第一章　有理数 训练提升课件2024-2025学年 人教版（2024）数学七年级上册

第一章　有理数 1.1　正数和负数 第1课时　正数和负数 1.大于0的数叫作 ，在正数前加上符号“－”的数叫作 .2. 既不是正数，也不是负数.3.如果一个问题中出现具有相反意义的量，就可以用 和 分别表示它们. 正数 负数 0 正数 负数 知识点一：认识正数、负数、0 1.在下列各数中：－3.14，24，＋19，－6，，π，－0.101，－0.5，0，－2 024，27%. 正数有： ； 负数有： ； 既不是正数，也不是负数的有： . 24，＋19，，π，27% －3.14，－6，－0.101，－0.5，－2 024 0 知识点二：用正数和负数表示具有相反意义的量 2.《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思：今有两数若其意义相反，则分别叫作正数与负数.如果温度上升3 ℃，记作＋3 ℃，那么温度下降2 ℃记作（ ） A.＋3 ℃ B.＋2 ℃ C.－3 ℃ D.－2 ℃ D 3.下列不具有相反意义的量的是（ ） A.前进5 m和后退5 m B.节约10 t水和浪费1 t水 C.超过5 g和不足2 g D.身高增加2 cm和体重减少2 kg D 4.某App的收付款具有“二维码收款”和“向商家付款”两项功能，若使用二维码收款100元记作＋100 元，那么向商家付款50元记作（ ） A.＋50 B.－50 C.＋50元 D.－50元 D 【变式】若盈余10万元记作＋10万元，那么－10万元表示 . 亏损10万元 5.如果将“扩大50倍”记作“＋50倍”，那么“缩小20倍”记作（ ） A.＋20倍 B.－20倍 C.＋30倍 D.－30倍 B 6.下列说法中正确的是（ ） A.0是正数不是负数 B.不是正数的数一定是负数 C.0既是正数也是负数 D.0既不是正数也不是负数 D 7.在某班举办的智力竞赛中，五位同学的成绩如下：96分，92分，99分，90分，98分. (1)试求这五位同学的平均成绩； (2)若把平均成绩记为0，超过的记为正，不足的记为负，则这五位同学的成绩分别是多少？ 解：(1)根据题意可得 (96＋92＋99＋90＋98)÷5＝95(分). 答：这五位同学的平均成绩是95分. (2)这五位同学的成绩分别是＋1，－3，＋4，－5，＋3. $$复习提升(一)　有理数 【重难点突破】 重难点一：正数和负数 1.当前，手机移动支付已经成为新型的消费方式，中国正在向无现金支付发展.小明在妈妈的微信零钱明细中看到，收入200元被记作＋200元，则－35元表示( ) A.收入35元 B.支出35元 C.收入165元 D.支出165元 B 2.下列说法中正确的是( ) A.－a一定是负数 B.一个数不是正数就是负数 C.0是负数 D.在正数前面加“－”号，就成了负数 D 3.学校、家、书店依次坐落在东西走向的道路上，学校在家的东边20 m，书店在家西边100 m，小琪同学从学校出发，向西走了50 m，接着又向西走了70 m，此时小琪的位置在( ) A.在家 B.在学校 C.在书店 D.不在上述地方 C 重难点二：有理数的概念及分类 4.下列不是有理数的是( ) A. B.9.818 118 111 8…(每两个8之间1的个数逐渐增加1) C.0.666 66… D.0 B 5.下列说法中，错误的是(　　) A.－3.14既是负数、分数，也是有理数 B.0是非负数，也是非正数 C.有最小的正整数，没有最小的负整数 D.一个有理数，不是正数就是负数 D 6.把下列各数填入相应括号内. －，0.618，－3.141 5，2 024，－26，65%，0. 正分数：{ … }；　 整数：{ … }；　 负有理数：{ … }； 非负数：{ … }. 0.618，65%　 2 024，－26，0 －，－3.141 5， －26 　 0.618，2 024，65%，0 重难点三：数轴、相反数、绝对值 7.