第五章 特殊平行四边形 单元练习2023-2024学年浙教版数学八年级下册

第五章 特殊平行四边形 班级 姓名 得分 学号 一、仔细选一选(本大题有10小题，每小题3分，共30分) 1.矩形、菱形、正方形都具有的性质是( ) A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线平分一组对角 D. 对角线互相垂直 2.关于▱ABCD的叙述,正确的是( ) A. 若AB⊥BC,则▱ABCD 是菱形 B. 若AC⊥BD,则▱ABCD 是正方形 C. 若AC=BD,则▱ABCD 是矩形 D. 若AB=AD,则▱ABCD是正方形 3. 如图,正方形ABCD 的边长为 1,点 E,F 分别是对角线AC 上的两点,EG⊥AB,EI⊥AD,FH⊥AB,FJ⊥AD,垂足分别为G,I,H,J.则图中阴影部分的面积等于( ) A. 1 B C 4. 如图,E 是正方形ABCD 对角线AC上的一点,EF⊥AB,EG⊥BC,F,G是垂足,若正方形 ABCD 的周长为a,则EF+EG等于( ) B C. a D. 2a 5. 如图所示,在正方形 ABCD 中,E为CD 边上一点,F 为BC 延长线上一点,CE=CF.若 则∠EFD的度数为( ) A. 20° B. 25° C. 35° D. 40° 6. 如图，正方形 ABCD 的四个顶点分别在四条平行线l₁，l₂，l₃，l₄上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h₁,h₂,h₃.若 则正方形ABCD的面积为( ) A. 9 B. 10 C. 13 D. 25 7. 如图,正方形ABCD 内有两条相交线段MN,EF,点M,N,E,F分别在边AB,CD,AD,BC上.小明认为:若MN=EF,则MN⊥EF;小亮认为:若MN⊥EF,则MN=EF.你认为( ) A. 仅小明对 B. 仅小亮对 C. 两人都对 D. 两人都不对 8. 如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E 处，点A落在F 处，折痕为MN，则线段CN的长是( ) A. 3 cm B. 4 cm C. 5cm D. 6 cm 9. 如图,在正方形ABCD中,E为AB 中点,连结DE,过点D作DF⊥DE交BC 的延长线于点F,连结EF.若AE=1,则EF的值为( ) A. 3 D. 4 10. 如图所示,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=2,E是BC 的中点,点P在对角线AC上滑动,则BP+EP的最小值是( ) A B. 2 C D. 3 二、认真填一填(本大题有6 小题，每小题4分，共24分) 11. 如图,在正方形ABCD 中,等边三角形AEF的顶点E,F分别在边BC和CD上,则∠AEB= . 12. 如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,对角线AC与BD 相交于点O,若不增加任何字母与辅助线，要使四边形 ABCD 是正方形，则还需增加一个条件是 . 13. 已知:如图,正方形 ABCD 中,对角线AC和BD 相交于点O. E,F 分别是边AD,DC上的点,若 4 cm,CF=3c m,且OE⊥OF,则EF的长为 cm. 14. 如图为某城市部分街道示意图,四边形ABCD 为正方形,点G在对角线BD 上,GE⊥CD,GF⊥BC,AD=1 500m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F，若小敏行走的路程为3 100m,则小聪行走的路程为 m. 15. 如图,已知点 E在正方形ABCD 的边AB上,以BE 为边向正方形ABCD 外部作正方形BEFG,连结DF,M,N分别是DC,DF的中点,连结MN.若AB=7,BE=5,则 16. 在正方形ABCD中,AB=6,连结AC,BD,P 是正方形边上或对角线上一点.若 ，则 AP的长为 三、全面答一答(本大题有7小题，共66分) 17.(6分)如图,BE是正方形ABCD 的一个外角的平分线,CE⊥BE于点E,连结AE,若 求AE的长 18. (8分)如图,正方形ABCD,点E,F分别在AD,CD上,且 AF 与BE 相交于点G. (1)求证: (2)若 求AG的长. 19. (8分)如图,在 中，已知 ,点 B 在 AO 延长线上,OD 平分 交AC 于点D,OF 平分 于点F. (1) 求证:四边形 CDOF是矩形. (2)当 为多少度时，四边形CDOF 是正方形? 并说明理由. 20. (10分)如图,正方形ABCD,动点E在AC 上, 垂足为A， 连结BE,BF,DE. (1)BF和DE 有怎样的数量关系? 请证明你的结论. (2)在其他条件都保持不变的是情况下，当点E运动到AC 中点时，四边形 AFBE 是什么特殊四边形? 请证明你的结论. 21.(10分)如图,正方形 ABCD的对角线交于点O,点 E,F 分别在AB,BC上 且 OE,DA的延长线交于点M,OF,AB的延长线交于点 N,连结MN. (1)求证: (2)若正方形ABCD 的边长为4,E为OM的中点,求MN的长. 22.(12分)如图,在正方形 ABCD中, 点E 在边 CD 上,且 将 沿AE 对折至 ,延长EF交边BC 于点G,连结AG,CF. (1)求证:①△ABG≌△AFG;②BG=GC. (2)求 的面积. 23. (12分)如图, 中，点O是边AC 上一个动点，过O作直线. 