠AOD＝70°. ∠COD＝20°. 所以∠AOC＝∠AOD－∠COD＝50°. 因为OB是∠AOC的平分线. 所以∠AOB＝∠AOC＝25°. 2.如图.∠AOB＝∠COD＝90°.OC平分∠AOB.∠BOD＝3∠DOE.求∠COE的度数. 解：因为∠AOB＝90°.OC平分∠AOB. 所以∠BOC＝∠AOB＝45°. 因为∠BOD＝∠COD－∠BOC＝45°. ∠BOD＝3∠DOE.所以∠DOE＝15°. 所以∠COE＝∠COD－∠DOE＝90°－15°＝75°. 类型二：方程思想 【方法指导】 在求角的度数问题时.当题目中出现角度之间的和差、倍数、比的关系时.通常设未知数.利用方程求解. 3.如图.已知OC是∠AOB的平分线.射线OD在∠AOB的内部且∠BOD＝∠COD.若∠AOC＝80°.则∠AOD的度数为（ ） A.140° B.150° C.145° D.130° A 4.如图.已知O是直线AB上的一点.OC是从点O引出的一条射线.且∠AOC<∠BOC.若OD是∠AOC的平分线.且满足∠BOC－∠COD＝90°.求∠COD的度数. 解：设∠COD＝x. 因为OD是∠AOC的平分线.所以∠AOD＝∠COD＝x. 所以∠BOC＝180°－∠COD－∠AOD＝180°－2x. 因为∠BOC－∠COD＝90°.所以∠BOC＝90°＋x. 所以90°＋x＝180°－2x.所以x＝30°. 所以∠COD的度数为30°. 类型三：整体思想 【方法指导】 求解角度时.如果从局部无法解.可从全局着眼.整体思考.会使问题化繁为简. 5.如图.OM平分∠AOB.ON平分∠COD.若∠MON＝50°.∠BOC＝10°.求 ∠AOD的度数. 解：设∠COD＝2x.∠AOB＝2y. 由题意.得∠CON＝x.∠BOM＝y. 因为∠MON＝∠NOC＋∠BOC＋∠BOM＝50°. 即x＋10°＋y＝50°.所以x＋y＝40°. 所以∠AOD＝∠COD＋∠BOC＋∠AOB ＝2x＋10°＋2y＝10°＋2(x＋y)＝10°＋2×40°＝90°. 类型四：分类讨论思想 【方法指导】 在求解没有图形的几何问题时.应根据题意画出图形.同时注意图形的多样性.以免漏解. 6.在同一平面内.已知∠AOB＝30°.∠BOC与∠AOB互余.且OE平分∠AOC.求∠AOE的度数. 解：因为∠AOB＝30°.∠BOC与∠AOB互余. 所以∠BOC＝60°. 如图①.∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝90°. 因为OE平分∠AOC.所以∠AOE＝45°. ① 如图②.∠AOC＝∠BOC－∠AOB＝30°. 因为OE平分∠AOC.所以∠AOE＝15°. 综上所述.∠AOE的度数为45°或15°. ② 类型五：从特殊到一般的思想 7.已知O是直线AB上的一点.∠COD＝90°.OE平分∠BOC. (1)如图①.若∠AOC＝40°.则∠DOE＝ ； (2)如图①.若∠AOC＝α.求∠DOE的度数(用含α的式子表示)； (3)将图①中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图②的位置.其他条件不变.那么(2)中所求出的结论是否仍然成立？请说明理由. 20° 解：(2)因为∠AOC＝α. 所以∠BOC＝180°－α. 因为OE平分∠BOC. 所以∠COE＝∠BOC＝90°－α. 又因为∠COD＝90°. 所以∠DOE＝∠COD－∠COE＝α. (3)结论仍然成立. 理由：因为∠AOC＝α. 所以∠BOC＝180°－α. 因为OE平分∠BOC. 所以∠COE＝∠BOC＝90°－α. 又因为∠COD＝90°. 所以∠DOE＝∠COD－∠COE＝α. $$核心素养小专题(八)　设元技巧在实际问题中的运用 类型一：直接设未知数 【方法指导】 当题目中的数量关系能用所求的未知数表示时.