如果a的相反数是2 024，那么a的值为( ) A.2 024 B.±2 024 C.－ D.－2 024 8.如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是－2，那么点B表示的数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 D C 9.若|－m|＝|－|，则m的值为( ) A.±2 B.±C. D.－ 10.已知|a＋1|与|b－4|互为相反数，则ab的值是( ) A.－1 B.1 C.－4 D.4 B C 11.根据给出的数轴，回答下列问题： (1)写出点A表示的数的相反数和点B表示的数的绝对值； (2)将点A先向右移动1个单位长度，再向左移动5个单位长度，得到点C，在数轴上表示出点C，并写出点C表示的数. 解：(1)点A表示的数的相反数是－3，点B表示的数的绝对值是2. (2)点C表示的数是3＋1－5＝－1， 在数轴上表示出点C，如图所示. 重难点四：有理数的大小比较 12.受寒潮影响，我市连续四天的最低气温数(单位：℃) 分别是1，－2，－1，0，则最低气温数中最小的是( ) A.1 B.－2 C.－1 D.0 B 13.(盘龙区期末)下列正确的是( ) A.－(－21)＜＋(－21) B.－|－10|＞8 C.－|－7|＝－(－7) D.－＜－ D 14.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论中正确的是( ) A.|a|＜|b| B.a＞b C.a＜－b D.|a|＞|b| A 15.请写一个绝对值大于1而小于5的数： . 16.大于－2.5而小于3.5的整数共有 个. 2(答案不唯一) 6 17.如图的数轴上，每小格的宽度相等. (1)填空：数轴上点A表示的数是 ，点B表示的数是 ； (2)点C表示的数是－，点D表示的数是－1，请在数轴上分别画出点C和点D的位置； (3)将A，B，C，D四个点所表示的数按从大到小的顺序排列，用“＞”连接. 2 解：(2)如图所示. (3)由数轴知2>>－>－1. 18.比较下列每组数的大小： (1)－|－3|与|－(－3)|； (2)－与－. 解：－|－3|＜|－(－3)|. 解：－>－. 【综合与实践】 19.出租车司机王师傅某天早上营运时是在东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天早上所接六位乘客的行车里程(单位：km)如下： 2.7，＋5，－4，＋1，－6，－2.3. (1)将最后一位乘客送到目的地时，王师傅在早上出发点的什么位置？ (2)若汽车每行驶100 km的耗油量为11 L，这天早上王师傅接送乘客，出租车共耗油多少升？ (3)若出租车起步价为6元，起步里程为2 km(包括2 km)，超过部分(不足 1 km按1 km计算)每千米1.5元，王师傅这天早上共得车费多少元？ 解：(1)王师傅在早上出发点的西面3.6 km的地方. (2)|2.7|＋|＋5|＋|－4|＋|＋1|＋|－6|＋|－2.3|＝21(km)， 11÷100＝0.11(L/km)， 21×0.11＝2.31(L). 答：这天早上王师傅接送乘客，出租车共耗油2.31 L. (3)第一次：2.7－2＝0.7(km)，6＋1×1.5＝7.5(元)； 第二次：6＋(5－2)×1.5＝10.5(元)； 第三次：6＋(4－2)×1.5＝9(元)； 第四次：1＜2，依据题意车费为6元； 第五次：6＋(6－2)×1.5＝12(元)； 第六次：2.3－2＝0.3，6＋1×1.5＝7.5(元)； 7.5＋10.5＋9＋6＋12＋7.5＝52.5(元). 答：王师傅这天早上共得车费52.5元. $$第2课时　正数和负数在生活中的应用 知识点：正数和负数在生活中的应用 1.近日国家统计局公布数据，规模以上家具制造企业1至10月实现营业收入5 127.9亿元，净利润为 247.1亿元，同比上一年下降11.8%.