的平分线交MN 于点E, 的角平分线交MN 于点 F. (1)探究：线段OE 与OF 的数量关系并加以证明. (2)当点O在边AC 上运动时，四边形 BCFE 会是菱形吗? 若是，请证明；若不是，则说明理由. (3)当点 O运动到何处，且 满足什么条件时，四边形AECF 是正方形? 第五章 特殊平行四边形 1. B 2. C 3. B 4. A 5. C 6. C 7. C 8. A 9. B 解析:∵四边形ABCD是正方形∴AB=BC=CD=AD,∠BAD=∠ABC=∠DCB=∠ADC=90°.∵E 是AB 中点,∴AE=BE=1.∵DF⊥DE,∴∠EDC+∠CDF=90°,且∠ADE+∠EDC=90°.∴∠ADE=∠CDF且AD=CD,∵∠A=∠DCF=90°,∴△ADE≌△CDF,∴AE=CF=1,∴BF=3.在 Rt△BEF中， 故选:B. 10. C 11.75°12.∠ABC=90°或AC=BD 13.5 解析:∵OD=OC,∵OE⊥OF,∴∠EOD+∠FOD=90°,∵正方形ABCD,∴∠COF+∠DOF=90°,∴∠EOD=∠FOC,而∠ODE=∠OCF=45°,∴△OFC≌△OED,∴OE=OF,CF=DE=3cm,同理AE=DF=4 cm,根据勾股定理得到 EF= 故答案为5. 14.4600 16.2或 或 解析：如图①，当P在AD边上时，PD=2AP,AD=6,∴AP=2;如图②,当P 在AB 边上时,PD= 如图③，当P 在对角线AC上时，∵ 在Rt△DQP中, 解得： (取压)；P不能在 BC 边上，不能在CD边上，不能在对角线BD上，综上所述 AP的长为2或 或 17.解:连结AC,∵四边形ABCD 为正方形,AC 为对角线,∴∠ACB=45°.又∵BE平分∠ABC的外角,∴∠CBE=45°=∠ACB,∴AC∥BE,∴∠ACE+∠CEB=180°.∵CE⊥BE,∴∠ACE=90°.在等腰直角三角形ABC 和等腰直角三角形BCE中， 18.(1)证明:∵四边形 ABCD 是正方形,∴∠BAE=∠ADF=90°,AB=AD=CD,∵DE=CF,∴AE=DF,在△BAE和△ADF中 (2)解:由(1)得:△BAE≌△ADF,∴∠EBA=∠FAD,∴∠GAE+∠AEG=90°,∴∠AGE=90°,∵AB=4,DE=1,∴AE=3, 在 Rt△ABE 中, 19.(1)证明:∵OA=OC,OD平分∠AOC,∴OD⊥AC,∠AOD=∠COD,∴∠CDO=90°.∵OF 平分∠COB,∴∠COF=∠BOF,∴∠DOC+∠COF=90°,即∠DOF=90°.∵CF⊥OF,∴∠CFO=90°,∴四边形CDOF 是矩形. (2)解:∠AOC=90°时,理由略. 20.解:(1)BF=DE,理由如下:∵四边形 ABCD 是正方形,∴AB=AD,∠DAC=∠BAC=45°,∵AF⊥AC,∴∠FAB=∠BAC=∠DAC=45°,且AD=AB,AF=AE,∴△AFB≌△AED(SAS),∴BF=DE.(2)正方形,理由如下:∵四边形ABCD是正方形,点E是AC 中点,∴AE=BE,∠AEB=90°∵∠FAB=∠BAC=45°,且AB=AB,AF=AE,∴△ABF≌△ABE(SAS),∴BF=BE,∴AE=BE=BF=AF,∴四边形AFBE是菱形,且AF⊥AE,∴四边形AFBE 是正方形. 21.(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形,∴OA=OB,∠DAO=45°,∠OBA=45°,∴∠OAM=∠OBN = 135°,∵∠EOF =90°,∠AOB=90°,∴∠AOM =∠BON,∴△OAM≌△OBN(ASA),∴OM=ON. (2)解:如图,过点O作OH⊥AD 于点H,OG⊥AB于G,∴四边形AHOG为正方形.∵正方形的边长为4,∴OG=OH=HA=2,∵E为OM 的中点,∴△EOG≌△EMA,AM=OG=2.∴HM=4,则 22.(1)证明:①在正方形ABCD 中,AD=AB,∠D=∠B=∠DCB=90°.又∵△ADE沿AE 对折至△AFE,延长 EF交边BC于点G,∴∠AFG=∠AFE=∠D=90°,AF=AD.∴∠B=∠AFG = 90°, AB = AF. 在 Rt △ABG 和 Rt△AFG 中,{AB=AF,∴Rt△ABG≌Rt△AFG≌②∵AB=6,点 E 在边CD上,且CD=3DE,∴DE=FE=2,CE=4.由△ABG≌△AFG得FG=BG.设BG≠FG-x(x>0),则CG=6-x,EG=2+x.在Rt△CEG中, ,解得x=3,于是BG=GC=3. (2)解: 23.解:(1)OE=OF.∵MN∥BC,∴∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠FCD.又∵CE,CF 分别平分∠ACB,∠ACD,∴∠ACE=∠BCE,∠ACF=∠DCF,∴∠OEC=∠ACE,∠OFC=∠OCF,∴OE=OC,OF=OC,∴OE=OF. (2)四边形BCFE不可能是菱形,若四边形 BCFE 为菱形,则BF⊥EC,而由(1)可知 FC⊥EC,在平面内过同一点 F 不可能有两条直线同垂直于一条直线. (3)当点O运动到AC 中点时，且△ABC是直角三角形(∠ACB=90°)时,四边形AECF 是正方形.点 O运动到AC 中点时,OA=OC,又OE=OF,∴四边形AECF 为平行四边形,又∠ECF= 为矩形,又∵EF∥BC,AC⊥BC,∴AC⊥EF.∴▱AECF 是正方形.∴当点O为AC 中点且△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形时，四边形 AECF 是正方形. 学科网（北京）股份有限公司 $$