不妨直接设未知数.即求什么设什么.这是设未知数常用的方法. 1.用两台水泵从同一池塘中向外抽水.单开甲泵 5 h可抽完.单开乙泵2.5 h能抽完. (1)如果两台水泵同时抽水.多长时间能把水抽完？ (2)如果甲泵先抽2 h.剩下的由乙泵来抽.乙泵用多少时间才能把水抽完？ 解：(1)设两台水泵同时抽水.x h能抽完. 由题意.得＋＝1.解得x＝. 答：两台水泵同时抽水. h能把水抽完. (2)设乙泵用y h才能抽完.由题意.得 ×2＋y＝1.解得y＝1.5. 答：乙泵用1.5 h才能把水抽完. 2.两支一样长的蜡烛.同时点燃后.第一支蜡烛每小时缩短8 cm.第二支蜡烛每小时缩短 6 cm.2 h后第二支蜡烛的长度是第一支蜡烛的1.5倍.求这两支蜡烛原来的长度. 解：设这两支蜡烛原来的长度为x cm. 根据题意.得x－6×2＝1.5(x－2×8). 解得x＝24. 答：这两支蜡烛原来的长度为24 cm. 类型二：间接设未知数 【方法指导】 间接设元.即所设的不是所求的.适当选择与所求的未知数有关的某个量为未知数.则易找出符合题意的等量关系.从而得到方程. 3.如果一个矩形(长方形)内部能用一些正方形铺满.既不重叠.又无缝隙.就称它为“优美矩形”.如图.“优美矩形”ABCD的周长为26.求正方形d的边长. 解：设正方形b的边长为x.则正方形a的边长为2x. 正方形c的边长为3x. 正方形d的边长为5x. 依题意.得(3x＋5x＋5x)×2＝26. 解得x＝1.所以5x＝5×1＝5. 即正方形d的边长为5. 4.小刘从家里骑摩托车去火车站.若每小时行驶30 km.则比火车开车时间早到15 min；若每小时行驶18 km.则比火车开车时间迟到15 min.现在小刘打算在火车开车前10 min到达火车站.求小刘此时骑摩托车的速度. 解：设小刘家到火车站的路程为x km.由题意.得 ＋＝－.解得x＝. 小刘从家出发时离火车开车的时间为 ＋＝1(h).速度为＝27(km/h). 答：小刘此时骑摩托车的速度为27 km/h. $$核心素养小专题(一)　数轴、绝对值的运用 一、数轴的运用 类型一：用数轴表示数 1.如图.数轴上所标出的点中.相邻两点间的距离相等.则点A表示的数为 (　　) A.30 B.50 C.60 D.80 C 2.点A在数轴上的位置如图所示.将点A向左移动3个单位长度得到点B.则点B表示的数是( ) A.4 B.3 C.－3 D.－2 D 3.如图.数轴上的两个点分别表示数a和－2.则a可以是( ) A.－3 B.－1 C.1 D.2 A 4.若数轴上分别表示m和－2的两点之间的距离是24.则m的值为( ) A.22 B.26 C.－26或22 D.－22或26 C 5.如图.数轴上的三个点中.表示负数的是点 . 6.如图.数轴上的两个点分别表示－3和m.请写出一个符合条件的m的整数值： . M －4(答案不唯一) 7.根据下面给出的数轴.解答下面的问题： (1)请根据图中A.B两点的位置.分别写出它们所表示的有理数(点B在－3和－2的正中间)：A： .B： ； (2)观察数轴.A.B两点之间的距离是 ； (3)若将数轴折叠.使得A点与－3表示的点重合.则B点与 表示的点重合. 1 －2.5 3.5 0.5 类型二：用数轴比较有理数的大小 8.如图.已知数轴上点A对应的数为a.则下列结论中正确的是( ) A.－2＜－a＜a＜2 B.－a＜－2＜a＜2 C.－a＜－2＜2＜a D.－2＜－a＜2＜a C 类型三：用数轴表示相反数与绝对值 9.如图.点A.B表示的数互为相反数.则点B表示的数是( ) A.2 B.－2 C. D.－ A 10.已知a.b是不为0的有理数.且|a|＝－a.|b|＝b.|a|＞|b|.那么用数轴上的点来表示a.b时.正确的是( ) C 11.若数a在数轴上的对应点在原点左边.且|a|＝.则a＝ . 12.一个数a在数轴上表示的点是A.