若＋11.8%表示上升11.8%，则－11.8%表示( ) A.上升11.8% B.下降88.2% C.下降－11.8% D.下降11.8% D 2.小虎所在的生产车间需要加工标准尺寸为4.5 mm的零部件，其中(4.5± 0.2) mm范围内的尺寸为合格，则下列尺寸的零部件不合格的是( ) A.4.4 mm B.4.5 mm C.4.6 mm D.4.8 mm D 3.A地与B地的时差为－15时(正数表示同一时刻A地比B地时间早的小时数)，如果B地时间是9月2日13：00，那么A地时间是( ) A.9月1日22：00 B.9月2日4：00 C.9月3日22：00 D.9月3日4：00 A 4.某运动项目的比赛规定，胜一场记作“＋1”分，平局记作“0”分，如果某队得到“－1”分，则该队在比赛中 (选填“输给”或“打赢了”)对手. 输给 5.某学校校运会开幕式上举行火炬传递仪式，共安排了3名火炬手跑完全程，第1棒火炬手的里程为102 m，第2棒火炬手比第1棒火炬手多跑3 m，第3棒火炬手又比第2棒火炬手少跑 7 m，以第1棒火柜手的里程为基准，用正数和负数表示这3棒火炬手实际里程. 解：第2棒火炬手的实际里程为＋3 m，第3棒火炬手的实际里程为－4 m. 6.如图是某古筝调音器软件的界面，已知古筝是标准音时，界面指针指向0，指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦.当古筝的音调低于标准音30时，该界面指针指向的数字是( ) A.－40 B.－30 C.0 D.30 B 7.小明同学的微信钱包部分账单明细如图所示，＋10.5表示收入10.5元，下列说法正确的是( ) A.－6.3表示收入6.3元 B.－6.3表示支出－6.3元 C.－6.3表示支出6.3元 D.收支总和为16.8元 C 8.在机器人社团活动中，小明同学通过编程使一只电子蚂蚁从点A处出发，在一直线上连续往返爬行6趟，设向右爬行记为正，向左爬行记为负.电子蚂蚁爬行情况依次记为(单位：cm)：＋3，－6，－11，＋9，－6，＋7. (1)电子蚂蚁这6趟是如何爬行的？ (2)电子蚂蚁最后位于起点A的右侧还是左侧？距起点A多少厘米？ 解：(1)电子蚂蚁从点A处出发，先向右爬行3 cm，再向左爬行6 cm，再向左爬行11 cm，再向右爬行9 cm，再向左爬行6 cm，再向右爬行7 cm. (2)以点A为基准点，在点A的右侧记为正，在点A的左侧记为负.电子蚂蚁的位置依次记为(单位：cm)：＋3，－3，－14，－5，－11，－4. 答：电子蚂蚁最后位于起点A的左侧，距起点A 4 cm. $$1.2　有理数及其大小比较 1.2.1　有理数的概念 1. 、 、 统称为整数.正分数、负分数统称为 . 2.整数可以写成 的形式. 3.可以写成分数形式的数称为 . 正整数 0 负整数 分数 分数 有理数 知识点一：有理数的概念 1.下列四个数中，负分数是（ ） A.2 024 B.－3.14 C.0 D.－3 2.已知下列四个数：0，－1，4.2，－3，其中整数有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B C 3.下列对－3.14说法不正确的是( ) A.是负数，但不是负整数 B.是分数，但不是自然数 C.是有理数，但不是分数 D.是负有理数且是负分数 C 知识点二：有理数的分类 4.下列说法中错误的是( ) A.负整数和负分数统称为负有理数 B.正整数、负整数和0统称为整数 C.正有理数和负有理数统称为有理数 D.6是整数，但不是分数 C 5.把下列各数填入相应的大括号内： 13，－，6.5，－8，3，0，1，－2.，－15%. (1)正数：{　 …}； (2)整数：{　 …}； (3)负整数：{　 …}； (4)正分数{　 …}； (5)负有理数：{ …}. 13，6.5，3，1 13，－8，0，1 －8 6.5，3 －，－8，－2.，－15% 6.