5.1.1 任意角 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册 ㅤ

第五章 三角函数 5.1 任意角和弧度制 5.1.1 任意角 跳水运动员向内、向外转体两周半，这是多大角度? 提示：900° 体操中有转体两周或转体两周半，如何度量这些角度呢？ 提示： 角的范围需要扩展 经过1小时，秒针、分针各转了多少度？ 提示：21 600° ，360°. 在齿轮转动中，被动轮与主动轮是按相反方向旋转的. 一般地，一条射线绕其端点旋转，既可以按逆时针方向旋转，也可以按顺时针方向旋转.你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转60°所形成的角，与按顺时针方向旋转60°所形成的角是否相等？ 提示：不相等 60° 60° 1.掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念. 2.学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义.(重点) 3.掌握终边相同角的表示方法，会用角的集合表示一些实际问题中的角． (难点） 6 1.了解任意角的概念，能区分各类角。（数学抽象） 2.掌握象限角，并会用集合表示。（直观想象） 3.理解终边相同的角的含义及表示，会解决与终边 相同角的角的有关简单运算。（数学运算） 体会课堂探究的乐趣， 汲取新知识的营养， 让我们一起 吧！ 进 走 课 堂 思考2：想想用什么办法才能推广到任意角? 提示：关键是用运动的观点来看待角的变化. 提示：将角的概念及范围推广. 思考1：上述这些例子有的角不仅不在0°～360°范围内，而且有方向,如何解决这一问题呢? 微课1 任意角的概念 平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角. 1.角的概念的推广 O 始边　 终边 顶点 O A B 终边 顶点 O 终边 顶点 O 终边 顶点 2.角的构成要素 始边 终边 顶点 A B O 旋转方向 11 这样，我们就把角的概念推广到了任意角. 正角：按逆时针方向旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角　 零角：一条射线没有作任何旋转形成的角 任 意 角 规定： 12 D 【即时训练】 o y x 思考：为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？ 提示：x轴上、y轴上或者 x轴、y轴之间的区域内 微课2 象限角 14 象限角的概念 角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角；角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限. 15 -50° x y O x y O 210° -450° x y O 405° x y O -200° x y O 第四象限角 第一象限角 第三象限角 第二象限角 不属于任何象限的角 提示： 下列各角：-50°，405°，210°, -200°，-450°分别是第几象限角？ 【即时训练】 1.锐角与第一象限角是什么关系？ 2.钝角与第二象限角是什么关系？ 锐角一定是第一象限角，第一象限角不一定是锐角. 钝角一定是第二象限角，第二象限角不一定是钝角. 提示： 3.第二象限角一定比第一象限角大吗？ 象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小. 【易错点拨】 17 D 【即时训练】 思考1： -32°，328°，-392°是第几象限角？ 这些角有什么内在联系？ －32° -392° x y o 328° 提示： -32°，328°，-392°都是第四象限的角，它们的终边相同. 微课3 终边相同的角 19 思考2：所有与-32°角终边相同的角，连同 -32°角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？ 提示： 20 思考3：一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内所构成的集合S可以怎样表示？ 提示： S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}， 即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍 D 【规律方法】与330°相差360°的整数倍。 【即时训练】 例1.在0°～360°范围内，找出与-950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角. 关键是通过加减360°的整数倍，在0°～360°范围内找到终边相同的角. 【解析】∵-950°12′= 129°48′-3×360°, ∴在0°～360°范围内, 与-950°12′角终边相同的角是129°48′, 它是第二限角. 23 1.