当点A在数轴上平移了5个单位长度后到点B.点A与点B表示的数恰好互为相反数.则a＝ . － ±2.5 13.如图.图中数轴的单位长度为1. (1)如果点B.E表示的数互为相反数.那么点D表示的数是多少？ (2)如果点C.E表示的数互为相反数.那么点D的相反数是什么？ 解：(1)由B与E表示的数互为相反数.得到D为坐标原点.即D表示的数为0. (2)由C与E表示的数互为相反数.得到D表示的数－1.其相反数为1. 类型四：用数轴解决实际生活中的问题 14.一条东西走向的商业街上.依次有书店A、冷饮店B、鞋店C.B位于C西边50 m处.C位于A东边60 m处.小王先去书店.然后沿着这条街向东走了30 m至D处.接着向西走50 m到达E处. (1)以A为原点、向东为正方向画数轴.在数轴上表示出上述A.B.C.D.E的位置； (2)若在这条街上建一家超市F.使超市F与鞋店C分别居于E点两侧.且到E点的距离相等.问超市F在冷饮店B的什么方向？距离多远？ 解：(1)如图所示. (2)由数轴易知超市F在E点的西边.距离为80 m.E点在冷饮店B的西边.距离为30 m. 故超市F在冷饮店B的西边.距离为110 m. 二、绝对值的运用 类型一：利用绝对值比较大小 15.比较大小(用“＞”“＜”或“＝”表示)： (1)－7和－6.5；　 (2)－|－2|和－(－2)； 解： －7＜－6.5. 解：－|－2|＜－(－2). (3)－和－； (4)－1和－. 解：－<－. 解： －1<－. 类型二：绝对值的非负性 16.已知|a＋1|＋|b－3|＝0.求式子2a＋b的值. 解：由题意.得a＋1＝0.b－3＝0. 所以a＝－1.b＝3. 所以2a＋b＝2×(－1)＋3＝1. 类型三：利用绝对值的非负性求式子的最值 17.根据|a|≥0这条性质.解答下列问题： (1)当a＝ 时.|a－4|有最小值.此时最小值为 ； (2)当a取何值时.|a－1|＋3有最小值？这个最小值是多少？ (3)当a取何值时.4－|a|有最大值？这个最大值是多少？ 4 0 解：(2)当a＝1时.|a－1|＋3有最小值3. (3)当a＝0时.4－|a|有最大值为4. 类型四：绝对值在实际生活中的应用 18.质检员抽查4个足球.其中超过标准质量的克数记为正数.不足标准质量的克数记为负数.则最接近标准质量的足球是( ) B $$核心素养小专题(十三)　角平分线模型 【例】如图.在∠AOB内部任意画一条射线OC.OD平分∠AOC.OE平分∠BOC.根据图形填空： (1)∠AOE＝∠AOC＋ ； (2)∠COD＝ ＝ ； (3)∠DOE＝ ＋ ＝ ； (4)若∠DOE＝60°.则∠AOB＝ ；若∠AOB＝n°.则∠DOE＝ . ∠EOC ∠AOD ∠AOC ∠COD ∠EOC (∠AOC＋∠BOC) 120° n° 【方法归纳】 条件：如图.射线OC在∠AOB内部.OM.ON分别平分∠BOC和∠AOC. 结论：∠MON＝∠AOB. 【变式1】如图.射线OC在∠AOB的外部.∠BOC＝α(α为锐角).且OM平分∠AOC.ON平分∠BOC. (1)若∠AOB＝90°.求∠MON的度数； 解：(1)当∠BOC＝α时.∠MOC＝(90°＋α). ∠NOC＝α. ∠MON＝∠MOC－∠NOC ＝(90°＋α)－α ＝45°. (2)若∠AOB＝β(β为锐角)不变.∠MON的度数是否变化？说明理由. 解：(2)不变. 理由：当∠AOB＝β时.∠MOC＝(β＋α). ∠NOC＝∠BOC＝α. ∠MON＝∠MOC－∠NOC＝β. 所以∠MON的度数也不变. 【方法归纳】 条件：如图.射线OC在∠AOB外部.OM.ON分别平分∠BOC和∠AOC. 结论：∠MON＝∠AOB. 【变式2】如图.OE平分∠AOC.OF平分∠BOC.∠EOF＝124°.则∠AOB ＝ . 112° 【变式3】如图.直线AB.CD相交于点O.OE平分∠BOD.OF平分∠COE.