下列各数：3，－7，－，5.5，0，－8，15，，其中非正数有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.在有理数3.14，3，－，0，＋0.003，－3，－104，6 004中，负分数的个数为x，正整数的个数为y，则x＋y的值为（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 D B 8.请按要求填写相应的2个有理数： (1)是负数但不是整数： ； (2)是整数但不是负数： ； (3)既不是分数，也不是非负数： ； (4)既不是整数，也不是负数： . －0.5，－2(答案不唯一) 0，2 024(答案不唯一) －2，－17(答案不唯一) ，1.5(答案不唯一) 9.请把下列各数填入表示它所在的数集的圈里： －3，－40%，－0.26，10，，19，8.5，3.9，－8，－2. 这四种数的集合合并在一起 (选填“是”或“不是”)全体有理数集合. 10，19 -3，-8 ，8.5，3.9 －40%，－0.26，－2 不是 $$1.2.2　数　轴 1.规定了 、 和 的直线叫作数轴. 2.一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在数轴的 半轴上，与原点的距离是 个单位长度；表示数－a 的点在数轴的 半轴上，与原点的距离是 个单位长度. 原点 正方向 单位长度 正 a 负 a 下列完整的数轴是(　　) A. B. C. D. 【思路分析】根据数轴的三要素：原点、单位长度、正方向判断，选项A没有单位长度，选项B没有正方向，选项D单位长度有缺漏，没有原点. 【自主解答】 【名师支招】1.数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可；2.单位长度可长可短，但同一数轴上的单位长度必须一致；3.数轴的两端不能画点，否则就成线段而不是数轴了；4.原点位置的选定，数字的标注都是根据实际而定的. C 【易错原因】数轴上已知到某点的距离，求点时漏解 数轴上点A到原点的距离为 2.5，则点A所表示的数是(　　) A.2.5　　　　　　　B.－2.5 C.2.5或－2.5 D.0 【自主解答】 C 知识点一：数轴的概念与画法 1.关于数轴，下列说法中正确的是（ ） A.数轴是一条线段 B.数轴是一条射线 C.同一数轴上的单位长度可以不一样 D.数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线 D 2.下列表示数轴正确的是（ ） A. B. C. D. C 知识点二：数轴上的点与有理数的关系 3.在数轴上，原点及原点左边的点表示的数是（ ） A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数 C 4.若a＝－2，则数a在数轴上对应的点的位置是（ ） A 5.如图，指出数轴上点A，B，C，D，E分别表示的数. 点A表示 ；点B表示 ；点C表示 ；点D表示 ；点E表示 . 1 －3 2.5 －1 －5 知识点三：数轴上两点之间的距离 6.点A在数轴上表示的数是 1，那么数轴上表示－2的点到点A 的距离是（ ） A.－3 B.1 C.2 D.3 D 7.在数轴上与－1的距离等于5个单位长度的点所表示的数是（ ） A.6 B.－4或6 C.－6 D.4或－6 D 8.数轴上，如果点A表示－3.5，点B表示－4.2，那么离原点较近的点是 (选填“A”或“B”). A 9.如图，数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位度到达点C，若点C表示的数为1，则点A表示的数为（ ） A.7 B.3 C.－2 D.2 C 10.将一刻度尺按如图所示放在数轴上(数轴的单位长度是1 cm)，数轴上的两点A，B恰好与刻度尺上的“0 cm”和“7 cm”分别对应.