在0°～360°范围内，找出与下列各角终边 相同的角，并判定它们是第几象限角： ①1110° ② -1234°③ 665° ④-540°48' 【解析】① 1 110°=30°+3×360° 与30°的角终边相同，是第一象限角 ② -1 234°=206°+(-4)×360°与206°的角终边相同，是第三象限角 ③ 665°=305°+360°与305°的角终边相同，是第四象限角 ④ -540°48' =179°12'+(-2)×360° 与179°12'的角终边相同，是第二象限角 【变式练习】 2.如果α，β终边相同，则α-β的终边落 ‘在（ ） A. X轴的正半轴上 B. X轴的负半轴上 C. y轴的正半轴上 D. y轴的负半轴上 A 25 思考4：终边在x轴正半轴、负半轴，y轴正半轴、负半轴上的角分别如何表示？ 提示： 终边在x轴正半轴：α= k·360°，k∈Z ； 终边在x轴负半轴：α= 180°＋k·360°，k∈Z ； 终边在y轴正半轴：α= 90°＋k·360°，k∈Z ； 终边在y轴负半轴：α= 270°＋k·360°，k∈Z . 26 例2.写出终边在y轴上的角的集合. 【解析】在0°～360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°，270°角（如图）.因此，所有与90°角终边相同的角构成集合 S1={β|β=90°+k·360°，k∈Z}, 而所有与270°角终边相同的角构成集合 S2={β|β=270°+k·360°，k∈Z}, 27 于是，终边在y轴上的角的集合 S=S1∪S2 ={β|β=90°+2k·180°，k∈Z} ∪{β|β=90°+180°+2k·180°，k∈Z} ={β|β=90°+2k·180°，k∈Z} ∪{β|β=90°+（2k+1）180°，k∈Z} ={β|β=90°+n·180°，n∈Z}. 28 已知角α是第三象限角,则角-α的终边 在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 B 【变式练习】 例3.写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式-360°≤β＜720°的元素β写出来. 解：如图，在直角坐标系中画出直线y=x,可以发现它与x轴的夹角是45°,在0°～360° 范围内，终边在直线y=x上的角有两个： 45°,225°. 30 因此，终边在直线y=x上的角的集合S={β|β=45°+k·360°,k∈Z} ∪{β|β=225°+k·360°,k∈Z} ={β|β=45°+k·180°,k∈Z} S中适合不等式-360°≤β<720°的元素是 45°-2×180°= -315°, 45°-1×180°= -135°, 45°+0×180°= 45°, 45°+1×180°= 225°, 45°+2×180°= 405°, 45°+3×180°= 585°. 思考是如何变换的？ 已知角α的终边在如图中阴影所表示的范围内（不 包括边界），那么α∈_________________________. x y O θ -θ 【变式练习】 回顾本节课的收获 角的概念的推广 任意角的概念 象限角 终边相同的角的表示 任意角 核心知识 方法总结 易错提醒 核心素养 角的概念、表示及分类 象限角 终边相同的角 象限角的两种判断方法：（1）化成终边相同角的表示形式；（2）在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置 求在给定范围内终边相同角的方法：写出终边相同的角的表示，根据给定范围建立关于k的不等式，解出k,根据k确定角 终边相同的角中必须保证k是整数 数学抽象：通过具体实例抽象出象限角、终边相同角的概念，培养数学抽象的核心素养 【解题关键】由θ的4倍角与θ的终边相同列出方程 解： 把学问过于用作装饰是虚假；完全依学问上的规则断事是书生的怪癖. ——培根　 喜羊羊步行从家里到草原学校去上学，一般需要10分钟，则10分钟时间，钟表的分针走过的角度是(　　) A．30°　　 B．－30° C．60° D．－60° 设A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限的角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是(　　) A．A＝B B．B＝C C．A＝C D．A＝D 【解析】 锐角θ满足0°<θ<90°；而B中θ<90°，可以为负角； C中θ满足k·360°<θ<k·360°＋90°，k∈Z；D中满足0°<θ<90°，故A＝D. 下列各角中，与角330°的终边相同的角是(　　) A．510° B．150° C．－150° D．－390° 1、已知 ，则 的终边落在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】选C. 的角的终边处在 和 之间，所以其终边落在第三象限． 2.在下列说法中： ①时钟经过两个小时，时针转过的角是60°； ②钝角一定大于锐角； ③射线OA绕端点O按逆时针旋转一周所成的角是0°； ④小于90°的角都是锐角． 其中错误说法的序号为________(错误说法的序号都写上)． ①③④ 3．如果θ为小于360°的正角，θ的4倍角的终边与θ的终边重合，求θ的值． 【解析】　依题意4θ＝k·360°＋θ，且0°<θ<360°， ∴θ＝k·120°. 取k＝1或k＝2，∴θ＝120°或θ＝240°. $$