若∠BOF＝30°.则∠DOE＝ . 40° 【变式4】已知∠AOB＝160°.OC.OD为两条射线.且∠COD＝20°. (1)如图①.∠COD在∠AOD内部(∠AOD＞∠AOC).若OE平分∠AOC.OF平分∠BOD.则∠EOF的度数为 ； (2)如图②.OE平分∠AOD.OF平分∠BOC.则∠EOF的度数为 . 90° 70° $$核心素养小专题(四)　有理数中的规律探究 类型一：一列数中的规律 1.观察下列各数的排列规律：0.－3.8.－15.….照这样排列.第8个数应是( ) A.55 B.－56 C.－63 D.65 C 2.按一定规律排列的一组数据：.－..－..－.….则按此规律排列的第10个数是( ) A.－ B. C.－ D. 3.有这样一组数：1.1.2.3.5.8.13.….根据这组数的规律.则第10个数是 . A 55 类型二：有理数运算中的规律 4.观察下列图形中的数字排列规律.在第⑧个图中.b－c的值是( ) A.－382 B.－386 C.126 D.382 D 5.观察下列等式：12＝12；13＋23＝32；13＋23＋33＝62；13＋23＋33＋43＝102.根据此规律.计算13＋23＋33＋…＋73的结果为 .6.计算31－1＝2；32－1＝8；33－1＝26；…；归纳计算结果中的个位数字的规律.猜测32 024－1的个位数字是 . 282(或784) 0 7.观察以下等式： 第1个等式：＋＋×＝1； 第2个等式：＋＋×＝1； 第3个等式：＋＋×＝1； 第4个等式：＋＋×＝1； 第5个等式：＋＋×＝1；… 按照以上规律.解决下列问题： (1)写出第6个等式： ； (2)计算：＋＋＋＋＋. ＋＋×＝1 解：(2)原式＝(＋＋×)＋(＋＋×)＝1＋1＝2. 类型三：数轴上的规律 8.如图.把周长为4个单位长度的圆放到数轴(单位长度为1)上.点A.B.C.D将圆四等分.将点A与数轴上表示1的点重合.然后将圆沿着数轴的正方向滚动.依次为点B与数轴上表示2的点重合.点C与数轴上表示3的点重合.点D与数轴上表示4的点重合.点A与数轴上表示5的点重合.….若当圆停止运动时.点B正好落到数轴上.则此时点B表示的数可能为( ) A.2 024 B.2 025 C.2 026 D.2 027 C $$核心素养小专题(九)　分析应用题时常用的方法 方法一：直接找等量关系法 【例1】把一些图书分给某班学生阅读.若每人分3本.则剩余20本；若每人分4本.则还缺25本.这个班有多少名学生？有多少本图书？ 【分析】题中虽然两种分配方式不同.但是书籍的总数是相同的.这属于用不同方式表示同一个量的问题.因此.我们可以以不同方式下书籍总数不变得到等量关系：第一种分配方式的总数＝第二种分配方式的总数.从而设未知数列出方程. 解：设这个班有x名学生.根据题意.得 3x＋20＝4x－25. 解得x＝45. 则45×3＋20＝155(本). 答：这个班有45名学生.155本图书. 【针对训练】 1.某工厂计划生产一种新型豆浆机.每台豆浆机需3个甲种零件和5个乙种零件正好配套.已知车间每天能生产甲种零件450个或乙种零件300个.现要在21天中使所生产的零件全部配套.那么应该安排多少天生产甲种零件.安排多少天生产乙种零件？ 解：设应该安排x天生产甲种零件.则安排(21－x)天生产乙种零件.根据题意.得 ＝.解得x＝6. 则21－6＝15(天). 答：应该安排6天生产甲种零件.安排15天生产乙种零件. 2.有两个工程队.第一队有45人.第二队比第一队少15人.因任务需要.要求第一队的人数是第二队的人数的2倍.问需要从第二队抽调多少人去支援？ 解：设需要从第二队抽调x人去支援第一队. 根据题意.得 2(45－ 15－x)＝45＋x. 解得x＝5. 答：需要从第二队抽调5人去支援第一队. 方法二：画图分析法 【例2】快车和慢车同时从甲、乙两地相向开出.快车每小时行40 km.经过3 h.