若点A表示的数为－2.3，则点B表示的数应为 . 4.7 11.把在数轴上表示－1的点移动3个单位长度后，所得对应点的数是 . 2或－4 12.快递员骑电动车从物流公司出发，先向西行驶3 km到达A小区，继续向西行驶1 km到达B小区，然后向东骑行8 km到达C小区，最后到达物流公司. (1)以物流公司为原点，向东方向为正方向，用1个单位长度表示1 km，在下图中画出数轴，并在该数轴上表示A，B，C三个小区的位置； (2)C小区离A小区有多远？ (3)求快递员一共骑行的路程. 解：(1)如图所示，点A，B，C即为所求. (2)点A对应数－3，点B对应数－4，点C对应数4. 3＋4＝7(km)， 所以C小区离A小区7 km. (3)3＋1＋8＋4＝16(km). 所以快递员一共骑行了16 km. 13.(核心素养·逻辑推理)如图，已知在纸面上有一个数轴. (1)操作一：折叠纸面，使表示1的点与表示－1的点重合，则表示－5的点与表示 的点重合； (2)操作二：折叠纸面，使表示1的点与表示3的点重合，回答以下问题： ①表示－2的点与表示 的点重合； ②若数轴上A，B两点之间的距离为7(A在B的左侧)，且折叠后A，B两点重合，则点A表示的数为 ，点B 表示的数为 . 5 6 －1.5 5.5 $$微专题1　数轴上的“整点”问题 【方法指导】解决这类问题，要数形结合，在数轴上数清正整数、负整数的个数，别忘记0. 【针对训练】 找规律： (1)借助数轴，回答下列问题. ①从－1到1有3个整数，分别是 ； ②从－2到2有5个整数，分别是 ； ③从－3到3有 个整数，分别是 ； ④从－200到200有 个整数； ⑤从－n到n有 个整数(n为正整数)； －1，0，1 －2，－1，0，1，2 7 －3，－2，－1，0，1，2，3 401 (2n＋1) (2)【直接应用】根据以上规律，直接写出： 从－2.9到2.9有 个整数，从－10.1到10.1有 个整数； (3)【变式应用】在单位长度是1 cm的数轴上随意画出一条长为1 000 cm的线段AB，则线段AB盖住的整数点有 个. 5 21 1 000或1 001 $$1.2.3　相反数 1.只有 不同的两个数，互为相反数. 2.一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有 个，它们分别在 ，表示 和 ，这两个数只有符号不同，0的相反数是 . 3.在任意一个数前面添上“ ”号，新的数就表示原数的相反数，即a的相反数是 . 符号 两 正、负半轴上 a －a 0 － －a 已知a是－[－(－6)]的相反数，b比最小的正整数大5，c是相反数为它本身的数，计算4a＋5b＋3c的值. 【思路分析】先根据已知确定a，b，c的值，再代入所求式子中，即可求值. 【自主解答】 因为－[－(－6)]＝－6，所以a＝6. 因为b比最小的正整数大5， 所以b＝1＋5＝6. 因为c是相反数为它本身的数， 所以c＝0. 所以4a＋5b＋3c＝4×6＋5×6＋3×0＝54. 【名师支招】当所给的数中含多重符号时，应先化简再代入求值. 【易错原因】概念理解不透 若－(－3)表示一个数的相反数，则这个数是(　　) A.　　B.－　　C.3　　D.－3 【自主解答】 D 知识点一：相反数的概念及求法 1.－6的相反数是（ ） A.－6 B.－ C.6 D. 2.在1，－1，3，－2这四个数中，互为相反数的是（ ） A.1与－1 B.1与－2 C.3与－2 D.－1与－2 C A 3.下列说法中正确的是（ ） A.＋7是相反数 B.－7是相反数 C.＋7不是－7的相反数 D.－7与＋7互为相反数 4.如图，数轴上表示2的点是点 ，表示－2的点是点 ，它们到原点O的距离 (选填“相等”或“不相等”)，所以2与－2互为 . 5.－与 互为相反数，－2的相反数是 . D A B 相等 相反数 2 知识点二：多重符号的化简 6.在－1，＋(－2)，－(－3)，－(＋4)中负数的个数有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.－(＋2)表示 的相反数，即－(＋2)＝ ； －(－5)表示 的相反数，即－(－5)＝ . C 2 －2 －5 5 8.化简： (1)－(－6)；　　　　　　　　 　(2)－(＋7)； 解：－(－6)＝6. 解：－(＋7)＝－7. (3)－(＋2.9); (4)－. 解：－（＋2.9）＝－2.9. 解：－＝2. 9.下列各位数：－1与－(－1)，－(＋2)与－2，与－(＋)，－(－12)与12，－(＋3)与－(－3)，其中互为相反数的有（ ） A.0组 B.1组 C.2组 D.3组 D 10.下列说法中正确的是（ ） A.带“＋”的和带“－”的数互为相反数 B.和一个点距离相等的两个点表示的数一定互为相反数 C.数轴上原点两旁的两个点表示的数互为相反数 D.一个数的前边添上“－”所得的数是这个数的相反数 D 11.若－x＝－(－10)，则x＝ ；若m＝－m，则m＝ . 12.和它的相反数之间的整数有 个. 13.数轴上点A表示－8，B，C两点所表示的数互为相反数，且点B与点A的距离为5，则点C 表示的数是 . －10 0 1 3或13 14.写出下列各数的相反数，并将这些数连同它们的相反数在如图所示的数轴上表示出来： 0，－2.5，－3，＋5，1，4.5. 解：0的相反数0，－2.5的相反数是2.5，－3的相反数是3，＋5的相反数是－5，1的相反数是－1，4.5的相反数是－4.5. 在数轴上表示如图所示. 15.(1)化简下列各数： ①－[－（＋1）]； ②－[－（－1）]； ③－（－[－（＋1）]）； ④－（－[－（－1）]） 解：原式＝1. 解：原式＝－1. 解：原式＝－1. 解：原式＝1. (2)化简过程中发现，化简结果的符号与原式中的“－”的个数有着密切联系，当“－”的个数是奇数时，化简结果为 数；当“－”的个数是偶数时，化简结果为 数. 负 正 16.(核心素养·模型观念)已知表示数a的点在数轴上的位置如图所示. (1)在数轴上表示出a的相反数的位置； (2)若数a与其相反数相距20个单位长度，则a表示的数是 ； (3)在(2)的条件下，若数b表示的点与数a的相反数表示的点相距5个单位长度，则b表示的数是多少？b的相反数又是多少？ -10 解：(1)a的相反数的位置如图所示. (3)b表示的数是5或15，b的相反数是－5或－15. $$1.2.4　绝对值 1.数轴上表示数a的点与 的距离叫作数a的绝对值，记作 . 2.一个正数的绝对值是它 ；一个负数的绝对值是它的 ；0的绝对值是 . 即：(1)如果a>0，那么|a|＝ ；(2)如果a＝0，那么|a|＝ ；(3)如果a<0，那么|a|＝ . 原点 |a| 本身 相反数 0 a 0 －a 填空： (1)|－4|＝　　，－＝　　， |0|＝　　； (2)－7的绝对值是　　，7的绝对值是　　. 【思路分析】根据绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，从而可得出正确答案. 【自主解答】 (1)4　－　0 (2)7　7 【名师支招】绝对值等于同一个正数的数有两个，它们互为相反数，绝对值最小的数是0. 【易错原因】忽视绝对值等于一个正数的数有两个 绝对值等于3的数是(　　) A.±3　　　　　　　B.－3 C.＋3 D.± 【自主解答】 A 知识点一：绝对值的概念及其几何意义 1.(1)数轴上表示2的点到原点的距离是 ，所以|2|＝ ；数轴上表示－2的点到原点的距离是 ，所以|－2|＝ ；数轴上表示0的点到原点的距离是 ，所以|0|＝ ； (2)|－10|的意义是数轴上表示 的点到原点的距离. 2 2 2 2 2 0 －10 知识点二：绝对值的计算 2.－1.5的绝对值是( ) A.－1.5 B.1.5 C.－ D. 3.下列式子中，正确的是( ) A.|－3|＝－3 B.－|－3|＝－3 C.－|3|＝3 D.－|－3|＝3 4.