快车已驶过中点25 km.这时快车与慢车还相距7 km.求慢车的速度. 【分析】本题等量关系比较难寻找.我们可以将题中的数量关系用线段图的形式呈现出来： 由线段图可以看出.甲、乙两地到中点距离相等.所以等量关系为“甲地到中点的距离＝乙地到中点的距离”. 解：设慢车的速度为x km/h.由题意.得 40×3－25＝3x＋7＋25. 解得x＝21. 答：慢车的速度为21 km/h. 【针对训练】 3.近年来.跑步运动已经成为全民参与的重要体育活动.越来越多的人加入到跑步运动中.某跑步爱好者在一次跑步中.先按原计划10 km/h的平均速度跑了一半的路程.后因各种因素影响.平均速度下降了20%.并以此速度跑完了后半程.这样总用时比原计划多用了15 min.求他此次跑步的总路程. 解： 设他此次跑步的原计划用时x h.则 10×＋10(1－20%)＝10x. 解得x＝2. 总路程为2×10＝20(km). 答：他此次跑步的总路程为20 km. 方法三：列表格分析法 【例3】学校组织植树活动.已知在甲地植树的有23人.在乙地植树的有17人.现调20人去支援甲、乙两地.使在甲地植树的人数是在乙地植树人数的2倍.则应调往甲、乙两地各多少人？ 【分析】列出表格.可将复杂的数量关系直观地呈现出来(x表示调往甲地的人数). 等量关系是甲地增加后的人数＝2×乙地增加后的人数. 地点 甲 乙 原有人数 23 17 增加的人数 x 20－x 增加后的人数 23＋x 17＋20－x 解：设应调往甲地x人.根据题意.得 23＋x＝2(17＋20－x). 解得x＝17. 所以20－x＝20－17＝3. 答：应调往甲地17人.乙地3人. 【针对训练】 4.新年将至.某车间接到一批新年礼盒订单.要求5天完成.已知车间有12名工人.每人每天能生产11个A商品或者12个B商品.每个工人每天只能生产同一种商品.每个新年礼盒由1个A商品和3个B商品拼装而成.车间安排部分人生产A商品.剩余人生产B商品.生产3天后预估A商品配套有余.于是从生产A商品的工人中调拨2人去生产B商品.其他工人生产不变.恰好如期完成订单.且A.B商品也刚好配套.则这批新年礼盒共有多少个？ 商品数量时间 生产A商品 生产B商品 人数 商品总个数 人数 商品总个数 前3天 x 12－x 后2天 x－2 解：(1)设前3天安排x人生产A商品.根据题意列式填写下列表格. 33x 432－36x 22x－44 14－x 336－24x (2)请通过列方程求出这批新年礼盒的数量. 解：(2)由题意得 3(33x＋22x－44)＝432－36x＋336－24x. 解得x＝4. 所以33x＋22x－44＝176. 答：这批新年礼盒共有176个. $$核心素养小专题(十)　正方体的展开与折叠问题 类型一：找正方体的相对面 【方法指导】 快速确定正方体的展开图中相对面的方法： 1.找间隔：如果正方体的展开图中有3个或4个小正方形连成“一”字形.那么间隔一个小正方形的两小正方形所在的面是正方体的相对面.如图①.A与C.B与D所在的面为相对面；如图②.A与B所在的面为相对面. 2.找“Z”字形：在正方体的展开图中的形如“Z”字形的几个面中.位于“Z”字端的两个面是相对面.如图③.④.⑤中.A与B所在的面为相对面. 1.(1)如图.“考”的相对面上的字是 .“成”的相对面上的字是 ； 功 祝 (2)如图.在正方体的展开图上编号.请写出相对面的号码：3的相对面是 .4的相对面是 .5的相对面是 . 6 1 2 2.给一个正方体的六个面都标上颜色.要求两个相对面上的颜色都一样.那么在下列四个图形中.不可能是这一个正方体的展开图的是( ) C 类型二：判断正方体的展开图 【方法指导】 正方体的展开图的4个代表图形： 以上四种类型可以编成如下口诀来辅助记忆：中间四个面.上下各一面；中间三个面.一二隔河现；中间两个面.楼梯天天见；中间没有面.三三连一线. 3.如图.