在－10，－3，0，8这四个数中，绝对值最小的数是( ) A.－10 B.－3 C.0 D.8 B B C 5.求下列各数的绝对值： （1）2 024； （2）－7.2； (3)＋2； (4)－8. 解：|2 024|＝2 024. 解：|－7.2|＝7.2. 解：＝2. 解：＝8. 知识点三：绝对值的性质 6.(1)【探究】填空： ①|＋4|＝ ，|－4|＝4，|＋4|＝|－4|＝ ； ②|－3|＝3，|＋3|＝ ，|－3|＝|＋3|＝ ； ③|0|＝ .… 4 4 3 3 0 (2)【发现】①绝对值是某个正数的数有 个，它们互为 数； ②根据上面的规律①发现，不论正数，负数，还是零，它们的绝对值一定是 . (3)【应用】若|x|＝2，则x的值是( ) A.2 B.－2 C.±2 D.都不对 两 相反 非负数 C 7.如果两个数的绝对值相等，则这两个数( ) A.相等 B.是0，±1 C.相等或互为相反数 D.是0 C 8.绝对值相等的两个数在数轴上对应的两点间的距离是10，则这两个数可以是( ) A.＋10和－10 B.＋5和－5 C.－5和10 D.3和7 B 9.若a是有理数，则下列说法中正确的是( ) A.|a|一定是正数 B.|－a|一定是正数 C.－|a|一定是负数 D.|a|＋1一定是正数 D 10.(景谷县期中)若|2m－4|与|n－3|互为相反数，则2m－n＝ . 1 11.计算： (1)|－18|＋|－6|－|－24|； (2)|－3|×|－|÷|－0.75|. 解：原式＝18＋6－24 ＝0. 解：原式＝×× ＝. 12.【阅读理解问题】阅读下列材料： 我们知道|x|的几何意义是在数轴上时x对应的点与原点的距离，即|x|＝|x－0|，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0的对应点之间的距离，这个结论可以推广为|x1－x2|表示在数轴上数x1与数x2对应点之间的距离. (1)已知|x|＝2，求x的值； 解：在数轴上与原点距离为2的点对应的数有－2和2，则x的值为－2或2. (2)已知|x－1|＝2，求x的值； 解：在数轴上与表示数1的点的距离为2的点对应的数有3和－1，即x的值为3或－1. (3)仿照上述解法，求下列各式x的值. ①|x|＝3；②|x－2|＝4. 解：①在数轴上与原点距离3的点对应的数有－3和3，即x的值为－3或3. ②在数轴上与表示数2的点的距离为4的点对应的数有6和－2，即x的值为6或－2. $$微专题2　巧用绝对值的非负性 【方法指导】任何数的绝对值都是非负的，去掉绝对值时，要判断绝对值里面的数是非正数还是非负数，然后利用绝对值的非负性去绝对值符号.几个非负数的和为0，则每个非负数分别为0. 【针对训练】 填空： |3|＝ ；　　　　|－5|＝ ； |0|＝ ; 归纳：|a| 0. 3 5 0 ≥ 直接应用： 若|a|＝－a，则a一定是( ) A.正数 B.负数 C.正数或0 D.负数或0 D 变式应用： (1)若|a－3|＋|b－4|＝0，则a＝ ，b＝ ； (2)已知|x－2|与|y－3|互为相反数，则|x＋y|＝ ； (3)根据|x|是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题： ①当x＝ 时，|x－2 024|有最小值，这个最小值是 ； ②当x＝ 时，2 024－|x－1|有最大值，这个最大值是 . 3 4 5 2 024 0 1 2 024 $$1.2.5　有理数的大小比较 1.在水平的数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是 的顺序，即 的数小于 的数. 2.有理数比较大小的规定，一般地： (1)正数 0，0 负数，正数 负数； (2)两个负数，绝对值大的 . 从小到大 左边 右边 大于 大于 大于 反而小 高斯符号[x]首次出现在数学家高斯(C.F.Gauss)的数学著作《算术研究》一书中，对于任意实数x，通常用[x]表示不超过x的最大整数，如[2.9]＝2，给出如下结论： ①[－3]＝－3，②[－2.9]＝－2，③[0.9]＝0，④[x]＋[－x]＝0. 以上结论中，你认为正确的有　　(选填序号). 【思路分析】根据符号[x]表示不超过x的最大整数，可得答案. 【自主解答】 ①[－3]＝－3，②[－2.9]＝－3，③[0.9]＝0，④当x为整数时， [x]＋[－x]＝0，当x为分数时， [x]＋[－x]≠0.故答案为①③. 【名师支招】认真阅读题目，理解新概念并加以应用，利用符号[x]表示不超过x的最大整数是解题关键. 【易错原因】考虑不全面导致漏解 绝对值大于2而小于6的所有整数的个数为　　. 【自主解答】 6 知识点一：利用数轴比较大小 1.有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A.a>b>0>c B.b>0>a>c C.b<a<0<c D.a<b<c<0 C 2.在数轴上表示下列各有理数，并用“<”号把它们按从小到大的顺序排列起来. －3，4，0，－，. 解：在数轴上表示各数如图所示. 排列各数为－3<－<0<<4. 知识点二：利用法则比较大小 3.(浦北县期末)下列各数中，最小的数是（ ） A.－1 B.0 C.－ D.－|－2| 4.(玉州区期末)有理数3，1，－1，4中，小于0的数是（ ） A.－1 B.1 C.3 D.4 5.比较下列各对数的大小，正确的是（ ） A.3>－5 B.－3<－5 C.－2.2<－|－2.25| D.－<－ D A A 6.下表是世界五大洲的最低点及其海拔高度： 根据以上数据，海拔最低的是（ ） A.美洲死亡谷 B.大洋洲北艾尔湖 C.亚洲死海 D.非洲阿萨尔湖 C 世界五大洲的最低点 亚洲死海 欧洲里海 非洲阿萨尔湖 大洋洲北艾尔湖 美洲死亡谷 海拔/m －432 －28 －155 －16 －86 7.比较大小(均选填“＞”“＜”或“＝”)： (1)1 －2； (2)－9.01 －9.001； (3)－|－8| |－8|； (4)－ －. > < < > 8.比4.5小的非负整数有（ ） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 9.下列说法中正确的是（ ） A.有理数中存在最大的数 B.任何数都大于它的相反数 C.最小的正整数是1 D.两个数中，较大的那个数的绝对值较大 10.若|a|＝3，|b|＝4，且a>b，则a＝ ，b＝ . C C ±3 －4 11.(核心素养·几何直观)已知a，b，c在数轴上的对应点如图所示. (1)a 0，b 0，c 0，|a| |c|； (2)在数轴上找出表示－a，－b，－c的点； (3)用“<”将a，－a，b，－b，c，－c，0连接起来. < > < < 解：(2)如图所示. (3)c<－b<a<0<－a<b<－c. 12.一种圆形的机器零件规定直径为200 mm，为检测它们的质量，从中抽取6件进行检测，比规定直径大的毫米数记作正数，比规定直径小的毫米数记作负数.检查记录如下： (1)几号机器零件直径最大？几号最小？并求出最大直径和最小直径的长度； (2)质量最好的是哪个？质量最差的呢？ 1 2 3 4 5 6 0.2 －0.1 －0.3 0.1 0 －0.2 解：(1)1号的直径最大，最大直径是200＋0.2＝200.2(mm)；3号的直径最小，最小直径是200－0.3＝199.7(mm). (2)由于|0|<|-0.1|＝|0.1|<|-0.2|＝|0.2|<|-0.3|， 所以质量最好的是5号，质量最差的是3号. 13.问题：比较－与＋的大小. 解：化简可得－＝－，＋＝－①， 因为＝＝，＝＝②.又因为<③，所以－<－④. 所以－<＋⑤. (1)本题从 开始产生错误(选填序号)； (2)请按照上述方法比较－与－的大小. ④ 解：(2)－＝－＝－， －＝－＝－， 因为＝，＝， 又因为>，所以－<－， 所以－<－. $$