裁掉一个正方形后能折叠成正方体.但不能裁掉的是( ) A.① B.② C.③ D.④ A 4.如图.正方体的展开图为( ) C $$期末压轴专题(一)　线段上的动点问题 【方法指导】 解决线段上的动点问题的处理方法：“点→线→式”两步.即①列线：利用两点间的距离的表示方法将线段用具体的数或式子表示出来；②列式：根据题目中的线段之间的数量关系列出方程并解方程. 1.如图.在直线上顺次取A.B.C三点.使得AB＝40 cm.BC＝280 cm.点P.点Q分别从A.B两点同时出发向点C运动.点P的速度为 3 cm/s.点Q的速度为 1 cm/s. (1)如果D是线段AC的中点.那么线段BD的长是 cm； (2)①求点P出发多少秒后追上点Q； ②点P出发多少秒后与点Q的距离是20 cm. 120 解：(2)①设点P出发x s后追上点Q. 根据题意得3x－x＝40.解得x＝20. 答：点P出发20 s后追上点Q. ②设点P出发t s后与点Q的距离是20 cm.根据题意得 3t－t＝40＋20或3t－t＝40－20. 解得t＝30或t＝10. 答：点P出发30 s或10 s后与点Q的距离是20 cm. 2.如图.已知a.b分别对应数轴上A.B两点.并且满足|a－2|＋(6＋2b)2＝0.点P为数轴上一个动点.它对应的数是x. (1)填空：a＝ .b＝ .AB＝ ； (2)若P为线段AB上一点.并且PA＝3PB.求x的值； (3)若P点从A点出发以每秒2个单位长度的速度运动.则出发几秒钟后.PA＝4PB? 2 －3 5 解：(2)根据题意.得 2－x＝3[x－(－3)]. 解得x＝－. (3)因为点A在点B的右边.所以若想PA＝4PB. 则点P从点A向左运动. 设点P运动的时间为t s.则点P对应的数是2－2t. 根据题意得2t＝4|2－2t－(－3)|. 解得t＝2或 . 答：出发2 s或 s后.PA＝4PB. $$核心素养小专题(七)　利用一元一次方程的解求待定字母的值 类型一：利用一元一次方程的解的定义求待定字母的值 【方法指导】把已知方程的解代入方程.等式仍然成立.由此可求得方程中待定字母的值. 1.关于x的一元一次方程2(x－1)＋3a＝3的解为x＝4.则a的值是(　　) A.－1 　 　B.1 　 　 C.－2 　 　 D.－3 A 2.方程－＝1中有一个数字被墨水盖住了.查后面的答案.知道这个方程的解是x＝－1.那么墨水盖住的数字是(　　) A. B.1 C.－ D.0 B 3.关于x的方程＋1＝＋k.当k为何值时.解为x＝－1? 解：将x＝－1代入方程＋1＝＋k中.得＋1＝1＋k.解得k＝－1. 类型二：利用两个方程解之间的关系求待定字母的值 【方法指导】此类题中待定字母可看作是已知数.用含待定字母的式子表示出方程的解.再根据两个方程的解的关系.建立关于以待定字母为未知数的方程.求出待定字母的值. 4.当m为何值时.关于x的方程4x－2m＝3x＋1的解是x＝2x－3m的解的2倍？ 解：因为x＝2x－3m的解是x＝3m. 4x－2m＝3x＋1的解是x＝2m＋1. 所以2m＋1＝2×3m. 解得m＝. 5.已知关于x的方程－＝x－1与方程3(x－2)＝4x－5有相同的解.求a的值. 解：解方程3(x－2)＝4x－5.得x＝－1. 将x＝－1代入方程－＝x－1中.得－＝－1－1. 解得a＝－11. 类型三：利用方程的错解确定待定字母的值 【方法指导】先根据题意写出漏乘之后的方程.再将所得的解代入漏乘之后的方程.求解即可. 6.关于y的一元一次方程3(y＋a)＝2y＋4.小明在解方程去括号时.将a漏乘了3.得到方程的解是y＝3. (1)求a的值； (2)求该方程正确的解. 解：(1)由题意.得y＝3是方程3y＋a＝2y＋4的解.所以3×3＋a＝2×3＋4.解得a＝1. (2)由(1)得a＝1.所以原方程为 3(y＋1)＝2y＋4.解得y＝1. 故该方程正确的解是y＝1. $$